(b) ( /3 punti) 3x 2 x(2 x) 8=0

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1 Classe 3 Verifica di Matematica Settembre 2015 (b) ( /3 punti) 3x 2 x(2 x) =0 1. ( /6 punti) Si determinino le soluzioni della seguente equazione fratta. 1 2x x +4x 2 2x +3 = 1 (2x + 3) 2 (2x 3) 3. Risolvere le seguente equazioni fattorizzabili. (a) ( /2 punti) x 3 +2=2x 2 + x 2. Risolvere le seguenti equazioni utilizzando la procedura più adatta. (a) ( /3 punti) (3x 1)(3x + 1) = 16x (b) ( /2 punti) x 4 16 = 0

2 (c) ( /2 punti) x 3 12 = 4x 3x 2 5. ( /6 punti) Completare la seguente tabella: Equazione Tipologia m q r 1 : y = 3+2x V O OC OD r 2 : x = 3 V O OC OD r 3 : y = 3 x V O OC OD 4 r 4 : y =7 7x V O OC OD r 5 : y =2x 3 4 V O OC OD r 6 : y =2+ 4 x V O OC OD 3 4. ( /6 punti) Si completi la tabella seguente. Equazione Tipologia Soluzioni 3x 2 4=0 3x 2 4x =0 (x 2) 2 = 4(1 x) 321x = 0 37x 2 41 = 0 x 2 4x = 2(x 1) 2 2x

3 CORREZIONE 3. Risolvere al disequazione modulare x x< x 3 1. Risolvere la disequazione quadratica x 2 2x 3 > 0 2. Risolvere la disequazione fattorizzabile x 3 +3x 2x 4 > 0

4 4. Risolvere la disequazione fratta 2x 2 3 x < 0 5. Risolvere il sistema >< x 2 2x 3 > 0 x 3 +3x 2x 4 > 0 x x< x 3 2x 2 3 x < 0

5 Classe 3 Esercitazione di Matematica Ottobre 2015 Correzione Dato il sistema >< x 2 2x 3 > 0 x 3 +3x 2x 4 > 0 x x< x 3 2x 2 3 x < 0 1. ( /4 punti) Risolvere la disequazione quadratica 2. ( /4 punti) Risolvere la disequazione fattorizzabile 3. ( /4 punti) Risolvere al disequazione modulare 4. ( /4 punti) Risolvere la disequazione fratta 5. ( /4 punti) Risolvere il sistema Es. Punti % Errori Altro 1 /4 c s p f d i r 2 /4 c s p f d i r 3 /4 c s p f d i r 4 /4 c s p f d i r 5 /4 c s p f d i r Tot. /20 Ordine NOTA Per ciascun quesito si tenga presente che: 1. 2 punti vengono assegnati per il corretto svolgimento di ogni procedura risolutiva; tale punteggio può diminuire anche per errori di calcolo punto viene assegnato per la corretta realizzazione dello schema risolutivo; schemi incompleti verranno considerati non corretti punto viene assegnato per la corretta ed esplicita scrittura delle soluzioni, parziali o finali che siano.

6 Classe 3 Verifica di Matematica Ottobre ( /20 punti) Si determinino le soluzione del seguente sistema di disequazioni. >< x 2 +2x 3 > 0 x 3 +2x 2 x 2 > 0 x x< x 2 +3 x 2 3 2x < 0 2. Si considerino le seguenti rette: 1. r 1 : 2x 4y +4=0 2. r 2. 3x + y 1=0 (a) ( /4 punti) Rappresentare su un stesso piano cartesiano le due rette. (b) ( /4 punti) Determinare algebricamente le coordinate del punto di intersezione. (c) ( /2 punti) Scrivere le equazioni delle rette parallele agli assi coordinati passanti per il punti di intersezione determinato al passo precedente. Correzione Es. Punti % Errori Altro 1 /20 c s p f d i r 2 /10 c s p f d i r Tot. /30 Ordine

7 Classe 3 Test di Matematica Dicembre ( /3 pt) Qual è la procedura risolutiva di un equazione irrazionale del tipo 2n p A(x) >B(x) se il membro destro risulta costante? 1. ( /3 pt) Illustrare la procedura risolutiva per le disequazioni irrazionali del tipo 2np A(x) <B(x). 4. ( /3 pt) Determinare le soluzioni di p 2x 3 4 >x ( /3 pt) Si indichi la periodicità delle funzioni sen x, cos x etgx. É possibile rispondere al quesito in forma simbolica.

