Un modello probabilistico per quantificare i risultati delle ricerche sulla Sindone di Torino

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1 Congresso nternazionale di Studi sulla Sindone, Torino, 5-7 giugno 998 Un odello probabilistico per quantificare i risultati delle ricerche sulla Sindone di Torino Giulio Fanti, Eanuela Marinelli + CSAS G. Colobo (Centro nterdipartientale Studi ed Attività Spaziali), Dipartiento di ngegneria Meccanica, Università di Padova, Via Venezia, 3537 Padova - taly tel , fax , e-ail: + Collegaento pro Sindone, Via dei Brusati 84, 0063 Roa tel , fax , e-ail: (*) Soario Viene proposto un odello probabilistico, di eventi utuaente escludentisi, capace di sintetizzare i olteplici ed anche contrastanti risultati delle ricerche sulla Sindone di Torino. l odello si basa sulla definizione di tre alternative possibili (A= autentica, F= falsa, N= non autentica) per l origine del lenzuolo e sulla valutazione di ciascuna alternativa sulla base dell assegnazione di opportune probabilità, con relativa incertezza, a ciascun risultato delle ricerche copiute. A ciascuna afferazione vengono quindi assegnati 7 coefficienti di cui tre relativi alle probabilità di verificarsi delle alternative A, F e N, tre relativi alle corrispondenti incertezze ed un peso relativo all iportanza del risultato. Coe esepio applicativo vengono confrontati i risultati ottenuti da un analisi probabilistica eseguita su sole 7 afferazioni, con quelli già elaborati più seplicisticaete in bibliografia. Abstract To synthetize the variety of the contrasting results coing fro the researches done on the Turin Shroud, a probabilistic odel capable of consider utually excluding events, is proposed. t is based on the definition of three possible alternatives (A=true, F=fake, N=not A or F) regarding the cloth origin. Each alternative is then evaluated fro the assignent of the corresponding probability, with relative uncertainty, to each stateent, relative to the results of the Shroud investigations. Each stateent is coposed by 7 coefficients: 3 relative to the corresponding alternative (A, F and N) probability, 3 relative to the corresponding uncertainty and one to evaluate the result iportance. As an exaple, results obtained fro a very siple probabilistic analysis that considers only 7 stateents, are copared with that published by other authors. Abbreviazioni: ST = Sindone di Torino; UST = Uoo delle Sindone di Torino. (*) Per fini puraente accadeici, il contributo individuale dei singoli autori è specificato coe segue: G. Fanti (40%) ha sviluppato la forulazione probabilistica; ha inoltre definito le 00 afferazioni con E. Marinelli (60%) che ha garantito l attendibilità delle stesse fornendo i corrispondenti riferienti bibliografici.

2 ) ntroduzione La necessità di costruire un odello probabilistico per valutare i risultati delle ricerche eseguite sulla ST nasce dalla difficoltà di riuscire a giudicare in odo globale e oggettivo la notevole quantità di prove o afferazioni portate a favore o contro una tesi di autenticità o di falsità. Molti studiosi continuano tutt oggi a sostenere tesi diaetralente opposte [,2,3] portando a favore solo un nuero liitato di afferazioni. Una volta costruito un odello interpretativo capace di analizzare olte afferazioni, ciascuno studioso dovrebbe essere in grado di forulare giudizi più obiettivi. n questo studio si prevede di analizzare le 00 afferazioni ritenute più significative, siano esse a favore o contro una particolare tesi. Poiché alcune di esse sono scientificaente accertate, altre sono più dubbie, sorge la necessità di potere pesare ciascuna afferazione in funzione del suo grado di attendibilità. D altra parte, dalle nuerosissie ricerche effettuate a livello ondiale, non è risultata un unica afferazione così copleta e significativa da diostrare l autenticità o falsità della ST. É opinione degli scriventi che forse la prova più significativa potrà risultare dall analisi globale di tutti i risultati finora ottenuti. Sono state eseguite già in passato diverse analisi di questo tipo [4,5]. Tali analisi però, liitate ad un nuero più ridotto di prove (cinque o sette), non considerano le probabilità condizionate. Questi risultati vengono rivisti alla luce della nuova ipostazione proposta. 