Sistemi di erenziali in IR N

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1 Capitolo 2 Sistemi di erenziali in IR N 2.1 Il problema di Cauchy Consideriamo una regione, ovvero un aperto connesso IR N+1 ed un applicazione F 2 C 0 (, IR N ). Indichiamo con X(t) una funzione di classe C 1 in un intervallo aperto I IR, a valori in IR N, e con Ẋ(t) lasuaderivata. Indicheremo con le lettere minuscole le componenti di X(t), X(t) = (x 1 (t),...,x n (t)). Se N = 1, ometteremo l indice ed indicheremo la funzione semplicemente con x(t). Definizione 2 Si dice sistema di erenziale del primo ordine (o equazione di erenziale vettoriale del primo ordine) in forma normale l equazione Ẋ(t) =F (t, X(t)). (2.1) Spesso si omette di indicare la dipendenza di X(t) dalla variabile t, normalmente detta tempo, scrivendo l equazione in forma più compatta, Ẋ = F (t, X). Una soluzione del sistema (2.1) è una coppia (I,X(t)), tale che X(t) soddisfa la relazione (2.1). Se due soluzioni di eriscono solo per l intervallo di definizione, vengono comunque considerate due soluzioni distinte, anche se i valori delle due funzioni coincidono nell intersezione degli intervalli. Per semplicità, spesso si usa la parola soluzione riferendosi alla sola X(t). L insieme non è necessariamente il prodotto cartesiano di un intervallo per un sottoinsieme di IR n. Per esempio, l equazione scalare ẋ = log(1 xt) 22

2 2.1. IL PROBLEMA DI CAUCHY 23 è d e fi n i t a n e l l i n s i e m e = {(x, t) 2 IR 2 : xt < 1}, porzione di piano delimitata da due archi di iperbole equilatera. Definizione 3 Si dice soluzione massimale di (2.1) unasoluzione(i,x(t)) per la quale non esiste un altra soluzione (I,X (t)), con I I, X(t) =X (t) 8t 2 I. In altre parole, una soluzione massimale non può essere estesa, come soluzione di (2.1), al di fuori di I. La parola massimale si riferisce all insieme di definizione di X(t), che viene detto intervallo massimale. Se non specificato altrimenti, di norma ci riferiremo alle soluzioni massimali. Una soluzione massimale non è necessariamente definita su tutto IR. Per esempio, l equazione scalare (1.15) ha la soluzione identicamente nulla, definita per ogni t 2 IR, e le soluzioni massimali x + (t) = 1, t 2 (C, +1), C t x (t) = 1 C t, t 2 ( 1,C). Sottolineiamo che le due funzioni di cui sopra vengono considerate soluzioni distinte, e non due porzioni della stessa soluzione. Il supporto di una soluzione massimale è spesso detto traiettoria o orbita, da non confondere con il grafico della soluzione. Un orbita è la proiezione del grafico di una soluzione nello spazio IR N delle variabili spaziali X =(x 1,...,x n ).. Le più semplici soluzioni dei sistemi di erenziali sono le soluzioni costanti, X(t) X 0. Un sistema di erenziale ha la soluzione costante, X(t) X 0 se e solo se F (t, X 0 ) = 0 per ogni t appartenente ad un intervallo I X0 tale che la F (t, X) èdefinitaini X0 U X0, con U X0 intorno di X 0. L orbita di una soluzione costante è un punto. Definizione 4 Se (,X 0 ) 2, si dice problema di Cauchy (o problema ai valori iniziali) un sistema di erenziale del primo ordine insieme ad una condizione di passaggio: Ẋ = F (t, X) (2.2) X( )=X 0. Per esempio, il problema di Cauchy associato all equazione (1.11), ẋ = f(t) x( )=x 0.

