Il teorema di Frobenius e le forme differenziali

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1 Il teorema di Frobenius e le forme differenziali Appunti per il corso di Sistemi Dinamici 2 (a.a. 2015/2016) Dipartimento di Matematica, Università di Milano 17 Dicembre 2015 In una precedente dispensa, abbiamo considerato (e dimostrato) il teorema di Frobenius in termini di campi di vettori e di distribuzioni. Vogliamo ora vederne la formulazione duale, cioé in termini di forme differenziali 1. Sebbene questa richieda in una prima fase un approccio indiretto (per effettuare il collegamento con la discussione in termini di campi di vettori), come naturale usando degli strumenti di dualità, averne la formulazione in termini di forme differenziali risulta assai utile in molti contesti. 1 Distribuzioni in TM ed in T M La dualità tra campio di vettori e forme differenziali permette di descrivere una distribuzione D in TM sia attraverso campi di vettori (i generatori di D) sia attraverso delle forme differenziali. In modo simile a come dei campi di vettori definiscono una distribuzione in TM, delle uno-forme definiscono una distribuzione in T M (si parla anche di co-distribuzione). 1.1 Distribuzioni duali in TM ed in T M Inizieremo con il descrivere una distribuzione in TM attraverso delle forme differenziali (anziché attraverso dei campi di vettori). Come prima cosa dobbiamo fare una semplice (ma importante) osservazione. Consideriamo dei campi di vettori {Z 1,..., Z h } su M, che generano una distribuzione regolare Z TM, dati in coordinate da Z k = w i k i. A questi campi di vettori corrispondono le uno-forme duali (nel senso della metrica riemanniana g sulla varietà) ζ = {ζ 1,..., ζ h }, date in componenti da ζ k = a ki dx i ; le componenti della forma ζ k sono quindi date da a ki = g ij w j k. 1 Una breve introduzione alle forme differenziali su una varietà è fornita in un altra dispensa. 1

2 Il prodotto interno di un generico vettore Y = ϕ i i con queste forme è quindi dato da Y ζ k = ϕ i a ki = ϕ i g ij w j k = (Y Z k), dove (..) è il prodotto scalare (con la metrica g) in TM. Ne concludiamo che un campo di vettori Y annulla tutte le forme ζ k se e solo se è ortogonale a tutti i vettori Z k. 1.2 Distribuzioni in TM e codistribuzioni associate in T M Consideriamo la distribuzione regolare D in TM (di dimensione d) generata dai campi di vettori {X 1,..., X r }; ad ogni punto p M lo spazio lineare D p T p M (di dimensione d costante, per ipotesi) definisce uno spazio lineare ortogonale A p T p M (di dimensione h = m d costante), e l unione di questi per p M definisce una distribuzione regolare A in TM, che rappresenta il complemento ortogonale di D. 2 L informazione data da A è equivalente a quella data da D, in quanto una volta nota una delle due distribuzioni, l altra è automaticamente determinata. La distribuzione A definisce, come accennato poc anzi, delle forme {ω 1,..., ω h }, duali ad un sistema di generatori per A. Naturalmente le forme ω i descrivono anche, in modo più diretto, una distribuzione Ω in T M; si dice anche che la distribuzione Ω è la co-distribuzione associata a D. Sottolineamo ancora che Ω è duale di A, non di D; la codistribuzione duale di D sarà, che è ortogonale ad Ω. La situazione è riassunta nel diagramma seguente (la freccia senza nome corrisponde alla associazione tra la distribuzione D e la codistribuzione Ω). D A Ω Si noti che, per costruzione, si ha X ω = 0 X D, ω Ω. (1) Dunque, in un senso che verrà precisato nel seguito, la distribuzione D e la sua co-distribuzione Ω si annullano l un l altra. La relazione (1) è spesso scritta (in modo suggestivo, ma poco chiaro per chi non ha familiarità con questa notazione) nella forma D Ω = 0. (2) 2 Il fatto che A così definita sia proprio una distribuzione, pur essendo assolutamente plausibile, non è del tutto evidente ed andrebbe dimostrato; per fornirne una dimostrazione rigorosa ci affideremo alla buona volontà dello studente; ove questa mancasse ci si può riferire per esempio al testo di Bishop e Goldberg [3]. 2