2) Considerazioni generali sul odello probabilistico Si utilizza la statistica inferenziale o induttiva che si occupa del controllo di ipotesi statistiche e della stia di grandezze non note a priori. É necessario che l ipotesi da controllare sia di natura statistica. La stia della grandezza sconosciuta viene eseguita applicando la forula di Bayes (vedi Appendice e 3.3). Si può dire che la probabilità finale di un ipotesi subordinataente all esito ottenuto è proporzionale al prodotto della probabilità iniziale per la verosiiglianza dell esito subordinataente all ipotesi, essendo la costante di proporzionalità le probabilità dell esito. Si considera coe spazio capione 2 l insiee di tutte le sindoni inclusa quella che avvolse Gesù; tale insiee coprende oltre alla ST anche quelle false e quelle esistenti, o non più disponibili perché distrutte, che hanno avvolto corpi di uoini. Nota : Per esepio nel lancio di un dado a 6 facce, per ogni tiro ci sono 6 alternative corrispondenti al nuero della faccia che risulta dal lancio. Se il dado non ha difetti, l alternativa corrispondente al nuero ha una probabilità su 6 di verificarsi; le altre alternative hanno uguale probabilità. Se si lancia il dado due volte, ci sono (6x6=) 36 diverse alternative: per esepio l alternativa che esca la pria volta e 6 la seconda ha una probabilità su (6x6=) 36 di verificarsi. Anche l alternativa che esca la pria e la seconda volta ha una probabilità su 36 di verificarsi. n tale caso gli eventi non sono utuaente escludentisi perché sono aessi anche i casi isti e la probabilità risultante è data dal prodotto delle probabilità di ciascuna alternativa. Nel caso invece del calcolo probabilistico della ST, non si può considerare un alternativa ista, in parte favorevole ed in parte contraria ad una particolare tesi. n analogia col doppio tiro del dado è coe accettare le sole alternative coincidenti, cioè,, 2,2, etc.: si tratta di probabilità condizionate dall evento precedente. n tale caso la probabilità che esca sia la pria che la seconda volta non è più /36, a /6 (eq. A.5) perché vengono esclusi dall analisi i casi isti,2,,3,.., 6,,.., 6,5. Nota 2 : per chiarire eglio la definizione di alcuni concetti probabilistici e di statistica inferenziale, si riporta un esepio applicativo che spiega per analogia il procediento logico applicato alla ST. Si fa riferiento ad un azzo di 52 carte da bridge che sia stato preventivaente segnato da un baro ed alla distribuzione ad un giocatore di 3 carte da gioco. 2

3 Dallo spazio capione si considera l evento E consistente nell estrazione della ST; scopo principale del lavoro non è quello di valutare la corrispondente probabilità di estrazione a priori, a quello di valutare la probabilità a posteriori che la ST sia appartenuta ad un particolare uoo, Gesù, sulla base di inforazioni ottenute da ricerche effettuate sul lenzuolo. Per fare ciò è necessario innanzitutto definire le possibili alternative dell evento e successivaente, traite l analisi dei risultati di ricerche, definire un grado di probabilità a posteriori per ciascuna alternativa. Lo sviluppo del odello è basato sulla concezione soggettivistica della statistica, secondo la quale la probabilità di un evento è definita coe la isura del grado di fiducia che un individuo coerente 3 attribuisce al verificarsi dell evento stesso. Essa perette di pesare i diversi coefficienti assegnati in funzione dell attendibilità dell afferazione. La valutazione dei diversi coefficienti verrà eseguita dal singolo individuo secondo l ipostazione soggettivistica della probabilità intesa coe isura del grado di fiducia attribuito al verificarsi di una certa alternativa. l odello viene poi integrato da una valutazione dell incertezza dei paraetri assegnati. Esistono diverse perplessità sull accettazione di un atteggiaento soggettivistico nei riguardi di problei scientifici e tali perplessità auentano nel caso si tratti di problei con iplicazioni di tipo religioso che possono influenzare in odo non trascurabile il giudizio dell individuo che in tale caso rischia di essere poco coerente. Secondo gli autori, un giudizio soggettivo dell assegnazione potrà tuttavia essere reso sufficienteente significativo se il risultato finale sarà ottenuto dalla sintesi di risultati espressi da olti ricercatori aventi anche diverse linee di pensiero. Per questo otivo la ricerca si sviluppa in tre fasi diverse: la pria, oggetto del presente lavoro, consiste nella forulazione di un odello interpretativo di tipo probabilistico delle prove e delle afferazioni; la seconda, riguarda la sintesi, in un centinaio di prove, delle innuerevoli analisi significative, più o eno scientifiche, eseguite sulla ST; la terza, eseguibile da ognuno che sia interessato, consiste nell assegnare a ciascuna afferazione gli opportuni paraetri richiesti dal odello e nel giungere quindi a diversi risultati. Dovrà poi essere eseguita una sintesi finale dei risultati forniti. 