Nuovi esempi di fibrazioni parziali massimali di P G(3, q), ottenuti rappresentando P G(3, q) su una quadrica non singolare Q 4,q di

Transcript

1 Nuovi esempi di fibrazioni parziali massimali di P G(3, q), ottenuti rappresentando P G(3, q) su una quadrica non singolare Q 4,q di P G(4, q) Sandro Rajola e Maria Tallini Scafati Abstract We transfer the whole geometry of P G (3, q) over a non-singular quadric Q 4,q of P G (4, q) mapping suitably P G (3, q) over Q 4,q. More precisely the points of P G (3, q) are the lines of Q 4,q ; the lines of P G (3, q) are the tangent cones of Q 4,q and the reguli of the hyperbolic quadrics hyperplane section of Q 4,q. A plane of P G (3, q) is the set of lines of Q 4,q meeting a fixed line of Q 4,q. We remark that this reppresentation is valid also for a projective space P 3, K over any field K. We apply the representation menzioned above to construct maximal partial spreads F in P G(3, q). For q even we get new cardinalities for F. For q odd the cardinalities are partially known.

2 1 Introduzione Nel presente lavoro costruiamo esempi di fibrazioni massimali F di P G(3, q) con F = q q +, q dispari, e q > 3; F = q q + 1, con q 4; F = q nq + n + 1, q pari, q 8, n N, n < min { q 1 4, 1 + { q 1 F = q nq + n + 1, q dispari, q 7, n < min 4, 1 + q 1 8q 7 Le cardinalità F = q q+ e F = q q+1 figurano già nella letteratura, ma con costruzioni differenti dalla nostra. In particolare il caso F = q q + è stato provato da A. Bruen [3], con una costruzione piú complicata di quella da noi esposta. La cardinalità F = q nq + n + 1, con q pari, q 8, n < min{(q 1)/4, (1 + q 1)/)} è completamente nuova. La stessa cardinalità per q dispari, q 7, n < min{(q 1)/4, (1 + 8q 7/4)} è parzialmente nota [5]. L idea che sta alla base delle costruzioni ora citate è quella della rappresentazione di P G(3, q) sulla quadrica non singolare Q 4,q di P G(4, q). Tale rappresentazione, che è valida anche per uno spazio proiettivo P 3,K sopra un campo K qualsiasi, anche infinito, trasferisce tutta la geometria di P G(3, q) su Q 4,q. Piú precisamente, i punti di P G(3, q) si rappresentano mediante le rette di Q 4,q, le rette di P G(3, q) diventano i coni tangenti a Q 4,q e i regoli di tutte le quadriche iperboliche sezioni iperpiane di Q 4,q. Infine, un piano di P G(3, q) è costituito dalle rette di Q 4,q incidenti una sua fissata retta. 4 }. } ; Generalità sulla quadrica non singolare Q 4,q di P G(4, q) Sia Q 4,q una quadrica non singolare di P G(4, q). La Q 4,q non contiene piani e dunque neppure triangoli, intendendo per triangolo l unione di tre rette a due a due incidenti e non passanti tutte per uno stesso punto. Infatti, se Q 4,q contenesse un piano π, per ognuno dei suoi q + q + 1 punti passerebbe un iperpiano S 3 tangente a Q 4,q, punti distinti dando luogo ad iperpiani distinti. Allora in P G(4, q) si avrebbero q + q + 1 S 3 per π, mentre essi sono in numero di q + 1. Se P è un punto di Q 4,q, denoteremo con Γ P il cono tangente in P a Q 4,q, dato da Γ P = S 3 Q 4,q, con S 3 iperpiano tangente a Q 4,q in P. Si ha Γ P = θ = q + q + 1, Q 4,q = θ 3 = q 3 + q + q

3 Un iperpiano S 3 di P G(4, q) incontra Q 4,q o in una quadrica ellittica E, o in un cono Γ P, tangente in P a Q 4,q, ovvero in un aquadrica iperbolica I. I regoli delle quadriche iperboliche sezioni iperpiane di Q 4,q verranno chiamati regoli di Q 4,q. Si ha: E = q + 1, Γ P = q + q + 1, I = q + q + 1. Osserviamo che, se T è una sezione iperpiana di Q 4,q, T = S 3 Q 4,q, ogni retta di Q 4,q incide T. Osserviamo inoltre che ogni retta di Q 4,q o incide T in un punto, oppure è contenuta in T. Infatti, se r è una retta di Q 4,q avente due punti distinti in comune con T, la retta r è anche contenuta in S 3, in quanto essa congiunge due punti distinti di S 3. Ne segue che r Q 4,q S 3 = T. L osservazione è cosí provata. Lemma 1. Siano I e Γ P, rispettivamente, una quadrica iperbolica sezione iperpiana di Q 4,q tangente a Q 4,q di vertice P / I. Allora l insieme I Γ P è una conica non degenere. e un cono Proof. Si ha: I = S 3 Q 4,q, Γ P = S 3 Q 4,q, con S 3, S 3 iperpiani distinti di P G(4, q). Si ha inoltre I Γ P = (S 3 Q 4,q ) (S 3 Q 4,q ) = = (S 3 S 3) Q 4,q. Poiché S 3 S 3, l insieme S 3 S 3 è un piano π. Ne segue che I Γ P = π Q 4,q =, con conica di π. Tale conica è irriducibile, altrimenti, se essa fosse spezzata in rette, il cono Γ P sarebbe spezzato in piani, mentre la quadrica Q 4,q non contiene piani. Lemma. Siano I 1 e I due quadriche iperboliche sezioni iperpiane distinte di Q 4,q. Allora o I 1 I è una conica degenere costituita da due rette distinte, oppure I 1 I è una conica non degenere. Proof. Si ha I 1 = S 3 Q 4,q, I = S 3 Q 4,q con S 3, S 3 iperpiani distinti di P G(4, q). Si ha inoltre I 1 I = (S 3 Q 4,q ) (S 3 Q 4,q ) = = (S 3 S 3) Q 4,q. Poiché S 3 S 3, l insieme S 3 S 3 è un piano π. Ne segue che I 1 I = π Q 4,q =,