3 24 CAPITOLO 2. SISTEMI DIFFERENZIALI IN IR N ha per soluzione x(t,,x 0 )=x 0 + f(s) ds. A priori non è detto che un problema di Cauchy abbia soluzione e, come osservato nel capitolo precedente a proposito dell equazione (1.16), se esiste non è detto che sia unica. Il problema di Cauchy è equivalente ad un equazione integrale, come mostrato nel seguente lemma. Lemma 1 X(t) risolve il problema di Cauchy (2.2) se e solo se risolve l equazione integrale X(t) =X 0 + F (,X( ))d. Dimostrazione. Se X(t) risolve l equazione integrale di cui sopra, allora derivando rispetto a t, per il teorema fondamentale del calcolo integrale abbiamo la prima uguaglianza in (2.2). Inoltre 0 X( )=X 0 + F (,X( ))d = X 0. Viceversa, se X(t) risolve il problema di Cauchy (2.2), integrando sull intervallo [,t] otteniamo X(t) X 0 = X(t) X( )= Ẋ( )d = F (,X( ))d, quindi X(t) =X 0 + F (,X( ))d. 2.2 Il teorema di esistenza ed unicità Sotto condizioni abbastanza generali è possibile dimostrare un risultato di esistenza ed unicità per le soluzioni di un sistema di erenziale in IR n. Come vedremo in seguito, tale risultato comporta una conclusione analoga per le soluzioni delle equazioni di erenziali di ordine n.

4 2.2. IL TEOREMA DI ESISTENZA ED UNICITÀ 25 Definizione 5 Sia una regione in IR N+1,edF 2 C 0 (, IR N ). Se esiste apple 2 IR tale che F (t, X) F (t, Y ) appleapple X Y 8 (t, X), (t, Y ) 2. F viene detta lipschitziana rispetto alle variabili X. Definizione 6 F viene detta localmente lipschitziana rispetto alle variabili X se per ogni ogni punto (,X 0 ) 2 esistono un intorno U 0 ed un apple 0 2 IR tali che F (t, X) F (t, Y ) appleapple 0 X Y, 8 (t, X), (t, Y ) 2 U 0. Si dimostra facilmente che una funzione F 2 C 1 (, IR N ) è localmente lipschitziana rispetto alle variabili X in ogni punto del dominio. Teorema 1 (di esistenza ed unicità delle soluzioni di un sistema di erenziale) Sia una regione in IR N+1, F 2 C 0 (, IR N ) un applicazione localmente lipschitziana rispetto alle variabili X. Allora per ogni (,X 0 ) 2, per ogni 2 IR, >0, esiste un h 2 IR, h>0, tale che esiste un unica funzione (t) definita nell intervallo ( h, + h), a valori in B(X 0, ) che risolve (2.1) e per la quale ( )=X 0. Dimostrazione. Fissiamo un punto (,X 0 ) 2. Sia U 0 un intorno di (,X 0 )incuilaf è lipschitziana, con costante di lispchitzianità apple 0. La continuità di F implica l esistenza di M,,r 2 IR positivi e tali che [, + ] B[X 0,r] U 0 \ IR B(X 0, ) ; F (t, X) applem in [, + ] B[X 0,r]. Scegliamo h 2 IR in modo che Mh apple r, 0<h<. Definiamo per ricorrenza una successione di funzioni n(t) :[ h, + h]! IR N : 0(t) :=X 0, n+1(t) =X 0 + F (s, n(s)) ds. (2.3) Approssimeremo la soluzione mediante le funzioni n(t). Organizziamo la dimostrazione in passi successivi. Per non appesantire eccessivamente l esposizione i passaggi saranno dimostrati assumendo t,ovverot 2 [, +h]. Passaggi analoghi valgono per t apple,ovverot 2 [ h, ].

5 26 CAPITOLO 2. SISTEMI DIFFERENZIALI IN IR N 1. Per t 2 [ h, + h] abbiamo n (t) 2 B[X 0,r]. Si dimostra per induzione. Per costruzione, 0(t) = X 0 2 B[X 0,r], quindi per n = 0 l a ermazione è vera. Per n>0, assumendo che n(t) 2 B[X 0,r], ovvero che n(t) X 0 appler, abbiamo n+1(t) X 0 = F (s, n(s)) ds apple F (s, n(s)) ds apple apple Mdsapple M t applemh apple r. 2. n+1(t) n(t) apple Mapplen 0 (n + 1)! t n+1. Per n = 0 la proprietà discende dalla definizione di M: 1(t) X 0 = F (s, X 0 )ds apple F (s, X 0 ) ds apple M t. Assumendola vera per n, possiamo scrivere n+1(t) n(t) = (F (s, n(s)) F (s, n 1(s))) ds apple apple F (s, n(s)) F (s, n 1(s)) ds. Per la lipschitzianità, possiamo scrivere, essendo n (t) 2 B[X 0,r], F (s, n(s)) F (s, n 1(s)) appleapple 0 n(s) n 1(s). Per ipotesi induttiva, abbiamo Concludendo, n+1(t) n(t) apple n(s) n 1(s) apple Mapplen 0 1 s n. n! Mapple n 1 0 apple 0 s n ds = Mapplen 0 t n+1. n! (n + 1)! 3. La successione n(t) converge uniformemente ad una funzione continua (t).

