L. BIANCHI SULLE TRASFORMAZIONI DI DARBOUX

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1 264 L. BIANCHI SULLE TRASFORMAZIONI DI DARBOUX DELLE SUPERFICIE D'AREA MINIMA I. Si sa come SOPHUS LIE (*) per il primo, indi A. V. BXCKLUND ( 2 ), riguardarono le trasformazioni delle superficie a curvatura costante quali trasformazioni infinitiformi della equazione a derivate parziali rt s 2 = cost in sé medesima. Diciamo con LIE elemento piano Y insieme (rt, P) di un piano n e di un punto P incidenti. Chiameremo anche un tale elemento una faccetta piana, pensando soltanto ad un intorno infinitesimo nel piano n del punto P, che sarà il centro della faccetta. Le faccette piane dello spazio formano una moltiplicità oo 5 e sono determinate, ciascuna, da cinque coordinate x,y,z,p y q, riferite ad assi cartesiani ortogonali. Di queste le tre prime x,y,z sono le coordinate del centro P della faccetta, mentre le altre due p, q fissano la giacitura del suo piano TT, essendo p,q, 1 proporzionali ai coseni di direzione della normale a n. (*) S. LIE, Zur Theorie der Flachen constanter Krümmung (Archiv fur Mathematik og Naturvidenshab, Christiania, 1880). (') BACKLUND, Om y tor med konstant negativ krökning (Lunds Univ. Aerschrift, t. XIX, 1883).

2 265 Una superficie qualunque z = z(x, y) dello spazio può riguardarsi come una doppia infinità di faccette piane, ove, colle notazioni di MONGE, sia _2l_ 2*. P ~ ÎM ' q ~!>y ' Le trasformazioni infinitiformi delle faccette che dobbiamo considerare fanno corrispondere, ad ogni faccetta f=(x,y,z,p,q) dello spazio, una semplice infinità di faccette trasformate f = (x r,y',z r,p',q f ) e si traducono in quattro relazioni indipendenti : Pi(# yy,*,p,q ; x',y r,z r,p',q') = 0 t F 2 (x,y,z,p,q ; x r, y r, z r, p r, q r ) = 0 j,(x,y,z,p,q ; x', y r,z r,p',q') = 0 ( 4 (x,y,z,p,q ; x r,y',z r,p f, q r ) == 0 fra le coordinate di f e f. Se facciamo percorrere alla f le oo 2 faccette piane di una superficie z = z(x,y) le (I) definiranno oo 3 faccette piane f e: in generale sarà impossibile distribuire le oo 3 faccette f in una semplice infinità di superficie z r = z'(x f, y r ). Eliminando infatti x, y fra le (I), ove si ponga, v 1>Z 1)Z ne risulteranno due equazioni U \<D 2 (x' l y',s',p',q') = 0 fra x f,y T,z',p f ' == 7, q r ===== 7 ; e perchè si presenti la circostanza voluta, le (1) dovranno formare un sistema in involuzione, 0 illimitatamente integrabile. Le trasformazioni (di BìCKLUND) delle superficie a curvatura costante si ottengono assumendo per sistema (I) il seguente (x T x) 2 + (y r y) 2 + (z r z) 2 a 2 = 0 p(x f x) + q(y' y) (z r z) = 0 (2) { PV -X) + q'(y' -y)-(z f -z) = pp' + ì? ^ ^ l + / + «2 X /l +/ 2 + q 2 = 0, dove a, e indicano due costanti. Se alla faccetta (x,y,z,p, q) si fa descrivere una a 2 qualunque superficie a curvatura costante K =, le (2) danno appunto luogo 34