8 5. ( /12 pt) Completare la seguente tabella. cos 2 = cos = 5 sen = ctg = sen 2 4 = 5 tg = ctg 4 3 = sen = cos 6 = tg 4 = tg 3 = ctg = 6 Correzione Es. Punti % Errori Altro 1 /3 c s p f d i r 2 /3 c s p f d i r 6. ( /3 pt) Si rappresenti simbolicamente e graficamente la relazione tra sen 3 2 e la corrispondente funzione goniometrica calcolata sul solo angolo. 3 /3 c s p f d i r 4 /3 c s p f d i r 5 /12 c s p f d i r 6 /3 c s p f d i r 7 /3 c s p f d i r 7. ( /3 pt) Siesprimalaprima relazione fondamentale della goniometria ed i due dei suoi corollari principali. Tot. /30 Ordine

9 Classe 3 Verifica di Matematica Gennaio ( /14 pt) Determinare le soluzioni del seguente sistema. 1. ( /12 pt) Determinare le soluzioni del seguente sistema. >< p x 2 x>x+2 >< x 4 1 > (2 x)(x + 2) (5 x 2 ) p x 2 +6x +9+ x +4 > 0 1 sen(2 x) 1+sen(2 x) > 2 + cos(2 x) cos(2 x) 1 2x 3 3 > 3x 3 +5 Solution: I disequazione >< x +2< 0 x 2 x > 0 [ >< x +2> 0 x 2 x>x 2 +4x +4 x< 2 _ 2 6 x< 4 5 ) x< 4 5 II disequazione >< 2x 3 3 > 0 >< 2x 3 3 > 3x 3 +5 x > 3 r 3 2 2x 3 3 > 3x 3 +5 [ [ >< 2x 3 3 < 0 3 2x 3 > 3x 3 +5 >< x< 3 r 3 2 x< 3 r 2 5 Solution: >< >< >< x 4 1 > 1 p (x + 3) 2 + x +4 > 0 1 sen 2 (2 x) > 2 + cos 2 (2 x) cos(2 x) R R cos(2 x) > 2 R R ; Quindi: ; ; _ x< 3 r 2 5 ) x< 3 r 2 5 Quindi: x< 4 5

10 3. ( /9 pt) Determinare le soluzioni della seguente equazione goniometrica sen 3x = cos x 3 4 Solution: Poiché: sen 3x =sen 3 2 sen 3x 4 x =sen x allora: 3x 3 = 4 +2k _ 3x 3 = k x = k _ x = k 2 4. ( /10 pt) Determinare le soluzioni della seguente disequazione goniometrica sen x cos x < 2 Si consideri solo la restrizione delle soluzioni all intervallo [0, 2]. Solution: Dunque: sen x 0 <x sen x sen x 4 > 0 _ sen x 4 h 2sen x 4 2sen 2 x > < _ 3 <x 4 < <x<5 4 _ 7 12 <x< < 0 4 i 1 > 0 Quindi: 0 <x< 4 _ 7 12 <x<11 12 _ 5 4 <x<2