6 2.2. IL TEOREMA DI ESISTENZA ED UNICITÀ 27 Consideriamo la serie telescopica 1X n+1(t) n=0 Dal punto 2 discende che n(t). n+1(t) n(t) apple Mapplen 0 hn+1 (n + 1)!, quindi per il criterio di convergenza di Weierstrass la serie converge uniformemente in [ h, +h]. La continuità della somma deriva dalla convergenza uniforme e dal fatto che le funzioni n+1(t) n(t) sono continue. Inoltre 1X n=0 n+1(t) Questo dimostra che è una funzione continua. n(t) = lim n!+1 n+1 (t) 0(t) = lim n!+1 n+1 (t) X 0. (t) := lim n!+1 n (t) 4. La funzione (t) è u n a s o l u z i o n e d i ( 2.1) tale che ( )=X 0. F (t, (t)) è continua per composizione. Dalla lipschitzianità di F F (t, (t)) F (t, n(t)) apple apple 0 (t) n(t) deriva la convergenza uniforme di F (t, n(t)) a F (t, (t)). Questo, insieme alla relazione n+1(t) =X 0 + F (s, n(s)) ds a sua volta implica, passando al limite uniforme, Per il lemma 1 (t) =X 0 + F (s, (s)) ds. (t) è soluzione del problema di Cauchy. 5. La funzione (t) è l u n i c a s o l u z i o n e d i ( 2.1) definita in [ h, + h] e a valori in B[X 0,r], tale che ( )=X 0. Supponiamo per assurdo che esista una seconda soluzione (t) di(2.1), definita in [ h, + h], che verifica la condizione di passaggio ( )=X 0. Dimostreremo che per ogni n 2 IN, per ogni t 2 [ h, + h], si ha (t) (t) apple 2rapplen 0 t n. (2.4) n!

7 28 CAPITOLO 2. SISTEMI DIFFERENZIALI IN IR N Questo implica che (t) (t) =0, perché per ogni t lim n!+1 2rapple n 0 t n! n =0. Anche in questo caso si procede induttivamente. Per n = 0 la disuguaglianza diventa (t) (t) apple 2r, che è vera perché entrambe le soluzioni hanno valori in B[X 0,r]. Assumendo che (2.4) valga per n, abbiamo, per la lipschitzianità, (t) (t) = F (s, (s)) F (s, (s)) ds apple F (s, (s)) F (s, (s)) ds apple apple apple 0 (s) (s) ds apple 2rapple n+1 0 s n ds = 2rapplen+1 0 t n+1. n! (n + 1)! Questo conclude la dimostrazione. La procedura esposta nel teorema 1 è costruttiva, ed in alcuni casi permette di determinare le soluzioni di famiglie di sistemi di erenziali. Un caso particolarmente singificativo è quello dei sistemi lineari a coe cianti costanti, Ẋ = AX, X 2 IR N, A 2 GL N (IR). (2.5) La successione definita ricorsivamente dalle (2.3) è 0(t) :=X 0, n+1(t) =X 0 + A n (s) ds = X 0 + A n(s) ds, perché la matrice A è costante. Scrivere i primi termini della successione permette di intuire la forma del termine generale, 1(t) =X 0 + A h i 0(s) ds = X 0 + A X 0 ds = I + A(t ) X 0, n dove I è la matrice identità. 2(t) =X 0 + A 1(s) ds = X 0 + A h i I + A(t ) X 0 ds =