3) Forulazione del odello probabilistico a) Lo spazio capione è l insiee di tutte le possibili ani che possono essere distribuite ad un giocatore ed esse sono in totale 52. = b) l evento consiste nell avere estratto dallo spazio capione quel particolare azzo di 3 carte. c) Si possono definire per esepio le seguenti 3 alternative utuaente escludentisi che possono essere iportanti per il giocatore: A= avere in ano 4 re, F= avere in ano 4 assi, N= non avere in ano 4 re o 4 assi. n questa sede non interessa solo la valutazione della probabilità a priori di avere in ano una delle 3 alternative, a interessa anche la valutazione da parte del baro delle probabilità che l avversario abbia in ano una delle tre alternative, a partire dalla conoscenza di alcuni dettagli. Per esepio il baro sa che () tutte le figure hanno un segno rosso, (2) tutte le carte di valore dispari hanno un segno verde, (3) il fante, il re e l asso di cuori hanno un segno blu, etc. Si suppone poi che il baro riesca a leggere il colore dei segni di tutte le carte dell avversario. A partire da questi dati si deve quindi valutare la probabilità a posteriori che l avversario abbia in ano l alternativa A, F o N. Nota 3 : Per esepio la probabilità di un evento può essere intesa coe la quota di scoessa che un individuo coerente è disposto a pagare per ricevere l iporto di una unità se l evento si verifica. Si tratta di individuo coerente nel senso che egli deve accettare la scoessa della quota prescelta sia da giocatore che da banco. 3

4 3.) Definizione delle alternative. Si considerano 3 diverse alternative che hanno causato l evento E; esse coprendono le ipotesi più plausibili riguardanti l origine della ST; esse sono possibili, a tra loro escludentisi, e vengono noinate A, F, N: -) Alternativa A: la ST è autentica; essa ha avvolto il corpo di Gesù; -2) Alternativa F: la ST è falsa, edievale o post-edievale: può essere un dipinto o l opera di un cosiddetto geniale falsario assassino ; -3) Alternativa N: la ST non è autentica, a non è neeno falsa, edievale o postedievale; non sono quindi verificata le alternative A ed F ; in tale alternativa sono coprese tutte le altre possibili cause della forazione della ST, non escluso il iracolo. Ovviaente il odello è adatto anche all analisi di 2 sole alternative, per esepio la ST è o non è un dipinto ; in tale caso si dovranno porre nulli tutti i coefficienti relativi alla terza alternativa. 3.2) Assegnazione dei valori probabilistici All alternativa A si assegna una probabilità a priori P (A) ed una incertezza assoluta i A, all alternativa F una probabilità a priori P (F) ed una incertezza assoluta i F, all alternativa N una probabilità a priori P (N) ed una incertezza assoluta i N. n un altro lavoro [6] vengono assegnate e discusse le seguenti probabilità a priori con le corrispondenti incertezze: P (A)=0.05; i A =0.02; P (F)=0.35; i F =0.05; P (N)=0.60; i N =0.05 A ciascuna afferazione j-esia, devono essere assegnati i seguenti paraetri: - a j = probabilità che si verifichi l alternativa A in seguito all afferazione in esae, - f j = probabilità che si verifichi l alternativa F in seguito all afferazione in esae, - n j = probabilità che si verifichi l alternativa N in seguito all afferazione in esae, - i aj = incertezza assoluta assegnata alla probabilità a j dell afferazione in esae, - i fj = incertezza assoluta assegnata alla probabilità f j dell afferazione in esae, - i nj = incertezza assoluta assegnata alla probabilità n j dell afferazione in esae, - p j = peso assegnato all afferazione in esae. l peso p j può venire valutato in base a diversi fattori legati alla scientificità dell afferazione, alla sua significatività ed all eventuale dipendenza da altre prove: p j = p j p 2j p 3j () essendo: -p j : peso correlato alla scientificità dell afferazione; può essere utilizzato uno schea del tipo: - afferazione pubblicata su rivista internazionale: p j = - afferazione pubblicata: p j =0.8 - afferazione poco docuentata o ipotesi non verificata: p j =0. - afferazione avente incertezza relativa i aj /a j, i fj /f j o i nj /n j superiori al 50%: p j =0; -p 2j : peso correlato all iportanza dell afferazione secondo lo schea: - afferazione di estreo interesse: p 2j =3 - afferazione interessante: p 2j =2 - afferazione standard: p 2j = - afferazione di scarso interesse: p 2j =0.5; 4