4 con conica di π. Si possono presentare due casi: a) I 1 e I hanno in comune una retta r, b) I 1 e I non hanno alcuna retta in comune. Nel caso a) si ha evidentemente r. Sia R il regolo di I 1 che contiene r e sia r una retta di R diversa da r. La r incide I in un punto X (in quanto r I, altrimenti sarebbe I 1 = I, il che non è), e risulta X / r (perché r r = ). Evidentemente X. Dunque la conica di π contiene una retta e un punto fuori di essa. Ne segue che è costituita da due rette distinte di π. Nel caso b) sia R un regolo di I 1. iascuna retta di R incide I in un punto (in quanto nessuna retta di R è contenuta in I ) e rette distinte di R incidono I in punti distinti. I punti comuni ad I ed alle rette di R sono tutti e soli i punti di I 1 I, come è immediato verificare. Ne segue che = q + 1 e dunque che è o una retta, oppure una conica non degenere. Ma non può essere una retta perché, per ipotesi, I 1 e I non hanno rette in comune. Dunque è una conica non degenere. Il lemma è cosí provato. Lemma 3. Sia E una quadrica ellittica sezione iperpiana di Q 4,q e sia Γ P vertice P / E. Allora Γ P E è una conica non degenere. il cono tangente a Q 4,q con Proof. Si ha E = S 3 Q 4,q, Γ P = S 3 Q 4,q, con S 3, S 3 iperpiani distinti di P G(4, q). Si ha: E Γ P = (S 3 Q 4,q ) (S 3 Q 4,q ) = = (S 3 S 3) Q 4,q. Da S 3 S 3 segue che S 3 S 3 è un piano π. Ne segue che E Γ P = π Q 4,q =, con conica di π. iascuna retta di Γ P incide E in un punto (perché E non contiene rette) e rette distinte di Γ P incidono E in punti distinti. Ne segue che = q + 1 e dunque che o è una retta, oppure è una conica non degenere. Ma non può essere una retta, in quanto E non contiene rette. Dunque è una conica non degenere ed il lemma è cosí dimostrato. Lemma 4. Siano E ed I rispettivamente una quadrica ellittica ed una quadrica iperbolica sezioni iperpiane di Q 4,q. Allora E I è una conica non degenere. Proof. Si ha E = S 3 Q 4,q, I = S 3 Q 4,q, 3

5 con S 3, S 3 iperpiani distinti di P G(4, q). Risulta allora E I = (S 3 Q 4,q ) (S 3 Q 4,q ) = = (S 3 S 3) Q 4,q. Poiché S 3 S 3, si ha che S 3 S 3 è un piano π. Ne segue che E I = π Q 4,q =, con conica di π. Sia R un regolo di I. iascuna retta di R incide E esattamente in un punto, e rette distinte di R incidono E in punti distinti. Ne segue che = q + 1. Allora è necessariamente una conica non degenere, in quanto E non contiene rette. Il lemma è cosí provato. Lemma 5. Siano Γ P e Γ Q due coni tangenti a Q 4,q con Q / Γ P. Allora Γ P Γ Q è una conica non degenere. Proof. Si ha Γ P = Q 4,q S 3, Γ Q = Q 4,q S 3, con S 3, S 3 iperpiani distinti di P G(4, q). Risulta: Γ P Γ Q = (Q 4,q S 3 ) (Q 4,q S 3) = = Q 4,q (S 3 S 3). Dal fatto che S 3 S 3, si ha che S 3 S 3 è un piano π. Ne segue che Γ P Γ Q = Q 4,q π =, con conica di π. iascuna retta di Γ Q incide Γ P in un punto diverso da P, perché Q / Γ P, e rette distinte di Γ Q incidono Γ P in punti distinti. Ne segue che = q + 1. Ma non può essere una retta l, altrimenti Γ P e Γ Q avrebbero in comune l e sarebbe Q Γ P, il che non è. Dunque è una conica non degenere. Il lemma è cosí provato. Sussiste il seguente teorema di Tallini [8]. Teorema 1. Sia α un piano di P G(4, q) che incontra Q 4,q in una conica non degenere. Sia q dispari. Se la retta r, polare di α rispetto a Q 4,q, è esterna a Q 4,q, dei q + 1 iperpiani per α, (q + 1)/ intersecano Q 4,q in quadriche ellittiche e (q + 1)/ in quadriche iperboliche. Se r è secante Q 4,q, per α passano due iperpiani tangenti, (q 1)/ iperpiani secanti Q 4,q in quadriche ellittiche e (q 1)/ in quadriche iperboliche. Sia q pari. Se α non passa per il nucleo N di Q 4,q (ossia il punto di P G(4, q) tale che ogni retta per esso è tangente a Q 4,q ), l iperpiano congiungente α con N è tangente a Q 4,q ; dei rimanenti q iperpiani, q/ intersecano Q 4,q in quadriche ellittiche e q/ in quadriche iperboliche. Se α passa per N ogni iperpiano per α è tangente a Q 4,q e quindi incontra Q 4,q in un cono. 4

