Multiagent systems. Christian Schunck, Ph.D. UD 1.2: Esempi di Giochi

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1 Multiagent systems Sistemi i di Agenti Christian Schunck, Ph.D. UD 1.2: Esempi di Giochi

2 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 2 TIPOLOGIE DI GIOCHI SOMMA COSTANTE/NON COSTANTE COOPERATIVITA dei giocatori SEQUENZIALITA /SIMULTANEITA delle mosse FORMA che dipende dal grado di conoscenza FORMA COMPLETA FORMA PERFETTA RAPPRESENTAZIONE DEL GIOCO FORMA NORMALE FORMA ESTESA ITERATIVITA del gioco Singolo (senza memorizzazione della storia, cioè in Forma Imperfetta) Ripetuto (con memorizzazione i della storia, cioè in Forma Perfetta) Infinito

3 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 3 GIOCHI NON COOPERATIVI Vediamo adesso alcuni esempi di Giochi NON COOPERATIVI I giocatori non cooperano tra di loro (semplicemente perché non sono interessati a farlo) La teoria dei giochi è nata descrivendo giochi in cui si formano coalizioni (giochi cooperativi) Nash ha poi dato sviluppo al ramo dei Giochi Non Cooperativi

4 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 4 Esempio 1: Test scolastico In Italia la valutazione di un compito è assoluta Negli USA è relativa : il professore assegna Il voto massimo (m) al compito migliore Il voto minimo (p) al compito peggiore Divide vd poi l intervallo (p,m) in varie parti e assegna ad ogni studente un voto in base a questa scala di valutazione

5 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 5 Esempio 1: Test scolastico Il sistema adottato negli USA tende a scoraggiare gli accordi tra studenti E se gli studenti si accordassero nel rispondere tutti allo stesso numero di domande? Il professore potrebbe assegnare a tutti il voto minimo Senza considerare la presenza di studenti carogna! Aiutare un collega può significare che il mio compito verrà valutato peggio del suo

6 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 6 Esempio 1: Test scolastico (metodo italiano) Il professore propone un test di 30 domande a una classe di 5 allievi Il suo criterio di valutazione è il seguente: Risposte esatte Voto

7 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 7 Esempio 1: Test scolastico (metodo italiano) Ogni studente può studiare Molto (M) Abbastanza (A) Poco (P) Quanto si è disposti a perdere sul voto studiando di meno? Per calcolare il suo grado di soddisfazione sul risultato del test, ogni studente decide di applicare al suo voto un coefficiente k, riportato nella seguente tabella Livello di studio Coefficient e Molto 1/2 Abbastanza 2/3 Poco 1

8 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 8 Esempio 1: Test scolastico (metodo italiano) Si consideri infine il numero di risposte (e il voto relativo) alle quali ogni studente è in grado di rispondere in base al suo livello di impegno nello studio: Studente Livello di studio Molto Abbastanza Poco Domande Voto Domande Voto Domande Voto Marta Franco Luigi Maria Roberto

9 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 9 Esempio 1: Test scolastico (metodo italiano) Marta deve cercare il massimo tra (1/2*10, 2/3*9, 1*8), cioè il massimo tra (5, 6, 8) Per Marta studiare poco è più favorevole Maria deve cercare il massimo tra (1/2*7, 2/3*4, 1*2), cioè il massimo tra (3.5, 2.66, 2) Per Maria studiare molto è più favorevole

10 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 10 Esempio 1: Test scolastico (metodo USA) Siano p ed m i risultati peggiori e migliori (cioè il numero minimo e massimo di risposte corrette). La valutazione del compito viene così stabilita (prova con m=10 e p=0): Risposte esatte Voto 1/10(9m+p) risposte esatte m 10 1/10(8m+2p) risposte esatte < 1/10(9m+p) 9 1/10(7m+3p) risposte esatte < 1/10(8m+2p) 8 1/10(6m+4p) risposte esatte < 1/10(7m+3p) 7 1/10(5m+5p) risposte esatte < 1/10(6m+4p) 6 1/10(4m+6p) risposte esatte < 1/10(5m+5p) 5 1/10(3m+7p) risposte esatte < 1/10(3m+6p) 4 1/10(2m+8p) risposte esatte < 1/10(2m+7p) 3 1/10(1m+9p) risposte esatte < 1/10(1m+8p) 2 p risposte esatte < 1/10(m+9p) 1

