4 - Topologia. Topologia delle reti elettriche. Elettrotecnica. Serie di due bipoli. Topologia delle reti elettriche

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1 Topologia delle reti elettriche Elettrotecnica 4 - Topologia È data dai collegamenti degli n-poli. Prescinde dalla disposizione spaziale dei componenti. Considera le leggi di Kirchhoff (relazioni tra correnti e relazioni tra tensioni). Permette di scriere in modo efficace tali equazioni. Topologia delle reti elettriche Serie di due bipoli Considerano prima reti di soli bipoli. e anzitutto le connessioni elementari tra due soli bipoli: COESSIOE SERIE COESSIOE PARALLELO Esiste un nodo al quale sono collegati solo due morsetti dei due bipoli: i s = i = i s = ogliono dire che le tensioni si sommano a parità di corrente rete s i s b i b A B i 3 4

2 Serie di due bipoli Serie di due resistori Esiste un nodo al quale sono collegati solo due morsetti dei due bipoli: i s = i = i s = ogliono dire che le tensioni si sommano a parità di corrente s =f s (i s ) =f (i ) =f (i ) i Dalle equazioni: = R i e = R i i s = i = i e s = si ottiene: s = R i R i =(R R ) i s ossia: s = R s i s con: R s = R R i i R R s is s i 5 6 Serie di un generatore di tensione e di un resistore Dalle equazioni: = E e = R i i s = i = i e s = si ottiene: s = E R i s con la conenzione degli utilizzatori s i E E is R s i Serie di un generatore di tensione e un resistore Applicando inece la conenzione dei generatori: = E e = R i i s = i = i e s = si ottiene: s = E R i s s i E is E R s i 7 8

3 ote Parallelo di due bipoli on tutti le coppie di bipoli possono dare luogo ad una serie Esempi: due generatori di corrente con correnti impresse dierse un generatore di corrente ed un circuito aperto i s A i i b b B s I due bipoli hanno ciascuno un morsetto connesso al nodo A e un morsetto connesso al nodo B: i p = i i p = = ogliono dire che le correnti si sommano a parità di tensione rete ip p b i A B b i 9 0 Parallelo di due bipoli Parallelo di due resistori I due bipoli hanno ciascuno un morsetto connesso al nodo A e un morsetto connesso al nodo B: i p = i i i i =f ( ) p p p i =f ( ) i =f ( ) Dalle equazioni: i = G e i = G i p = i i e p = = si ottiene: G i p i G i ip p p = = ogliono dire che le correnti si sommano a parità di tensione i p = G G =(G G ) p ossia: i p = G p p con: G p = G G

4 Parallelo di un generatore di corrente e di un resistore Parallelo di un generatore di corrente e di un resistore Dalle equazioni: i = J e i = G i p = i i e p = = si ottiene: i p = J G p con la conenzione degli utilizzatori J p i J p i G i i p Applicando inece la conenzione dei generatori: i = J e i = G i p = i i e p = = si ottiene: i p = J G p J p i G i p i J ip 3 4 ote on tutti le coppie di bipoli possono dare luogo ad un parallelo Esempi: due generatori di tensione con tensioni impresse dierse un generatore di tensione ed un cortocircuito i Interconnessioni più complesse In caso di interconnessioni complesse di ari bipoli è necessario procedere in modo sistematico. La descrizione coneniente delle interconnessioni può aenire: i p A b i B b p in forma grafica > GRAFO In forma numerica > MATRICI DI COESSIOE 5 6

5 Grafo di una rete È un disegno composto da: Tracciamento del grafo - Regole generali: punti detti ODI segmenti rettilinei o curilinei detti LATI o ARCHI I lati hanno sempre gli estremi in due nodi (ogni lato si appoggia ad una coppia di nodi) Ad ogni ODO della rete si fa corrispondere un ODO del grafo Ad ogni BIPOLO della rete si fa corrispondere un LATO del grafo 7 8 Esempio: Tracciamento del grafo - Precisazioni ed eccezioni - Cortocircuito: Il lato non è rappresentato e i due nodi coincidono esempio:,, 7 b 9 a 9 b 9 a 9 b 3 b a a 3 b 3 b a a 3 b3 b8 b7 b6 b5 b3 a 3 a 8 a 7 a 6 a 5 a 3 b3 b8 b7 b6 b5 b3 a 3 a 8 a 7 a 6 a 5 a 3 7 b b 8 a a b b 8 a a