3 Abbiamo fin qui visto la co-distribuzione Ω come indotta dalla distribuzione D, introdotta come l oggetto fondamentale; ma naturalmente è possibile procedere in modo inverso, e vedere la co-distribuzione Ω come l oggetto fondamentale, e la distribuzione D come indotta da Ω. Consideriamo dunque un insieme di uno-forme Ω = {ω 1,..., ω h }, questo definisce una co-distribuzione. Possiamo definire una distribuzione D associata passando alla distribuzione A duale di Ω e poi alla distribuzione ortogonale di A, che è appunto D. 3 E però più semplice ed economico definire D partendo dalla (1), cioé definire D come l insieme dei campi di vettori X che soddisfano la (1) per ogni ω Ω. Allo stesso modo la Ω può essere definita in termini della D (non passando prima alla distribuzione ortogonale A e poi al duale Ω di questa ma) direttamente dalla (1) come l insieme delle uno-forme ω per cui la (1) vale per ogni X D. Queste considerazioni portano a considerare con attenzione l insieme dei campi che annullano un insieme dato di forme (o viceversa di forme che annullano un insieme dato di campi); questo merita un suo nome specifico: si tratta dell annullatore, considerato tra poco. Prima di far questo, introduciamo delle definizioni che permetteranno di enunciare in termini semplici alcuni dei risultati successivi. 4 Definizione. La sottovarietà S M è una varietà integrale per la codistribuzione Ω se è una varietà integrale per la distribuzione associata D. Definizione. La codistribuzione Ω è regolare se la distribuzione associata D è regolare. Definizione. La codistribuzione regolare Ω è detta completamente integrabile se la distribuzione associata D è completamente integrabile. 1.3 Annullatore di un insieme di forme Per un insieme di forme differenziali (di qualsiasi grado) Ω = {ω 1,..., ω n }, l insieme dei campi di vettori che annullano tutte le forme di Ω, cioé dei campi X per cui X ω = 0 ω Ω, è detto l annullatore 5 di Ω, e si indica con Ann(Ω). Essendo l operazione di prodotto interno lineare, se si ha X ω i = 0 per i = 1,..., n, allora si ha anche X ω = 0 per qualsiasi ω = f i (x)ω i. Dunque in effetti l annullatore di un insieme di forme differenziali è anche l annullatore del modulo da esse generato. E anche possibile procedere in modo duale; considerare cioé un insieme X = {X 1,..., X n } di campi di vettori, e definirne l annullatore come l insieme delle uno-forme ω tali che X i ω = 0 per ogni i = 1,..., n. Nuovamente, a causa 3 E anche possibile considerare la codistribuzione ortogonale ad Ω, cioé l insieme E delle uno-forme η che soddisfano (X η X ωi ) = 0 per ogni i = 1,..., h, e dunque (X η, X ω) = 0 per ogni ω Ω, con X η il campo di vettori duale di η e X ωi il campo di vettori duale di ω i etc.; allora D è la distribuzione duale ad E. 4 O almeno permetteranno di non essere a disagio in parte della letteratura. 5 In inglese, con termine più cruento, annihilator. 3

4 delle proprietà dell operazione di prodotto interno, l annullatore di un insieme di campi di vettori è anche l annullatore del modulo da essi generato. Torniamo ora a considerare una distribuzione D e la co-distribuzione associata Ω. In questo caso, per costruzione, i campi in D sono gli unici che annullano tutte le forme in Ω; dunque D = Ann(Ω). Procedendo in verso opposto, otteniamo che Ω = Ann(D). Osservazione. In letteraura, la distribuzione D è spesso descritta dalla condizione Ω = 0; questa va intesa nel senso che le uno-forme ω Ω, valutate sui vettori della distribuzione D, si annullano identicamente; in altre parole, la scrittura Ω = 0 va intesa nel senso della (2), o più precisamente della (1). 1.4 Ideale completo L insieme delle forme la cui restrizione ad Ann(Ω) è zero, è detto l ideale completo di Ω. Anche quando Ω è un sistema che comprende (anche, o solo) forme di grado superiore, il suo ideale completo ammette un sistema di generatori costituito da uno-forme; questo insieme è anche detto insieme caratteristico per Ω, e l ideale da essi generato è detto anche l ideale caratteristico per Ω. 6 Osservazione. E importante comprendere cosa si intende per restrizione ad Ann(Ω), o più in generale di restrizione ad una distribuzione D TM, di un insieme di forme di grado arbitrario. Come abbiamo visto, una uno-forma α è un operatore dall insieme V = V(M) dei campi di vettori (differenziabili) su M all insieme F = F(M) = C (M, R) delle funzioni (differenziabili) su M a valori reali, ossia α : V F. Allo stesso modo una k-forma differenziale β Λ k (M) è un operatore (completamente antisimmetrico) che associa a k campi di vettori su M una funzione su M, β : V... V F. Quando si parla di restrizione di una uno-forma α ad una distribuzione D V, si intende naturalmente che il dominio su cui agisce α non è più l intero insieme V dei campi di vettori su M, ma solo D V. Per una k-forma β, il dominio è V... V, e dunque per restrizione di β a D si intende che il dominio della forma ristretta è D... D. In altre parole, se β è ad esempio una due-forma, la richiesta di annullarsi su D non va intesa nel senso di avere X β = 0 per ogni X D, ma invece nel senso di avere, per ogni X, Y D, β; X, Y Y X β = 0. Allo stesso modo, per una k-forma η richiederemo η; X 1,..., X k = 0 per ogni scelta di X 1,..., X k in D. 6 Il testo di Schutz [8] fornisce una dimostrazione del teorema di Frobenius basata su questi concetti; si veda anche Sternberg [9]. 4

