Geometria proiettiva differenziale. I

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1 Geometria proiettiva differenziale I Indice In: Guido Fubini (author); Eduard Čech (author): Geometria proiettiva differenziale I (Italian) Bologna: Zanichelli, Nicola, 1926 pp [389]--[394] Persistent URL: Terms of use: Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use Each copy of any part of this document must contain these Terms of use This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 I N D I C E NB Per chi voglia riunire tutta Y opéra in un solo volume, le pagine del présente indice sono state predisposte in modo da potere essere tolte quando sarà stato pubblicato anche il tomo II ; il quale, dopo liberato del frontespizio, risulterà una pura continuazione del I per la numerazione dei capitoli e delle pagine, e conterrà alla fine l'indice completo di tutta 1' opéra

3 Prefazione pag Y INTRODUZIONE 1 Coordínate, ver si, orientaxioni pag 1 (Coordínate di punto, piano e retta I simboli S, 2 Orientazioni di una retta Orientazione di un fascio Alcune identitá di matrici) 2 Collineaxioni 8 (Preliminari Collineazioni nello spazio rigato) 3 Contatto di curve e superficie 11 (Contatto di curve Contatto di superficie Contatto di superficie in corrispondenza biunivoca) 4 Osservaxíoni varié 16 (Curve razionali di terzo grado Yarietá di terzo grado La retta principale del Togliatti Una ulteriore generalizzazione La divisione covariante) CAP I LA TEORIA DELLE CURVE 5 La teoría delle curve in geometría cuclidea (Gli invarianti fondamentali Equazioni intrinseche di una curva Nuova deduzione degli invarianti fondamentali) 6 Geometría proiettivo-differenxiale delle curve (Preliminari analitici Applicazione della teoría delle curve Le curve come luogo ed inviluppo Le equazioni differenziali fondamentali Le curve di un complesso lineare Significato del seguo di co = + 1 Lo collineazioni a modulo qualsiasi Coordínate normali) 7 Gli elementi geometrici fondamentali (Sistema nullo osculatore II tetraedro principale Altri elementi geometrici Una osservazione) 8 Le curve piane (Una osservazione) pag

4 CAP II I F O N D A M E N T I D E L L A T E O R I A D E L L E SUPERFICIE 9 Formole di calcolo assoluto (Differenziali controvarianti Alcune definizioni Le geodetiche Derívate covarianti Una generalizzazione I simboli a quattro indici e alcuni parametri diiferenziali Relazioni di apolarítá) 10 Riassunto di alcuni teoremi metrici (Triedri diretti e inversi Le forme fondamentali di Gauss di una superficie Raggi e linee di curvatura Elemento lineare dell'immagine sferica Superficie applicabili) 1 1 Prime consideraxioni di geom proiettiva (Le direzioni asintotiche Le direzioni di Darboux) 12 Le forme differenxiali fondamentali (Primo método Nuovo método per definire le F2, Fz Le forme F2, Fz nella geometría métrica Una osservazione) 13 Prime applicaxioni (Superficie correlativo Significato geométrico del fattore di proporzionalità delle g) 14 Le equaxioni differenxiali fondamentali e la terxa forma differenxiale (Formole fondamentali La forma P II Altre equazioni fondamentali II teorema fondamentale) 15 Varii sistemi di coordínate x, g (Un primo sistema di coordínate Coordínate non omogenee Superficie rigate Coordínate normali Rette normali Métrica normale) 16 Il caso di linee coordínate asintotiche (Le forme F2, F3, P, II, Q Flecnodi Osservazioni varíe Condizioni di integrabilíta Calcolo di (x dx d2x d*x) II cono di Segre Confronto con le formole della Geom métrica) 17 - Applicaxione agli invarianti di un sistema coniugato (Calcolo di tali invarianti Sistemi coniugati ad invarianti uguali Un'altra applicazione) 18 Nuovi studii in coordínate asintotiche u, v (Coordínate non omogenee e di Lelieuvre Asintotiche appartenenti a complessi lineari Superficie di cui tutte le asintotiche appartengono a complessi lineari) 19 Le rette tangenti 20 Applicabilité proiettiva (II teorema fondamentale Una proprietà caratteristica di due superficie proiettivamente applicabili Un' altra proprietà caratteristica delle superficie proiettivamente applicabili) pag CAP III GLI ELEMENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI 2 1 La quadrica di Lie (Sua definizione Interpretazioni geometriche della forma cp2^ pag 125