11 Classe 3 Verifica di Matematica Gennaio 2016 Indicazioni per lo svolgimento 4. ( /10 pt) Determinare le soluzioni della seguente disequazione goniometrica sen x cos x < 2 Si consideri solo la restrizione delle soluzioni all intervallo [0, 2]. Per conseguire la su cienza in questa verifica non è necessario svolgere l intero compito, ma si deve risolvere correttamente un numero di esercizi tale da raggiungere un punteggio di almeno 1 punti. Per ottenere il massimo dei voti si devono raggiungere 30 punti. Indicare su questo foglio gli esercizi che si intendono svolgere mettendo una crocetta nel quadratino a fianco del punteggio. 1. ( /12 pt) Determinare le soluzioni del seguente sistema. >< p x 2 x>x+2 2x 3 3 > 3x 3 +5 Correzione Es. Punti % Errori Altro 2. ( /14 pt) Determinare le soluzioni del seguente sistema. 1 /12 c s p f d i r >< x 4 1 > (2 x)(x + 2) (5 x 2 ) p x 2 +6x +9+ x +4 > 0 1 sen(2 x) 1+sen(2 x) > 2 + cos(2 x) cos(2 x) 1 2 /14 c s p f d i r 3 /9 c s p f d i r 4 /10 c s p f d i r 3. ( /9 pt) Determinare le soluzioni della seguente equazione goniometrica sen 3x = cos x 3 4 Tot. /45 Ordine

12 Classe 3 Verifica di Matematica Febbraio 2016 Correzione Es. Punti % Errori Altro Indicazioni per lo svolgimento Il recupero del debito formativo si ottiene totalizzando almeno 1 punti svolgendo gli esercizi di seguito proposti. É di fondamentale importanza, però, svolgere correttamente, nei calcoli e nelle procedure, almeno tre disequazioni o il sistema. Se non si dovesse rispettare questa richiesta non è garantito il superamento della prova, anche nell eventualità che si siano totalizzati i 1 punti richiesti. 1 /4 c s p f d i r 2 /4 c s p f d i r 3 /4 c s p f d i r Si risolvano le seguenti soluzioni riportando le soluzioni anche in notazione ad intervalli. 1. ( /4 pt) x 2 2x 3 > 0 4 /4 c s p f d i r 5 /4 c s p f d i r 2. ( /4 pt) x 3 +3x 2 2x 4 > 0 6 /10 c s p f d i r 3. ( /4 pt) x x<x 3 Tot. /30 Ordine 4. ( /4 pt) 2x 2 3 x < 0 5. ( /4 pt) p x 2 2 <x+1 6. ( /10 pt) Determinare le soluzioni del seguente sistema. p >< x +7> 2x 1 x 6 5x

13 Classe 3 Verifica di Matematica Febbraio 2016 Quindi: x > Determinare le soluzioni delle seguenti disequazioni. (c) ( /3 pt) Irrazionale dispari Solution: (d) ( /4 pt) p x x 2 6 2x Procedura Risolutiva: 2pt irrazionali pari - 1pt irrazionali dispari Correttezza nei calcoli: 1pt Soluzioni: 1pt Su cienza: 4pt - Voto massimo: 11pt Solution: x x >< 2 > 0 2x > 0 x x 2 6 (2x) 2 >< x 6 0 _ x > 1 x > 0 x 6 0 _ x > 1 5 (a) ( /4 pt) p x 2 2 <x+1 Quindi: x > 1 Solution: x >< 2 2 > 0 x +1> 0 x 2 2 < (x + 1) 2 Quindi: x > p 2 (b) ( /4 pt) p 3x + x 2 > 2 Solution: < 2 x<0 < : : x>2 3x + x 2 > 0 x [ x _ x > 0 [ >< x 6 p 2 _ x > p 2 x> 1 x> 3 2 < : < : 2 x > 0 3x + x 2 > (2 x) 2 x 6 2 x > 7 4 (e) ( /4 pt) p 3 x 2 > 2x +1 Solution: < 2x +1< 0 >< Quindi: : x< x 2 > 0 [ x _ x > 0 [ x>2 _ x 6 2+ p 14 5 (f) ( /3 pt) Irrazionale dispari < : 2x +1> 0 p 3 6 x 6 p 3 x > >< 1 2 p x 6 2+p x 6 2+ p 14 5 _ x>2 x>2 _ x 6 2

14 2. 3.