11 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 11 Esempio 1: Test scolastico (metodo USA) Il professore ha diviso l intervallo (p,m) in 10 parti uguali, assegnando 10 al risultato che cade nell intervallo più a destra e 1 a quello che cade nell intervallo più a sinistra i Studente Livello di studio Molto Abbastanza Poco Marta Franco Luigi Maria Roberto Marta sa che impegnandosi Abbastanza riuscirebbe comunque ad ottenere il massimo (26 domande) che può essere ottenuto solo da Franco se si impegnasse Molto.

12 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 12 Esempio 1: Test scolastico (metodo USA) E se Marta si impegnasse Poco? In quali condizioni riuscirebbe a raggiungere g comunque il massimo? Sarebbe sufficiente che Franco non si impegnasse pg Molto Oppure che il peggiore studente non rispondesse a più di 5 domande. Infatti in questo case il numero di domande a cui risponderebbe Marta in caso di Poco studio (24) cadrebbe sempre nel primo intervallo (in cui può al più esserci 26). Per calcolare matematicamente il valore di p basta impostare la diseguaglianza 1/10(9m+p) < 24 Con m=26. Quindi 1/10(234+p)<24. Per cui p<

13 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 13 Esempio 2: il gioco dei fiammiferi Stato iniziale: 2 mucchietti di 2 fiammiferi ciascuno Evoluzione: 2 giocatori, a turno, levano 1 o 2 fiammiferi da un solo mucchietto Stato finale: Nessun fiammifero rimanente Risultato: chi toglie l ultimo perde.

14 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 14 GIOCO FINITO Esempio 2: il gioco dei fiammiferi Ogni giocatore ha a disposizione un numero finito di mosse Il gioco si conclude dopo un numero finito di mosse INFORMAZIONE PERFETTA. Infatti entrambi i giocatori conoscono g tutta la storia passata, le possibili evoluzioni future e p nessuna mossa è segreta per alcuno

15 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 15 Esempio 2: il gioco dei fiammiferi <<INSERIRE ALBERO DEL GIOCO>>

16 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 16 Esempio 3: Roulette Russa Stato iniziale: 2 giocatori e una rivoltella a sei colpi, con un colpo solo nel tamburo. Evoluzione: ogni giocatore mette euro nel piatto. Se il 1 giocatore passa, mette euro nel piatto, altrimenti ne aggiunge e preme il grilletto. Se sopravvive allo sparo, rigira il tamburo e passa la pistola al secondo. Risultato: se entrambi sono vivi, si dividono il piatto; se sono morti il piatto è perso; se (solo) uno sopravvive, il piatto è suo.

17 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 17 Esempio 3: Roulette Russa La struttura ad albero del gioco è descritta nella figura seguente, dove in ogni situazione finale è riportato il corrispondente guadagno del primo giocatore. Mossa del primo giocatore Mossa del secondo giocatore Si noti che in questo gioco ogni giocatore fa una sola mossa. Si noti che in questo gioco ogni giocatore fa una sola mossa. Il grafo sarebbe molto più complesso per giochi con un grande numero di mosse Per curiosità: converrebbe sparare ad entrambi

18 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 18 Esempio 3: Roulette Russa In questo caso oltre alla vincita del gioco sono presenti anche delle vincite in danaro. Il gioco è detto a SOMMA ZERO, in quanto ciò che perde g, q p uno lo vince l altro.