8 2.3. EQUAZIONI SCALARI DI ORDINE SUPERIORE 29 " = I + A(t )+ A2 (t ) 2 # X 0. 2 Per induzione si dimostra che nx A j (t n(t) = j! j=0 ) j X 0. Opportune tecniche di calcolo funzionale permettono di dimostrare che la serie di cui sopra converge ad un funzione che viene indicata con lo stesso simbolo dell esponenziale di un numero reale, ed è la soluzione del problema di Cauchy associato a (2.5), (t,,x 0 )=e A(t ) X 0. Nel prossimo teorema, che riportiamo senza dimostrazione, consideriamo un sistema di erenziale dipendente da un vettore di parametri = ( 1,..., K ): ẋ = F (t, X, ). (2.6) Se il sistema (2.6) verifica il teorema di esistenza ed unicità, indichiamo con (t,,x 0, ) la sua soluzione tale che (,,X 0, ) = X 0. Teorema 2 (di dipendenza continua e di erenziabile dai dati iniziali) Sia una regione in IR N+K+2, F 2 C h (, IR N ).Alloralafunzione (t,,x 0, ) è di classe C h. Osservazione 1 Dalla definizione di sistema di erenziale deriva il fatto che la funzione t 7! (t,,x 0, ) è di classe C h Equazioni scalari di ordine superiore Vediamo ora come riportare lo studio di equazioni di erenziali che contengono derivate di ordine superiore al primo ad equazioni del primo ordine. Ci limitiamo a considerare equazioni scalari. In questo caso l equazione è definita in un insieme aperto connesso IR k+1 e f 2 C 0 (, IR). Indichiamo con x(t) una funzione di classe C k in un intervallo aperto I IR, a valori in IR, e con ẋ(t), ẍ,..., x (k) le sue derivate.

9 30 CAPITOLO 2. SISTEMI DIFFERENZIALI IN IR N Definizione 7 Si dice equazione di erenziale di ordine k > 1 in forma normale l equazione x (k) (t) =f(t, x(t), ẋ(t),...,x (k 1) (t)). (2.7) Si può ricondurre lo studio di questa equazione a quello di un sistema del primo ordine considerando le derivate fino all ordine k 1 come funzioni incognite, in questo modo: 8 x 1 (t) =x(t) >< x 2 (t) =ẋ(t)... (2.8)... >: x k (t) =x (k 1) (t). E ettivamente, apriorilederivate della x(t) sono incognite, così come la x(t), ma sono legate ad essa dalla relazione di derivazione. Per ristabilire questa relazione, si considera il sistema di erenziale 8 ẋ 1 (t) =x 2 (t) >< ẋ 2 (t) =x 3 (t)... (2.9)... >: x 0 k (t) =f(t, x 1(t),x 2 (t),...,x k (t)). detto sistema equivalente all equazione (2.7). La scelta del termine è motivata dal fatto che, se (x 1 (t),x 2 (t),...,x k (t)) è una soluzione di (2.9), allora x 1 (t) è una soluzione di (2.7), perché x (k) 1) 1 (t) =x(k 2 (t) =...= x 0 (k 1) k(t) =f(t, x 1 (t), ẋ 1 (t),...,x 1 (t)). Viceversa, se x(t) è una soluzione di (2.7), allora la funzione a valori vettoriali (x(t), ẋ(t),...,x (k 1) (t)) è una soluzione del sistema (2.9). Analogamente, un problema di Cauchy relativo il sistema (2.9) corrisponde ad un problema analogo per l equazione (2.7), in termini di condizioni iniziali su x(t) e sulle sue derivate fino all ordine k. Le condizioni iniziali x 1 ( )=x 0 1, x 2 ( )=x 0 2,... x k ( )=x 0 k, per il sistema (2.9) corrispondono alle condizioni iniziali x( )=x 0 1, ẋ( )=x 0 2,... x (k 1) ( )=x 0 k,

10 2.3. EQUAZIONI SCALARI DI ORDINE SUPERIORE 31 per l equazione (2.7). Allo stesso modo, un teorema di esistenza ed unicità per il sistema (2.9) diventa un teorema di esistenza ed unicità per l equazione (2.7). In relazione alle ipotesi del teorema di esistenza ed unicità,, abbiamo F (t, x 1,...,x k )= x 2,x 3,...,f(t, x 1,x 2,...,x k ), quindi la continuità di f implica quella di F. Per avere la lipschitzianità di F è su ciente che si verifichi una condizione analoga sulla sua ultima componente, f(t, x 1,x 2,...,x k ): f(t, X) f(t, Y ) appleapple 0 X Y. Inoltre, se f è di classe C k, anche F lo è. Un esempio classico viene dall equazione del pendolo ẍ +senx =0, equivalente al sistema ẋ1 = x 2 ẋ 2 = sen x 1. (2.10) Per analogia con la simbologia normalmente usata nei riferimenti cartesiani piani, i sistemi equivalenti ad equazione del secondo ordine vengono spesso scritti usando la lettera y come seconda variabile. Quindi l equazione di Liénard ẍ + f(x)ẋ + g(x) =0, è equivalente al sistema ẋ = y ẏ = g(x) yf(x). (2.11) Esistono altri modi di correlare un equazione di erenziale di ordine superiore al primo con un sistema di erenziale del primo ordine. Per esempio, ponendo F (x) = Z x f(s) ds, per un opportuno x 0, consideriamo il sistema x 0 ẋ = y F (x) (2.12) ẏ = g(x). Anche in questo caso la prima componente di una soluzione del sistema è soluzione dell equazione di Liénard. Infatti, derivando rispetto al tempo, abbiamo ẍ =ẏ f(x)ẋ = g(x) f(x)ẋ, (2.13)