3 266 ad un sistema in involuzione e le oo 1 superficie integrali z'== z\x T,y f ) hanno nuovamente la medesima curvatura costante. Osservando che nel sistema (2) i centri ed i piani delle due faccette corrispondenti (x,y, z,p, q), (x r,y r,z T,p r,q T ) hanno una posizione relativa invariabile, il DARBOUX, nel t. Ili delle sue Leçons ecc. (n. 812, p. 441), si è proposto in generale di trovare tutti i casi di sistemi (I) in involuzione tali che la congiungente i centri ed i piani di due faccette corrispondenti formino un sistema invariabile. A tale uopo egli ha sostituito alle due equazioni medie del sistema (2) le altre più generali p (x r x) + q (y! y) (z r z) ab ]/\ + p 2 + q % = 0 / j/(#' -x) + q'(y r -y)~ (z r &) ab'vl + j/ 2 + q' 2 = 0, dove b, V sono due nuove costanti. Il risultato a cui perviene il DARBOUX (escludendo il caso ovvio di trasformazioni parallele) è semplicemente questo: il sistema (1) sarà in tal caso in involuzione quando la superficie z = z(x,y) abbia le due curvature, totale e media, legate da una relazione lineare i cui coefficienti dipendono unicamente dalle costanti a, b, b r, e. In questa ricerca è lecito sostituire ad ogni coppia di superficie z = z(x,y),z f = z T (x!, y') un'altra qualunque coppia di superficie che siano loro rispettivamente parallele. E poiché ad ogni superficie della detta classe è parallela una superficie a curvatura costante quando e ed una superficie ad area minima se e 2 == 1, se ne conclude che il problema generale proposto, oltre che alle trasformazioni delle superficie a curvatura costante, conduce ad* un solo caso essenzialmente nuovo, e cioè a trasformazioni delle superficie ad area minima. Nella presente Nota mi propongo di considerare più da vicino le proprietà di queste trasformazioni di DARBOUX^) e principalmente di studiarle come trasformazioni di varie classi di superficie applicabili che si collegano in modo noto alle superficie d'area minima. IL Cominciando dal ricercare le forinole effettive per le trasformazioni di DARBOUX, consideriamo una qualunque superficie minima S, che riferiremo alle sue linee di curvatura (u, v). Il suo ds 2 avrà la forma isoterma (3) ds 2 ===== e 2 \du 2 + dv 2 ), dove la funzione S = 6(u, v) è una soluzione della equazione di LIOUVILLE D 2 fl i>*8 ~òu 2 '!>v 2 W ^/2 "T -. 2 ^ (*) Il DARBOUX (loc. cit., p. 443) osserva soltanto a questo proposito che le sue trasformazioni applicate a superficie minime reali danno superficie minime necessariamente immaginarie.

4 267 Indicando con 6 f == d r (u, v) una funzione incognita di u, v e con «una costante arbitraria, consideriamo il sistema simultaneo del 1 ordine Ü. i i ir _ _ i i? g-ce'+s) D^ ' D«; 2a ~2 g l il i ir _ i f* g-ce'-f-ö) "}t; ' la 2a 2 Si verifica subito che, soddisfacendo 0 alla (4), questo è un sistema illimitatamente integrabile per 6 f, e il suo integrale generale 6 r, che contiene una costante arbitraria oltre a, è nuovamente una soluzione della (4) ( l ). Prendendo per 6 r una qualunque soluzione delle (5), ne risulterà definita una nuova superficie minima S' che si avrà in termini finiti colle formole seguenti. Siano x,y, z le coordinate di un punto variabile su S, e con X x Y x Z x X. 2 ±2 h 2 X3 I3 Z3 denotiamo rispettivamente i coseni di direzione della terna ortogonale formata: 1 dalla tangente alla linea v; 2 dalla tangente alla linea u; 3 dalla normale alla superficie. Allora le coordinate x T,y r,z r del punto corrispondente di S' saranno date dalle formole (6) a/=x + a (e* r X 2 + ie* X 2 ) a 2 X 3 colle analoghe per y T, z'. Calcolando le derivate di x r, y r, z f rapporto ad u, v ( 2 ) e formando l'elemento lineare di S' si trova (7) ds' 2 = e w (du 2 -{-dv 2 ). (*) Il sistema (5) tiene qui, per l'equazione (4) di LIOUVILLE, il luogo del ben noto sistema per l'equazione d«dp a seno coso, da cui dipendono le superficie a curvatura costante. ( f ) Per questi calcoli e per le verifiche seguenti nel testo basta servirsi delle formole del quadro ftv dxi t)ö _Av dx 2 <)0 V c)x 3 ÔY = e*xt, == -X 2 e X,, - = -Ai, - = $ ü X t àu du ùv àu <)V ùu dx Av px t ^ö v i)x 2 ^0, A V DX 8 _A T ^x