5 2 Il teorema di Frobenius per forme differenziali 2.1 Invarianza di una distribuzione Consideriamo ora un insieme di forme Ω = {ω 1,..., ω h }; questo identifica una distribuzione D come detto sopra, cioé attraverso la (1). Vogliamo chiederci quando questa distribuzione sarà invariante sotto i campi di vettori che appartengono alla distribuzione stessa, cioé quando avviene che ( X D) L X (D) D. (3) Questa richiesta equivale a chiedere quando avviene che per un generico campo X D si ha, per ogni campo Y D, che L X (Y ) D. La richiesta che stiamo considerando può sembrare strana, ma la sua ragione risiede nel seguente lemma. Lemma 1. L invarianza di una distribuzione D sotto il flusso dei campi di vettori appartenenti alla distribuzione stessa è equivalente alla involutività della distribuzione. Dimostrazione. Dalla formula per la derivata di Lie per un campo di vettori abbiamo L X (Y ) = [X, Y ], e dunque la condizione (3) diviene [X, D] D; ovvero, essendo X D arbitrario, [D, D] D, come affermato. Corollario. L invarianza di una distribuzione D sotto il flusso dei campi di vettori appartenenti alla distribuzione stessa è equivalente alla sua completa integrabilità. Dimostrazione. Si tratta di una immediata conseguenza del teorema di Frobenius (per campi di vettori), che garantisce l equivalenza tra la involutività e la completa integrabilità di una distribuzione. Questa semplice osservazione ci permetterà di descrivere l integrabilità di una distribuzione in termini delle proprietà della codistribuzione associata; la strategia per ottenere questa descrizione sarà appunto quella di concentrarci sulla richiesta (3), o meglio di esprimere questa non in termini di D ma in termini di Ω. 2.2 Invarianza di una distribuzione in termini della codistribuzione associata Dato che D è definita come D = Ann(Ω), l invarianza di D corrisponde alla invarianza di Ann(Ω); questa però non è a sua volta equivalente alla invarianza delle forme ω Ω, ma piuttosto alla invarianza di Ω come modulo. In altre parole, non è necessario chiedere che sia L X (ω) = 0 per ω Ω, ma è sufficiente chiedere che si abbia L X (ω) Ω ω Ω, X D = Ann(Ω). (4) 5

6 Questa relazione si scrive anche come L D (Ω) Ω; ovvero (sottintendendo che X è un qualsiasi campo in Ann(Ω) = D) come L X (Ω) Ω. (5) I risultati della sezione precedente possono essere dunque riformulati. Lemma 2. La codistribuzione Ω è completamente integrabile se e solo se la condizione L X (Ω) Ω è soddisfatta X Ann(Ω). Dimostrazione. Sappiamo che (per definizione) Ω è completamente integrabile se e solo se la distribuzione associata D lo è; dal corollario precedente questo equivale alla invarianza di D sotto ogni X D, e abbiamo appena visto che questa invarianza si può riformulare in termini di Ω come affermato nella enunciazione del presente lemma. 2.3 Il teorema di Frobenius Dobbiamo quindi studiare quando è verificata la (5). Dalla formula di Cartan, sappiamo che L X (ω) = d(x ω) + X dω ; ricordiamo inoltre che stiamo supponendo X D = Ann(Ω), cosicché, per definizione, X ω 0, e quindi anche d(x ω) = 0. La condizione di invarianza (4) si legge dunque come X dω Ω ω Ω. (6) Il membro di sinistra di questa relazione è una uno-forma; per sapere se appartiene al modulo Ω, possiamo esprimere la relazione di appartenenza in due modi (diversi ma ovviamente equivalenti). Vale a dire, possiamo richiedere direttamente che dω appartenga al modulo Ω, ossia (usando il sistema di generatori per Ω) che si abbia X dω = f i (x) ω i ; (7) oppure possiamo ricordare la (1) e richiedere che, ω Ω e per ogni X, Y Ann(Ω) = D, si abbia dω; X, Y Y X dω = 0. (8) In altre parole, stiamo chiedendo che dω si annulli identicamente su D, ovvero che dω appartenga all ideale completo di Ω. In considerazione dell arbitrarietà di ω Ω, diremo anche che dω deve appartenere all ideale completo di Ω. Possiamo quindi riassumere la nostra discussione nella proposizione seguente, che rappresenta il teorema di Frobenius in termini di forme differenziali. Teorema di Frobenius forme differenziali. La codistribuzione Ω è completamente integrabile se e solo se dω appartiene all ideale completo di Ω. 6