19 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 19 Esempio 4: La Morra Cinese I giocatori operano una scelta simultanea tra 3 oggetti: CARTA SASSO FORBICI Carta vince con Sasso ma perde con Forbici Sasso vince con Forbici ma perde con Carta Forbici vince con Carta ma perde con Sasso

20 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 20 Esempio 4: La Morra Cinese Il gioco lo si rappresenta utilizzando un formato matriciale, la matrice dei pagamenti pg nella quale 1 corrisponde a Vincita dell attore che gioca sulle righe, 0 corrisponde Pareggio, -1 corrisponde a perdita dell attore che gioca sulle righe La mossa del giocatore 1 corrisponde alla scelta di una riga e quella del giocatore 2 corrisponde alla scelta di una colonna Giocatore 2 Cart a Sasso Forbici Carta Giocatore 1 Sasso Forbici 1-1 0

21 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 21 Esempio 4: La Morra Cinese Non esiste una scelta a-priori razionale che garantisca la vincita a un qualsiasi giocatore (come avveniva invece per il gioco dei fiammiferi) Non è possibile prevedere, cioè, una scelta razionale da parte dei due giocatori

22 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 22 Esempio 4: La Morra Cinese In questo caso spesso intervengono altri fattori a guidare le mosse dei giocatori Ad esempio, se il primo giocatore non gioca mai Sasso, il secondo potrebbe accorgersene e non giocare mai Carta e quindi garantirsi maggiori possibilità di vittoria (avrebbe a disposizione 2 casi favorevoli e 1 solo sfavorevole su 4) Giocatore 2 Cart a Sasso Forbici Carta Giocatore 1 Sasso Forbici 1-1 0

23 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 23 Esempio 5: La battaglia dei Sessi Laura e Luigi decidono di passare la serata fuori casa Laura preferisce lo Stadio e Luigi preferisce il Cinema La matrice che rappresenta le preferenze potrebbe essere: Laura Luigi Cinema Stadio Cinema (5, 0) (-1, -1) Stadio (-1, -1) (0, 5) In questo caso esistono 2 soluzioni possibili che, per i giocatori, i non sono equivalenti i( (come sarebbe per un generico problema di ottimo) Nella teoria dei giochi la presenza di più equilibri costituisce una difficoltà maggiore.

24 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 24 Esempio 6: Una votazione 3 uomini politici devono decidere come aumentare le entrate Le possibilità sono 3 Diminuire le spese (provvedimento A) Aumentare le tasse (provvedimento B) Indebitare lo stato (provvedimento C) Politico Preferenze (in ordine decrescente) Paperone A B C Paperino C A B Topolino B C A Nel caso in cui non si trovi un accordo di maggioranza il provvedimento adottato sarà quello del presidente (Paperone)

25 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 25 Esempio 6: Una votazione Per analizzare il gioco bisognerebbe costruire una matrice tridimensionale. Noi costruiremo 3 matrici bidimensionali Topolino Paperino Topolino Paperino Topolino Paperino sceglie A A B C sceglie B A B C sceglie C A B C A A A A A A B A A A A C Paperone B A B B Paperone B B B B Paperone B B B C C A C C C C B C C C C C

26 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 26 Esempio 6: Una votazione Considerazione numero 1: L assioma della razionalità impone a Paperone di votare per il provvedimento A (quello di suo maggior gradimento), perché Se Paperino e Topolino votano entrambi per lo stesso provvedimento (A, B o C), il voto di Paperone è ininfluente Se Paperino e Topolino non votano entrambi per lo stesso provvedimento (A, B o C), il voto di Paperone è determinante t Ipotizzando quindi che Paperone voti sempre per A, ci siamo ricondotti ad una sola matrice Paperone sceglie A Paperino Topolino A B C A A A A B A B A C A A C