5 268 Pei coseni di direzione X3, Y3, % della normale a S f si ha (8) X 3 = ^- 6 '(Xi ex,) + X 8 e si trova inoltre /g*\ 'ìnl _ e*v 5^ e*v ^. y ' ~àu l)u ' iv "ïv ' Di qui segue appunto che la superficie S' è una nuova superficie minima di cui le linee u, v sono linee di curvatura e le formole conseguenti (*) S(^ x) 2 = a*, SX 3 (^f x) = SX r,(x r x) = a* SX3X3 == 1 dimostrano che la congiungente dei punti corrispondenti di S, S r e i loro rispettivi piani tangenti formano un sistema invariabile, onde le due superficie minime S, S' sono trasformate di DARBOUX l'una dall'altra. Diremo che si passa dalla superficie S alla superficie S' con una trasformazione D a di DARBOUX. La D a, per un assegnato valore della costante a, fa nascere da una superficie minima S una semplice infinità di superficie minime derivate S\ Si osservi però che se la S è reale, le superficie trasformate S r sono immaginarie. Le formole superiori pongono intanto in evidenza le proprietà seguenti: Le trasformazioni di DARBOUX delle superficie minime conservano le linee di curvatura e le linee di lunghezza nulla. _ Delle due superficie minime S, S' si considerino ora le due superficie minime S, S' loro rispettive coniugate in applicabilità. Queste sono definite, a meno di una traslazione nello spazio, dalle formole (9) (9*) lix lix!iu ~òv ' Hx r!>x T!>u iv ' QX ax '!>v ~ùu!>x f _ l>x' ~òv 1>U Se supponiamo già scelte ad arbitrio in x,y,z le costanti additive che fissano la posizione di S nello spazio, si verifica facilmente che le formole x' = x iae X x + ae^xt + ia*x 3 definiscono a loro volta la superficie S 7 così collocata nello spazio che si passa dalla S alla S f nuovamente con una trasformazione di DARBOUX, come da S a S f. Questo risultato può enunciarsi così : La trasformazione di DARBOUX delle superficie minime (*) Il simbolo sommatorio S' si riferisce qui ai tre assi coordinati.

6 269 è permutabile colla trasformazione di BONNET, che conduce da una superficie minima alla sua coniugata in applicabilità. Più in generale prendasi una qualunque superficie minima S CT applicabile su S e definita dalle formole x<s = x cos <r x sen c, dove tf è una costante arbitraria. Ponendo similmente x Q == x' cos (S x r sen <r, ne risulta x' c = Xo + ae" [e*(xx + ix 2 ) a X 3 ]. E di qui segue che le due superficie minime S a, Sa sono ancora trasformate di DARBOUX Tuna dell'altra. III. Dalle superficie d'area minima dipendono, come è ben noto, diverse classi complete di superficie applicabili, che passeremo ora successivamente in rivista per stabilire il significato delle trasformazioni di DARBOUX come trasformazioni di queste classi di superficie applicabili. Cominciamo dalla classe più immediatamente legata alle superficie minime, quella delle loro evolute coll'elemento lineare (10) ds 2 = da 2 + adß 2. Indichino Xo,y 0, z 0 le coordinate del primo centro di curvatura di S, e similmente Xo,y r o, *ó quelle del primo centro di curvatura di S' ; avremo x Q = x e 2 * X 3, x' 0 = x r e w X 3 ecc. e per ciò x[ x 0 = ae*'(x x + ix 2 ) a 2 X 3 + e 2 * X 3 e** X 3. Il punto (x 0,y 0,Zo) descrive la prima falda S 0 dell'evoluta di Se così (x r 0,y r 0,Zo) la prima falda So dell'evoluta di S\ I coseni di direzione della normale a S 0 sono Xi,Ti,Z! e similmente quelli della normale a S sono XJ,.TJ., Zi. Dalle formole precedenti si trae subito che sussistono le seguenti SX x (x' 0 x 0 ) = 0, SK[(xo Xo) = 0. Queste esprimono che: la congiungente P 0 Po due punti corrispondenti di S 0 S' 0