5 -p 3j effetto di un possibile grado di correlazione con altre afferazioni con valori copresi fra 0 e. Per esepio se esistessero due afferazioni identiche si deve assegnare a ciascuna il valore p 5j =0,5. Le afferazioni soggette ad analisi sono per ipotesi seplificativa tra loro utuaente indipendenti; l eventuale dipendenza che potrà essere riscontrata, verrà considerata traite il peso p che viene proposto in questo lavoro per potere confrontare fra loro afferazioni di diversa iportanza. n [6] le afferazioni sono suddivise per argoenti per potere più facilente assegnare tali valori. Per esepio il non credente potrà assegnare p 3j =0 alle afferazioni riguardanti l Antico e Nuovo Testaento se non le riterrà significative. l credente invece potrà assegnare valori di p 3j copresi fra 0,5 e alle stesse afferazioni perché, in alcune di esse, potrebbe essere individuata una correlazione con la definizione dell alternativa A o con altre afferazioni considerate. l caso p j = non ha alcuna influenza nel prodotto (eq. 3a,b,c) e quindi una tipica afferazione deve avere tale coefficiente. l caso p j =2 eleva al quadrato il coefficiente probabilistico e quindi è coe considerare due volte nell analisi la stessa l afferazione; si applica quindi ad afferazioni di elevata significatività. Nel caso p j =0,5 si calcola la radice quadrata del coefficiente a j, f j, n j ; si ipone quindi che la afferazione sia pari a ezza afferazione tipica. Per il principio delle probabilità totali (o dell addizione, eq. A.3), per ogni afferazione j-esia, deve essere verificata la condizione relativa alla cobinazione di alternative utuaente escludentisi: a j + f j + n j = (2) cioè le probabilità assegnate per una certa afferazione devono essere in totale il 00%. 3.3) Costruzione del odello. Si tratta di accettare o eno un alternativa fra le possibili escludentisi a vicenda. l criterio probabilistico di accettazione si basa sull analisi delle afferazioni ricavate da vari esperienti o da studi eseguiti sulla ST. l risultato dell analisi consiste nell assegnare valori di probabilità alle alternative sviluppando i seguenti punti: -a) FASE. Vengono assegnate le probabilità a priori P (A), P (F), P (N), delle tre alternative ignorando copletaente i risultati delle ricerche eseguite. -b) FASE. Si calcolano le probabilità a posteriori P (A), P (F), P (N) o probabilità subordinate, di seguito indicate coe P (), essendo l indice corrispondente alle tre alternative A, F, N e P(E) la probabilità dell evento E subordinata al verificarsi dell alternativa. Sono date afferazioni da valutare traite l assegnazione dei coefficienti a j, f j, n j, p j (di indice j variabile da a ). Le probabilità P () risultano dalla coposizione delle singole probabilità (a j, f j, n j ) assegnate, per il principio delle probabilità coposte (vedi eq. A.4): P (A) = p j a j j= ; P (F) = p j f j j= ; P (N) = p j n j j= (3a, b, c) 5

6 Tenendo conto dei pesi p j assegnati alle varie afferazioni, il nuero effettivo di casi considerati, in genere diversi da, diviene quindi:. (4) = p j j= É auspicabile che sia verificata la condizione che sia uguale a, nuero di prove; in tale odo si può fare un riferiento probabilistico diretto al nuero di prove considerate. -c) Si calcolano le probabilità finali P*() a eno della costante di Bayes: P*() = P () P (), =A, F, N (5) -d) Si calcolano le probabilità P(E) dell evento E date le tre alternative che risultano, per il principio delle probabilità totali (vedi eq. A.3): P(E) = Σ (=A,F,N) P * () = P (A) P (A) + P (F) P (F) + P (N) P (N) (6) -e) FASE. Essendo le alternative A, F, N dell evento considerato possibili, a tra loro escludentisi, sono da scartare le possibilità iste. Si calcolano quindi le probabilità finali P (A), P (F), P (N) in base all applicazione della forula di Bayes: P ( ) P ( ) P ( ) =, =A, F, N (7) P( E) 4) Analisi dell incertezza Nonostante il soggettiviso dell ipostazione probabilistica, si ritiene necessario valutare l ordine di grandezza dell incertezza