15 4.

16 Classe 3 Verifica di Matematica Febbraio 2016 Indicazioni per lo svolgimento La su cienza nella prova si ottiene totalizzando almeno 20 punti svolgendo gli esercizi di seguito proposti, avendo cura di seguire le indicazioni specifiche per le serie di esercizi. Se non si dovesse rispettare questa richiesta non è garantito il superamento della prova, anche nell eventualità che si siano totalizzati i 20 punti richiesti. La valutazione massima si consegue totalizzando almeno 30 punti. Si consiglia vivamente di privilegiare la correttezza nello svolgimento alla quantità di esercizi svolti, tenendo comunque presente il punteggio degli esercizi. Correzione Es. Punti % Errori Altro 1 /11 c s p f d i r 2 /23 c s p f d i r 3 /11 c s p f d i r 1. Determinare le soluzioni delle seguenti disequazioni. Si abbia cura di risolvere completamente e correttamente almeno due delle stesse. (a) ( /4 pt) p x 2 2 <x+1 Tot. /45 Ordine (b) ( /4 pt) p 3x + x 2 > 2 x (c) ( /3 pt) 3p x x 3 6 x 1 2. Determinare le soluzioni delle seguenti disequazioni modulari. Almeno una disequazione deve essere risolta correttamente. (a) ( /9 pt) x 2 x +3x< x 2 x (b) ( / pt) x 6 x + x 3 > 2 x 6 (c) ( /6 pt) x 2 4 >x 2 +2x Si risolvano le seguenti disequazioni goniometriche. Si precisa che almeno due disequazioni devono risultare corrette nei calcoli e complete nelle procedure. (a) ( /3 pt) 2 cos x < p 3 3 (b) ( /4 pt) tg x < 1 2 (c) ( /4 pt) ( p 2senx 1)(1 2 cos x) < 0

17 Classe 3 Verifica di Matematica 11 Marzo 2016 Indicazioni per lo svolgimento Alcuni esercizi in questa prova non hanno soluzioni esatte, pertanto è consentito l uso della calcolatrice non programmabile; in questi casi si forniscano le soluzioni approssimandole alla seconda cifra decimale. La su cienza si può conseguire svolgendo esclusivamente problemi di livello base e rispettando le consegne degli esercizi. Livello Base 1. Risolvere almeno due dei seguenti problemi indicando, oltre alle soluzioni, i teorema utilizzati, esprimendoli sotto forma di formule a fianco dei risultati. (a) ( /6 pt) Risolvere il triangolo 4ABC, rettangolo in A, sapendo che a =6e = 20. (b) ( /6 pt) Risolvere il triangolo 4ABC, rettangolo in A, sapendo che a =4e = 63. (c) ( /6 pt) Risolvere il triangolo 4ABC, rettangolo in A, sapendo che b =4ec =2.5. Livello Intermedio 3. Si risolva almeno uno dei seguenti problemi indicando a fianco del risultato i teoremi della trigonometria utilizzati sotto forma di formula e rappresentando con un diagramma i problemi stessi. (a) ( /5 pt) Calcolare la larghezza di un fiume sapendo che due osservatori A e B, sulla stessa sponda e distanti 15 m tra loro, vedono un punto C sull altra sponda, alla loro destra e sotto gli angoli alpha = 70 e = 45 rispettivamente. Si assuma che in quel tratto il fiume abbia sponde parallele tra loro. (b) ( /6 pt) In un parallelogramma le diagonali sono lunghe 20 dm e 50 dm e uno degli angoli da esse formato misura 45. Calcolare il perimetro del parallelogramma. Livello Avanzato 4. ( / pt) Si consideri una circonferenza C di raggio r e centro nell origine degli assi. Determinare le coordinate del punto P 2Cnel primo quadrante in modo che, dette R e Q le sue proiezioni sugli assi delle ascisse e delle ordinate rispettivamente, il rettangolo ORPQ abbia area 1 2 r2. Rappresentare con un diagramma il problema. Es. Punti % Errori Altro 1 /1 c s p f d i r 2. Si risolva almeno uno dei seguenti problemi indicando a fianco del risultato i teoremi utilizzati sotto forma di formula e rappresentando con un diagramma i problemi stessi. (a) ( /4 pt) Da una nave si vede un faro alto 60 m sotto un angolo di inclinazione di 15. Quanto è distante la nave dal faro? (b) ( /4 pt) Un sottomarino parte da un punto A e percorre 1,5 km procedendo lungo una linea retta inclinata di 10 rispetto al pelo dell acqua. A quale profondità giungerà? (c) ( /4 pt) A quale distanza ci si deve porre per osservare un campanile alto 40 m sotto un angolo di elevazione di 52? 2 /12 c s p f d i r 3 /11 c s p f d i r 4 / c s p f d i r Tot. /49 Ordine