11 32 CAPITOLO 2. SISTEMI DIFFERENZIALI IN IR N da cui ẍ + f(x)ẋ + g(x) =0. Un altro esempio è dato dall equazione del terzo ordine ẍ 2ẋ x =0. Applicando la procedura standard, possiamo scrivere un sistema equivalente all equazione data ponendo 8 < ẋ = y ẏ = z : ż =2y + x. (2.14) Possiamo anche scrivere 8 < ẋ = y ẏ = x + z : ż = x + y. Se x(t) è la prima componente di una soluzione di (2.15) abbiamo (2.15) ẍ = ÿ =ẋ +ż =ẋ + x + y =2ẋ + x, da cui ẍ 2ẋ x =0.

12 2.4. SISTEMI AUTONOMI Sistemi autonomi ed un applica- Definizione 8 Consideriamo un aperto connesso IR N zione F 2 C 0 (, IR N ). Il sistema di erenziale Ẋ = F (X) (2.16) si dice autonomo. La principale proprietà dei sistemi autonomi consiste nel fatto che ogni traslata (nel tempo) di una soluzione è a sua volta soluzione del sistema. Infatti, se X(t) è una soluzione di (2.16), posto X (t) =X(t ), abbiamo d dt X (t) = d dt X(t ) =F (X(t )) = F (X (t)). Un esempio semplice è dato dall equazione scalare ẋ = x, che ha per soluzioni le funzioni x(t) =applee t, apple 2 IR. Nelle figura 2.1 si vede come ognuna delle curve-soluzioni si ottenga dalle altre per traslazione orizzontale. Per questo motivo, scrivendo la soluzione del problema di Cauchy, spesso si omette la dipendenza da, indicando solo la soluzione per cui = 0, X(t, X 0 ):=X(t, 0,X 0 ), potendo comunque ricavare per traslazione la soluzione generale: X(t,,X 0 )=X(t,x 0 ). Possiamo verificare analiticamente questa proprietà considerando il problema di Cauchy generale relativo a questa equazione, ẋ = x La sua soluzione è x( )=x 0. x(t,,x 0 )=x 0 e t. La sua -traslata è x(t,,x 0 )=x 0 e t =(x 0 e )e t = x 1 e t, con x 1 = x 0 e. Possiamo scrivere x(t,,x 0 )=x(t,,x 0 e )=x(t,,x 1 ). In altre parole, la -traslata della soluzione che passa per (,x 0 ) è la soluzione che passa per (,x 0 e ). Tutte le soluzioni ottenute da una soluzione fissata per traslazione nel tempo hanno la stessa orbita. Questo permette di studiare alcune proprietà

13 34 CAPITOLO 2. SISTEMI DIFFERENZIALI IN IR N Figura 2.1: Le soluzioni di ẋ = x si ottengono una dall altra per traslazione di una famiglia di soluzioni considerando solamente la loro orbita comune. Le più semplici soluzioni sono quelle costanti, che hanno per orbita un punto X 0. In questo caso si ha F (X 0 ) = 0, ed X 0 viene detto punto critico del sistema. Se F (X 0 ) 6= 0, X 0 viene detto punto regolare del campo vettoriale. Le soluzioni costanti non sono le sole ad avere orbita compatta. Se il sistema ha una soluzione periodica, X(t) X(t + ), per un opportuno, l orbita è l immagine di uno degli intervalli di periodicità, per esempio [0, ], quindi è compatta. Ricordiamo che una curva :[a, b]! IR N si dice chiusa se (a) = (b). Una curva chiusa si dice semplice se è iniettiva, con l eccezione della coppia di punti a, b, nei quali si ha (a) = (b). Per estensione, se si considera un insieme IR N,diremoche è una curva chiusa quando esiste una curva :[a, b]! IR N, detta parametrizzazione di, tale che è una curva chiusa avente per supporto. Analogamente, diremo che è una curva chiusa semplice quando esiste una curva :[a, b]! IR N,chiusae semplice, avente per supporto. Nelle ipotesi del teorema di unicità l orbita di una soluzione periodica è una curva semplice, se considerata su un inter-