6 Sia data una conica non singolare, sezione di Q 4,q con un piano α, = α Q 4,q. onsideriamo il fascio F di iperpiani di P G(4, q) per α. Essi incontrano Q 4,q o in un cono tangente a Q 4,q, o in una quadrica iperbolica, o in una quadrica ellittica. Sia F () l insieme dei coni tangenti a Q 4,q (sezioni di Q 4,q con gli iperpiani di F tangenti a Q 4,q ) e dei regoli di Q 4,q uscenti da. Evidentemente ogni cono tangente di F () ha il vertice non su α ed ogni regolo di F () è costituito da rette non di α. Dal Teorema 1 segue immediatamente che in ognuno dei casi possibili è F () = q Rappresentazione della geometria di P G(3, q) su Q 4,q Sia Q 5,q la quadrica di Klein di P G(5, q), rappresentativa delle rette di P G(3, q). Sia Q 4,q una quadrica non singolare sezione iperpiana di Q 5,q, Q 4,q = Q 5,q S 4, con un fissato S 4, iperpiano di P G(5, q). Denotiamo con L l insieme delle rette di Q 4,q. Si dice complesso lineare di rette di P G(3, q) un insieme di rette di P G(3, q) le cui coordinate plückeriane soddisfano una equazione lineare, ossia una sezione iperpiana della quadrica di Klein. Se P ij con i, j = 0, 1,, 3, i < j, denotano le coordinate plückeriane di retta in P G(5, q), un complesso lineare di rette è rappresentato da una equazione lineare della forma a ij P ij = 0. i< j Rimane cosí determinata la matrice emisimmetrica a ij, in cui a ij = a ji, a ii = 0. Se det a ij = 0, diremo che è non singolare. I punti di Q 4,q rappresentano quindi un complesso lineare di rette che dicesi non singolare di P G(3, q). Sia ψ la biiezione che associa a ciascuna retta r di il punto di Q 4,q rappresentativo di r. Il complesso lineare determina la polarità nulla f di P G(3, q) che associa a ciascun punto X = (X 0, X 1, X, X 3 ) di P G(3, q) il suo piano polare f(x) avente equazione 3 3 a ij X j x i = 0, i=0 j=0 che contiene ovviamente X. Sia ora x un punto di P G(3, q) e sia F x il fascio di rette di di centro x, giacente sul piano polare di x nella polarità nulla individuata da. L insieme ψ(f x ) è una retta s di Q 4,q. 5

7 Sia allora ϕ la seguente biiezione ϕ : x P G(3, q) s L. Mediante ϕ, i punti di P G(3, q) si mutano nelle rette di Q 4,q. Vogliamo ora rappresentare le rette di P G(3, q) su Q 4,q. Per fare ciò distinguiamo le rette di P G(3, q) in rette di e rette non di. Sia dunque r una retta di e siano x 1, x,..., x q+1 i punti di r. Le rette ϕ(x 1 ),ϕ(x ),..., ϕ(x q+1 ) di Q 4,q sono tutte distinte e passano tutte per il punto ψ(r). Dunque ϕ(r) è il cono tangente a Q 4,q nel suo vertice ψ(r). Ne segue che, mediante ϕ, le rette di vengono rappresentate dai coni tangenti a Q 4,q. Ne segue che = Q 4,q = θ 3. Sia ora r una retta di P G(3, q). La retta r, polare di r mediante f, è definita come l asse del fascio dei piani polari dei punti di r. Ne segue che la polare di una retta r coincide con r. Sia ora r / ed r la sua polare. Osserviamo che r r =. Infatti, se r ed r avessero in comune un punto x, il piano polare di x conterrebbe r (in quanto x r ed r è la retta polare di r). Allora r sarebbe una retta di, in quanto contenuta nel piano polare di un suo punto: un assurdo, perché r /. L assurdo prova che r r =. Ovviamente, risulta r /. Siano x 1, x,..., x q+1 i punti di r e siano x 1, x,..., x q+1 i punti di r. Le rette ϕ(x 1 ), ϕ(x ),..., ϕ(x q+1 ) sono a due a due sghembe perché i fasci F x1, F x,..., F xq+1 sono a due a due privi di rette comuni. iascuna retta ϕ(x j ), j = 1,... q + 1, incide ciascuna delle rette ϕ(x 1 ), ϕ(x ),..., ϕ(x q+1 ), in quanto ciascun fascio F x j contiene una retta di ciascun fascio F xj. Allora l iperpiano S 3 di S 4 contenente ϕ(x 1 ) e ϕ(x ), contiene tutte le rette ϕ(x j ) e tutte le rette ϕ(x j ), j = 1,... q + 1. Ne segue che S 3 interseca Q 4,q in una quadrica iperbolica e che ϕ(x 1 ), ϕ(x ),..., ϕ(x q+1 ) sono le rette di un regolo di Q 4,q. Dunque, mediante ϕ, le rette non di sono rappresentate dai regoli di Q 4,q. Abbiamo cosí rappresentato tutte le rette di P G(3, q). È noto che esse sono in numero di θ 3 θ θ 1 = (q + 1)θ. Si ha = θ 3, in quanto è biiettivo con i coni tangenti di Q 4,q, cioè con i punti di Q 4,q. Ne segue che le rette non di sono in numero di (q + 1)θ θ 3 = (q + 1)(q + q + 1) (q + 1)(q + 1) = = (q + 1)q = q 4 + q. Tale numero uguaglia il numero dei regoli delle quadriche iperboliche sezioni iperpiane di Q 4,q ed è il doppio del numero di tali sezioni. Vogliamo ora rappresentare i piani di P G(3, q) su Q 4,q. 6

8 Sia dunque π un piano di P G(3, q) e sia x il polo di π nella polarità f. Il piano π è l unione delle rette di F x. Ne segue che ϕ(π) è costituito dalla retta ϕ(x) e dalle rette di Q 4,q che incidono la retta ϕ(x). Dunque, mediante ϕ, un piano punteggiato di P G(3, q) è rappresentato dalle rette di Q 4,q incidenti una fissata retta s di Q 4,q, e da s stessa. Per quanto precede, rimane provato il Teorema. Sussiste la seguente rappresentazione di P G(3, q) sopra Q 4,q, quadrica non singolare di P G(4, q): i) i punti di P G(3, q) sono rappresentati dalle rette di Q 4,q, ii) le rette di P G(3, q) sono i coni tangenti ed i regoli di Q 4,q. Precisamente, i coni tangenti rappresentano le rette di un complesso lineare non singolare di P G(3, q). Le rimanenti rette di P G(3, q) sono rappresentate dai regoli di Q 4,q. Se r è una retta di P G(3, q) non di, rappresentata dal regolo R di Q 4,q, la retta polare di r, nella polarità nulla determinata da, è rappresentata dal regolo opposto ad R. iii) Un piano π di P G(3, q) è rappresentato dalle rette di Q 4,q incidenti la retta di Q 4,q, rappresentativa del polo di π nella polarità nulla definita da. Il Teorema consente di studiare la struttura geometrica di P G(3, q) mediante quella di Q 4,q. D ora in poi studieremo la geometria di P G(3, q) attraverso la geometria di Q 4,q. 4 Generalità e risultati sulle fibrazioni di P G(3, q) Una fibrazione mediante rette di P G(3, q) è una famiglia F di rette di P G(3, q) a due a due sghembe. La F si dice totale se l unione delle rette di F coincide con l insieme dei punti di P G(3, q). È immediato verificare che F è totale F = q + 1. La fibrazione F si dice massimale, se essa non è contenuta propriamente in nessun altra fibrazione di P G(3, q) o, equivalentemente, se ogni retta di P G(3, q) incide qualche retta di F. fibrazione totale è massimale. Evidentemente, ogni Le fibrazioni massimali non totali sono state studiate a lungo, ma una completa conoscenza dell argomento è ancora lontana. I risultati finora noti al riguardo sono contenuti in [6] e [7]. Teorema 3. Una fibrazione massimale non totale di P G(3, q) che contiene esattamente r rette esiste in tutti i seguenti casi (cfr [3], [6], [7]): q 7, q dispari 5q + 4q 1 8 q 7, q dispari q 1, 7, 9, 13, 15, 1 mod 4, q + 7 r q q + ; (1) r q q + ; () 7