6 Precisazioni ed eccezioni - Circuito aperto: Il lato non è rappresentato e i due nodi sono disgiunti esempio:, Precisazioni ed eccezioni -3 Bipolo cortocircuitato (morsetti nello stesso nodo): Il lato è un cappio e non è rappresentato esempio: b > a b 9 a 9 b 9 a 9 b 3 b a a 3 b 3 b a a 3 b3 b8 b7 b6 b5 b3 a 3 a 8 a 7 a 6 a 5 a 3 b3 b8 b7 b6 b5 b3 a 3 a 8 a 7 a 6 a 5 a 3 7 b b 8 a a b b 8 a a 4 5 Precisazioni ed eccezioni -4 Bipolo aperto (un morsetto non connesso ad altri bipoli): Il lato è un aperto e non è rappresentato esempio: b 3 > a 3 b3 b 9 b b b8 b7 b6 b5 b3 a a 3 a 3 a 8 a 9 a 7 a 6 a 5 a 3 Grafo orientato - È un disegno composto da: soliti ODI soliti LATI o ARCHI, ma dotati di orientazione: è precisato il nodo di inizio ed il nodo di fine L orientazione coincide con il riferimento della corrente del bipolo corrispondente. 7 b b 8 a a

7 Grafo orientato - Grafo di n-poli Esempio Ad ogni porta si fa corrispondere un lato 3 b b a a A B A B b3 b7 b 6 b5 a 3 a 7 a 6 a 5 C C b 5 4 a 4 4 A B A B A' B' A' B' 5 6 Grafo di reti con n-poli Caratteristiche dei grafi - Grafo connesso: Esiste un percorso lungo i lati che unisce due nodi qualsiasi A C B A D B ' ' ' ' ' ' 7 8

8 Caratteristiche dei grafi - Grafo connesso: Esiste un percorso lungo i lati che unisce due nodi qualsiasi Caratteristiche dei grafi - Grafo ridotto: prio di cappi ed aperti ad ogni nodo si appoggiano almeno 3 lati (no serie) ad ogni coppia di nodi si appoggia al più lato (no paralleli) grafo connesso grafo non connesso 9 30 Caratteristiche dei grafi - Grafo ridotto: prio di cappi ed aperti ad ogni nodo si appoggiano almeno 3 lati (no serie) ad ogni coppia di nodi si appoggia al più lato (no paralleli) Caratteristiche dei grafi -3 Grafo completo: Grafo ridotto aente il massimo numero di lati per gli n nodi ( ) l max = = n n = nn C grafo ridotto grafo non ridotto 9 grafo completo grafo incompleto 3 3

9 Caratteristiche dei grafi -4 Grafo piano: Può essere disteso sul piano senza incrociare i lati Tutti i grafi con n 4 sono piani essun grafo completo con n 5 è piano Caratteristiche dei grafi -4 Grafo piano: Può essere disteso sul piano senza incrociare i lati Tutti i grafi con n 4 sono piani essun grafo completo con n 5 è piano grafo piano grafo non piano Enti dei grafi - Maglia: Sottografo connesso In ogni nodo incidono e solo lati Enti dei grafi - Anello (solo per reti piane): Maglia che orla una superficie pria di attraersamenti m = l n m = m = l n a s a a) b) c) 35 36

10 Enti dei grafi -3 Insieme di taglio (taglio): Sottografo di grafo connesso Rimuoendone tutti i lati il grafo resta non connesso Rimuoendone tutti i lati meno uno il grafo resta connesso Enti dei grafi -4 odo: Insieme di taglio formato dai lati che si appoggiano ad un nodo.b.: è indiiduato da una superficie chiusa intersecata soltanto dai suoi lati, la quale diide il restante grafo in due parti, una interna ed una esterna ad essa Enti dei grafi -5 Albero: Sottografo connesso comprendente tutti i nodi on forma maglie Comprende certi lati > RAMI sono r = n Enti dei grafi -5 Albero: Sottografo connesso comprendente tutti i nodi on forma maglie Comprende certi lati > RAMI sono r = n esempio: l=, n=6 > r=n=5 grafo a) b)