27 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 27 Esempio 6: Una votazione Considerazione numero 2: (eliminazione di strategie dominate) Paperino e Topolino non voteranno per il provvedimento a loro più sgradito (B per Paperino e A per Topolino), quindi la matrice si riduce ulteriormente alla seguente: Paperone sceglie A Paperino B Topolino C A A A C A C Chiaramente i due uomini politici si accorderanno su C che entrambi preferiscono ad A

28 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 28 GIOCHI COOPERATIVI Vediamo adesso alcuni esempi di Giochi COOPERATIVI

29 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 29 Esempio 7: La suddivisione di una somma 3 fratelli (Aldo, Giovanni e Giacomo) devono dividersi Euro, a condizione che si mettano d accordo (a maggioranza) Ogni possibile coppia di fratelli sarebbe vincente (rappresentando la maggioranza)

30 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 30 Esempio 7: La suddivisione di una somma Aldo e Giovanni decidono inizialmente di dividersi a metà. Prima di concludere, Giacomo va da Aldo e gli propone: ad Aldo (che incasserebbe di più rispetto a 1) a Giacomo Aldo torna da Giovanni e gli propone: ad Aldo (che incasserebbe di più rispetto a 1 e 2) a Giovanni (meno rispetto a 1, ma di più rispetto a 2) Giovanni Gova accetta apec perché éaltrimenti perderebbe pedeebbetutto. Ma prima di procedere va da Giacomo e gli propone: a Giacomo a Giovanni E così via, all infinito

31 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 31 Esempio 7: La suddivisione di una somma (Approccio NON Cooperativo) L unica soluzione possibile è che il padre si tenga la somma di danaro, perché i figli non hanno trovato l accordo. (Approccio Cooperativo) In alternativa, il buon senso propone di suddividere la somma in 3 parti uguali.

32 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 32 Esempio 8: La suddivisione degli utili L esempio che segue spiega perché in alcune condizioni i piccoli partiti presenti in una coalizione ottengano molto di più di quanto la loro forza farebbe ipotizzare, mentre altri possono anche non ottenere nulla. Supponiamo che, all interno di una coalizione omogenea (es centrosinistra o centrodestra), i rapporti di forza siano i seguenti: Partit o Percentuale A 10% B 21% C 30% D 39%

33 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 33 Esempio 8: La suddivisione degli utili In questi casi si applica una tecnica (detta indice di Shapley) che porta alla seguente suddivisione delle poltrone ministeriali: Partit o Ministeri A 0 B 1/3 C 1/3 D 1/3

34 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 34 Esempio 8: La suddivisione degli utili Perché questa soluzione è accettata (ci sono partiti che non ottengono nulla, altri che ottengono meno della loro forza e altri che ottengono di più)? Nella coalizione la presenza di A non è mai determinante nel prendere le decisioni a maggioranza Ogni altro componente è invece determinante quando si associa ad un altro componente (purchè non sia A) L i i i è l ifl ilf La ripartizione non è moralmente equa, ma riflette il fatto che la presenza di A nel prendere decisioni è superflua.

35 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 35 Bibliografia e Sitografia Lucchetti, Roberto Di duelli, scacchi e dilemmi. La teoria matematica dei giochi. Bruno Modadori Editore, 2001 Pagine 1 25 Lucchetti, Roberto TEORIA DEI GIOCHI: una scienza bambina. (http:// /archivio/teoriagiochi.htm) Da Matematica, rivista online del gruppo di ricerca PRISTEM - Eleusi dell Università Bocconi di Milano. t ti ib i it/ M G id tti T i d i i hib i t d i M. Guidotti Teoria dei giochi breve introduzione (http://www.galenotech.org/strategie.htm)

36 Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD /03/2010 Dia 36 Bibliografia e Sitografia F. Belotti e G. Gambarelli Sistemi elettorali e Teoria dei Giochi (http://matematica.unibocconi.it/archivio/sistemi- elettorali.htm# ) Da Matematica, rivista online del gruppo di ricerca PRISTEM - Eleusi dell Università Bocconi di Milano.

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