Prova scritta di Logica Matematica giugno Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento:

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1 1.1 Ricerca di dimostrazione: Prova scritta di Logica Matematica giugno 2006 xp (f(x)), x( P (x) Q(x)), x(q(x) R(g(x), x)) x yr(x, y) 1.2 Ricerca di contromodello: x y(p (x, y) Q(x)), x Q(x) x P (a, x) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Tutte le giraffe sono alte. Tutte le giraffe hanno la coda. Qualche uomo è alto. Qualche uomo ha la coda. 2.1 Studiare mediante la procedura DPLL la soddisfacibilitá del seguente insieme di clausole {p q, q, r p, r s, p s} 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: h(x 1, f(x 2 ), h(x 1, x 2, x 3 )) = h(f(x 2 ), x 1, h(x 1, x 2, g(x 4 ))) g(h(x 1, x 2, x 4 )) = g(h(f(x 2 ), x 2, g(x 2 ))) h(x 1, f(x 2 ), x 3 ) = h(x 1, f(g(x 3 )), x 3 ) 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia A B una contraddizione e sia r una lettera proposizionale. Allora il sequente A r è dimostrabile il sequente r A è dimostrabile il sequente r A B è dimostrabile (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, sia g un simbolo di fuzione binario e sia a una costante. Indicare quale delle seguenti espressioni è una formula yp (f(g(x, y))) g(f(a), a) xg(f(x), P (x)) P (P (a))

2 (iii) Sia A un insieme contenente due soli elementi a, b, sia P una lettera predicativa binaria e sia Q una lettera predicative unaria. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula x yp (x, y) xq(x) (a, a) / I(P ), (a, b) / I(P ), (b, a) / I(P ), (b, b) / I(P ), a / I(Q), b / I(Q), (a, a) I(P ), (a, b) I(P ), (b, a) I(P ), (b, b) I(P ), a I(Q), b I(Q), (a, a) / I(P ), (a, b) / I(P ), (b, a) / I(P ), (b, b) / I(P ), a I(Q), b I(Q), (a, a) I(P ), (a, b) / I(P ), (b, a) I(P ), (b, b) / I(P ), a / I(Q), b I(Q), (a, a) I(P ), (a, b) / I(P ), (b, a) / I(P ), (b, b) / I(P ), a I(Q), b I(Q), 3.1 Visualizzare l albero di esecuzione del programma not in(x, [ ]). not in(x, [X C]) :!, fail. not in(x, [Y C]) : not in(x, C). set diff([ ], B, [ ]). set diff([t A], B, [T D]) : not in(t, B),!, set diff(a, B, D). set diff([t A], B, [DT DC]) : set diff(a, B, [DT DC]).? set diff([1, 2, 3], [2], Z). 3.2 Visualizzare l albero di esecuzione del programma pos(x, [X C], 1). pos(x, [T C], N) : pos(x, C, N1), N is N cube(x, Y ) : Y is X X X? pos(b, [b, a, X], N), cube(n, P ).

3 Prova scritta di Logica Matematica luglio Ricerca di dimostrazione: x(p (x) Q(f(x))), xp (x) x(q(x) R(x, f(x))) x yr(x, y) 1.2 Ricerca di contromodello: x(p (x) Q(x)), x(q(x) R(x, x)) P (a) x yr(x, y) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: 2.1 Skolemizzare il seguente enunciato: Tutti i topi squittiscono. Tutti topi sono grigi. Tutti i topi sono grigi e squittiscono. x y(p (f(x), y, a) x y zq(x, y, z)) 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: f(x 1 ) = f(h(x 2, x 2, x 2 )) h(x 1, x 2, x 3 ) = h(h(x 2, x 2, x 2 ), x 2, f(x 4 )) h(x 2, x 1, x 4 ) = h(f(x 4 ), h(x 2, x 2, x 2 ), x 4 ) 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia (A B) una tautologia e sia r una lettera proposizionale. Allora A r è una tautologia r B è una tautologia r A è una tautologia (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, sia g un simbolo di fuzione binario e sia a una costante. Indicare quale delle seguenti espressioni è un enunciato (formula chiusa) yp (f(g(x, y))) f(g(f(a), y)) xp (g(x, a)) P (P (a))