del risultato, in riferiento alla Guida per l espressione dell incertezza [7], ipotizzando distribuzioni di probabilità rettangolari dell incertezza, convertite in equivalenti gaussiane dividendo i valori per,7. Sono da intendersi, ove non specificato diversaente incertezze assolute. Vengono assegnate le incertezze i A, i F, i N delle probabilità a priori e le incertezze i aj, i fj, i nj, (j =,) delle probabilità delle afferazioni considerate. Scopo dell analisi è la deterinazione delle incertezze i A, i F, i N delle probabilità finali. Si assue l ipotesi seplificativa che il grado di correlazione sia nullo e che quindi non copaiano le coponenti iste di incertezza nelle forule di propagazione. 4. Regole pratiche per l applicazione del odello Vengono elencati alcuni criteri proposti per ottenere risultati attendibili. -) Se le probabilità finali P (A), P (F), P (N), fossero affette da incertezza troppo elevata, è necessario che per ogni afferazione l incertezza relativa i /P() sia inferiore ad un prefissato valore. L incertezza relativa liite nel presente lavoro viene assunta 4 pari al 50%. 4 L incertezza relativa liite è funzione sia del nuero di afferazioni oggetto di analisi, sia del risultato in quanto (eq. 7) risultati probabilistici percentualente olto diversi perettono in alcuni casi di accettare anche incertezze relativaente elevate. Per definire l incertezza liite i l, si può assuere una relazione del tipo: K i l = % essendo il nuero di afferazioni in esae e K un coefficiente scelto pari a 500 nel presente lavoro. 6

7 Se l incertezza supera il valore liite si assue che la afferazione sia poco significativa e la si scarta assegnando un peso p=0. -2) Dato che nessuna afferazione, in riferiento alle ricerche eseguite [6], è in grado di diostrare con assoluta certezza una delle alternative (in caso contrario sarebbe inutile applicare il odello probabilistico proposto!), si ipone che il valore inio assegnato alle alternative a j, f j, n j sia superiore o uguale a Ciò equivale a supporre di non disporre di afferazioni così certe da assegnare probabilità igliori di su ) Si ottiene (eq. 2): a j = - f j - n j ; f j = - a j - n j ; n j = - a j - f j (8a, b, c) e quindi, assegnate due incertezze assolute, si valuta la terza secondo una delle relazioni derivanti dall applicazione dell eq. (A2. 0): i = i 2 + i 2 ; i = i 2 + i 2 ; i = i + i aj fj nj fj aj nj 2 2 nj aj fj (9a,b,c) 4.2) Propagazione dell incertezza al risultato. Per deterinare le incertezze i A, i F, i N delle probabilità P (), si applica l eq. (A2. 0) alle equazioni (3a,b,c) e si ottiene: i a p i pj a j A = j j j j a = = j i f p i pj f j F = j j j j f = = j i n p i pj n j N = j j j j n = = j (0a) (0b) (0c) Per deterinare le incertezze i A, i F, i N delle probabilità finali P (), si applica l eq. (A2. 0) all eq. (7) e si ottiene: i = P ( A) A A i = P ( F) F F i = P ( N) N N i i i A P E + P A + P A ( ) ( ) ( ) P( E) i i i F P E + P F + P F ( ) ( ) ( ) P( E) i i i N P E + P N + P N ( ) ( ) ( ) P( E) (a) (b) (c) essendo i P(E) l incertezza sulla probabilità dell evento E: 7

8 ip ( E) = ( P ( A) i A ) + ( P ( A) i A ) + ( P ( F) i F ) + ( P ( F) i F ) + ( P ( N) i N ) + ( P ( N) i N ) (2) Estendendo alle probabilità finali l eq. (2), si ha: P (A) + P (F) + P (N) = (3) e quindi: P (A) = - P (F) - P (N); P (F) = - P (N) - P (A); P (N) = - P (A) - P (F) (4) Assegnate due incertezze assolute si può valutare la terza secondo una delle relazioni derivanti dall applicazione dell eq. (A2. 0): ( ) ( ) ; i f = ( i n ) + ( i a ) ; i n = ( i a ) + ( i f ) i = i + i a f n 2 2 (5a,b,c) 5) Risultati Coe esepio, si applica il odello proposto, alle afferazioni discusse in [4] : vengono considerate 7 afferazioni supponendo l esistenza di due sole alternative: - alternativa A: la ST è autentica; - alternativa F: la ST è falsa, alle quali l autore può avere assegnato iplicitaente le seguenti probabilità a priori: - P (A)=0.5; P (F)=0.5. Non essendo considerata l alternativa N ed il peso p, si pone: - P (N) = 0; P (N) = 0; P (N) = 0; p j =; non viene inoltre valutata l incertezza nella pria fase dell esepio; nella seconda fase gli autori assegneranno a titolo di esepio alcuni valori indicativi. 5. Esepio applicativo parte Le afferazioni oggetto dell analisi sono le seguenti: ) L UST ha avuto un lenzuolo [a =0.667, f =0.333]; 2) L UST è riasto poco tepo nel lenzuolo [a 2 =0.95, f 2 =0.05]; 3) l sangue dell UST risulta perfettaente separato dalla tela senza sbavature o striature [a 3 =0.98, f 3 =0.02]; 4) L UST è stato fissato alla croce con chiodi [a 2 =0.333, f 2 =0.667]; 5) Sull UST appaiono le ferite di un casco di spine: [a 2 =0.999, f 2 =0.00]; 6) L UST ha ricevuto un colpo di lancia al costato destro [a 2 =0.80, f 2 =0.20]; 7) l volto dell UST presenta un espressione aestosa e triste, e nello stesso tepo, nobilente serena [a 2 =0.9999, f 2 =0.000]; Applicando le eq. (3a,b), si ottengono le seguenti probabilità P (): - P (A) = 0.653; P (F) = = / Dall eq. (6) si ottiene P(E): 8