9 q 4 r = q q + ; (3) q > r = q q + 1; (4) g.c.d (q + 1, 3) = 1 r = q + q + ; (5) g.c.d (q + 1, 1) = r = q + 3 ; (6) g.c.d (q + 1, 4) = 4 r = q + 5 ; (7) q = 4 r = 11, 1, 13, 14; (8) q = 5 15 r 1; (9) q = 7 3 r 45; (10) q = r 67; (11) O. Heden [] ha trovato un esempio con F = 45 > q q + = 44, unico esempio sinora noto al riguardo. Il risultato (3), nel caso q dispari, è stato provato da Bruen nel 1971 (cfr [3], Theorem ), mediante la costruzione di un esempio. Successivamente, nel 1976, Bruen e Thas [3] hanno costruito un esempio di fibrazione massimale non totale F di P G(3, q) con F = q q +, per q = m+1, m 1. Freeman [3], nel 1980, ha costruito una tale fibrazione per q = m, m 1. Dai risultati di Bruen, Thas e Freeman, segue che, per q 4, esiste una fibrazione massimale non totale con q q + rette. 5 Nuovi esempi di fibrazioni massimali non totali di P G(3, q) In questo numero ci proponiamo, utilizzando la rappresentazione che di P G(3, q) viene data nel Teorema, di costruire fibrazioni massimali non totali F di P G(3, q) con F = q q + e con F = q q + 1 (di cui già si conoscono esempi [3]) e di determinare fibrazioni massimali non totali di P G(3, q) di cardinalità nuove rispetto a quelle citate nel Teorema 3. 8

10 I q 1 π q 1 q s B D r A 1 π 1 s A rb / π π A H B t Figura 1: Esempio 1. (Vedi Figura1) Sia I una quadrica iperbolica sezione iperpiana di Q 4,q P G(4, q), q dispari e q > 3, I = S 3 Q 4,q, S 3 iperpiano di P G(4, q). Sia π un piano di S 3 che interseca I in una conica non degenere. Siano A e B due punti distinti di. Siano R 1 ed R i regoli di I. Siano r A ed r B le rette di R 1 passanti rispettivamente per A e B. Siano s A ed s B le rette di R passanti rispettivamente per A e B. Le rette r A ed s B si incontrano in un punto. In modo analogo le rette s A ed r B si incontrano in un punto D. Ovviamente, i punti A, B,, D sono tutti distinti ed i punti e D non sono su π. La retta D non è ovviamente una retta di I. La retta D ed il piano π si trovano entrambi in S 3 e dunque si incontrano in un punto H. Il punto H non appartiene a, altrimenti la retta D, avendo in comune con I i tre punti distinti, D ed H, sarebbe una retta di I, mentre D non è di I. La coppia (, D) sarà detta coppia associata ad (A, B) ed il punto H sarà detto punto di π associato ad (A, B). 9

11 Poiché q è dispari, esiste una retta t di π passante per H ed esterna a, come è facile verificare (infatti, se Q è pari, si vede facilmente che H è il nucleo di, cioè che ogni retta di π per H è tangente a ). I piani di S 3 che contengono t sono il piano π, il piano π per la retta D ed i rimanenti q 1 piani π 1, π,..., π q 1 tutti intersecanti I in coniche non degeneri. Poniamo i = π i I, i = 1,..., q 1. onsideriamo la seguente famiglia F di coni tangenti e regoli di Q 4,q : F = {Γ, Γ D, Γ X con X {A, B}} [ q 1 Proviamo ora che F è una fibrazione di P G(3, q). i=1 (F ( i ) {R 1, R }) Poiché F consta di coni e regoli di Q 4,q, si tratta di provare che due elementi distinti di F non hanno rette di Q 4,q (che sono poi punti di P G(3, q)) in comune. A tale scopo osserviamo che, se Γ V e Γ V sono due coni tangenti di Q 4,q, con V V, V I, V I, aventi una retta in comune, allora V V I. Infatti, se Γ V e Γ V hanno una retta in comune, essa coincide necessariamente con V V. Poiché V V S 3 e V V Q 4,q, si ha ]. V V S 3 Q 4,q = I. Dall osservazione appena provata, segue facilmente che i coni dell insieme {Γ, Γ D, Γ X con X {A, B}}, (1) sono a due a due privi di rette comuni. Inoltre è evidente che per ogni i = 1,..., q 1, due elementi distinti di F ( i ) {R 1, R } non hanno alcuna retta comune. Inoltre, se G è un elemento di F ( i ) {R 1, R } e G è un elemento di F ( j ) {R 1, R }, con i j, i, j = 1,..., q 1, non si può avere alcuna retta comune a G e G. Ne segue che gli elementi di q 1 i=1 (F ( i ) {R 1, R }) (13) sono a due a due privi di rette comuni. Infine, evidentemente, un cono dell insieme (1) non può avere alcuna retta in comune con un elemento G dell insieme (13). Da quanto finora esposto e dal Teorema segue che F è una fibrazione mediante rette di P G(3, q). Proviamo ora che F è massimale. Anzitutto ogni cono tangente Γ Y di Q 4,q ha una retta in comune con qualche elemento di F. iò è evidente se Y E = r A r B s A s B. Se Y I E, sia v una delle due rette di I per Y. Se v R 1, la v incide in un punto M distinto da A e B e quindi Γ Y e Γ M, che è un elemento di F, hanno in comune la retta v. Analogamente, se v R. Dunque, un cono Γ Y con Y I ha una retta in comune con un elemento di F. Sia allora Y / I. In questo 10