18 Classe 3 [A] Micro-Test di Matematica 15 Marzo 2016 Classe 3 [C] Micro-Test di Matematica 15 Marzo Determinare le soluzioni di x 3 < 2 x 1. Determinare le soluzioni di x 3 > 2 x Classe 3 [B] Micro-Test di Matematica 15 Marzo 2016 Classe 3 [D] Micro-Test di Matematica 15 Marzo Determinare le soluzioni di x +3 >x 4 1. Determinare le soluzioni di x +3 6 x 4

19 Classe 3 [A] Micro-Test di Matematica 15 Marzo 2016 Classe 3 [C] Micro-Test di Matematica 15 Marzo Determinare le soluzioni di p 2 x<1 x 1. Determinare le soluzioni di p 2 x>1 x Classe 3 [B] Micro-Test di Matematica 15 Marzo 2016 Classe 3 [D] Micro-Test di Matematica 15 Marzo Determinare le soluzioni di p 2+x<1+x 1. Determinare le soluzioni di p 2+x>1+x

20 Classe 3 [A] Micro-Test di Matematica 15 Marzo 2016 Classe 3 [C] Micro-Test di Matematica 15 Marzo Determinare le soluzioni di 2 sen x > p Determinare le soluzioni di cos x > p 3 6 Classe 3 [B] Micro-Test di Matematica 15 Marzo 2016 Classe 3 [D] Micro-Test di Matematica 15 Marzo Determinare le soluzioni di sen x < p Determinare le soluzioni di cos x < p 3 6

21 Classe 3 [A] Micro-Test di Matematica 15 Marzo 2016 Classe 3 [C] Micro-Test di Matematica 15 Marzo Determinare le soluzioni di x 4 3x 2 +2> 0 1. Determinare le soluzioni di x 4 4x 2 +3> 0 Classe 3 [B] Micro-Test di Matematica 15 Marzo 2016 Classe 3 [D] Micro-Test di Matematica 15 Marzo Determinare le soluzioni di x 4 3x Determinare le soluzioni di x 4 4x

22 Classe 3 [A] Micro-Test di Matematica 15 Marzo 2016 Classe 3 [C] Micro-Test di Matematica 15 Marzo Determinare le soluzioni di 3x 2 x Determinare le soluzioni di 3x +2 x 2 +3 > 0 Classe 3 [B] Micro-Test di Matematica 15 Marzo 2016 Classe 3 [D] Micro-Test di Matematica 15 Marzo Determinare le soluzioni di 3x 2 x Determinare le soluzioni di 3x +2 x 2 +3 > 0

23 Classe 3 Verifica di Matematica 1Aprile Si determini la soluzione per via grafica delle seguenti equazioni. (a) 3 x 1 =2 1. Si risolvano le seguenti disequazioni esponenziali (a) 3 x2 +4x > 3 3 (b) 2 2cosx (b) 2 1 x+2 =2+x 2