7 2.4 Ideali di Cartan e teorema di Frobenius In una precedente dispensa abbiamo introdotto gli ideali di Cartan. Ricordiamo che ogni insieme A = {α 1,..., α h } di forme genera un ideale di Cartan J (A), e che questo comprende tutte le forme ζ Λ(M) del tipo ζ = β α con β Λ(M) e α A; inoltre J (A) e un modulo, quindi in particolare include tutte le forme che si possono scrivere come ζ = β i α i con β i Λ(M). Inoltre, l ideale di Cartan J è un ideale chiuso (o differenziale) se è chiuso sotto la derivata esterna, dj J ; vale a dire se dη J per ogni η J. Nel caso che stiamo considerando, le forme {ω 1,..., ω h } che generano Ω generano anche un ideale di Cartan, che denoteremo con J (Ω). La richiesta che dω appartenga, ω Ω, all ideale completo di Ω non è altro che la richiesta che J (Ω) sia chiuso. Possiamo finalmente riformulare il teorema di Frobenius in termini di ideali di Cartan. Teorema di Frobenius ideali di Cartan. Sia {ω 1,..., ω h } un insieme di generatori per la codistribuzione regolare Ω. Allora Ω è completamente integrabile se e solo se l ideale di Cartan J (Ω) è chiuso. Dimostrazione. In effetti, la condizione (8) è equivalente a dω = β i ω i ; (9) qui le β i sono uno-forme qualsiasi, cioé in generale non appartenenti ad Ω. Infatti, se dω è di questa forma, segue che per Y D (usando Y ω i = 0) si ha Y dω = (Y β i ) ω i, e dunque se anche X D segue la (8). Viceversa, se (8) è valida per ogni X in D, deve essere Y dω Ω per ogni Y D, il che è possibile solo se vale la (9). In conclusione, (8) risulta equivalente a (9); è evidente che quest ultima a sua volta equivale a dω J (Ω). Osservazione. Ogni ω Ω si scrive come ω = f i (x)ω i ; dunque dω = df i ω i f i dω i. E chiaro che la condizione dω J (Ω) vale (per ogni ω Ω) se e solo se dω i = β ij ω j, ed è perciò possibile verificarla (o verificare che non è soddisfatta) agendo semplicemente su un sistema di generatori per Ω. 3 La condizione di integrabilità di Frobenius Nella maggior parte dei casi quando in letteratura si incontra una discussione del teorema di Frobenius in termini di forme differenziali, questa mostra che 7

8 la completa integrabilità della distribuzione D = Ann(Ω) è equivalente alla condizione di integrabilità di Frobenius dω Ω = 0. (10) Questa notazione richiede delle spiegazioni 7. Consideriamo un insieme di generatori indipendenti per Ω, cioé delle {ω 1,..., ω h } tali che 8 Ξ := ω 1... ω h 0. Con la (10) si intende allora che per ogni ω Ω si ha dω Ξ = 0. (11) Questo è equivalente a dire che per ogni ω Ω si ha un dω della forma (9). Infatti, se dω è della forma (9), si ha dω Ξ = 0, e viceversa se dω Ξ = 0 la dω deve essere della forma (11). D altra parte, come abbiamo visto nella dimostrazione del teorema di Frobenius in termini di ideali di Cartan, la condizione (11), o equivalentemente (9), è la stessa che le condizioni (7) o (8) viste in precedenza. Naturalmente, anche in questo caso risulta possibile controllare se la condizione di Frobenius è soddisfatta o meno operando su un sistema di generatori di Ω. Appendice A. Una formulazione completa in termini di forme differenziali. In quanto precede abbiamo riformulato e dimostrato il teorema di Frobenius in termini di forme differenziali limitandoci alla parte che lega involutività ed integrabilità della distribuzione. Lo studente attento ricorderà che la versione primigenia del teorema discuteva anche la possibilità di rettificare simultaneamente un sistema di campi di vettori rappresentanti dei generatori per la distribuzione D. In questa Appendice forniamo una formulazione più completa (nel senso indicato in precedenza) del teorema di Frobenius in termini di forme. Ne approfittiamo anche per operare (almeno in parte) in coordinate, fornendo una versione più concreta della discussione precedente, che abbiamo voluto effettuare il più possibile in termini intrinseci. Infine e sopratutto, questa dimostrazione non usa i concetti legati agli ideali; essa servirà a seguire più agevolmente le dimostrazioni fornite in parte della letteratura da autori che preferiscano non introdurre questo linguaggio (come ad esempio nei testi di Arnold). 7 In alcuni testi questa è scritta come dω ω = 0, il che può dar adito ad ulteriore confusione tra una arbitraria forma ω Ω ed il modulo delle forme considerate. 8 La h-forma Ξ rappresenta una forma di volume sulla distribuzione A duale della codistribuzione Ω (ed ortogonale alla distribuzione D = Ann(Ω). Purtroppo in letteratura questa viene spesso indicata con Ω o addirittura com ω. 8