7 270 tocca in P 0 la S 0, in Po la So, onde le due superficie S 0, S r 0 sono le due falde della congruenza rettilinea P 0 Pò generata dalle congiungenti i loro punti corrispondenti. Dico inoltre che: questa è una congruenza W, cioè sulle due falde focali S 0, So si corrispondono le asintotiche. E infatti le asintotiche di S 0, SJ corrispondono rispettivamente alle linee di lunghezza nulla di S, S r e queste si corrispondono fra loro (n. II). Ogni superficie S 0 d'elemento lineare (10) dà luogo, per una trasformazione D a, ad oo 1 superficie trasformate S 0 applicabili sopra S 0. IV. Una seconda classe di superficie applicabili che si collega alle superficie minime è data, per un noto teorema di GUICHARD, dalle deformate del paraboloide di rotazione. Sia 2 una qualunque deformata di questo paraboloide, e si consideri il sistema oo 2 di sfere coi centri distribuiti sopra 2 e di raggio eguale alla distanza del punto corrispondente del paraboloide dal fuoco. Il teorema di GUICHARD insegna che le due falde dell'inviluppo di quel sistema di sfere sono sempre due superficie d'area minima S,S. Ciò dà luogo a trasformazioni delle superficie minime ( x ), che diciamo trasformazioni di GUICHARD. In quali relazioni stanno queste trasformazioni reali delle superficie minime colle trasformazioni immaginarie di DARBOUX? Della deformata 2 del paraboloide si consideri la complementare 2 r, che è applicabile sul paraboloide stesso (sulla regione ideale del paraboloide). Il sistema oo 2 di sfere costruito per la 2 r come il primitivo per 2, si compone ancora di sfere reali; ma le due falde dell'inviluppo sono due superficie minime immaginarie coniugate S', S'. Ora si dimostra facilmente che si passa da S a S', e medesimamente da S a S f, mediante una trasformazione di DARBOUX. Si vede adunque che: Ogni trasformazione reale di GUICHARD di una superficie d'area minima si risolve in due trasformazioni immaginarie coniugate di DARBOUX. Queste ultime vengono così a costituire le trasformazioni elementari delle superficie minime, precisamente come le trasformazioni di BìCKLUND per le superficie a curvatura costante. V. Eiprendiamo a considerare una qualunque superficie d'area minima S ed una sua trasformata di DARBOUX S r, secondo le formole del n. IL Dalle superficie S si deducono oo 2 superficie S 0 applicabili sul paraboloide di rotazione di parametro m nel modo seguente (n. e). Indicando con (*) Vedi la mia Nota nei Rendiconti dei Lincei, settembre 1899, o anche Lezioni, voi. II, 350.

8 271 quattro funzioni incognite di u, v, consideriamo il sistema lineare : (A) v y D*- / A fì\ 1 fì D$ O^ D$ - = (me n e***) w + me V a, = a v lu ' Dy Dy D^ {^-==A, ^ = (m^ + 0^-^-V--^» D&5 ^ì? Dy ' Dw Dy D^ Dy v ; y D^ Questo è un sistema illimitatamente integrabile e possiede l'integrale quadratico  2 + /i 2 + ^y 2 2mcpw ===== cost. Prendiamo una quaderna (l, secondo membro sia nulla, cioè \i,w,y>) di soluzioni per la quale la costante del (A') l 2 + ii 2 + w 2 2mcpw == 0, e le formole (11) x 0 x X 3, ecc. definiranno una superficie S 0 applicabile sul detto paraboloide. Si costruisca ora per l'altra superficie minima S' il sistema (A) e pongasi per abbreviare, 2a + 2* Le formole di sostituzione lineare *~ 2a 2 e /e 6 '- 6 \ 2 f =3 (m ô ~ ô ) ^y + me~ % (f + ( A 11 + eaju (13) ^ = i(me^ + <r" 6 ) «y ime~ b (p ibx + I B J fi danno, come facilmente si verifica, il passaggio dalla quaderna (X, ^, w, y) di so-