24 3. Si rappresenti il grafico della funzione f(x) = 3e 2x 1 +2 avendo cura di riportare tutti i grafici necessari su uno stesso piano cartesiano. f(x) a Considerando il grafico precedente, si determini l espressione della funzione f(x). Si tenga presente che per ottenere il grafico sono state applicate solamente traslazioni ad un funzione esponenziale elementare. 4. Si forniscano 3 approssimazioni per difetto di 3 sqrt2 sfruttando le approssimazioni razionali del numero irrazionale p 2. Si rappresentino tali approssimazioni ricorrendo alla notazione matematica per i numeri razionali e successivamente, con l ausilio di una calcolatrice, in forma di numero decimale.

25 Classe 3 Verifica di Matematica Aprile 2016 Indicazioni per lo svolgimento Per conseguire la su cienza non è necessario svolgere l intera verifica, però è importante a rontare gli esercizi del livello base. In particolare si abbia cura si risolvere correttamente almeno una equazione, una disequazione ed il quesito sulla rappresentazione della funzione. Una volta assolta questa richiesta è possibile completare il livello base, oppure a rontare, a scelta, il livello intermedio o quello avanzato. Livello Base 1. Si determinino le soluzioni delle seguenti dis/equazioni. (a) log 3 x = log 3 (x 2 2) x +1 (b) log 1 < log 1 x 2 x 1 2 (c) log log log 3 x = log 3 (x 2 3) + log 3 (x 2 + 3) x 2. Si rappresenti il grafico della funzione f(x) = ln 2 2, avendo cura di riportare i grafici corrispondenti ai calcoli in un piano cartesiano diverso rispetto a quello in cui si rappresenta la funzione f(x). Livello Avanzato SPL: misura della pressione sonora In acustica i db SPL,osemplicementeSPL sono un unità che consente di misurare l intensità di una pressione sonora. Non potendo dare una definizione assoluta di pressione sonora, poiché essa è influenzata dal rumore di fondo presente in ogni ambiente, il quale può essere anche molto vario, si definisce il db SPL facendo riferimento al rapporto tra la pressione di un certo segnale sonoro (p) rispetto ad una pressione di riferimento (p 0 = 29, 7µP a), corrispondente alla soglia di udibilità, come segue: p 2 SPL = 10 log x 2 4. Si consideri la funzione S 0 (x) = 10 log. x (a) Si dimostri che detta S(x) = 20 log si ha S(x) =S 0 (x), x 2 R 0. p 0 (b) Si dimostri che se x 1 =2x 0 allora S(x 1 ) S(x 0 ) > 3. (c) Rappresentare graficamente la funzione S(x). (d) Determinare la pressione in micro-pascal necessaria a produrre una pressione sonora di 1dB SPL. p 2 0 p 2 0 Livello Intermedio 3. Si risolvano le seguenti dis/equazioni. (a) 3(ln x 1) (ln x 1) 1 3 2=0 (b) log( p 36 x 2 x) > log( p 1+x 2 x)

26 Classe 3 Esercitazione di Matematica Maggio Si dia una definizione di vettore. 2. Cosa si intende per trasformazione geometrica? 3. Consideriamo il vettore p ( 2, 3) associato alla traslazione p: applicando tale traslazione al punto A(3, 1) quali sono le coordinate del punto traslato A 0? 4. Dato il sistema di riferimento xoy con origine nel punto O(0, 0), volendo cambiare il sistema di riferimento con XO 0 Y con origine O 0 (2, 3) quale traslazione si deve applicare? Si scriva la risposta come vettore. 5. Applicando la traslazione p ( 1, 4) al sistema di riferimento xoy si ottiene un nuovo sistema di riferimento XO 0 Y. Si scriva il cambio di coordinate associato. Lo si scriva come sistema.