9 A1. Valutazione di una due-forma su una coppia di campi vettoriali Abbiamo visto come l invarianza di una codistribuzione si possa enunciare in termini dell annullarsi delle due-forme dω sulal distribuzione D = Ann(Ω). Vogliamo ora fornire una formula esplicita per calcolare il valore assunto da una due-forma dα (con α Λ 1 (M) generico) su una coppia di vettori X, Y qualsiasi. Una volta ottenuta una formula generale, la specializzeremo al caso che ci interessa. Lemma A1. Per α una uno-forma su M ed X, Y campi di vettori su M, vale X (Y dα) = Y (X α) X(Y α) [X, Y ] α. (12) Dimostrazione. Consideriamo dunque una uno-forma α generica su M e la sua derivata esterna, che in coordinate sono α = A i (x) dx i, dα = 1 2 ( ia j j A i ) dx i dx j ; ed inoltre due campi di vettori X, Y generici su M, che sempre in coordinate si scrivono X = ϕ i (x) i, Y = ψ i (x) i. Con semplici calcoli otteniamo X (Y dα) = (1/2) (ϕ i i ) [(ψ j j ) ( k A l l A k ) dx k dx l ] = (ϕ i i ) [ψ j ( j A l l A j ) dx l ] (13) = ϕ i ψ j ( j A i i A j ). Questa formula è completamente esplicita ed espressa in coordinate; è utile esprimerla in modo intrinseco. Dobbiamo ora controllare che la (13) corrisponda alla (12). Abbiamo X(Y α) = X(ψ j A j ) = ϕ i i (ψ j A j ) = ϕ i ( i ψ j )A j + ϕ j ψ i ( j A i ) ; Y (X α) = Y (ϕ j A j ) = ψ i i (ϕ j A j ) = ψ i ( i ϕ j )A j + ψ i ϕ j ( i A j ) ; ([X, Y ]) α = [ϕ j ( j ψ i ) ψ j ( j ϕ i )] i (A k dx k ) = ϕ i ( i ψ j )A j ψ j ( j ϕ i )A i. Sommando i vari termini (con i segni appropriati) e ricordando la (13), otteniamo proprio la (12). Osservazione. Specializziando ora la (12) al caso in cui ω Ω e X, Y D = Ann(Ω), otteniamo Y X dω = [X, Y ] ω ; dunque abbiamo ancora una volta dimostrato che l invarianza della distribuzione D = Ann(Ω) corrisponde alla sua involutività. 9

10 A2. Il teorema di Frobenius Vogliamo dimostrare ancora una volta il teorema di Frobenius, ora evitando di menzionare gli ideali e seguendo la dimostrazione fornita da Arnold [2]. Teorema di Frobenius. La codistribuzione Ω è completamente integrabile se e solo se è invariante sotto il flusso dei campi di vettori in D = Ann(Ω). In questo caso è possibile scegliere coordinate locali x i nell intorno di ogni punto p M tali che Ω sia generata da ω i = dx i, i = 1,..., h. Dimostrazione. Iniziamo col mostrare che se Ω è integrabile, vale a dire che D = Ann(Ω) è integrabile, allora il modulo Ω è invariante sotto il flusso dei campi in D. In effetti, se D è integrabile, per ogni punto p M si ha una varietà integrale S p di dimensione massimale d, espressa in coordinate opportune dalle equazioni x 1 =... = x m d = 0 ; la distribuzione D ammette localmente generatori X 1 = m r+1,..., X m = m, o più in generale della forma X i = f k i (x) k ; i = 1,..., d; f k i = 0 per k m d. Ne segue che in queste coordinate Ω è generato dalle forme ω 1 = dx 1,..., ω m d = dx m d, o più in generale da forme ω j = A jk (x) dx k ; j = 1,..., m d; A jk = 0 per k > m d. Per queste forme abbiamo dω j = (1/2)( i A jk k A ji )dx i x k. Consideriamo ora campi di vettori X = ϕ i (x) i, Y = ψ i (x) i ; questi appartengono a D se e solo se ϕ k = 0 = ψ k per tutti i k m d. Possiamo ora calcolare (per X, Y D) X Y dω = X ( ψ j ( j A i i A j ) dx i) = ϕ i ψ j ( i A j j A i ). Ora, se i o j sono non superiori a m d, ne segue che ϕ i o ψ j sono nulli, e dunque il corrispondente termine nella somma si annulla. Ma se sia i che j sono superiori a m d, si ha che sia A i che A j sono identicamente nulli, e quindi sono i termini ( i A j j A i ) ad annullarsi. Quindi, la somma è costituita da addendi tutti nulli. Possiamo così concludere che se la codistribuzione Ω è integrabile, allora la (8) e dunque la associata condizione di invarianza della distribuzione è soddisfatta. Dobbiamo ora mostrare che l implicazione inversa è anch essa valida. Procederemo secondo lo stesso schema della dimostrazione vista per la formulazione in termini di campi di vettori, ma l argomento ricorsivo è ora svolto nella direzione (naturale) di dimensione crescente. Supporremo che D abbia dimensione più grande di uno. 10