12 caso Γ Y, inteso come insieme di punti, interseca I in una conica non singolare, in forza del Lemma 1. Sia π il piano di S 3 contenente. Se π contiene t, si ha: U = {, = π I, i, i = 1,..., q 1}. Se =, il cono Γ Y ha in comune una retta con ciascuno dei coni Γ X, X {A, B}, di F. Se =, il cono Γ Y ha in comune una retta con ciascuno dei coni Γ, Γ D di F. Se = i, 1 i q 1, il cono Γ Y è un elemento di F. Se il piano π non contiene t, si ha / U e ha un punto Z in comune con una conica i, 1 i q 1, in quanto può avere al piú due punti distinti in comune con ciascuna delle coniche,, in quanto è q > 3, ed in quanto U è una partizione di I. Allora vi è un elemento di F ( i ) {R 1, R }, che è un elemento di F, contenente la retta di Γ Y elementi di F, esauriscono tutte le rette per Z non di I. per Z. Infatti gli elementi di F ( i ) {R 1, R }, che sono Da quanto finora esposto segue che ogni cono tangente di Q 4,q ha in comune una retta con qualche elemento di F. Sia ora R un regolo di Q 4,q e sia I R quadrica iperbolica sezione iperpiana di Q 4,q che ammette R come regolo. In forza del Lemma si ha I R I =, dove è una conica degenere costituita da due rette distinte, oppure non degenere. Se è degenere, una delle due rette di è una retta di R. Sia z tale retta. È immediato verificare che z è una retta di uno dei coni Γ, Γ D, Γ X con X {A, B}, della famiglia F. Ne segue che R ha in comune una retta con un elemento di F. Se è non degenere, ragionando analogamente al caso del cono Γ Y, con Y / I, si prova che R ha una retta in comune con qualche elemento di F. Ne segue che ogni regolo di Q 4,q ha una retta in comune con qualche elemento di F. Dunque F è una fibrazione massimale di P G(3, q). alcoliamo F. Si ha: F = {Γ, Γ D, Γ X, X {A, B}} [ ] q 1 (F ( i ) {R 1, R }). L insieme {Γ, Γ D, Γ X, X {A, B}} ha cardinalità q + 1, mentre l insieme q 1 cardinalità (q 1)(q 1). Ne segue: F = (q 1)(q 1) + q + 1 = = q q q + 1 = q q +. i=1 i=1 (F ( i ) {R 1, R }) ha Osserviamo che una fibrazione con la stessa cardinalità q q + è stata ottenuta da A. Bruen nel 1971 [3] direttamente in P G(3, q), però in maniera meno semplice. 11

13 Esempio. (Vedi Figura ) on le notazioni del numero precedente, supponiamo ora q qualsiasi, q 7. q 1 π q D π 1 s B r A π D π s A r B π A B t / H Figura : Sia t una retta di π non passante per H ed esterna a. Osserviamo che tale retta t esiste. Supponiamo infatti per assurdo che tutte le rette di π esterne a (tali rette esistono, perché ogni arco di π ammette rette esterne) passino per H. Allora il numero totale di rette di π esterne a, che è q + q + 1 q 1 q + q = q q, deve essere minore o uguale a q 1, in quanto per H vi sono almeno due rette non esterne a. Si ha allora q q q 1 q q q + 0 q 3q + 0 q q =. Un assurdo perché q 7. L assurdo prova l asserzione. I piani di S 3 che contengono t sono dati da π, dal piano π che contiene, dal piano π D che contiene D (i piani π e π D in questo caso sono distinti) e dai 1

14 q rimanenti piani π 1, π,..., π q, tutti intersecanti I in una conica non degenere. Poniamo i = π i I i = 1,..., q. onsideriamo la seguente famiglia F di coni tangenti e di regoli di Q 4,q con F = {Γ, Γ D, Γ X, con X {A, B}} [ q i=1 (F ( i ) {R 1, R }) Ragionando su F come gia fatto su F, si prova che F è una fibrazione massimale non totale di P G(3, q) ]. F = q (q 1)(q ) = q q 3q + = q q + 3. Osserviamo che questa cardinalità, nel caso q pari, q 8, è nuova rispetto a quelle note. Esempio 3. (Vedi Figura 3) Sia ora E una quadrica ellittica sezione iperpiana di Q 4,q P G(4, q), q 4, E = S 3 Q 4,q, S 3 iperpiano di P G(4, q). Sia X un punto di Q 4,q E e sia Γ X il cono tangente a Q 4,q di vertice X. L insieme Γ X E è una conica non degenere, in forza del Lemma 3. Sia l una retta di Γ X e sia L = l E. Sia Y un punto di l {L, X} e sia Γ Y il cono tangente a Q 4,q di vertice Y. Il cono Γ Y, sempre in forza del Lemma 3, interseca E in una conica non degenere. Ovviamente si ha L, Γ X Γ Y = l (osserviamo che i coni tangenti Γ X e Γ Y hanno in comune soltanto i punti di l, in quanto Q 4,q non contiene triangoli). Ne segue che =, e dunque che i piani che contengono e sono distinti, ed inoltre che = {L}. onsideriamo la seguente famiglia F di coni tangenti e di regoli di Q 4,q : F = [F () Γ X ] {Γ Y } {Γ Z, Z E ( )}. Evidentemente, gli elementi di F () Γ X sono a due a due privi di rette comuni. Osserviamo che un elemento T F () Γ X non ha alcuna retta in comune con Γ Y. Sia infatti per assurdo s una retta comune a T e a Γ Y. La s incide in un punto M (in quanto s è una retta di T ) e in un punto M (in quanto s è una retta di Γ Y ). I punti M ed M non possono essere distinti, altrimenti la retta s di Q 4,q congiungerebbe due punti distinti di E e questo è un assurdo, perché ogni retta di Q 4,q è tangente ad E (E non contiene rette). L assurdo prova che M = M. Essendo M, M, M = M segue M = M = L. Ma allora deve essere s = l in quanto l è l unica retta di Γ Y che passa per L. Allora, posto Γ X = S 3 Q 4,q e T = S 3 Q 4,q, con S 3, S 3 iperpiani di P G(4, q), si ha S 3 = S 3, in quanto sia S 3 che S 3 contengono il piano π di e la retta l non di π. Ne segue che Γ X = T : un assurdo perché 13