5 e deir elemento lineare cp3 : cp2 Fasoio delle quadriclie di Darboux La quadrica di Lie come iperboloide osculatore) 22 La corrispondcnxa di Segre 23 Gcodetiche, e analoghi sistemi di curve (Primi teoremi Terne apolari Le coppie apolari e la cónica di Wilczynski Interpretazione non euclidea della métrica proiettiva Curve di un fascio ; Y asse della superficie) 24 Le fangeodetiche II fascio canonico 25 Congruenxe di rette (Sviluppabili e fuoclii Le direttrici di Wilczynski Congruenze K coniugate e IC armoniche ad S, tra cui si corrispondono le sviluppabili Le superficie a curvatura 2 Le congruenze a sviluppabili indeterminate) 26 Lo spigolo (edge) di Green 2 7 Il fascio canonico 28 Le superficie per cui una retta canónica passa per un punto fisso, e superficie d u a l i (Caso delle normali proiettive Formole generali Il caso 1 -f k = 0 (per l'asse) II caso k 0 delle direttrici Le superficie di Tzitzeica-Wilczynski) 29 Le superficie di Cech a linee di Darboux piane 30 Breve riassunto di altre rieerche CAP IV - pag SUPERFICIE RIGATE 3 1 Applicaxione delle formole generali del Capitolo II al caso particolare di una superficie rigata 32 Beduxione diretta dei risultati precedenti e prime applicaxioni (Nuova deduzione delle (11) Applicazione alia quadrica di Lie) 3 3 Orientaxione delle generatrici ; espressioni intrinseche For mole relative al cambiamento di variábili 34 lânee asintotiche, la forma bilineare intrinseca (Linee asintotiche La forma bilineare fondamentale Congruenza flecnodale) 35 Normalixxaxione delle coordinate delle generatrici per superficie rigate a due curve flecnodali distinte (Coordinate normali Invarianti fondamentali d'una rigata a linee flecnodali distinte Alcune applicazioni geometriche) 3 6 Normalixxaxione delle coordinate delle generatrici per superficie rigate a curve ftecnodali coincidenti (Determinazione di queste rigate per mezzo di invarianti Alcune interpretazioni geometriche) 37 II complesso lineare osculatore 38 Ulteriore studio di superficie rigate a curve flecnodali distinte, prive di retta direttrice pag

6 39 40 trasformaxione fleenodale applicabilité proiettiva di superficie rigate CAP V - pa g CONGRUENZE, CONGRUENZE W E TRASFORMAZIONI PER CONGRUENZE W 41 Congruente di assegnata prima falda focale (Formole fondamentali Nuova interpretazione delle formole preceden ti) 4 2 Formole fondamentali della teoría d'ile congruence W 4 3 Le congruence AY con N = cost 4 4 Confronto coi risultati classici della geometría métrica 45 U equaxione delle congruence AV in coordínate di retta 4 6 Le congruence di Wilcxynski 47 - Congruente AV di cut una falda focal* S è quadrica (Primi teoremi Interpretazione nella geometria non euclidea Inversione dei teoremi dati in A), 48 Congruente AV con le due falde rigate (non quadriche) 49 Superficie trasformate delle rigate con congruence "VY 5 0 Composixione di Bianchi di due congruence AY 51 Le trasformaxioni AY di Fubini delle superficie isotermo-asintotiche, 5 2 Le trasformaxioni di lonas per congruenxe AY delle superficie R 53 Le trasformaxioni di lonas delle superficie di lonas 54 Il teorema di Fubini per le trasformacioni delle superficie R (Una osservazione sulla teoría delle congruenze W) pag > Cap YI INVARIANTI DELL' ELEMENTO LINEARE PROIETT1YO 5 5 Alcune consideraxiotd preliminari 5 6 I differenxiali coniugati 5 7 La forma differencial F 3 ' (Definizione di F3' Alcune identita notevoli) 5 8 La forma differenxiale S^i dui (Definizione delle Relazioni con le prs n, s ) 59 Gli invarianti del primo ordine dell' elemento proiettivo (Definizione Alcune identita nel caso «ř^o Altre II caso $ = 0, W ± 0 ) 60 Invarianti del secondo ordine dell' elemento proiettivo (Definizione II caso «ř + O II caso II caso e W costanti) pag lineare identita lineare 315 delle ^

7 61 TI primo problema delv applicabilité proiettiva pag 319 (Preliminari Condizioni necessarie Condizioni sufficienti Nuova forma delle condizioni sufficienti) 62 Gontinuaxione Elementi lineari proiettivi con un gruppo continuo di trasformaxioni in sé 325 (Alcune formole preliminari Un lemma II teorema fondamentale) CAP VII CONDIZIONI D' INTEGRABILITA E SUPERFICIE PROIETTIVAMENTE APPLICABILI 63 Condixioni ď integrabilità delle equaxioni fondamtntali pag 335 (Equazioni preliminari Trasformazione delle (5) Calcolo delle l ) 64 Gontinuaxione 340 (Condizioni ď integrabilità delle (l)bis Studio delle (1) Studio della (2) Esame delle condizioni ď integrabilità Teorema riassuntivo) 65 Trasformaxione delle equaxioni tróvate per superficie non rigate Gaso di coordinate normali > 345 (II caso J + 0 Nuovo enunciato per le coordinate normali) 66 Nuova trasformaxione delle equaxioni tróvate per il caso di coordinate normali 350 (Introduzione della funzione ausiliaria o Studio delle (2) ) 67 Deformaxione proiettiva 353 (II problema fondamentale 11 sistema coniugato di deformazione proiettiva Superficie R e R 0 Deformazione proiettiva di una superficie data) 68 Teoremi varii suite superficie R e R (Elemento lineare riferito alie asintotiche Un teorema per le superficie R 0 o R) 69 Le superficie proiettivámente deformabili in co 3 modi 364 (Preliminari Il caso K = 0 Continuazione Formole finali relative al caso K = 0 II caso K = cost, i 0 Le formole finali nel caso Ä r = cost4 : 0 Teorema riassuntivo e osservazioni varie Quadro finale delle forme fondamentali delle superficie con H = 0, K = cost) 70 Nuovo metodo per lo studio dei problemi precedenti 384 (Principio del metodo Le superficie con ß = 1 deformabili in oo 3 modi Superficie con ß = 1, K -\ 0, deformabili al più in oo 2 modi Le superficie R deformabili in oo 3 modi)