Modelli della concorrenza. Lucia Pomello. Re# di Petri: proprietà di comportamento e verifica stru6urale

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1 Modelli della concorrenza Lucia Pomello Re# di Petri: proprietà di comportamento e verifica stru6urale

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3 NOTA Se tutti i posti di una rete P/T hanno capacità finita k, allora la rete è k-limitata (ogni posto conterrà al più k marche, in ogni marcatura raggiungibile). La restrizione sulla capacità può essere eliminata aggiungendo il complemento Ogni sistema elementare è equivalente a una rete P/T senza peso degli archi e con capacità K(s) = 1 per ogni posto s.

4 Ogni sequenza di occorrenze di transizioni della rete corrisponde a un cammino orientato nel grafo, e viceversa.

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6 Una rete P/T non deadlock-free e il suo grafo delle marcature Una rete PT è deadlock- free se e solo se il suo grafo delle marcature non ha ver#ci senza successori.

7 Assenza di deadlock non implica vivezza Questa rete P/T è deadlock-free ma non viva alcune transizioni sono morte in una marcatura raggiungibile

8 Assenza di deadlock non implica vivezza Questa rete P/T è deadlock-free ma non viva Ogni rete viva è deadlock- free Una rete P/T è viva se e solo se in nessuna marcatura raggiungibile una transizione è morta (può non essere abilitata di nuovo)

9 Una rete P/T è limitata (bounded) se e solo se il suo insieme di marcature raggiungibili è finito (il suo grafo delle marcature è finito) Rete P/T non limitata Una rete P/T 1- safe con n pos# ha al più 2 n marcature raggiungibili

10 reversibilità Una rete P/T è reversibile se e solo se il suo grafo delle marcature è strettamente connesso Rete P/T 1-safe, non viva, non reversibile Rete P/T non limitata e non reversibile

11 Rete P/T viva, 1-safe, non reversibile

12 Tecniche di analisi delle proprietà basate sulla struttura del grafo della rete

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18 Condizione necessaria per la raggiungibilità di una marcatura Una marcatura m è raggiungibile da m 0 solo se l equazione ha una soluzione per x

19 Invarian>: P- invarian> e T- invarian> Un P- invariante (S- invariante) è un ve6ore di pos# che soddisfa l equazione: Vale così la legge di conservazione delle marche: per ogni marcatura raggiungibile m da m 0 Un P- invariante individua quindi un insieme di pos# in cui, comunque evolva il sistema, le marche opportunamente pesate rimangono costan#. La legge di conservazione può essere usata per provare la non raggiungibilità di m.

20 U#lizzo dei P- invarian# per provare proprietà: mutua esclusione, limitatezza,.

21 Una rete P/T è coperta da P- invarian> sse per ogni posto s esiste un P- invariante posi#vo i: i(s) >0 Condizione sufficiente per la limitatezza Se una rete P/T è coperta da P- invarian# allora è limitata Condizione necessaria per la vivezza Se una rete P/T, senza pos# isola#, è viva allora ogni P- invariante deve essere marcato in m 0.

22 Invarian>: P- invarian> e T- invarian> Un T- invariante è un ve6ore di transizioni che soddisfa l equazione: Dall equazione delle marcature raggiungibili: segue che un T- invariante rappresenta un ve6ore di Parikh che individua una sequenza di transizioni che, se abilitata, perme6e di rio6enere la marcatura data.

23 Esempio di T- invarian> Ad esempio i seguen# ve6ori sono T- invarian#: (1, 1, 0, 0) (0, 0, 1, 1) (2, 2, 1, 1)

24 Condizione necessaria per la vivezza e la limitatezza Ogni rete P/T viva e limitata è coperta da T- invarian> (ha un T- invariante j tale che per ogni transizione t: )

25 P-invarianti Questa rete è coperta da P-invarianti monomarcati: è quindi limitata (1-bounded o 1-safe)

26 T- invarian# La rete è coperta da T- invarian# Una rete viva è coperta da T-invarianti, ma non necessariamente vale il viceversa.

27 deadlock

28 Una rete coperta da P-invarianti è limitata, non vale in generale il viceversa: Esempio di sistema P/T limitato ma non coperto da P-invarianti positivi

29 Sia N = (P, T, F) una rete P/T. SIFONI E TRAPPOLE Un SIFONE è un insieme di posti tali che se non sono marcati, comunque evolva il sistema, rimangono non marcati un sottoinsieme di posti S è un sifone se e solo se S S Se S è un sifone allora: se t S Ø allora t S Ø. Una TRAPPOLA è un insieme di posti tali che una volta marcato, comunque evolva il sistema, rimane marcato un sottoinsieme di posti Q è una trappola se e solo se Q Q, Se Q è una trappola allora: se t Q Ø allora t Q Ø

30 {s 1, s 2 } è un sifone {s 3, s 4 } è una trappola Se una marcatura m è tale che : - m(s 1 ) = m( s 2 ) = 0, allora lo stesso vale per tutte le marcature successive - m(s 3 ) + m(s 4 ) > 0, allora lo stesso vale per tutte le marcature successive

31 SIFONI E TRAPPOLE Il seguente sistema P/T = (P, T, F, M 0 ) non è reversibile. Si consideri invece = (P, T, F, M 1 ) con M 1 = {p 1 } {p 1, p 4, p 5 } è una trappola inizialmente marcata M = {p 2, p 3 } non è raggiungibile, in M infatti i posti {p 1, p 4, p 5 } sono non marcati.

32 SIFONI E TRAPPOLE Se una rete P/T è viva, allora ogni sifone con#ene almeno un posto marcato in m 0 Una rete P/T è deadlock- free, se ogni sifone con#ene una trappola marcata in m 0 Una rete free- choice è viva se e solo se ogni sifone con#ene una trappola marcata in m 0 Dove le re# free- choice sono tali che: