Classe 4 Test di Matematica Ottobre Si rappresenti il grafico della funzione. x 2. f(x) =2 log 1 2

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1 Classe 4 Test di Matematica Ottobre 06. Si rappresenti il grafico della funzione f(x) = log x. Rappresentare le funzioni avendo cura di esplicitare le trasformazioni geometriche applicate. sul medesimo piano cartesiano. f(x) = e x+ ; g(x) =e x

2 3. Determinare il dominio della funzione 3 x f (x) =ln 3x + 4. Determinare il dominio della funzione s x 3 f (x) = ln(x ) esplicitando chiaramente le Condizioni di Esistenza graficamente ed in notazione ad intervalli. e rappresentandolo esplicitando chiaramente le Condizioni di Esistenza graficamente ed in notazione ad intervalli. e rappresentandolo

3 Classe 4Bmp Verifica di Matematica 7 Ottobre 06 Correzione. Si considerino le seguenti funzioni: f(x) = log (4 + x) 3 +x g(x) = 5 (a) ( /6 pt) Rappresentare il grafico di entrambe mettendo in evidenza le trasformazioni geometriche applicate. (b) ( /4 pt)(bonus) Rappresentare f(x) e g(x) sullo stesso piano cartesiano e determinare in quali intervalli (approssimati) sihachef(x) > g(x). Es. Punti % Errori Altro /0 c s p f d i r /3 c s p f d i r 3 / c s p f d i r. ( /3 pt) Si considerino le funzioni Tot. /74 Ordine f (x) = 5p log (x 4 8) f (x) = p ln(x + ) f 3 (x) = ln(x ) p x 3 f 4 (x) =ln( p x x + ) x Per ciascuna di esse si determini il dominio esplicitando correttamente le Condizioni di Esistenza, lo si scriva in notazione ad intervalli e lo si rappresenti graficamente. 3. Si consideri la funzione f(x) = + ln( p x) (a) ( /6 pt) determinare algebricamente suo dominio e rappresentarlo in notazione ad intervalli (b) ( /0 pt) (Bonus) determinare puntualmente il grafico di m(x) = ln( p e sfruttare le trasformazioni geometriche per ricavare il grafico x) di f(x) (c) ( /6 pt)(bonus) determinare gli intervalli (approssimati) per i quali la funzione f(x) è positiva, ovvero f(x) > 0 NOTA: è consentito l uso della calcolatrice.

4 Classe 4Bmp Verifica di Matematica 5 Ottobre 06. Si considerino le seguenti funzioni: f(x) = log (4 x) 3 x g(x) = 5 (a) ( /6 pt) Rappresentare il grafico di entrambe mettendo in evidenza le trasformazioni geometriche applicate. (b) ( /4 pt)(bonus) Rappresentare f(x) e g(x) sullo stesso piano cartesiano e determinare in quali intervalli (approssimati) sihachef(x) > g(x). Soluzione: f(x) >g(x) () x, apple 3 [ 7 4, + 6punticorretta applicazione delle 3 trasformazioni di f(x) 0 punti corretta applicazione delle 5 trasformazioni di g(x) 4puntiesercizio Bonus. ( /3 pt) Si considerino le funzioni f (x) =ln( p x x + ) f (x) = p x ln(x + ) f 3 (x) = ln(x 3) p x f 4 (x) = 5p log (x 4 9) Per ciascuna di esse si determini il dominio esplicitando correttamente le Condizioni di Esistenza, lo si scriva in notazione ad intervalli e lo si rappresenti graficamente. Soluzione: Attribuzione dei punteggi: puntiper l impostazione corretta delle Condizioni di esistenza puntiper lo sviluppo corretto dei calcoli puntoper la rappresentazioni corretta in notazione ad intervalli 3puntiper la corretta rappresentazione grafica Attribuzione dei punteggi: 3. Si consideri la funzione f(x) = ln( p x ) (a) ( /6 pt) determinare algebricamente suo dominio e rappresentarlo in notazione ad intervalli (b) ( /0 pt) (Bonus) determinare puntualmente il grafico di m(x) = ln( p e sfruttare le trasformazioni geometriche per ricavare il grafico x) di f(x) (c) ( /6 pt)(bonus) determinare gli intervalli (approssimati) per i quali la funzione f(x) è positiva, ovvero f(x) > 0

5 NOTA: è consentito l uso della calcolatrice. Soluzione:

6 Classe 4Bmp Verifica di Matematica 5 Ottobre 06 Correzione. Si considerino le seguenti funzioni: f(x) = log (4 x) 3 x g(x) = 5 (a) ( /6 pt) Rappresentare il grafico di entrambe mettendo in evidenza le trasformazioni geometriche applicate. (b) ( /4 pt)(bonus) Rappresentare f(x) e g(x) sullo stesso piano cartesiano e determinare in quali intervalli (approssimati) sihachef(x) > g(x). Es. Punti % Errori Altro /0 c s p f d i r /3 c s p f d i r 3 / c s p f d i r. ( /3 pt) Si considerino le funzioni Tot. /74 Ordine f (x) =ln( p x x + ) f (x) = p x ln(x + ) f 3 (x) = ln(x 3) p x f 4 (x) = 5p log (x 4 9) Per ciascuna di esse si determini il dominio esplicitando correttamente le Condizioni di Esistenza, lo si scriva in notazione ad intervalli e lo si rappresenti graficamente. 3. Si consideri la funzione f(x) = ln( p x ) (a) ( /6 pt) determinare algebricamente suo dominio e rappresentarlo in notazione ad intervalli (b) ( /0 pt) (Bonus) determinare puntualmente il grafico di m(x) = ln( p e sfruttare le trasformazioni geometriche per ricavare il grafico x) di f(x) (c) ( /6 pt)(bonus) determinare gli intervalli (approssimati) per i quali la funzione f(x) è positiva, ovvero f(x) > 0 NOTA: è consentito l uso della calcolatrice.

7 Classe 4Ccm Recupero di Matematica Ottobre 06 Correzione. Si considerino le seguenti funzioni: p 3 x f(x) = g(x) = ( x) (a) ( /6 pt) Rappresentare il grafico di entrambe mettendo in evidenza le trasformazioni geometriche applicate. (b) ( /4 pt)(bonus) Rappresentare f(x) e g(x) sullo stesso piano cartesiano e determinare in quali intervalli (approssimati) sihachef(x) > g(x). Es. Punti % Errori Altro /0 c s p f d i r /3 c s p f d i r 3 / c s p f d i r. ( /3 pt) Si considerino le funzioni Tot. /74 Ordine f (x) =ln( x) px 3 f (x) = log ( p x + 4) e f 3 (x) =+ 3 x f 4 (x) = 3p log (x 3 7) Per ciascuna di esse si determini il dominio esplicitando correttamente le Condizioni di Esistenza, lo si scriva in notazione ad intervalli e lo si rappresenti graficamente. 3. Si consideri la funzione f(x) = + log( p x) (a) ( /6 pt) determinare algebricamente suo dominio e rappresentarlo in notazione ad intervalli (b) ( /0 pt) (Bonus) determinare puntualmente il grafico di m(x) = log( p e sfruttare le trasformazioni geometriche per ricavare il grafico x) di f(x) (c) ( /6 pt)(bonus) determinare gli intervalli (approssimati) per i quali la funzione f(x) è positiva, ovvero f(x) > 0 NOTA: è consentito l uso della calcolatrice.

8 Classe 4Ccm Verifica di Matematica 8 Ottobre 06 Correzione. Si considerino le seguenti funzioni: p x +3 f(x) = g(x) = (x + ) (a) ( /6 pt) Rappresentare il grafico di entrambe mettendo in evidenza le trasformazioni geometriche applicate. (b) ( /4 pt)(bonus) Rappresentare f(x) e g(x) sullo stesso piano cartesiano e determinare in quali intervalli (approssimati) sihachef(x) > g(x). Es. Punti % Errori Altro /0 c s p f d i r /3 c s p f d i r 3 / c s p f d i r. ( /3 pt) Si considerino le funzioni Tot. /74 Ordine f (x) =lnx p4 x f (x) = log ( p x 4) 5 3 f 3 (x) = e x f 4 (x) = 5p log (x 4 8) Per ciascuna di esse si determini il dominio esplicitando correttamente le Condizioni di Esistenza, lo si scriva in notazione ad intervalli e lo si rappresenti graficamente. 3. Si consideri la funzione f(x) = log( p x ) (a) ( /6 pt) determinare algebricamente suo dominio e rappresentarlo in notazione ad intervalli (b) ( /0 pt) (Bonus) determinare puntualmente il grafico di m(x) = log( p e sfruttare le trasformazioni geometriche per ricavare il grafico x) di f(x) (c) ( /6 pt)(bonus) determinare gli intervalli (approssimati) per i quali la funzione f(x) è positiva, ovvero f(x) > 0 NOTA: è consentito l uso della calcolatrice.

9 Classe 4 Verifica di Matematica Novembre 06 Funzioni Asintotiche. Calcolare il valore dei seguenti limiti. (a) lim x + 5 x! x (b) (c) x 4 3+x 3 6x lim x 3 4+x x + x 3 x! lim x!3 sen(x ) (d) lim x! x Due funzioni f(x) eg(x) si dicono asintotiche per x! x 0 [f(x) g(x)] se f(x) lim x!x 0 g(x) = Questa relazione a erma che le due funzioni, al tendere di x ad x 0 hanno un comportamento sostanzialmente identico, ovvero la di erenza tra le due tende a zero. Si hanno le seguenti relazioni asintotiche, per x! 0: ln(x + ) x; cos x x ; senx x; a x x ln a; tgx x; (x + ) n n x. L equivalenza asintotica può essere utilizzata per calcolare il valore di limiti in alcuni casi di forme di indecisione. Ad esempio, per calcolare: lim x!0 cos x ln ( + x) e x. Studiare la funzione f(x) = x + x. Nello specifico si considerino (a) dominio della funzione e sua scrittura con notazione ad intervalli; (b) calcolo del segno; consideriamo ln(x + ) x e perciò lim x!0 cos x x,sihache cos x x (ln(x + )) x, x cos x ln ( + x) =lim x!0 x = 3. Utilizzare le relazioni asintotiche esposte sopra per determinare il valore del seguente limite: senx senx lim x!0 3 x+ 3 (c) intersezioni con gli assi coordinati; (d) calcolo dei limiti della funzione; (e) individuazione di eventuali asintoti e loro esplicitazione (tipologia ed equazione). (f) Si rappresentino tutte le informazioni ricavate in un piano cartesiano e si fornisca il grafico probabile della funzione.

10 Classe 4 Esercitazione di Matematica Gennaio 07. Determinare quale tra le seguenti funzioni: f (x) =+ x f (x) = x f 3 (x) =+ 4x presenta le seguenti caratteristiche: dominio R \{0}; asintoti a : y =, per x!, a : x = 0, per x! 0; intersezioni P (, 0) e P (, 0). Esplicitare chiaramente le motivazioni per le quali sono state scartate le altre funzioni.. Determinare quale tra le seguenti funzioni: p x g (x) = x ln x + g (x) = x g 3 (x) = x4 + x 3 presenta le seguenti caratteristiche: è dispari; asintoto a : y = 0, per x!; dominio R \{0}. Esplicitare chiaramente le motivazioni per le quali sono state scartate le altre funzioni. 3. Determinare quale tra le seguenti funzioni: h (x) = ln( x ) x ln( x ) h (x) = h 3 (x) = ln x x x presenta il seguente grafico: Esplicitare chiaramente le motivazioni per le quali sono state scartate le altre funzioni. 4. Considerando la funzione esponenziale di base, la si trasformi in modo da ottenere una funzione: con dominio R; pari; passante per P (0, ); con asintoto a : y = ; negativa in ], [. Si scriva l espressione analitica delle funzioni corrispondenti alla trasformazioni motivando esplicitamente la ragione di tale trasformazione.

11 Classe 4 Verifica di Matematica 3 Gennaio 06. Determinare quale tra le seguenti funzioni: f (x) = x f (x) = x f 3 (x) =+ 4x presenta le seguenti caratteristiche: dominio R \{0}; asintoti a : y =, per x!, a : x = 0, per x! 0; intersezioni P (, 0) e P (, 0). Esplicitare chiaramente le motivazioni per le quali sono state scartate le altre funzioni.. Determinare quale tra le seguenti funzioni: p x g (x) = x ln x + g (x) = x g 3 (x) = x + x 3 presenta le seguenti caratteristiche: è dispari; asintoto a : y = 0, per x!; dominio R \{0}. Esplicitare chiaramente le motivazioni per le quali sono state scartate le altre funzioni. 3. Determinare quale tra le seguenti funzioni: h (x) = ln( x ) x ln( x ) h (x) = h 3 (x) = ln x x x presenta il seguente grafico: Esplicitare chiaramente le motivazioni per le quali sono state scartate le altre funzioni. 4. Considerando la funzione esponenziale di base, la si trasformi in modo da ottenere una funzione: con dominio R; pari; passante per P (0, ); con asintoto a : y = ; negativa in ], [. Si scriva l espressione analitica delle funzioni corrispondenti alla trasformazioni motivando esplicitamente la ragione di tale trasformazione.

12 Classe 3Bmp Esercitazione di Matematica 7 Gennaio 07. Completare la seguente tabella: Equazione Tipologia m q 3. Date le rette r : y =3x 4 s : y =3 x determinarne graficamente il punto di intersezione. r : y = 3+x V O OC OD r : x = 3 V O OC OD r 3 : y = 3 x V O OC OD 4 r 4 : y =7+ 4 x V O OC OD 3 r 5 : y =x 3 4 V O OC OD r 6 : y = V O OC OD. Facendo riferimento alle rette dell esercizio precedente, indicare le coppie di rette parallele e perpendicolari, motivando la risposta. Parallele Perpendicolari Perpendicolari

13 Punti e Curve: relazione di appartenenza Molte curve geometriche del piano possono essere descritte facendo uso di equazioni in due variabili. Algebricamente tali equazioni ammettono infinite soluzioni, che sono coppie ordinate del tipo (x 0,y 0 ). Poiché ogni coppia ordinata di valori corrisponde alle coordinate di un punto nel piano, si ha che un punto appartiene ad una curva se le sue coordinate sono soluzione dell equazione che descrive la curva stessa. 4. Si consideri la curva descritta dall equazione C : x + y =4 (a) Verificare se i punti A(, ), B(, 0) e C(, 4) appartengono a C (b) Verificare C passa per i punti P (, p 3), Q(0, ) e R(0, 4).

14 Classe 4 Verifica di Matematica Gennaio 07. Si svolga uno studio completo della seguente funzione: 8 ln( x) >< f(x) = x sen >: p x p x,x<0,x>0 4. Considerando la funzione logaritmica di base 3, la si trasformi in modo da ottenere una funzione: con dominio R \{0}; pari; passante per P (, 0) e P (, 0); con asintoto a : x = 0; positiva in ], 0[[]0, [. Si scriva l espressione analitica delle funzioni corrispondenti alla trasformazioni motivando esplicitamente la ragione di tale trasformazione. Si provveda anche a rappresentare graficamente il grafico della funzione, evidenziando chiaramente tutti gli elementi ottenuti dai calcoli analitici.. Determinare quale tra le seguenti funzioni: g (x) =4 x 4 g (x) = x x + g 3 (x) = x presenta le seguenti caratteristiche: è pari; dominio R; è positiva in ], [; interseca l asse delle ordinate in P (0, ); asintoti a : y = x +, per x! ; a : y = x, perx! +. Esplicitare chiaramente i calcoli che illustrano le caratteristiche elencate per la funzione prescelta e le regioni per cui sono state escluse le altre. 3. Rappresentare graficamente su un piano xoy la funzione f (y) = (y ) y

15 Classe 4Bmp Recupero di Matematica 7 Febbraio 07. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo su un piano cartesiano. (a) ( /3 pt) f(x) = p x 3 +5x 4 (b) ( /5 pt) g(x) = p log 3 (x + ). Data la funzione f(x) = p 9 x (a) ( / pt) le intersezioni con l asse delle ascisse, (b) ( / pt) le intersezioni con l asse delle ordinate. (c) ( /3 pt) Rappresentare le soluzioni trovate assieme al dominio della funzione su un piano cartesiano. 3. Determinare gli intervalli di positività delle seguenti funzioni (a) ( /3 pt) f (x) = x 3x + x +3x + (b) ( /4 pt) f (x) =x p 4 x 4. Calcolare il valore dei seguenti limiti. 9ln(+x) (a) ( / pt) lim x!0 sen 3x e x e x (b) ( / pt) lim x!0 (c) ( / pt) lim x! 8x sen( x) x + (d) ( / pt) lim x!0 cos x cos x cos x [Si svolga la seguente sostituzione t = (x + )]

16 Classe 4 Test di Matematica Marzo 07. Si calcolino le seguenti derivate. (a) D (cos x sen x 3x). Calcolare le seguenti derivate. (a) D [ tg x ] (b) D x ln x + apple 3x 7x + (b) D 4 x (c) D 3p x + 3p x + x + p (c) D [ln( cos x)]

17 3. Facendo uso del limite del rapporto incrementale si calcoli la derivata della funzione (x) = x + x nel punto di ascissa x 0 =. 4. Determinare massimi e minimi, specificando se assoluti o relativi, della funzione (x) = x 3x + x +3x +

