Algebra Lineare. Scrivere la matrice che rappresenta la funzione lineare F rispetto alla base canonica dello spazio

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1 Algebra Lineare Scrivere la matrice che rappresenta la funzione lineare F rispetto alla base canonica dello spazio 1. Dati i vettori e 1, e 2, e 3 R 3 è data per ogni vettore della funzione l a r e l a t i v a t r a s f o r m a z i o n e F(e 1 ) = e 1 e 2 5e 3 ; F(e 2 ) = 5e 3 ; F(e 3 ) = e 3 ; p e r s c r i v e r e l a matrice si considera per ogni versore della base canonica e 1 = [1 0 0] T l a r e l a t i v a t r a s f o r m a z i o n e s u b i t a d a t a precedentemente ottenendo quindi matrice F(e 1 ) = e 1 e 2 5e 3 = [1 1 5] T F(x, y, z) = ( 3x 4z,5y, 4x + 3z) il primo vettore colonna della 2. D a t a l a m a t r i c e s i o t t i e n e considerando che la funzione prende in ingresso, uno alla volta, i versori della base canonica di R 3 e restituisce le espressioni date per ogni elemento. Quindi la prima riga della matrice rappresentativa sarà data in questo caso da u = [a b] T A = u u T 3. Sia e sia la matrice rappresentativa si trova effettuando il prodotto colonna per riga che permette di ottenere la matrice. Determinare il rango della matrice. Determinare dimensione e base per il nucleo e per l immagine dell applicazione lineare E utile innanzitutto determinare il rango della matrice, ovvero il massimo numero di righe ( o di colonne) linearmente indipendenti tra loro e per fare questo si può ridurre la matrice a scala e calcolare il numero di righe non nulle. Una volta stabilito il rango r della matrice per il teorema di nullità più rango si ha che n = dimkerf + dimimf ovvero che dato n il numero di righe della matrice, la dimensione dell immagine di F corrisponde con il rango della matrice ridotta a scala. Ne segue che la dimensione del nucleo è. Per determinare la base dell immagine, determinato il rango, è sufficiente prendere r vettori colonna linearmente indipendenti. Per determinare la base del nucleo invece si risolve il sistema lineare omogeneo associato. A x = 0 A = [a 2 ab; ba b 2 ] dimkerf = n dimimf riga 1 = [ 3 0 4] Determinare la matrice che rappresenta la funzione f rispetto ad una base data generica B differente dalla base canonica Per fare questo si ha bisogno di effettuare un cambiamento di base. Data la funzione lineare f(x,y,z)=(,, ) si scrive la matrice M di rappresentazione nella base canonica scrivendo le righe della matrice, a questo punto si determina la matrice H che ha come colonne i vettori della base data B, successivamente per scrivere la maatrice di rappresentazione A che rappresenta f nella base B si effettua un A = H 1 M H cambiamento di base ottenendo dove per ottenere la matrice inversa di H si calcola la matrice dei complementi algebrici, la si 1 di 9

2 traspone e la si divide per il determinante di H. Si procede quindi con la moltiplicazione di matrici effettuando il prodotto riga per colonna. Determinare al variare di un parametro positivo, una base per il nucleo e per l immagine, stabilire se esiste una base ortogonale o una base qualsiasi rispetto alla quale A è diagonale Per fare questo si cerca di ridurre la matrice a scala e calcolare il rango al variare del parametro. Una volta determinati i valori per i quali la matrice ha rango differente si calcolano le dimensioni del nucleo e dell immagine, si calcola una base del nucleo risolvendo il sistema omogeneo e una base dell immagine selezionando n vettori colonna linearmente indipendenti. Per la base ortogonale bisogna verificare se esistono dei valori del parametro per i quali la matrice è simmetrica altrimenti non è possibile avere una base ortogonale di autovettori. Per quanto riguarda una base qualsiasi, se gli autovalori della matrice A sono regolari allora la matrice è diagonalizzabile: si procede quindi alla risoluzione dell equazione caratteristica det(a λi ) = 0 in funzione del parametro. Si identificano i casi in cui la matrice presenta a u t o v a l o r i r e g o l a r i e s o l o i n q u e i c a s i s i p r o c e d e a l l a diagonalizzazione. Studiare l iniettività, la suriettività e l invertibilità di una funzione lineare Un applicazione lineare si dice iniettiva se ad elementi distinti corrispondono elementi distinti: T(v 1 ) = T(v 2 ) v 1 = v 2 Per determinare se l applicazione lineare è iniettiva bisogna verificare che la dimensione del nucleo di F sia nulla, ovvero che la dimensione dell immagine di F sia pari a n. Per verificare che se Ker(F ) = {0} allora F iniettiva, si considerano due vettori v 1, v 2 tali T(v 1 ) = T(v 2 ) T(v 1 v 2 ) = 0 v 1 = v 2 che che per linearità da cui dunque F iniettiva. Un applicazione lineare si dice suriettiva se per ogni elemento y al condominio, esiste almeno un punto del dominio x tale che f (x) = y. Per determinare che un applicazione sia suriettiva bisogna verificare che la dimensione dell immagine di F sia pari alla dimensione del condominio. Una funzione lineare è invertibile se è biunivoca ovvero è sia iniettiva che suriettiva ovvero quando si ha contemporaneamente che il nucleo è banale, ovvero contiene solo l elemento nullo, e la dimensione dell immagine sia pari alla dimensione del condominio della funzione lineare. Si ha quindi che. n = m = r Calcolare la dimensione del sottospazio intersezione tra nucleo di F ed immagine di F F o r m u l a d i G r a s s m a n n : dim(kerf ImF ) = dimkerf + dimimf dim(kerf + ImF ) 2 di 9