15 X l Γ X Y Γ Y L E Figura 3: T F () Γ X. L assurdo prova l osservazione. Dunque, il sottoinsieme A = [F () Γ X ] {Γ Y } di F è costituito da elementi a due a due privi di rette comuni. I coni di B = {Γ Z, Z E ( )} sono evidentemente a due a due privi di rette comuni. Inoltre, un elemento di A ed uno di B sono privi di rette comuni. Infatti una retta comune ad un elemento di A e ad un cono Γ Z B sarebbe tangente ad E in un punto di e passerebbe per Z: un assurdo perché Z /. L assurdo prova l asserto. Ne segue che F è una fibrazione mediante rette di P G(3, q). Proviamo che F è massimale. Un cono tangente Γ T a Q 4,q ha sempre una retta in comune con un elemento di F. Infatti ciò è ovvio, se T E. Se T / E, Γ T interseca E in una conica non singolare, in forza del Lemma 3. Se L, il cono Γ T ha in comune la sua retta per L con un elemento di F, in quanto ogni retta di Q 4,q per L appartiene ad un elemento di F. Se L /, allora si ha =, e dunque può avere 14

16 al piú due punti distinti in comune con ciascuna delle coniche,. Ne segue, essendo q 4, che vi è un punto Z di non di. Allora Γ T ha in comune la sua retta per Z con il cono Γ Z F. Sia ora R un regolo di Q 4,q e sia I R la quadrica iperbolica sezione iperpiana di Q 4,q, che ammette R come regolo. Per il Lemma 4, l insieme I R E è una conica non singolare. Inoltre, per ogni punto di passa una ed una sola retta di R. Ragionando su come già fatto su = Γ T E, T / E, si ricava che R ha una retta in comune con un elemento di F. Da quanto esposto, segue che F è una fibrazione massimale di P G(3, q), q 4, con F = q + 1 (q q) + q + 1 = q q + 1. Esempio 4. Esempio di fibrazione massimale non totale F di P G(3, q), q pari, q 8, { q 1 F = q nq + n + 1, n < min 4, 1 + q 1 In π q, q pari, sia un (q + 1)-arco e sia N il nucleo di. Sia K un insieme di π q soddisfacente le seguenti condizioni: a) K =, b) N K, c) ogni retta esterna a incide K. Sia m il numero delle coppie costituite da un punto P K e da una retta esterna a e passante per P. Poiché ogni retta esterna a incide K, si ha, tenuto presente che il numero delle rette esterne a è q + q + 1 (q + 1) ( ) q+1 = (q q)/, m q q il segno di uguaglianza valendo se, e solo se, ogni retta esterna a è tangente a K. Il numero m può essere anche calcolato determinando il contributo che a tale numero viene dato da ciascun punto di K. Dal fatto che per N non passa alcuna retta esterna a e dal fatto che per ogni punto di K {N} passano esattamente q/ rette esterne a, si ha m = ( K 1) q. Da quanto precede segue allora K q, il segno di uguaglianza valendo se, e solo se, ogni retta esterna a è tangente a K. Un esempio di insieme K soddisfacente a), b), c), con K = q, è dato da una retta t tangente a privata del punto t. Abbiamo cosí provato il seguente }. 15

17 Teorema 4. In π q, q pari, sia un (q + 1)-arco e sia N il nucleo di. Allora, se K è un insieme di π q soddisfacente a), b) e c),si ha K q, il segno di uguaglianza valendo, se e solo se, ogni retta esterna a è tangente a K. Sia ora q dispari e sia K un insieme soddisfacente a) e c). Evidentemente, vale ancora la condizione m q q (valendo ancora il segno di uguaglianza, se e solo se, ogni retta esterna a è tangente a K). Per un punto di K interno a passano esattamente (q + 1)/ rette esterne a, mentre per un punto di K esterno a passano esattamente q + 1 q 1 = q 1 rette esterne a. Ne segue che m K q + 1, il segno di uguaglianza valendo, se e solo se, ogni punto di K è interno a. Ne segue che q(q 1) K q + 1 q(q 1) K q + 1 = q q q + 1. = q q q + 1 = q + q q = q + 1 Si noti che (q)/(q + 1) non è intero (perché q + 1 è primo con q e perché q + 1 non è sottomultiplo di ). Dunque non si può avere il segno di uguaglianza nell ultima relazione scritta. Poiché il segno di uguaglianza in tale relazione si ha, se e solo se, ogni retta esterna a è tangente a K ed ogni punto di K è interno a, si deduce che non esiste alcun insieme K soddisfacente a) e c) costituito da soli punti interni a K e tali che ogni retta esterna a sia tangente a K. Tenendo presente che q q q + 1 si ha il seguente = q q + = q + 1 ( = q ) = q + q + 1 q + 1, Teorema 5. In π q, q dispari, sia un (q + 1)-arco. Allora, se K è un insieme di π q soddisfacente a) e c), si ha K q 1. 16