11 Scegliamo un campo X 1 tale che X 1 Ω = 0 (cioé X 1 ω = 0 per ogni ω Ω), ossia X 1 D. Questo può essere localmente rettificato intorno ad un punto p, e la sua varietà (in questo caso, curva) integrale γ (1) attraverso p è determinata in modo standard; possiamo chiamare x 1 la coordinata curvilinea lungo di essa. Scegliamo ora un campo X 2 D che sia linearmente indipendente da X 1 in ogni punto p M. Questo implica che per ogni punto di una varietà integrale γ (1) il campo X 2 sia trasverso alla varietà stessa. Consideriamo l unione delle curve integrali del campo X 2 attraverso la varietà integrale γ (1), e denotiamola con γ (2). E chiaro che γ (2) è una varietà integrale per D, dato che il suo tangente è generato in ogni punto da X 1 ed X 2, campi questi che appartengono a D; sceglieremo come coordinata x 2 la coordinata curvilinea lungo le curve integrali di X 2. E chiaro che la costruzione si può ripetere considerando successivamente campi di vettori X 3,..., X r. La possibilità di operare in questo modo, aggiungendo ogni volta una dimensione alle varietà integrali costruite, discende dal fatto che, grazie al lemma precedente, il flusso dei campi X i D preserva la distribuzione D. Appendice B. Esempi. Esempio 1. Consideriamo, in M = R 4 con coordinate x i, le forme Iniziamo col notare che ω 1 = dx 4 x 4 dx 1, ω 2 = dx 3 x 3 dx 2. queste possono anche scriversi come avendo scelto in particolare dω 1 = dx 1 dx 4, dω 2 = dx 2 dx 3 ; dω 1 = ρ 1 ω 1, dω 2 = ρ 2 ω 2, (14) ρ 1 = dx 1, ρ 2 = dx 2. La (14) mostra immediatamente che l ideale generato da Ω = {ω 1, ω 2 } è chiuso; segue dal teorema di Frobenius che la codistribuzione Ω è integrabile. L annullatore di Ω risulta generato dai campi di vettori X 1 = 1 + x 4 4, X 2 = 2 + x 3 3 (che avevamo già incontrato nell esempio 1 relativo al teorema di Frobenius per i campi di vettori). 11

12 Possiamo ora verificare che L X (Ω) Ω X Ann(Ω); risulterà d altra parte che L X (Ω) 0. Infatti (ricordando che per definizione di Ann(Ω) abbiamo sempre X i ω j = 0) L X1 (ω 1 ) = X 1 dω 1 = ( 1 + x 4 4 ) (dx 1 dx 4 ) = dx 4 x 4 dx 1 = ω 1, L X1 (ω 2 ) = X 1 dω 2 = 0 ; L X2 (ω 1 ) = X 2 dω 1 = 0, L X2 (ω 2 ) = X 2 dω 2 = ( 2 + x 3 3 ) (dx 2 dx 3 ) = dx 3 x 3 dx 2 = ω 2. Per realizzare le varietà integrali come insiemi di livello di coordinate, è sufficente passare alle coordinate adattate già identificate discutendo gli stessi campi di vettori; queste sono (ζ 1, ζ 2, σ 1, σ 2 ) con In queste coordinate 9 ζ 1 = x 4 e x1, ζ 2 = x 3 e x2 ; σ 1 = x 1 + e x1 x 4, σ 2 = x 2 + e x2 x 3. X 1 = σ 1, Y 2 = σ 2. Esempio 2. Consideriamo l equazione di secondo ordine d 2 u dx 2 dφ = f(u) = du corrispondente al moto 10 unidimensionale in un potenziale Φ(u). Questa equazione è descritta da (la richiesta di annullamento delle) due uno-forme in Λ 1 (M), con M = R 3, α = du v dx, ω = dv f dx. Scriveremo Ω = {α, ω}. Scrivendo un campo di vettori in R 3 (con coordinate x, u, v) come X = ξ x + ϕ u + ψ v, 9 Ricordiamo che era anche possibile operare scegliendo σ 1 = e x 1, σ 2 = e x 2 (in questo caso lo jacobiano è unitario); in queste coordinate X 1 = σ 1 ( / σ 1 ), Y 2 = σ 2 ( / σ 2 ). 10 Naturalmente qui x va pensato come il tempo, u come la posizione della particella. 12