3 quindi se ad esempio n=3, r=2, dimker=1 si ha che la dimensione del sottospazio intersezione tra nucleo e immagine vale = 0. Stabilire se la matrice è diagonalizzabile, determinare la matrice diagonale e la matrice di passaggio che diagonalizza. Per stabilire se la matrice è diagonalizzabile bisogna verificare che gli autovalori siano regolari. Questo avviene quando la molteplicità algebrica, ovvero il numero di volte in cui l autovalore è soluzione del polinomio caratteristico det(a λi ) = 0, è pari alla molteplicità geometrica, ovvero la dimensione dell auto spazio associato all autovalore questa è calcolabile come mg λ = n rk(a λ I ). Autospazi relativi ad autovalori differenti sono linearmente indipendenti e perpendicolari tra loro. Matrici simmetriche sono, per il teorema spettrale, sempre diagonalizzabili e hanno tutti gli autovalori reali. Per determinare la matrice diagonale bisogna calcolare D = diag(λ 1,, λ n ) det(a λi ) = 0 gli autovalori risolvendo e per determinare la matrice che diagonalizza si calcolano i rispettivi autovettori risolvendo il sistema lineare omogeneo caratteristico per ogni autovalore trovato (A λ i x) = 0. Una volta determinati gli autovettori, questi formano le colonne della matrice che diagonalizza la matrice di partenza e rappresenta la base ortonormale di passaggio. Verificare che v sia un autovettore di F e determinare il corrispondente autovalore Dato un autovettore v 1 = 2 2 [ 1, 1,0] T si verifica calcolando il prodotto matrice (A) per colonna ( v 1 ) che restituisce un vettore colonna dal quale si riconosce il vettore iniziale moltiplicato per uno scalare, l autovalore corrispondente. Stabilire se un vettore b appartiene o meno all immagine di F Per fare questo, una volta calcolato il rango r della matrice A, si accosta ad A il vettore b ottenendo la matrice orlata [A b] della quale si calcola nuovamente il rango, se questo è pari al rango r della matrice di partenza allora per il teorema di Rouchè Capelli allora b appartiene all immagine di F. Stabilire se esiste una matrice diagonale D che sia simile alla matrice A n (A n ) T = (A T ) n = A n Se A n è una matrice simmetrica allora e quindi per il teorema spettrale A n è simile ad una matrice diagonale. Per qualsiasi n intero positivo, se v è un autovettore di A, con autovalore, allora lo stesso v è anche autovettore di A n con autovalore λ n si ha quindi che A n v = λ n v dunque gli autospazi di A n coincidono con gli autospazi di A. 3 di 9 λ

4 Stabilire se l applicazione lineare è un omomorfismo, isomorfismo, endomorfismo, automorfismo Un omomorfismo è un applicazione lineare tra spazi vettoriali che rispetta l additività e l omogeneità. L isomorfismo è un particolare omomorfismo biettivo tra spazi vettoriali, cioè un applicazione lineare iniettiva e suriettiva, bisogna verificare che la dimensione del dominio sia uguale a quella del codominio e che il nucleo sia banale. Un endomorfismo è un particolare omomorfismo tra uno spazio vettoriale V e se stesso. Un automorfismo.è un endomorfismo biettivo. 4 di 9

