I Le inferenze statistiche 79

Sommario Prefazione xiii 1 A mo d introduzione: note storico-filosofiche 1 1.1 Statistica descrittiva e statistica inferenziale......... 2 1.2 Cenni storici.......................... 4 1.3 I principi della probabilità................... 8 1.3.1 Schemi d estrazioni da urne.............. 11 1.4 L indipendenza stocastica................... 17 1.4.1 Maxwell......................... 18 1.4.2 Boltzmann....................... 21 1.4.3 Probabilità di distribuzioni di molecole........ 23 1.4.4 L ensemble di Gibbs e la statistica.......... 24 1.5 La dipendenza stocastica.................... 26 1.6 Indipendenza e dipendenza.................. 28 1.7 Oggettivismo e soggettivismo................. 30 Bibliografia........................... 35 2 Ancora a mo d introduzione: il formalismo 37 2.1 La probabilità relativa..................... 37 2.2 Sistemi.............................. 40 2.2.1 Possibili rappresentazioni............... 45 2.3 Il linguaggio........................... 47 2.3.1 Le descrizioni...................... 49 2.4 La probabilità.......................... 51 2.4.1 Probabilità di eventi.................. 53 2.4.2 Probabilità subordinate................ 53 2.4.3 I principi della probabilità............... 55 2.4.4 Le funzioni aleatorie.................. 56 2.4.5 L indipendenza stocastica............... 60 2.5 Probabilità regolari....................... 61 2.5.1 Il quoziente di rilevanza................ 62 2.6 Probabilità scambiabili..................... 64

2.7 Probabilità invarianti...................... 68 2.8 Il teorema principale...................... 70 2.8.1 Dimostrazione del teorema principale........ 72 2.9 Qualche nota sulle probabilità predittive........... 73 Bibliografia........................... 77 I Le inferenze statistiche 79 3 La stima statistica 87 3.1 La regola di Bayes-Laplace.................. 87 3.1.1 L equivoco soggettivista................ 90 3.2 Tre esempi di stima...................... 91 3.2.1 Una stima laplaciana.................. 92 3.2.2 Una stima predittiva.................. 99 3.2.3 Distribuzioni iniziali non uniformi.......... 101 3.3 Stima e incertezza....................... 108 3.3.1 Probabilità e verosimiglianza............. 110 3.3.2 La massima verosimiglianza.............. 111 3.3.3 Intervalli di fiducia.................. 112 3.4 Confronto............................ 116 3.5 La probabilità iniziale..................... 119 3.6 Il ruolo della probabilità nella stima statistica........ 122 Bibliografia........................... 125 4 Il controllo statistico 127 4.1 Jeffreys e il fattore di Bayes.................. 128 4.2 Il controllo........................... 131 4.2.1 La confutazione di Popper............... 134 4.2.2 Un unica ipotesi.................... 135 4.3 Pearson e il chi-quadrato.................... 137 4.3.1 Osservazioni eccezionali................ 140 4.4 Confutare distribuzioni di probabilità............ 142 4.4.1 Piccole probabilità................... 142 4.4.2 Falso per convenzione................. 145 4.5 Le conseguenze della mancata confutazione......... 148 4.6 Il ruolo della probabilità nel controllo............ 150 Bibliografia........................... 153 5 Il controllo della stima 155 5.1 Una digressione sulla frequenza relativa........... 156 5.2 L associazione fra alleli..................... 157 5.3 Il MAXENT di Jaynes..................... 165 viii SOMMARIO

5.3.1 Eterogeneità, disordine ed entropia.......... 165 5.3.2 Il criterio della massima entropia........... 167 5.3.3 Il dado di Wolf.................... 169 5.4 Uno sguardo in avanti..................... 173 Bibliografia........................... 181 6 Caratterizzazioni di distribuzioni di probabilità 183 6.1 Da Bernoulli agli ensembles.................. 183 6.2 Le urne di Boltzmann..................... 191 6.2.1 Vettori di frequenze.................. 194 6.3 Alcuni esempi.......................... 197 6.3.1 Spettatori........................ 198 6.3.2 Particelle........................ 199 6.3.3 Colonizzatori...................... 200 6.3.4 Negozi.......................... 201 6.4 Le statistiche delle particelle elementari........... 201 6.4.1 La statistica di Maxwell-Boltzmann......... 202 6.4.2 La statistica di Bose-Einstein............. 203 6.4.3 La statistica di Fermi-Dirac.............. 205 6.4.4 I parametri delle statistiche.............. 206 6.5 La distribuzione campionaria di Ewens............ 209 6.6 Distribuzioni di probabilità e di frequenze.......... 212 6.6.1 La formula della radiazione di Planck........ 213 6.6.2 Distribuzioni marginali................. 216 6.7 Probabilità e fisica....................... 219 Bibliografia........................... 223 II Le teorie probabilistiche 225 7 L indistinguibilità delle particelle 233 7.1 La statistica di Maxwell-Boltzmann............. 234 7.1.1 La descrizione del comportamento delle molecole.. 241 7.2 Dalla distinguibilità all indistinguibilità ovvero dall indipendenza alla dipendenza..................... 244 7.2.1 Boltzmann....................... 246 7.2.2 Planck.......................... 252 7.2.3 Natanson........................ 257 7.2.4 Ehrenfest........................ 262 7.2.5 Ehrenfest e Kamerlingh-Onnes............ 266 7.2.6 Bose........................... 270 7.2.7 Einstein......................... 272 7.2.8 Fermi.......................... 275 UNA RAPPRESENTAZIONE PROBABILISTICA ix