18 Un esempio di insieme K soddisfacente a) e c) con K = q 1 è dato da una retta t secante privata dell insieme t. In P G(4, q) sia Q 4,q una quadrica non singolare e sia I una quadrica iperbolica sezione iperpiana di Q 4,q, I = S 3 Q 4,q, con S 3 iperpiano di P G(4, q). Sia π un piano di S 3 che interseca I in una conica non degenere. Sia n un intero positivo, con n q + 1. Siano A 1, A,..., A n, B 1, B,..., B n n punti distinti di. Per ciascuna coppia (A i, B i ), 1 i n, sia ( i, D i ) la coppia associata ad (A i, B i ) e sia H i il punto di π associato ad (A i, B i ). È immediato verificare che i punti 1,,..., n, D 1, D,..., D n, sono tutti distinti. Sia B = { 1,,..., n, D 1, D,..., D n }. Denotiamo poi con D l insieme delle rette che congiungono due punti distinti di B. È facile verificare che ogni retta di D non è una retta di I. Ne segue che per coppie distinte di punti di B passano rette distinte di D e dunque che ( ) n D =. Inoltre una retta di D incide π (perché una tale retta e π giacciono entrambi in S 3 ) in un punto non di. Infatti, se una retta di D incidesse π in un punto di, essa avrebbe tre punti distinti in comune con I e dunque sarebbe una retta di I, il che non è. Supponiamo ora che q sia pari (vedi Figura 4) e sia n < min{(q 1)/4, (1 + q 1/). Dalle suddette condizioni segue che q 8. In questo caso ciascuna delle rette i D i, i = 1,..., n, incide π nel nucleo H di. Infatti, il piano β di S 3 tangente ad I in A i contiene r Ai ed s Ai ed interseca π nella tangente in A i a e perciò H β. Analogamente il piano γ di S 3 tangente ad I in B i contiene r Bi ed s Bi ed interseca π nella tangente in B i a, perciò H γ. Ne segue che H β γ, i β γ, D i β γ. Quindi H, i e D i sono allineati, cioè H i D i. Dunque si ha H i = H per ogni i = 1,..., n. Inoltre, una retta u D distinta dalle i D i, i = 1,..., n, non passa per H. Infatti, se u passasse per H, la u conterrebbe tre punti distinti di I e dunque sarebbe u I: un assurdo perché u I. I punti di intersezione delle rette di D con π costituiscono allora un insieme K di π tale che K =, H K. Dal fatto che vi sono esattamente n rette di D che passano per H, segue che K D n + 1 = ( ) n n + 1, il segno di uguaglianza valendo, se e solo se, rette distinte di D non per H incidono π in punti distinti. Dall ultima disuguaglianza e dalla condizione n < (1 + q 1)/ segue ( ) n K n + 1 < q, 17

19 q n 1 D n n D i i D 1 1 A 1 B 1 K H A A i B n i B n l Π Figura 4: e dunque K < q. Dal Teorema 4 segue allora che vi è una retta l di π esterna a tale che l K =. I piani che congiungono la retta l con i punti 1,,..., n, D 1, D,..., D n, siano essi rispettivamente π 1, π,..., π n, π D1, π D,..., π Dn sono tutti distinti, in quanto l K =. I piani di S 3 per l sono allora il piano π, i piani π 1, π,..., π n, π D1, π D,..., π Dn ed i rimanenti q n = q n piani π 1, π,..., π q n, ciascuno intersecante I in una conica non degenere. Sia i = π i I, i = 1,..., q n. Dalla condizione n < (q 1)/4, segue che una conica non degenere, sezione piana di I mediante un piano α (di S 3 ) diverso da π, π 1, π,..., π n, π D1, π D,..., π Dn, contiene almeno un punto di q n i. Infatti, la conica può avere al piú punti in comune con ciascuna delle coniche i=1 sezioni tra i piani π, π i, π Dj e la quadrica iperbolica I. Ne segue che i punti di non delle suddette coniche sono in numero maggiore di [ ( ) ] q 1 q =

20 Sia allora F la seguente famiglia di coni tangenti e regoli di Q 4,q : F = {Γ 1,..., Γ n, Γ D1,..., Γ Dn, Γ X, con X {A 1,..., A n, B 1,..., B n } [ ] q n (F ( i ) {R 1, R }), 1=1 dove R 1 e R sono i due regoli di I. Procedendo come già fatto per F, si prova che F è una fibrazione massimale di P G(3, q). Inoltre si ha F = q (q 1)(q n) = = q q nq q + n = = q nq + n + 1. Per n = 1, si ottiene la fibrazione F. Osserviamo che la F ha una cardinalità nuova rispetto ai casi noti. Osserviamo anche che, se q = 13, i valori (q 1)/4 e (1 + q 1)/ coincidono (e valgono entrambi 3), mentre se q > 13 si ha 1 + q 1 < q 1 4. Ne segue che, se q > 13, le due condizioni per n possono riassumersi con n < 1 + q 1. Se invece q < 13, cioè q = 8, si ha q 1 4 < 1 + q 1 e le due condizioni per n possono sintetizzarsi con cioè n = 1. n < q 1 4, Supponiamo ora che q sia dispari (vedi Figura 5) e sia n < min{(q 1)/4, (1 + 8q 7)/4)}. Dalle suddette condizioni segue che q 7. In questo caso, indicato con K l insieme dei punti di intersezione di π con le rette di D, si ha K =, e K D = ( ) n, il segno di uguaglianza valendo se, e solo se, rette distinte di D incidono π in punti distinti. Dall ultima disuguaglianza scritta e dalla condizione n < (1 + 8q 7)/4), segue K ( ) n < q 1, e dunque, K < q 1. Dal Teorema 5 segue allora che vi è una retta l di π esterna a tale che K l =. I piani di S 3 che congiungono la retta l con i punti 1,,..., n, D 1, D,..., D n, siano essi rispettivamente π 1, π,..., π n, π D 1, π D,..., π D n, sono tutti distinti, in quanto K l =. I piani di S 3 per l sono allora π, i piani π 1, π,..., π n, π D 1, π D,..., π D n, ed i rimanenti q n = q n piani π 1, π,..., π q n, che intersecano ciascuno I in una conica non singolare. 19