5 Equazioni Differenziali II Scrivere l integrale generale dell equazione differenziale In generale la soluzione generale di un equazione differenziale completa del secondo ordine è formata dalla soluzione dell equazione omogenea associata e da una soluzione particolare dell equazione completa. 1. Eq.Omogenea: si considera il polinomio caratteristico associato e si calcolano i relativi autovalori e si avrà: 2. Eq.Completa: si cerca una soluzione particolare parametrica con il metodo di somiglianza, si calcolano la derivata prima seconda y p (x) λ 1, λ 2 y om (x) = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x y p (x) y p (x) e si sostituiscono nell equazione completa per verificare che la soluzione particolare scelta sia soluzione e se ne determina il parametro. Si ha quindi che y(x) = y om (x) + y p (x) e Scelta della soluzione particolare con metodo di somiglianza Per la scelta della soluzione particolare bisogna cercare una soluzione simile alla forzante e si distinguono i seguenti casi: in generale ay + by + cy = f (x) FORMA f(x) polinomio di grado n ES: y + 2 = x esponenziale Ae λx ES: y + 2y 3y = 2e 3x cosinusoide Acos(ωx) + Bsin(ωx) ES: y + 2y y = 3sin2x esponenziale e cosinusoide e λx (Acosωx + Bsinωx) ES: y 4y + 5y = 3e 2x cosx FORMA y p polinomio di grado n y p (x) = α x 3 + βx 2 + γx + δ esponenziale λ y p (x) = c e λx stesso, c da determinare y p (x) = c e 3x C 1 cos(ωx) + C 2 sin(ωx) stesso ω, C 1, C 2 da determinarsi y p (x) = C 1 cos2x + C 2 sin2x e λx (C 1 cosωx + C 2 sinωx) stessi ω, λ e C 1, C 2 da determinarsi y p (x) = xe 2x (C 1 cosωx + C 2 sinωx) ECCEZIONI c=0, allora cercare grado n+1, se c=b=0 cercare n+2 se questa è già soluzione dell eq.omogenea allora cercare y p (x) = c xe λx se f(x) ha anche solo uno tra cos e sin, in generale la soluzione li ha entrambi. Se è già soluzione cercare x (C 1 cosωx + C 2 sinωx) se z = λ + iω a z 2 + bz + c = 0 e λx x e λx è soluzione di sostituire, in generale la soluzione ha sia cos che sin 5 di 9

6 FORMA f(x) FORMA y p ECCEZIONI esponenziale e polinomio di grado n e λx p(x) ES: y + 2y y = e 3x (x + 2) Quando il termine noto è somma di due funzioni dei tipi precedenti, per il principio di sovrapposizione è sufficiente cercare separatamente una soluzione particolare dell equazione, una soluzione dell equazione L y = f 2 y 1 + y 2 differenziale la funzione L y = f 1 + f 2, ad esempio: y + 2y = 3e x + x e λx q(x) q(x) stesso y 1 L y = f 1 y 2 e successivamente per la linearità dell equazione sarà una soluzione particolare di y 1 = C 1 e x E S : s i c e r c a u n a s o l u z i o n e p e r y + 2y = 3e x y 2 = a x 2 + bc + c y + 2y = x conseguenza L y = f 1 + f 2 λ mentre da determinarsi y p (x) = e 3x (a x + b) se è soluzione dell eq. caratt. allora cercare e si cerca per e di λ e λx (pol. n + 1) Problema di Cauchy, determinare la soluzione che ha tangente orizzontale in un punto. Una volta ottenuta l espressione della soluzione generale, si hanno due costanti di integrazione oppure che possono essere ottenute imponendo determinate condizioni al contorno come, ad esempio, la tangenza orizzontale della funzione nell origine, questo porta alle seguenti condizioni: C 1, C 2 y(0) = 0 { y (0) = 0, è necessario quindi calcolare la derivata prima della soluzione generale e successivamente metterla a sistema con la soluzione generale sostituendo in entrambe le condizioni date, questo porta ad un sistema risolutivo in due incognite, risolvibile. A, B Scrivere la soluzione generale al variare di un parametro ay + by + cy = f (x) Data si determinano le soluzioni dell equazione caratteristica al variare del parametro. Se le soluzioni sono c o i n c i d e n t i, o v v e r o q u i n d i, l a s o l u z i o n e è C 1 e λx + C 2 xe λx. Altrimenti se Δ > 0 le soluzioni sono distinte e si ha C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x. E possibile che l equazione caratteristica abbia in questo caso la soluzione è λ 1,2 = α ± iβ Δ = 0 è complessa λ 1 = λ 2 = λ Δ < 0 e αx (C 1 cos(βx) + C 2 sin(βx)) Determinare un valore del parametro per cui la funzione assegnata sia una soluzione particolare y p (x) 6 di 9