11 Enti dei grafi -6 Albero: Si possono tracciare molti alberi, tutti di r=n rami grafo c) d) Coalbero: Complemento dell albero Lati > CORDE sono c r => c = m a Enti dei grafi -7 = l = l n Coalbero: Complemento dell albero Lati > CORDE sono => c c = m a r Enti dei grafi -7 = l = l n esempio: l =, n=6 > c = ln=7 b) c) a) d) Legge di Kirchhoff delle correnti LKC In ogni rete di n-poli è uguale a zero la somma algebrica delle correnti dei lati di un insieme di taglio: taglio ± i(t) = 0 ± i(t) = 0 nodo 4.B.: in regime stazionario oppure in regime ariabile, in qualsiasi istante 43 44

12 LKC - regole di scrittura LKC - esempio Bisogna: i n porre il riferimento di corrente di ogni lato; S i orientare l insieme di taglio (la superficie chiusa che lo interseca col ersore n uscente o entrante); i i 3 S n sommare le correnti dei lati con riferimento concorde a n; sottrarre le correnti dei lati con riferimento discorde a n. i 3 i i i 3 = 0 Se i = 6 A, i = 5 A e i 3 = 9 A: (6) (5) (9) = 0 i Legge di Kirchhoff delle tensioni LKT In ogni rete di n-poli è uguale a zero la somma algebrica delle tensioni dei lati di una maglia: maglia ± (t) = 0 ± (t) = 0 anello LKT - regole di scrittura Bisogna: porre il riferimento di tensione di ogni lato; orientare la maglia (con un erso di percorrenza, orario o antiorario); sommare le tensioni dei lati percorsi dal al ; sottrarre le tensioni dei lati percorsi dal al ;.B.: in regime stazionario oppure in regime ariabile, in qualsiasi istante 47 48

13 LKT - esempio b LKT - formulazioni alternatie La tensione di lato è la d.d.p. tra nodi cui si appoggia: a c (t) = V (t) V (t) rs r s d a b c d = 0 Se a = 00 V, b = 40 V, c = 00 V e d = 60 V : r h h s (00) (40) (00) (60) = LKT - formulazioni alternatie LKT - esempio La somma di tensioni tra coppie di nodi in sequenza chiusa è uguale a zero: ± (t) = 0.B.: alla coppia di nodi può non appoggarsi un lato; sequenza chiusa = primo e ultimo nodo coincidono b a c d 3 3 = 0 5 5

14 Problema della topologia Scriere in modo intelligente le equazioni KLC e KLT, ossia scegliere bene le maglie e gli insiemi di taglio = QUATI E QUALI Sistemi di maglie indipendenti Sono quelli su cui si scriono sistemi di equazioni LKT indipendenti Il numero massimo m di equazioni LKT indipendenti è: Cioè: m = l n m = c = m a Ma come troarle? Sistema di anelli (per reti piane) m equazioni LKT scritte su m anelli sono indipendenti Si possono usare gli m a =m anelli interni oppure l anello esterno m a anelli interni Sistema di maglie fondamentali - Si basa su un albero e il suo coalbero Si considera una delle c corde del coalbero alla olta Si costruisce una maglia formata da tale corda e da alcuni rami dell albero Si ottengono così c=m maglie fondamentali, che sono indipendenti 55 56

15 Sistema di maglie fondamentali - Esempio Sistema di maglie fondamentali -3 Esempio: l =, n=6 > r=n=5, c= l n= Sistema di maglie fondamentali -4 Esempio: 4 maglie Sistema di maglie fondamentali -5 3 maglie = 7 maglie fondamentali 59 60

16 Vincoli e gradi di libertà della LKT Con la LKT si arriano a scriere m equazioni = incoli Le tensioni in tutto sono l, una per lato Quindi la LKT lascia L m = n gradi di libertà alle tensioni Potenziali ai nodi Via alternatia di giocarsi incoli e gradi di libertà della LKT: Scriere le equazioni LKT (incoli) per ogni lato nella forma: hk (t) = V (t) V (t) h Così si attribuiscono i gradi di libertà ai potenziali di n nodi, l ultimo nodo (nodo di massa) aendo potenziale prefissato (in genere =0). k 6 6 Esempi - Esempi - Anelli a: 5 =0 b: =0 c: 3 4 =0 Maglie fondamentali : 5 =0 4: =0 3: 3 6 =0 a 3 3 c a 4 4 a b a 3 a 6 5 a 5 a 6 4 Potenziali ai nodi posto: V 4 =0 =V 5 =V 3 6 =V = V V 3 3 = V V 4 = V V 3 a 3 3 c a 4 4 a b a 3 a 6 5 a 5 a