27 Classe 3 Esercitazione di Matematica Maggio 2015 Punti e Curve: relazione di appartenenza Molte curve geometriche del piano possono essere descritte facendo uso di equazioni in due variabili. Algebricamente tali equazioni ammettono infinite soluzioni, che sono coppie ordinate del tipo (x 0,y 0 ). Poiché ogni coppia ordinata di valori corrisponde alle coordinate di un punto nel piano, si ha che un punto appartiene ad una curva se le sue coordinate sono soluzione dell equazione che descrive la curva stessa. La Circonferenza La circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto dato detto centro. La distanza dei punti dal centro si dice raggio. 2. Si consideri Il punto O(0, 0) come centro di una circonferenza C esiar =2il suo raggio. (a) Verificare se i punti A(1, 1) e B( 2, 0) sono punti di C. Si risponda attraverso il calcolo della distanza tra punto e centro. 1. Si consideri la curva descritta dall equazione C : x 2 + y 2 =4 (a) Verificare se i punti A(1, 1), B( 2, 0) e C( 1, 4) appartengono a C (b) Qual è la distanza di un generico punto P (x, y) dal centro della circonferenza? Illustrare i calcoli svolti. (b) Verificare C passa per i punti P (1, p 3), Q(0, 2) e R(0, 4). (c) Sapresti ricavare lequazione della circonferenza C?

28 3. Applicando la traslazione! p (2, 1) all equazione di C quale equazione si ottiene? 4. Si applichi una generica traslazione! p (x 0,y 0 ) all equazione di C. (a) Che equazione si ottiene? Si dica che tipo di curva è e se ne espliciti l equazione. (b) Qual è il centro di questa nuova circonferenza?

29 Classe 3 Esercitazione di Matematica Maggio Dimostrare che il quadrilatero ABCD è un parallelogramma. Problema Nel piano si fissi un sistema di riferimento cartesiano xoy di origine O(0, 0) e si consideri in esso la circonferenza C di centro C(3, 3) e raggio R = p Si scriva l equazione in Forma Esplicita di tale circonferenza. 2. Si determinino i punti di intersezione della tale circonferenza con gli assi coordinati. 7. Rappresentare graficamente l intero problema. 3. Si scriva l equazione dell asse A del segmento AB, con A(0, 1) e B(5, 0). 4. Determinare l equazione della retta r perpendicolare a A passante per il centro C. 5. Verificare che la retta r passa per il punto D( 2, 4)

30 Classe 3 Esercitazione di Matematica Maggio ( /2 punti) Che caratteristiche ha un ellisse i cui semiassi assumono lo stesso valore? Equazione di un ellisse In un sistema di riferimento cartesiano xoy un ellisse è descritta dalla seguente equazione in Forma Esplicita: E : x 2 a 2 + y2 b 2 =1 nella quale a e b vengono chiamati semiassi dell ellisse. Se a > b i fuochi dell ellisse giacciono sull asse delle ascisse (Ellisse Orizzontale) altrimenti essi appartengono all asse delle ordinate (Ellisse Verticale). 1. ( /2 punti) Si scriva l equazione in Forma Esplicita di un Ellisse Verticale avente come valori per i semiassi 3 e 7. Fuochi di un ellisse Data l ellisse di equazione E : le coordinate dei suoi fuochi sono: x 2 a 2 + y2 b 2 =1,a>b F 1 ( c, 0) e F 2 (c, 0),con c = p a 2 b 2 5. ( /4 punti) Determinare i fuochi dell ellisse riportata nell esercizio ( /2 punti) Si scriva l equazione in Forma Esplicita di un Ellisse Orizzontale avente come valori per i semiassi 3 e ( /6 punti) Nel caso in cui l ellisse sia verticale cambiano le formule per determinarne i fuochi? Motivare la risposta fornendo le eventuali formule corrette. 3. ( /4 punti) Rappresentare l ellisse di equazione E : x y2 = 1.