4 (iii) Sia A un insieme contenente due soli elementi a, b. Siano P, Q, R lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula x(p (x) Q(x)) xr(x) a I(P ), b I(P ), a I(Q), b I(Q), a I(R), b I(R) a / I(P ), b / I(P ), a / I(Q), b / I(Q), a I(R), b I(R) a I(P ), b / I(P ), a I(Q), b / I(Q), a I(R), b I(R) a I(P ), b / I(P ), a I(Q), b / I(Q), a I(R), b / I(R) a / I(P ), b I(P ), a I(Q), b / I(Q), a / I(R), b I(R) 3.1 Visualizzare l albero di esecuzione del programma member(x, [X C]). member(x, [Y C]) : member(x, C). conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3).? member(s, [1, 2, 3]), not(s = 3), conc([s], [4, 5], X). 3.2 Visualizzare l albero di esecuzione del programma first(x, [X ]). per(x, Y, Z) : Z is X Y. occ(x, [ ], 0). occ(x, [X C], N) :!, occ(x, C, N1), N is N occ(x, [Y C], N) : occ(x, C, N).? L = [3, 2, 3], occ(3, L, X), first(y, L), per(x, Y, Z).

5 Prova scritta di Logica Matematica settembre Ricerca di dimostrazione: x P (f(x)), x y((q(x) R(x, g(y))) P (y)) x Q(x) x y R(x, y) 1.2 Ricerca di contromodello: x(q(a) R(x, b)) xp (x) ( xq(x) xr(x, x)) xp (x) 1.3 Formalizzare e studiare la correttezza del seguente ragionamento: Se Laura ha i capelli rossi allora Andrea ha i capelli biondi. Se qualcuno ha i capelli biondi allora Carlo ha i capelli neri. Se Laura ha i capelli rossi allora qualcuno ha i capelli neri. 2.1 Studiare mediante la procedura DPLL la soddisfacibilitá del seguente insieme di clausole { p q, s t, q, p r, r s} 2.2 Determinare, se possibile, la soluzione piú generale del seguente problema di unificazione: f(h(x 1, x 2, x 3 )) = f(h(h(x 2, x 3, x 4 ), h(x 3, x 3, x 3 ), x 3 )) g(x 1, x 3 ) = g(h(x 2, x 3, x 4 ), f(x 4 )) h(h(x 3, x 3, x 3 ), x 4, f(x 3 )) = h(x 2, x 4, f(f(x 1 ))) 2.3 Rispondere alle seguenti domande: (i) Sia A B una contraddizione e sia r una lettera proposizionale. Allora il sequente A r, B è dimostrabile il sequente r A è dimostrabile il sequente A, r B è dimostrabile (ii) Sia P una lettera predicativa unaria, sia f un simbolo di funzione unario, sia g un simbolo di fuzione binario e sia a una costante. Indicare quale delle seguenti formule contiene almeno una occorrenza libera della variabile x y xp (f(g(x, y))) xp (x, f(y)) yp (y, f(x)) xp (g(x, a)) x(p (a, f(x)) P (g(x, x)))

6 (iii) Sia A un insieme contenente due soli elementi a, b. Siano P, Q, R lettere predicative unarie. Indicare per quali delle seguenti interpretazioni I si ha che la struttura A = A, I è un contromodello per la formula x(p (x) Q(x)) x R(x) a I(P ), b I(P ), a I(Q), b I(Q), a I(R), b I(R) a I(P ), b I(P ), a / I(Q), b / I(Q), a I(R), b / I(R) a I(P ), b / I(P ), a I(Q), b / I(Q), a / I(R), b / I(R) a / I(P ), b / I(P ), a I(Q), b / I(Q), a I(R), b / I(R) a / I(P ), b I(P ), a I(Q), b / I(Q), a / I(R), b / I(R) 3.1 Visualizzare l albero di esecuzione del programma del(x, [X C], C). del(x, [Y C], [Y C1]) : del(x, C, C1). sml([ ], 0). sml([f R], S) : sml(r, S1), S is S1 + F.? sml([1, 2], X), Y is X + 1, del(y, [X, Y ], [X]). 3.2 Visualizzare l albero di esecuzione del programma conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3). mcd(x, X, X) :!. mcd(x, Y, D) : X < Y, Y 1 is Y X, mcd(x, Y 1, D). mcd(x, Y, D) : Y < X, Y 1 is X Y, mcd(y, Y 1, D).? conc([x, Y ], Z, [6, 3]), mcd(x, Y, W ).