21 / q n / 1 D n / n D i i D 1 1 A 1 B 1 K / A A i B n i B n l / Π Figura 5: Sia i = π i I, i = 1,,..., q n. Dalla condizione n < (q 1)/4 segue che una conica non degenere, sezione piana di I mediante un piano α di S 3 distinto da π, π 1, π,..., π n, π D 1, π D,..., π D n, contiene almeno un punto di q n i. Sia allora F IV la seguente famiglia di coni tangenti e regoli di Q 4,q : F IV = i=1 {Γ 1,..., Γ n, Γ D1,..., Γ Dn, Γ X, con X {A 1,..., A n, B 1,..., B n }} [ ] q n (F ( i ) {R 1, R }). i=1 Procedendo come già fatto per F, si prova che F IV è una fibrazione massimale di P G(3, q). Inoltre si ha F IV = q (q 1)(q n) = = q nq + n + 1. Per n = 1 si ottiene la fibrazione F. Osserviamo che, se q = 11, i valori (1 + 8q 7)/4 e (q 1)/4 coincidono. Ne segue che per q = 11, la condizione n < min{(q 1)/4, (1 + 8q 7)/4)} diviene n < (1 + 8q 7)/4. 0

22 Se invece q < 11, cioè q = 7, 9, si ha (q 1)/4 < (1+ 8q 7)/4 e la condizione per n diviene n < (q 1)/4, cioè n = 1. Esempio 5. (Vedi Figura 6) Sia q pari, q 8, e sia I = S 3 Q 4,q una quadrica iperbolica sezione iperpiana D I s A r B r A s B A 1 B E Figura 6: di Q 4,q, con S 3 iperpiano di P G(4, q). Sia E = S 3 Q 4,q una quadrica ellittica sezione iperpiana di Q 4,q, con S 3 iperpiano di P G(4, q). Evidentemente, si ha S 3 S 3. L insieme = I E è una conica non degenere in forza del Lemma 4. Siano A e B due punti distinti di e sia (, D) la coppia di punti di I associata ad (A, B). Il cono tangente Γ = S 3 Q 4,q, con S 3 iperpiano tangente a Q 4,q in, interseca E in una conica non degenere 1, in forza del Lemma 3. Osserviamo che 1 = {A, B}. Infatti, sia per assurdo L un punto di 1 distinto da A e B. La retta L è allora una retta di Q 4,q (in quanto retta di Γ ) contenuta in S 3, in quanto congiungente i due punti distinti ed L di S 3. Ne segue che L Q 4,q S 3 = I: un assurdo perché L A, L B, e A, B sono le uniche rette di I per. L assurdo prova che 1 = {A, B}. Ne segue che il piano di 1 è distinto dal piano di. Analogamente, il cono tangente Γ D = S 3 Q 4,q, con 1

23 S 3 iperpiano tangente a Q 4,q in D, interseca E in una conica non degenere, risultando = {A, B} ed il piano di distinto dal piano di. Osserviamo che 1. Sia infatti per assurdo 1 = = e sia π il piano di. Il piano π non contiene il nucleo N di Q 4,q, in forza del Teorema 1. Gli iperpiani S 3 e S 3 sono allora due iperpiani distinti (perché tangenti a Q 4,q in punti distinti) che contengono entrambi il piano π /N e che intersecano ciascuno Q 4,q in un cono tangente: un assurdo, perché in contrasto con il Teorema 1. L assurdo prova l osservazione. Dal fatto che 1, segue che 1 e si trovano su piani distinti, ovviamente non passanti per N, e dunque che 1 = {A, B}. onsideriamo la seguente famiglia di coni tangenti e di regoli di Q 4,q : F = [F () {R 1, R }] {Γ, Γ D } {Γ X, con X E 1 3 }, dove R 1 ed R sono i regoli di I. È facile verificare che F è una fibrazione mediante rette di P G(3, q). Proviamo ora che F è massimale. Infatti, se un cono tangente Γ Y ha il vertice Y su E, tale cono ha una retta in comune con qualche elemento di F, come è immediato verificare. Se Y / E, il cono Γ Y Lemma 3. Se A Y, il cono Γ Y interseca E in una conica non degenere Y, in forza del ha in comune la sua retta per A con un elemento di F, in quanto ogni retta per A è una retta di un elemento di F. Analoga conclusione si ottiene se B Y. Se A / Y, B / Y, la conica Y è distinta da 1, e e dunque contiene un punto X E 1, in quanto q 8 e Y ha al piú due punti in comune con ciascuna delle coniche, 1,. Ne segue che Γ Y ha in comune la sua retta per X con Γ X F. Sia ora R un regolo di Q 4,q e sia I la quadrica iperbolica sezione iperpiana che ammette R come regolo. Si ha I E = R, con R conica non degenere, in forza del Lemma 4. Inoltre ogni retta di R è tangente ad E. Ragionando su R come già fatto su Y si prova che R ha una retta in comune con qualche elemento di F. Abbiamo cosí provato che F è massimale. Si ha inoltre: F = q q + 1 (3q 1) = = q q + 1 3q + 1 = q q + 3.

24 Bibliografia [1] A. Beutelspacher. Blocking sets and partial spreads in finite projective spaces. Geom. Dedicata 9, [] O. Heden. A greedy search for maximal partial spreads in P G(3, 7). Ars comb., 3 (1991), [3] J. W. P. Hirschfeld. Finite projective spaces of three dimensions. Oxford Mathematical Monographs, larendon Press, Oxford, [4] D. Jungnickel. Maximal partial spreads and translation nets of small deficiency. J. Algebra, 90 (1984), [5] D. Jungnickel. Maximal partial spreads and transversal-free translation nets. J. omb. Theory, Ser. A, 6 (1993), [6] D. Jungnickel. Maximal sets of mutually orthogonal latin squares. In Finite fields and applications (Eds. S. ohen and H. Niederreiter). ambridge University Press, 1996, [7] D. Jungnickel, L. Storme. Maximal partial spreads in P G(3, 4) and maximal sets of mutually orthogonal latin squares of order 16, to Alex Rosa on the occasion of his 65th birthday, [8] G. Tallini. Fibrazioni mediante rette in una quadrica non singolare Q 4,q di P G(4, q). Atti Accad. Pelor. Peric., l. I Sc. Fis. Mat. Nat., 66 (1998),

25 Elenco delle figure Indice 1 Introduzione 1 Generalità sulla quadrica non singolare Q 4,q di P G(4, q) 1 3 Rappresentazione della geometria di P G(3, q) su Q 4,q 5 4 Generalità e risultati sulle fibrazioni di P G(3, q) 7 5 Nuovi esempi di fibrazioni massimali non totali di P G(3, q) 8 Bibliografia 3 4