31 Classe 3 Test di Matematica Maggio ( / punti) IpuntiC e D determinano i semiassi di un ellisse E con fuochi sugli assi coordinati. Determinare le coordinate di tali fuochi e l equazione dell ellisse. Si determini inoltre la tipologia di ellisse. 1. ( /4 punti) Si scriva l equazione della circonferenza C con centro in A( 1, 2) e passante per il punto B( 1, 1). 2. ( /4 punti) Considerando la traslazione! p ( 16 circonferenza C 0 traslata di C. 5, 12 5 ) si scriva l equazione della 3. ( /6punti) DettoA 0 il centro di C 0 si scriva l equazione dell asse del segmento AA 0 e si determinino le intersezioni C e D di tale asse con gli assi coordinati. 5. ( / punti) Rappresentare l intero problema graficamente.

32 Classe 3 Test di Matematica Maggio 2015 (d) ( /7 punti) rappresentare gli elementi precedentemente calcolati su un piano cartesiano e tracciare il grafico probabile della parabola Indicazioni per lo svolgimento La prova consiste in tre esercizi suddivisi in tre livelli di di coltà. Il completamento della sola parte di livello base da diritto ad un voto massimo pari a 7 1 /2. Completando i quesiti del livello intermedio è possibile conseguire un voto massimo pari a 1 /2. Per la votazione massima è necessario a rontare anche i quesiti del livello avanzato. Si raccomanda di prediligere la correttezza nei calcoli e nelle rappresentazioni grafiche piuttosto che la quantità di quesiti svolti. Livello Base 1. In un sistema di riferimento cartesiano xoy si consideri la parabola di equazione p : y =2x 2 2. (a) ( /4 punti) determinare le coordinate di Fuoco e Vertice Livello Intermedio 2. SI consideri ora il punto P (2, 2) (a) ( /2 punti) determinare l equazione del fascio proprio di rette con centro in tale punto (b) ( /7 punti) determinare le equazioni delle rette del fascio tangenti alla parabola dell esercizio precedente (b) ( /4 punti) determinare le equazioni di direttrice e asse di simmetria (c) ( /4 punti) determinare le coordinate dei punti di intersezione con l asse delle ascisse

33 Livello Avanzato L iperbole (d) ( /6 punti) rappresentare gli elementi precedentemente calcolati su un piano cartesiano Un iperbole con fuochi sull asse delle ascisse ha un equazione del tipo: e le coordinate dei suoi fuochi sono: x 2 y 2 a 2 b 2 =1 F 1 ( c, 0) _ F 2 (c, 0) con c = p a 2 + b 2. Inoltre essa ha come asintoti le rette di equazione r 1 : y = b a x _ r s : y = b a x 3. Data l iperbole di equazione x 2 3 y 2 6 =1 (a) ( /4 punti) determinare le coordinate dei suoi fuochi (b) ( /4 punti) determinare le equazioni dei suoi asintoti (c) ( /4 punti) determinare le coordinate dei suoi vertici, ovvero i punti di ordinata nulla

34 Classe 3 Test di Matematica Maggio Determinare l equazione dell ellisse E avente semidistanza focale di p 3 e asse orizzontale di 4. Rappresentare graficamente. 3. Determinare l equazione del fascio improprio F k di rette parallele all asse del segmento e calcolare il valore del parametro corrispondente alla retta r del fascio passante per l estremo del segmento che giace sull asse delle ordinate. Rappresentare graficamente quest ultima retta. 2. Dopo aver classificato l ellisse, determinare l equazione dell asse del segmento avente per estremi le intersezioni dell ellisse con gli assi coordinati a coordinate non positive (A AB ). Rappresentare graficamente. 4. ( / punti) DettoM il punto medio del segmento, H l intersezione dell asse A AB con l asse delle ascisse e K l intersezione di r con l asse delle ascisse, classificare e calcolare l area del quadrilatero MBKH. Rappresentare graficamente.