13 otteniamo immediatamente che D = Ann(Ω) si caratterizza tramite ϕ = vξ, ψ = fξ; in altre parole D = Ann(Ω) è generato da X = x + v u + f v. L integrabilità di D e quindi della codistribuzione associata Ω segue immediatamente dal teorema di Cauchy per le soluzioni di un sistema di ODE (quelle che descrivono il flusso sotto X), ovvero dal teorema di Cauchy-Kowalewskaya per la soluzione della PDE quasilineare associata. In effetti, consideriamo dω. Abbiamo immediatamente dα = dx dv = dx ω, dω = f (u) dx du = f (u) dx α ; il che conferma l integrabilità di Ω. Controlliamo infine che sia L X (Ω) Ω. In effetti, L X (α) = X dα = ξ (dv f dx) = ξ ω ; L X (ω) = X dω = f (u) ξ (du v dx) = f (u) ξ α. Esempio 3. Consideriamo un sistema di equazioni ordinarie del primo ordine, ẋ i = f i (x, t) (i = 1,..., n) ; (15) a queste corrisponde il sistema di uno-forme Ω = {ω 1,..., ω n }, con ω i = dx i f i (x, t) dt. (16) Trattandosi di equazioni del primo ordine, non abbiamo bisogno di introdurre forme di contatto. E facile vedere che l annullatore di Ω è generato dal campo X = t + f i (x, t) x i, che effettivamente corrisponde al flusso del sistema (15). Le varietà integrali di questo campo corrispondono alle soluzioni (compresa la parametrizzazione in t) del sistema originale (15). Esempio 3b. E forse conveniente, per maggior concretezza, considerare un sistema di due ODEs, che scriviamo come ẋ = f(x, y, t) ẏ = g(x, y, t) ; (17) ora Ω corrisponde alle due uno-forme ω 1 = dx f dt, ω 2 = dy g dt. 13

14 Scrivendo abbiamo immediatamente X = θ t + ξ x + η y, X ω 1 = ξ f θ, X ω 2 = η g θ ; quindi l annullatore è generato (in conformità a quanto dichiarato per il caso generale) dal solo campo di vettori X = t + f x + g y. Esempio 4. Consideriamo una singola PDE quasilineare omogenea di ordine uno, n f i (x, t) u x i = 0. (18) i=0 E necessario supporre che le f i non si annullino tutte contemporaneamente; per semplicità (cioé per non dover dividere il dominio in diverse regioni) supporremo che una delle componenti, diciamo f 0, non si annulli mai. Indicheremo la variabile x 0 con t; dividendo tutta l equazione per f 0, questa si riconduce alla forma u t + n i=1 f i (x, t) u x i = 0, (19) dove ovviamente f i = f i / f 0. Sappiamo (dal corso di Fisica Matematica 2, o comunque dalla teoria delle Caratteristiche) che questa esprime il fatto che u = u(x, t) è costante lungo il flusso di dx i = f i (x, t) : dt infatti il membro di sinistra della (19) non è altro che la derivata totale du/dt lungo questo flusso. L quazione (19) è rappresentata da una singola n-forma ω Λ n (R n+2 ), ω = du dx 1... dx n + f 1 dt du dx 2... dx n + f 2 dt dx 1 du dx 3... dx n f n dt dx 1... dx n 1 du ; in questo caso Ω = {ω}. Notiamo che ω si scrive anche come ω = du (X Θ), dove abbiamo scritto X 0 = n ( 1) µ f µ (x, t) x µ µ=0 14

15 (qui f 0 = 1) e Θ = dt dx 1... dx n. La distribuzione D = Ann(Ω) è generata dagli n + 1 campi di vettori (qui µ = 0,..., n + 1 e non si somma su µ) in cui le funzioni ϕ µ soddisfano Y µ = µ + ϕ µ µ (ϕ f) := n ϕ µ f µ = 0. (20) µ=0 La dimostrazione di questo fatto nel caso generale richiede alcune manipolazioni sugli indici, ma verificarlo nei casi concreti o almeno nei più semplici tra questi (dove la semplicità corrisponde ad avere n piccolo) è piuttosto immediato. La condizione (20), ricordando che f 0 = 1, può anche essere espressa come una scelta arbitraria delle ϕ k per k = 1,..., n con ϕ 0 = n ϕ k f k. k=1 La considerazione di alcuni casi concreti renderà più chiaro il risultato. Esempio 4b. Consideriamo, come nel caso dell esempio 3b, un caso particolare, e cioé l equazione f(x, y) u x + g(x, y) u y = 0 ; (21) supponiamo per semplicità che sia sempre g(x, y) 0. Ora Ω è generato dalla due-forma ω = f du dy + g dx du. Scriveremo un campo di vettori generico come X = ξ x + η y + ϕ u ; Allora (indicando con ξ etc le componenti del campo X) abbiamo X X ω = ϕ (f η g ξ) + ϕ(gξ fη). Scegliendo questa si riduce a η = 0 = ξ, η = 1 = ξ, X X ω = ϕ f η + ϕgξ ; l annullatore D = Ann(Ω) è quindi generato da X 1 = x + g u, X 2 = y f u. 15