9 272 g> r ) per il mede luzioni del sistema (A), (A!) ad una quaderna analoga (k r,\i f,w, simo sistema costruito per la S'; e perciò le formole (IP) x r 0 = x' 'Kx ecc., definiscono una nuova deformata So del paraboloide di rotazione. Con un calcolo analogo a quello eseguito al n. Ili, si prova che : Le due deformate S 0, So del paraboloide sono le due falde focali della congruenza formata dalle congiungehti i loro punti corrispondenti; inoltre sopra S 0, SJ si corrispondono le asintotiche. Anche qui adunque, per le deformate del paraboloide di rotazione, le trasformazioni J) a di DARBOUX delle superficie minime si traducono in trasformazioni per congruenze W. VI. Altre due classi complete di superficie applicabili deduconsi dalle superficie minime e sono quelle coi rispettivi elementi lineari (14) ds 2 = du 2 + 2(u v 2 ) dv 2 (15) ds 2 = du 2 + (2u + 2v + e 2 v)dv 2. Le prime si ottengono dalle superficie minime con semplici quadrature (WEINGARTEN), le altre integrando il sistema (A) n. V. DARBOUX ha dimostrato (Leçons, t. IV, n. 1078, p. 332) che gli elementi lineari (14), (15) appartengono a due paraboloidi immaginari con una generatrice tangente al circolo all' infinito. I due paraboloidi si distinguono per ciò che nel primo il punto di contatto della detta generatrice col circolo all' infinito coincide col punto ove il paraboloide tocca il piano improprio, mentre pel secondo ne è distinto. Se si esaminano nuovamente le trasformazioni D a di DARBOUX come trasformazioni delle deformate di questi due paraboloidi, si trova che ha ancora luogo la proprietà geometrica segnalata alla fine del numero precedente pel paraboloide di rotazione: La superficie iniziale S 0 e la trasformata S r 0 sono le due falde focali di una congruenza rettilinea W. In tutte le trasformazioni per congruenze W delle varie classi di superficie applicabili considerate si verifica sempre la seguente notevole circostanza geometrica : la posizione relativa dei fuochi F, F' e dei piani focali n, ri dipende unicamente dall'elemento lineare. Ogni superficie S 0 del dato elementopineare dà luogo per una trasformazione T> a ad oo l superficie trasformate SJ, e ciascuna faccetta di S 0 è contornata sempre nel medesimo modo, indipendente dalle flessioni di S 0, dalle oo 1 faccette delle trasformate So. Per definire questa corrispondenza fra le faccette f,f r (n. I) basta

10 273 quindi considerare la S 0 in una configurazione speciale. Se ci riferiamo in particolare alle tre classi di deformate del paraboloide di rotazione e dei due paraboloidi tangenti al circolo immaginario all'infinito del precedente numero, è ben naturale di prendere come configurazione iniziale quella del paraboloide stesso P. Si trova allora questo semplice risultato: Quando la superficie S 0 si applica sul paraboloide P e ciascuna faccetta f di S 0 porta seco invariabilmente legate le oo 1 faccette corrispondenti f delle superficie trasformate So, queste faccette f si dispongono coi loro centri sulla conica sezione del piano n tangente a P con un paraboloide confocale V a dipendente dalla costante a, e i piani delle f r inviluppano (dualmente) il cono circoscritto dal centro F della faccetta f al paraboloide confocale P a. Le proprietà qui segnalate per le deformate di questi particolari paraboloidi sono tanto più notevoli perchè sussistono in generale per le deformate di tutte le quadriche, come risulta dalle mie ultime ricerche sulla teoria delle trasformazioni di queste superficie. VII. Eitornando alla rappresentazione analitica delle nostre trasformazioni mediante il sistema (I) n. I, siamo condotti a formulare il problema generale seguente: fi abbia una superficie S ed oo 1 altre superficie S' poste, ciascuna, in corrispondenza di punto a punto con S, sicché ogni faccetta piana f di S è contornata da oo 1 faccette f corrispondenti delle S'. Si deformi comunque la S, flessibile ed inestendibile, in guisa che ogni sua faccetta / trasporti seco, in sistema invariabile, le oo 1 faccette corrispondenti f. Si domanda di: trovare tutti i casi pei quali, in tutte le deformazioni della S, le oo 3 faccette corrispondenti f si distribuiscono sempre in oo 1 superficie S'. Lasciando da parte il caso troppo ovvio di trasformazioni parallele, si ottiene intanto una notevole soluzione del problema proposto prendendo per superficie S una qualunque quadrica Q. Nel sistema confocale individuato da Q si consideri un'altra quadrica qualunque Q f e ad ogni faccetta piana f di Q si facciano corrispondere oo 1 faccette f f i cui centri siano distribuiti sulla conica sezione del piano n ài f (piano tangente di Q) colla quadrica confocale Q\ mentre i piani delle f inviluppano il cono circoscritto dal centro di f alla quadrica stessa Q r. Altre soluzioni del medesimo problema si hanno dalle trasformazioni delle evolute delle superficie d'area minima, delle superficie a curvatura costante, ecc. La risoluzione generale del problema enunciato condurrà forse a nuove teorie di trasformazioni per altre classi di superficie applicabili. 35