7.3 Le statistiche e l indistinguibilità............... 276 7.3.1 La distinguibilità degli eventi............. 277 7.4 Parlare dei fatti o delle loro probabilità........... 280 7.5 Appendice: una formalizzazione alternativa......... 281 Bibliografia........................... 283 8 Pulci, oscillatori e proiettili probabilistici 285 8.1 Il teorema H di Boltzmann.................. 286 8.1.1 Massima entropia ed equilibrio............ 290 8.2 L equilibrio probabilistico di Gibbs.............. 291 8.3 Le critiche al teorema H.................... 293 8.3.1 Il diavoletto di Maxwell................ 294 8.3.2 La risposta di Boltzmann............... 295 8.4 Il modello degli Ehrenfest................... 296 8.4.1 Il valor medio...................... 299 8.4.2 Passeggiate casuali................... 303 8.4.3 Varie descrizioni del modello............. 305 8.4.4 Alcune considerazioni sul significato del modello.. 307 8.5 Probabilità da ignoranza e probabilità di fatti........ 310 8.5.1 Es-probabilità...................... 310 8.5.2 Probabilità di distruzione e di creazione....... 313 8.5.3 In-probabilità...................... 314 8.6 L approccio probabilistico di von Mises............ 316 8.6.1 L eliminazione dell ipotesi ergodica e gli oscillatori probabilistici...................... 316 8.6.2 La statistica fisica................... 320 8.7 Il volume dei proiettili di Brillouin.............. 324 8.7.1 Le probabilità di Brillouin............... 329 8.8 La morale della favola..................... 332 Bibliografia........................... 337 9 Distribuzioni d equilibrio 339 9.1 Equilibrio............................ 339 9.2 Processi stocastici....................... 342 9.3 Cambiamenti di stato..................... 346 9.4 Condizioni di distruzione e creazione.............. 350 9.5 Transizioni unarie....................... 353 9.6 Il bilancio dettagliato...................... 355 9.7 La distribuzione probabilistica d equilibrio.......... 357 9.7.1 Il bilancio dettagliato e la teoria degli Ehrenfest.. 358 9.8 L equilibrio probabilistico: prime note............ 360 Bibliografia........................... 367 x SOMMARIO

10 Introduzione ai fondamenti della meccanica statistica 369 10.1 Transizioni unarie....................... 370 10.1.1 Urti........................... 372 10.1.2 Ancora sulle statistiche delle particelle elementari.. 374 10.2 Livelli d energia......................... 376 10.3 Transizioni binarie....................... 377 10.3.1 Collisioni........................ 379 10.4 Distribuzioni limite....................... 382 10.4.1 Il limite continuo.................... 384 10.4.2 Media aritmetica e probabilità............ 385 10.4.3 Il limite termodinamico................ 387 10.4.4 L indipendenza delle marginali............ 389 10.4.5 Ancora sulla formula di Planck............ 391 10.5 Probabilità ed equilibrio.................... 393 10.5.1 Es- e in-probabilità in meccanica statistica..... 394 10.5.2 Ancora sull equilibrio probabilistico......... 395 Bibliografia........................... 397 11 Regole di corrispondenza 399 11.1 Termini osservativi....................... 400 11.2 I postulati della probabilità.................. 404 11.3 Tempo relativo di residenza.................. 406 11.4 Fisica e fondamenti della probabilità............. 413 11.5 Definizioni interessanti e complete.............. 417 11.6 Verità e probabilità....................... 422 11.6.1 Teorie causali...................... 423 11.6.2 Regole di corrispondenza per teorie probabilistiche. 424 Bibliografia........................... 429 12 Suggerimenti per una genetica di popolazioni probabilistica 431 12.1 La rivoluzione probabilistica.................. 431 12.2 Le prime asserzioni....................... 435 12.2.1 La regola di Mendel.................. 436 12.2.2 L equilibrio di Hardy-Weinberg............ 438 12.2.3 Qualche commento................... 440 12.3 Generazioni che non si sovrappongono............ 444 12.4 Generazioni che si sovrappongono............... 448 12.4.1 Infiniti alleli....................... 454 12.5 Ancora sull equilibrio di Hardy-Weinberg.......... 458 Bibliografia........................... 463 UNA RAPPRESENTAZIONE PROBABILISTICA xi

13 Frammenti di un economia probabilistica 465 13.1 Economia e fisica........................ 466 13.2 Valore vero e perturbazioni................. 472 13.3 Suggerimenti e approcci probabilistici............ 477 13.3.1 Majorana e le scienze sociali.............. 478 13.3.2 Von Neumann e Morgenstern............. 480 13.3.3 Un approccio marxiano e probabilistico....... 481 13.3.4 Aoki........................... 484 13.4 Keynes, probabilità ed economia............... 485 13.4.1 Alcuni aspetti dell economia keynesiana....... 486 13.4.2 La domanda effettiva.................. 492 13.4.3 Linguaggio analitico e approccio laplaceano..... 494 13.5 Comportamento gregario.................... 497 13.5.1 Le formiche di Kirman................. 497 13.5.2 Disposizioni di base: diagrammatici e fondamentalisti 502 13.5.3 Considerazioni finali sul processo di Kirman..... 506 13.6 La dinamica del prezzo..................... 507 13.7 Clienti e negozi......................... 512 13.8 Cenni sulle leggi di potenza................. 515 Bibliografia........................... 521 14 Poche note per terminare 523 14.1 In-probabilità.......................... 524 14.2 Von Mises............................ 525 14.3 Carnap............................. 525 14.4 Popper.............................. 528 14.5 La teoria GRW......................... 531 14.6 Sull approssimazione alla realtà................ 534 Bibliografia........................... 539 Indice analitico 541 xii SOMMARIO