7 Prova scritta di Logica Matematica - Parte I gennaio Ricerca di dimostrazione: x(p (f(x)) Q(x)) Q(a) y P (y) 1.2 Ricerca di contromodello: x(p (x) Q(x)) y(q(y) P (y)) 1.3 Formalizzare e dimostrare la correttezza del seguente ragionamento: Se Andrea va alla festa allora nessuno si diverte. Se Andrea va alla festa allora Andrea non si diverte. 2.1 Applicando la procedura DPLL, determinare se il seguente insieme di clausole è o meno soddisfacibile: p 1 p 2, p 2 p 3, p 1 p 3 p 4, p 2 p 3 p 4, p 1 p Rispondere alle seguenti domande: (i) Siano P e Q due lettere predicative binarie e siano a, b due costanti individuali. Quale delle seguenti formule è un enunciato? x(p (a, x) Q(y, b)) y(p (a, x) Q(y, b)) ( yp (a, y)) Q(y, b) x(p (a, x) Q(x, b)) P (a, b) Q(b, a) (ii) Siano f, g simboli di funzione binaria e sia a una costante. Quali dei seguenti termini è un termine chiuso (o ground)? f(a, g(f(a, a), x)); a; f(a, x); f(x, x).

8 Prova scritta di Logica Matematica - Parte II (Prolog) gennaio Visualizzare l albero di esecuzione del programma pos(x, [X C], 1). pos(x, [T C], N) : pos(x, C, N1), N is N1 + 1.? pos(b, [a, b, b], P ). 3.2 Visualizzare l albero di esecuzione del programma in(x, L) : conc(l1, [X L2], L). conc([ ], L, L). conc([x L1], L2, [X L3]) : conc(l1, L2, L3). del1(x, [X T ], T ) :!. del1(x, [Y T ], [Y T 1]) : del1(x, T, T 1).? in(x, [a, b]), del1(x, [b, a, b], DL).

9 Prova scritta di Logica Matematica febbraio Ricerca di dimostrazione: x( yr(x, y) R(f(x), x)), R(a, b) x(r(f(f(x)), f(x))) 1.2 Ricerca di contromodello: x(p (x) yq(y)) xp (x) 1.3 Formalizzare e dimostrare la correttezza del seguente ragionamento: Tutti i calciatori sono personaggi famosi. Qualche calciatore gioca male. Qualche personaggio famoso gioca male. 2.1 Dimostrare che la seguente formula è una tautologia negandola, trasformandola in fnc e applicando l algoritmo DPLL: (((p q) q) q) ((r p) r). 2.2 Rispondere alle seguenti domande: 1 (i) Quali di queste formule sono enunciati? x(p (x) Q(y)); y(p (x) Q(y)); x(p (x) Q(a)); P (a) Q(b)); z(p (x) Q(y)). (ii) Quale di queste coppie di termini non è unificabile a causa dell occur check? f(a) e f(b); f(a) e g(a); f(x) e x; f(x) e y; f(x) e a. 1 Come sempre, le lettere x, y, z,... stanno per variabili individuali e le lettere a, b, c,... stanno per costanti individuali.

10 (iii) Il minimo numero di elementi che un modello della formula x(p (x) Q(x)) y Q(y) può avere è: uno; due; tre; la domanda non ha senso, perchè la formula è inconsistente. 3.1 Visualizzare l albero di esecuzione del programma del n(x, [X C], C, 1). del n(x, [Y C], [Y C1], N) : del n(x, C, C1, N1), N is N1 + 1.? del n(a, [a, b, a], L, P ). 3.2 Visualizzare l albero di esecuzione del programma add(x, L, L) : member(x, L),!. add(x, L, [X L]). member(x, [X C]). member(x, [T C]) : member(x, C).? member(x, [a, b]), add(x, [a], L).