17 Sistemi di tagli indipendenti Sono quelli su cui si scriono sistemi di equazioni LKC indipendenti Il numero massimo t di equazioni LKC indipendenti è: t = n Sistema di nodi n equazioni LKC scritte su n nodi sono indipendenti Si può scegliere liberamente il nodo n-esimo da escludere (ad esempio il nodo di massa) Ma come troarle? Sistema di tagli fondamentali - Sistema di tagli fondamentali - Si basa su un albero e il suo coalbero Si considera uno degli r rami dell albero alla olta Si costruisce un insieme di taglio formato da tale ramo e da alcune corde del coalbero Si ottengono così r=n insiemi di taglio fondamentali, che sono indipendenti Esempio 67 68

18 Sistema di tagli fondamentali -3 Esempio: l =, n=6 > r=n=5, c= l n=7 Sistema di tagli fondamentali -4 Esempio: 5 tagli fondamentali Vincoli e gradi di libertà della LKC In ogni caso con la LKC si arria a scriere n equazioni = incoli Le correnti in tutto sono l, una per lato Quindi la LKC lascia l(n) = m gradi di libertà alle correnti Correnti cicliche (di maglia) Via alternatia di giocarsi incoli e gradi di libertà della LKC: Si attribuisce a ciascuna delle m maglie fondamentali una corrente ciclica i M, che la percorre richiudendosi su se stessa Gli m gradi di libertà sono attribuiti a tali m correnti cicliche i M, i Mm Le correnti di tutti i lati sono fissate (incolate) dalle relazioni: ih (t) = ± latoh i M h (t) 7 7

19 Correnti cicliche (di anello) Se la rete è piana, è meglio usare gli anelli Si attribuisce a ciascuno degli m anelli una corrente ciclica i A, che lo percorre richiudendosi su se stessa Si impone riferimento concorde a tutte tali correnti Gli m gradi di libertà sono attribuiti a tali m correnti d anello i A, i Am Le correnti di tutti i lati sono fissate (incolate) dalle relazioni: i (t) = i (t) i (t) oppure i (t) = ± i (t) h A A h A r s r odi : i i 3 i 4 =0 : i i i 5 =0 : i i 6 i 8 =0 : i 4 i 7 i 8 =0 Tagli fondamentali S : i i 3 i 4 =0 S : i i 3 i 4 i 5 =0 S 3 : i 6 i 3 i 5 i 7 =0 S 4 : i 8 i 4 i 7 =0 Esempi - i i 8 i S S i M 3 i 3 i M i M i 5 i 6 i7 S 3 i4 S 4 i M Esempi - Esempi -3 Correnti di maglia i =i M3 i M4 i =i M3 i M4 i M i 3 =i M3 i 4 =i M4 i 5 =i M i 6 =i M3 i M i M i 7 =i M i 8 =i M4 i M i i 8 i S S i M 3 i 3 i M i M i 5 i 6 i7 S 3 i4 S 4 i M 4 Correnti di anello i =i A i =i A i 3 =i A4 i A i 4 =i A4 i 5 =i A i A i 6 =i A3 i A i 7 = i A3 i A4 i 8 =i A3 i i A i i 8 i A i A 3 i 5 i 6 i7 i A 4 i 3 i

20 Conclusione Usando bene le LKT e LKC si arriano a scriere: m equazioni per le tensioni n- equazioni per le correnti = l equazioni topologiche Teorema di Tellegen In un grafo di l lati interconnessi in n nodi e tutti con la stessa conenzione per le potenze sia { h } h=, l un insieme di alori di tensione compatibili con la LKT e {i h } h=, l un insieme di alori di corrente compatibili con la LKC. Vale la relazione: l h ih = 0 h= h i h = rs i rs, LKT: rs =V r V s ( ) i = V V i h h r s rs Dimostrazione l n n hih= ( V V i r s) rs h= r= s= l n n n n hih= V i V i h= r= s= s= r= n n LKC: i = 0 e i r s = 0 r s s= r= h r r r s s r s i h h s 79 Commenti È un teorema puramente topologico Prescinde dalla tipologia dei bipoli o n-poli che costituiscono i lati Quindi prescinde dai fenomeni fisici che possono aenire nella rete Se i e coesistono (=sono compatibili con i incoli tipoligici) => diiene la conserazione delle potenze. 80