9 - P(E) = P (A) P (A) + P (F) P (F) = Dall eq. (7) si ottengono le probabilità finali P (A), P (F): - P (A) = ; P (F) = = / Anziché una probabilità su 225 iliardi risulterebbe quindi una probabilità su circa 8 iliardi Esepio applicativo parte Si assue [6] : P (A)=0.05; i A =0.02; P (F)=0.95; i F =0.02. Dall eq. (9a,b), risulta i a =i f =i; si assegnano quindi le seguenti incertezze: ) i=0,; 2) i=0,02; 3) i=0,0; 4) i=0,; 5) i=0,0003; 6) i=0,08; 7) i=0,00003 Risulta quindi: P (A) = 0.65; P (F) = ; =7; P(E) = ; P (A) = ; P (F) = =/ ; i = Risulta quindi che la probabilità che la ST sia falsa è: P (F) = pari a circa / con un incertezza del 00%. L elevata incertezza del risultato è dovuta alle incertezze, percentualente di entità elevata, che sono state assegnate. l risultato P (F) può quindi variare, con un grado di confidenza del 95%, tra 0 e / Secondo le afferazioni considerate e le probabilità con relative incertezze assegnate, questo significa che la probabilità che la ST sia falsa, anziché essere pari a una su 225 iliardi [4], essa oscilla tra zero ed una probabilità su un iliardo. 6) Discussione A questo punto può sorgere un dubbio sul significato fisico del risultato dell indagine probabilistica proposta; il dubbio riguarda l interpretazione del risultato in terini di accettazione o eno di una possibile alternativa. Si può ricondurre il problea alla definizione di una probabilità liite oltre la quale il risultato non sia scientificaente accettabile. n riferiento ad un esepio pratico, si consideri la seguente afferazione Ogni anno, un cubo in granito di di lato, non sollecitato da forze esterne, si solleva di aleno un etro da terra. Chiunque è sicuro che tale afferazione sia assolutaente falsa perché si descrive un fenoeno fisicaente ipossibile. Tuttavia questo non risulterebbe così chiaraente da una dettagliata indagine probabilistica. Si dovrebbe considerare la cobinazione probabilistica di tutte le forze indotte dagli urti casuali delle olecole costituenti sia il blocco in granito che l abiente circostante. 5 Nota: Se non venissero considerate le probabilità P (), si giungerebbe alle seguenti probabilità finali: P (A) = ; P (F) = = /

10 l calcolo delle probabilità fornirebbe un risultato possibile con una probabilità di uno diviso un nuero seguito da qualche decina di iliardi di zeri. Se dal punto di vista teorico il risultato è estreaente iprobabile a possibile, dal punto di vista pratico il risultato è invece da considerarsi effettivaente ipossibile. Non è ancora copletaente definita quale possa essere la probabilità liite oltre la quale considerare ipossibile un fenoeno fisico. Si può pensare all esepio del gioco della roulette. La probabilità che esca il nuero 36 dopo una giocata è /37 (esistono tutte le possibilità coprese tra lo zero ed il nuero 36); la probabilità che esca due volte consecutive il nuero 36 è /37 2 =/369; la probabilità che esca cento volte consecutive il nuero 36 è /37 00 cioè un uno diviso un nuero seguito da 56 zeri. Secondo gli autori, potrebbe essere definita ipossibile un alternativa che abbia una probabilità di verificarsi dell ordine di /0 30 che corrisponderebbe alla probabilità di ottenere 9 volte consecutive 6 l uscita del nuero 36 alla roulette. Secondo questa ipostazione la probabilità P (F), variabile tra zero e su un iliardo fornisce la seguente inforazione: anche se è olto iprobabile che la ST sia falsa, tale alternativa non è da escludersi. Risulterebbe però più probabile che esca il nuero 36 per 5 volte consecutive al gioco della roulette che la ST sia falsa. 