7 y p (x), y p (x) E sufficiente calcolare e quindi sostituire nell equazione ottenendo un espressione in cui grazie al principio di identità dei polinomi si trova il valore del parametro tale per cui si hanno gli stessi coefficienti e quindi i polinomi trovati coincidono. Trovare la soluzione generale del sistema differenziale lineare X =AX data A 2x2 Si calcolano gli autovalori della matrice associata al sistema e si calcolano i corrispondenti autovettori, la soluzione è quindi y(x) = C 1 e λ 1 x v 1 + C 2 e λ 2 x v 2 7 di 9

8 Serie Numeriche Stabilire il carattere della serie La richiesta è di studiare la convergenza della serie data, innanzitutto bisogna verificare la condizione necessaria, ma non sufficiente, alla convergenza ovvero che il termine n-esimo della serie quando sia infinitesimo, questo porta al calcolo del limite per della serie data. Una volta verificato questo si può solamente dire che la serie potrebbe convergere ma è necessario verificare la convergenza tramite dei criteri. Per le serie a termini positivi valgono i seguenti criteri: criterio del confronto: permette di estendere il teorema del confronto alle serie e, presa come riferimento una serie di cui è noto il carattere, verificare che date due successioni se diverge allora anche diverge e se converge anche converge. criterio del confronto asintotico: analogamente date due serie tali che per n n a n, b n : 0 < a n b n a n b n b n a n a n, b n : a n > 0, b n > 0 n, a n b n allora le due serie hanno lo stesso carattere asintotico criterio del rapporto: data una serie a n > 0 n allora si studia il a n+1 rapporto si calcola il limite L, se questo è a n = f n per n + minore di 1 allora la serie converge, altrimenti no. Questo criterio è particolarmente comodo quando nella serie compaiono fattoriali o potenze. criterio della radice: data una serie a n > 0 n allora si studia il n n a n = f n limite per di se questo è minore di 1 allora la serie converge altrimenti no. E utile quando si riconoscono potenze n-esime. Per la serie a termini con segno qualunque si può studiare la convergenza assoluta ovvero si applica il valore assoluto alla serie rendendola a termini positivi e si studia tramite i criteri per le serie a termini positivi. Se è verificata la convergenza assoluta questa implica anche la convergenza semplice. Alternativamente se si riconosce che la serie è a segno alternato (grazie per esempio alla presenza di ( 1) n ) si può utilizzare il criterio di Leibniz che richiede che la serie sia infinitesima e che sia monotona decrescente, in questo caso allora converge semplicemente 8 di 9

9 Serie di Fourier Scrivere la serie di fourier associata a f(x) e calcolare i coefficienti: Si considera periodo 2 π tra [ π; + π] Sf a [a n cos(k x) + b n sin(k x)] k=1 a 0 = 1 π a n = 1 π b n = 1 π +π π +π π +π π f (x)d x f (x)cos(k x)d x f (x)sin(k x)d x se la funzione f(x) è dispari allora se la funzione f(x) è pari allora a k = 0 per il calcolo dei coefficienti si usa spesso l integrazione per parti b b a f (x) g (x)d x = [f (x) g(x)] b a d d sin(x) = cos(x) d x sin(x)d x = cos(x) b k = 0 cos(x) = sin(x) d x a e f (x) g(x)d x cos(x)d x = sin(x) e che e b k = 2 π a k = 2 π ricordando che Se f è continua e monotona in tutto [0,T] oppure continua in tutto [0,T] e regolare a tratti, la serie di Fourier converge puntualmente a f in ogni punto di (0, T ); converge anche agli estremi se vale la condizione di raccordo f(0) = f(t) che ha significato di garantire la continuità in R della funzione periodizzata. Ovvero, se la funzione è continua nell intervallo allora la serie di Fourier converge puntualmente; se è limitata con un numero finito di discontinuità di salto nell intervallo, la serie di Fourier converge puntualmente alla funzione se in quel punto la funzione è continua, altrimenti converge a metà del salto. 2π 0 2π 0 f (x)sin(k x)d x f (x)cos(k x)d x 9 di 9