14 2.4. SISTEMI AUTONOMI 35 vallo di periodicità minimale, ovvero non contenente intervalli di periodicità più piccoli. Sottolineiamo che se il sistema è autonomo le soluzioni periodiche sono complete, ovvero sono definite per ogni t 2 IR. Se invece in sistema non è autonomo la funzione F (t, X) può non essere definita per valori di t maggiori di un valore particolare, pur esistendo una soluzione periodica in un opportuno sottoinsieme di IR. Per esempio, l equazione del terzo ordine ẍ + ẍ log t +ẋ + x log t =0, equivalente al sistema non autonomo 8 < ẋ = y ẏ = z : ż = z log t y x log t, (2.17) ha la soluzione sen t sulle semirette (0, +1), che non è completa perché il sistema è definito solo per t>0. Il teorema di unicità permette di dimostrare che le soluzioni delle equazioni scalari autonome sono monotone. Infatti se non lo fossero, una traslazione, che produce un altra soluzione, porterebbe ad avere due soluzioni che si intersecano, violando l unicità, come nella figura 2.2.

15 36 CAPITOLO 2. SISTEMI DIFFERENZIALI IN IR N Figura 2.2: Una soluzione di un equazione scalare autonoma non può avere un estremo proprio. Un sistema autonomo in IR N ammette una semplice interpretazione geometrica. La funzione F 2 C 0 (, IR N ) definisce un campo vettoriale in IR N. Trovare le soluzioni dell equazione Ẋ = F (X) equivale a trovare le curve t 7! X(t) che hanno F (X(t)) come vettore tangente nel punto X(t). Nelle figure che seguono viene rappresentato il campo planare F (x, y) =(y, x), ed una curva-soluzione, detta anche curva integrale, del campo. Ogni sistema non-autonomo può essere considerato come un sistema autonomo in dimensione superiore, considerando il tempo come variabile spaziale. Introduciamo la nuova variabile Z =(t, X) 2 IR N+1. Se la funzione X(t) è una soluzione del sistema (2.1), possiamo considerare la funzione

16 2.4. SISTEMI AUTONOMI 37 Figura 2.3: Il campo (y, x) Z(t) =(t, X(t)) e scrivere: Ż(t) = d (t, X(t)) = (1, Ẋ(t)) = (1,F(t, X(t))) = (1,F(Z(t))). dt Quindi, ponendo G(Z) :=(1,F(Z)), la funzione Z(t) è soluzione di Ż = G(Z), (2.18) che è un sistema autonomo. Viceversa, si verifica facilmente, risalendo i passaggi di cui sopra, che se Z(t) =(t, X(t)) risolve (2.18), allora X(t) è una soluzione di (2.1). Da notare che, essendo (2.18) autonomo, se Z(t) = (t, X(t)) è una soluzione di (2.18), allora anche ogni sua traslata Z(t ) = (t,x(t )) è una sua soluzione.

17 38 CAPITOLO 2. SISTEMI DIFFERENZIALI IN IR N Figura 2.4: Il campo (y, x) ed una curva integrale. Un esempio elementare è dato da ẋ = x + t, considerata nel paragrafo 1.3. La soluzione del problema di Cauchy ad essa associato è x(t,,x 0 )=(x )e t t 1. Tale equazione può essere scritta in forma autonoma ponendo Z =(t, x) e scrivendola in forma vettoriale, Ż =(1,x+ t), ovvero come sistema di erenziale in due variabili, ṫ =1 ẋ = x + t. (2.19) Il campo vettoriale corrispondente è rappresentato nella figura 2.5, insieme ad alcune curve integrali.

18 2.4. SISTEMI AUTONOMI 39 Figura 2.5: Il campo (1,x+ t) ed alcune curve integrali L invarianza dell insieme delle soluzioni per traslazioni nel tempo va vista nello spazio IR N+2. Nel caso dell equazione di cui sopra è evidente che traslando nel tempo il grafico di una soluzione dell equazione non autonoma non si ottiene il grafico di un altra soluzione (cfr. la figura 1.5). Invece una traslazione nel tempo del grafico di una soluzione del sistema (2.19), ovvero dell insieme {(t, t, Ce t t 1) : t 2 IR}, produce il grafico di un altra soluzione di tale sistema.