7) Conclusioni l odello probabilistico proposto, per eventi utuaente escludentisi, è capace di sintetizzare i olteplici ed anche contrastanti risultati delle ricerche sulla ST. Esso si basa sulla definizione di tre alternative possibili (A= autentica, F= falsa, N= non autentica) per l origine del lenzuolo e sulla valutazione di ciascuna alternativa sulla base dell assegnazione di opportune probabilità, con relativa incertezza, a ciascun risultato delle ricerche copiute. L esepio applicativo considerato confronta i risultati ottenuti da un analisi probabilistica eseguita su sole 7 afferazioni, con quelli già elaborati più seplicisticaete in bibliografia indicando che l alternativa (F) può variare, con un grado di confidenza del 95%, tra 0 e / La probabilità che la ST sia falsa, secondo le afferazioni considerate, anziché essere di una su 225 iliardi, coe proposto in bibliografia [4], oscilla quindi tra zero ed una probabilità su un iliardo. Se vengono rispettate tutte le condizioni di applicabilità, il odello può essere utilizzato per sintetizzare un nuero assai più elevato di risultati scientifici (anche 00): questo è l oggetto di un altro studio [6]. Bibliografia ) P. Baia Bollone: La Sindone, la prova, ed. Mondadori ) O. Petrosillo, E. Marinelli: La Sindone: storia di un eniga, ed. Rizzoli 998 3) C. Papini: Sindone: una sfida alla scienza e alla fede, ed. Claudiana, Torino, ) P. DeGail: Le visage de Jesus Christ et son linceul Éditions France-Epire, Paris 972 5) B. Barberis, P. Savarino: Sindone, radiodatazione e calcolo delle probabilità, ed Elle Di Ci, 997 Nota 6 : Per ottenere il risultato si applica la relazione : n = [log ] / [log 0 (/37)] = 30 /,568 = 9 essendo n il nuero di volte consecutive che esce il nuero 36. 0

11 6) G. Fanti, E. Marinelli Risultati di un odello probabilistico applicato alle ricerche eseguite sulla Sindone di Torino, Congresso nternazionale di Studi sulla Sindone, Torino, Giugno ) SO-GUM Guide to expression of Uncertainty in Measureent, SO 993 8) B. de Finetti: La logica dell incerto, l Saggiatore, Milano ) D. Costantini: ntroduzione alla probabilità Boringhieri, Torino 977. APPENDCE : Richiai di probabilità e di stia statistica Si consideri un qualsiasi insiee Ω di eleenti ω; l insiee Ω è noinato spazio capione e gli eleenti ω punti capione. Evento casuale è un insiee E di punti capione e quindi un sottoinsiee dello spazio capione Ω. L insiee forato da un solo punto capione è detto seplice, se è forato da più punti è detto coposto. Si ricorda dall algebra degli eventi che, dati due eventi E ed E 2, l evento E E 2 (intersezione) si verifica se e solo se si verificano congiuntaente E ed E 2, entre l evento E E 2 (unione) si verifica se e solo se si verificano aleno uno dei due eventi E ed E 2, Un evento è detto totale se si può realizzare in diversi odi escludentisi a vicenda ed ha per probabilità la soa delle probabilità delle diverse alternative. Si chiaa isura di probabilità o distribuzione di probabilità su un insiee Ω una funzione P definita per tutti gli eventi di Ω con le seguenti proprietà: -a) ad ogni evento è associato un nuero reale non negativo P(E) detto probabilità dell evento E -b) se si hanno 2 eventi E ed E 2 di Ω utuaente esclusivi, tali che P(E E 2 ) =0, si ha: P(E E 2 ) = P(E )+P(E ) (A.) -c) la probabilità che si verifichi Ω è pari a uno: P(Ω)=. Due eventi A e B si dicono indipendenti se la probabilità di intersezione di A e B è uguale al prodotto 7 delle probabilità di A e di B: P(A B) = P(A) P(B) (A.2) Si considerano eventi indipendenti nel senso che i diversi punti capione considerati non sono tra loro correlati. La probabilità totale che si verifichi aleno uno di più eventi escludentisi a vicenda o utuaente incopatibili è pari alla soa delle probabilità dei singoli eventi (principio delle probabilità totali o dell addizione). La probabilità dell evento unione di n eventi utuaente esclusivi è la soa delle probabilità 8 dei singoli eventi, P( E) = P( E i ) n i= (A.3) La probabilità coposta che si verifichino più eventi utuaente copatibili è pari al prodotto delle probabilità dei singoli eventi (principio delle probabilità coposte o della oltiplicazione): P( E) = P( E i ) n i= (A.4) Nota 7 : L indipendenza è verificata se il risultato del prio evento non condiziona la probabilità del secondo. Per esepio si consideri un dado a 6 facce senza difetti lanciato 2 volte: la probabilità che la pria volta esca 4 e la seconda esca 6 corrisponde ad (/6)(/6)=/36. Nota 8 : Per esepio la probabilità che esca oppure 3 oppure 6 in un lancio di un dado senza difetti è (/6 + /6 + /6) = 0,50.