18 Classe 4 Verifica di Matematica Marzo 07. Studiare la funzione f(x) = x ln x. Nello specifico si considerino (a) ( /3 pt) dominio della funzione e sua scrittura con notazione ad intervalli; 3. Data la funzione f(x) = e x x + x (a) la derivata prima e la derivata seconda; (b) i massimi e i minimi; (c) se possibile, i punti di flesso. determinarne (b) ( / pt) calcolo del segno; (c) ( / pt) intersezioni con gli assi coordinati; (d) ( /3 pt) calcolo dei limiti della funzione; (e) ( / pt) individuazione di eventuali asintoti e loro esplicitazione (tipologia ed equazione); (f) ( / pt) individuazione ed classificazione di eventuali punti di discontinuità; (g) ( /4 pt) calcolare e studiare la derivata prima ed individuazione di massimi e minimi; (h) ( /4 pt) calcolare e studiare (se possibile) la derivata seconda, individuandogli eventuali punti di flesso. (i) ( /3 pt) Si rappresenti la funzione su un piano cartesiano, riportando tutti gli elementi determinati nei passi precedenti.. La Cream & Co ee Company decide di lanciare un nuovo ca è istantaneo aromatizzato alla panna e caramello e per promuovere il prodotto ha ideato una tazza termica graduata per ottenere il perfetto bilanciamento tra acqua e ca è solubile. La forma scelta è quella della classica mug, ovvero un cilindro con un estremità chiusa, e deve avere una capienza di 80 cm 3. Per mantenere il ca è caldo più a lungo, quali sono le dimensioni della tazza (raggio di base ed altezza) tali da minimizzare la superficie della tazza stessa?

19 Classe 4Bmp Test di Matematica 30 Marzo 07. Si calcolino le seguenti derivate. (a) D (sen x ln x 3x). Calcolare le seguenti derivate. (a) D [ ctg x ] (b) D x 3 ln x +e x apple 4 x (b) D 3x 7x + (c) D 5p x + 4p x + x 3 + p (c) D [ln( + sen x)]

20 3. Facendo uso del limite del rapporto incrementale si calcoli la derivata della funzione (x) = x x + nel punto di ascissa x 0 =. 4. Determinare massimi e minimi, specificando se assoluti o relativi, della funzione (x) = x +3x + x 3x +

21 Classe 4Bmp Verifica di Matematica Maggio 07. Studiare la funzione f(x) = ex x. Nello specifico si considerino (a) dominio della funzione e sua scrittura con notazione ad intervalli; (b) calcolo del segno; (c) intersezioni con gli assi coordinati; (d) calcolo dei limiti della funzione; (e) individuazione di eventuali asintoti e loro esplicitazione (tipologia ed equazione); (f) individuazione di eventuali punti di discontinuità e loro classificazione (tipologia ed equazione); (g) Calcolo e studio di derivata prima e seconda; (h) individuazione di eventuali massimi, minimi e flessi. (i) Si rappresentino tutte le informazioni ricavate in un piano cartesiano e si fornisca il grafico probabile della funzione.. Determinare il massimo dell area di un trapezio isoscele, immaginando di conoscerne la base minore b e il lato obliquo c. Determinare poi la soluzione nel caso in cui la base minore sia doppia del lato obliquo e misuri b = p Un impresa di traslochi predispone 3 pacchi da 5kg, 4 scatole da 3kg e 3 sacchetti da kg per un avoro con un cliente. (a) In quanti modi diversi possono essere trasportati considerando gruppi di 0 viaggi con un collo alla volta? (b) Quanti trasporti da 3 colli distinti si possono immaginare? (c) Quanti sono i possibili trasporti considerando che la somma dei colli deve essere di 0kg? Motivare le risposte anche mediante l uso di diagrammi e schemi esplicativi.

22 Classe 4 Test di Matematica Giugno 07. Si estraggano due carte in successione e senza reinserimento da un mazzo da poker. (a) Qual è la probabilità che entrambe siano di fiori?. Da un urna contenente 0 palline numerate da a 0 se ne estraggono 5 contemporaneamente. (a) Qual è la probabilità che tutti i numeri estratti siano minori di 6? (b) Qual è la probabilità che 3 palline siano pari e dispari? (b) Qual è la probabilità che abbiano lo stesso seme? (c) Qual è la probabilità che una sia di cuori e l altra di picche? (c) Qual è la probabilità che abbia un numero primo e le restanti un numero non primo? (d) Qual è la probabilità che entrambe siano nere? (d) Qual è la probabilità che tutte riportino una potenza di?

23 3. Un dado a 4 facce viene lanciato 6 volte. (a) Qual è la probabilità che 3 uscite siano pari e 3 dispari? (d) Qual è la probabilità che esca una sequenza nella quale il primo e l ultimo numero sono entrambi? (b) Qual è la probabilità che escano 3 multipli propri di 3 consecutivamente e 3 multipli propri di 5 consecutivamente? (e) Qual è la probabilità che esca almeno un 7? (c) Qual è la probabilità che escano prima 3 multipli propri di 3 consecutivamente e poi 3 multipli propri di 5 consecutivamente?