12 che è valida se gli eventi sono utuaente indipendenti; se gli eventi sono dipendenti, la probabilità dell evento i-esio è calcolata tenendo conto che tutti gli eventi precedenti si sono verificati. Eventi condizionati o subordinati si hanno nel caso non sia verificata l indipendenza statistica fra due eventi A e B. Se l evento A non è indipendente da B, si denota con il sibolo A B e si legge A condizionato a B. La probabilità dell evento A condizionata all evento B è: P(A B) P(A B) = (A.5) P(B) che si può scrivere, secondo il principio delle probabilità coposte coe 9 : P(A B) = P(B) P(A B) = P(A) P(B A) (A.6) l ultia uguaglianza essendo verificata se P(A) 0. Eventi indipendenti: se invece gli eventi A e B sono indipendenti, cioè se la probabilità di intersezione di A e B è uguale al prodotto delle probabilità di A e di B, si ha: P(A B) = P(A) (A.7) cioè non è di nessun rilievo il fatto che si verifichi B ai fini dell evento A. n tale caso secondo il principio delle probabilità coposte si ha 0 : P(A B) = P(A)P(B) (A.8) Si tratta di accettare o eno un alternativa A, F, N fra le possibili a priori, ciascuna delle quali si esclude a vicenda, in base all analisi delle afferazioni ricavate da diversi esperienti e studi sulla ST. Si consideri la probabilità che l evento E che si verifica ad una ed una sola delle tre alternative A, F, N. Per il principio delle probabilità totali, la probabilità dell evento E è: P( E) = P( E ) (A.9) = A, F, N Per il principio delle probabilità coposte, P( E ) è la probabilità che si verifichi sia l evento E che l alternativa e corrisponde all equazione (A.6) avendo sostituito A e B a ed E. APPENDCE 2: Richiai di analisi dell incertezza Siano date una variabile x e una variabile dipendente y=f(x). Si suppone di valutare x un certo nuero di volte, per stabilirne il valore edio e la relativa ripetibilità (t σ) data dal prodotto dello scarto quadratico edio per il fattore di copertura t che dipende dal grado di confidenza stabilito. Nota 9 : Per esepio nel lancio di un dado senza difetti a 6 facce, l evento A sia l uscita della faccia col 4 e l evento B sia l uscita di una faccia col nuero pari. La probabilità di A è /6 e la probabilità di B è /2. La probabilità di A condizionata a B, è aggiore e risulta P(A B) =/3 poiché dall eq. (A.5) si ha P(B)=/2 e P(A B)=/6. Nota 0 : Per esepio da un urna con 0 dischetti di cui 3 rossi e 7 neri, si estraggano due dischetti senza riettere il prio nell urna e si supponga che ogni dischetto abbia uguale probabilità di essere estratto. Si considerano i seguenti eventi: A: al prio colpo si estrae un dischetto rosso ; B: al prio ed al secondo colpo si estrae un dischetto rosso ; C: al secondo colpo si estrae un dischetto rosso. Lo spazio capione Ω è costituito da (0x9=90) risultati. A è forato da (3x9= 27) punti perché ci sono 3 possibili scelte per il prio dischetto e 9 per il secondo; B è forato da (3x2=6) punti. Le probabilità degli eventi A, B, C sono: P(A) =(3x9):(0x9) = 0.3 ; P(B) = (3x2):(0x9) = :5 = P(C) =(7x3 + 3x2 perché è possibile pescare o uno dei 7 dischetti neri la pria volta e uno dei 3 rossi la seconda volta, oppure uno dei 3 dischetti rossi la pria volta e uno dei 2 riasti la seconda volta):(0x9) = 0.3 La probabilità condizionata di C dato A, cioè la probabilità di C supponendo verificato l evento A è: P(C A) P(B) P(C A) = = = (6/90)/ (27/90) = 20/90 = P(A) P(A) Se invece si riettesse il dischetto pescato nell urna si avrebbero eventi indipendenti e quindi la probabilità P (B) che si verifichi l evento C subordinato ad A (e quindi l evento B) sarebbe: P (B) = P(A) P(C) = 0.3x0.3 = 0.09 > P(B) = essendo P(A)=(3x0=30), P(B)=(3x3=9), P(C)=(0x3=30). 2

13 n generale si adotta il grado di confidenza (P= 95%) in tutti i calcoli dell incertezza a cui corrisponde un fattore di copertura t=2 se il capione è sufficienteente nueroso. l valore di x sarà copreso entro l intervallo x ±tσ, e si suppone che il valore di y cada entro l intervallo definito da: y ±δ y = f ( x ±tσ ) (A2.) Sviluppando la (4.) in serie di Taylor, si ottiene: dy y ±δ y = f ( x )± tσ + 2 d y ( t σ) dx 2 x = x ] (A2.2) 2 dx x= x l valore edio di y sarà pari a f ( x ). l terine fra parentesi quadra sarà quindi la stia di δ y. Facendo un approssiazione lineare diδ y, si ottiene: δ y dy. t σ (A2.3) dx x = x ove il terine dy è l indice della sensibilità di y ai cabiaenti di x. L incertezza i y di y dipende dx x = x dall incertezza i x di x, secondo la relazione: i y = dy i x (A2.4) dx x = x Estendendo il odello a relazioni ultivariabili, si considera un risultato q deterinato dalla relazione: q=f (x, x 2,..., x L ); (x,..., x L, = variabili indipendenti) (A2.5) La igliore stia del valore isurato q sarà: q =q ± i q (P%) (A2.6) ove il valore edio è ricavato da: q=f ( x, x,..., x ) 2 L (A2.7) e l incertezza i q è ottenuta da: i q = f 2 ( i,i,...,i ) x x2 xl (A2.8) Definito l indice di sensibilità coe: ϑ i = q x = x i =, 2,..., L (A2.9) x i in riferiento ai cabiaenti di ogni x i riguardo q; il contributo quindi dell incertezza di x i al risultato q è stiato dal terine ( ϑ i i xi ). La stia più probabile di i q è data dalla forula: L i q = ± ( i ) 2 ϑ i xi (P%) (A2.0) i= 3

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