16 Cerchiamo ora l insieme caratteristico, cioé le uno-forme annullate da D. Scrivendo una uno-forma come abbiamo θ = A dx + B dy + C du, X 1 θ = A + g C, X 2 θ = B f C. Quindi l insieme caratteristico si riduce ad una singola uno-forma, ϑ = du g dx + f dy. E utile notare che l equazione (21) si può anche scrivere restringendo la forma di contatto α = du u x dx u y dy all insieme soluzione. Infatti su questo abbiamo certamente u x = gϕ, u y = fϕ (con ϕ una qualche funzione), e quindi per ϕ = 1 otteniamo proprio β = ϑ. β = α = du ϕ (g dx f dy) ; Esempio 4c. Per f = g = 1, e cambiando il nome delle variabili, ci riduciamo all equazione u t + u x = 0, le cui soluzioni sono fornite da u(x, t) = f(x t), con f una funzione (differenziabile) arbitraria. L equazione è rappresentata da ω = du dx dt du ; in questo caso otteniamo che D è generata da X 1 = t + ϕ u, X 2 = x ϕ u, con ϕ una funzione arbitraria. θ = Adt + Bdx + Cdu, che Risulta inoltre, per una generica uno-forma X 1 θ = A + ϕ C, X 2 θ = B ϕ C ; quindi l insieme caratteristico è generato dalla sola uno-forma ϑ = du ϕ (dx dt). Naturalmente questa è la restrizione della forma di contatto α = du u x dx u t dt alla varietà su cui u x = u t = ϕ. 16

17 Esempio 5. Consideriamo l equazione (a derivate parziali, del primo ordine, nonlineare) u t = u u x. Si verifica facilmente che questa è descritta dall annullarsi di Siverifica altresì che α = du v dt w dx ; ω = dx du u du dt. dα = dt dv + dx dw non appartiene all ideale generato da α ed ω; completiamo quindi il nostro sistema di generatori e consideriamo Ω = {α, dα, ω}. Scrivendo un campo di vettori generico nella forma l annullatore di α corrisponde a X = τ t + ξ x + ϕ u + ψ v + χ w, ϕ = v τ + w ξ, ed è quindi generato da quattro campi di vettori: X 1 = x + w u, X 2 = t + v u, X 3 = v, X 4 = w. In altre parole, X α = 0 richiede di avere X = τ t + ξ x + (vτ + wξ) u + ψ v + χ w. Esempio 6. Consideriamo ora il sistema generato dalle due forme α = du v dt w dx ω = dx dv + dt dw. Si tratta del sistema che descrive, come visto in una dispensa precedente, l equazione delle onde u tt = u xx nel formalismo delle forme. Notiamo subito che l ideale generato da queste forme non è chiuso: infatti dω = 0, ma dα = dt dv + dx dw, ed è facile convincersi che questa non è un multiplo di ω, nè può essere espressa come dα = α ρ per qualche forma ρ Λ 1 (M). Consideriamo quindi come Ω il sistema così completato, α = du v dt w dx dα = dt dv + dx dw ω = dx dw + dt dw ; 17

18 questo è integrabile per costruzione. Passiamo a determinare l annullatore di Ω. Scriveremo un campo di vettori generale nella forma X = ξ x + τ t + ϕ u + ψ v + χ w. La richiesta di avere X α porta immediatamente a ϕ = v τ + w ξ. possiamo quindi restringerci al modulo generato dai campi di vettori X 1 = x + w u, X 2 = t + v u, X 3 = v, X 4 = w. Dobbiamo ora trovare dei campi di vettori {Y 1,..., Y r } tali che la restrizione delle due due-forme dα ed ω a questi sia identicamente zero. Risulta che una base per questo modulo è fornita dai campi Y 1 = x + t + (w + v) u + h v + h w = X 1 + X 2 + h(x 3 + X 4 ), Y 2 = x t + (w v) u + k v k w = X 1 X 2 + k(x 3 X 4 ), in cui h e k sono funzioni qualsiasi. In effetti, è facile verificare che Y 2 ω = dv kdx dw + kdt, Y 1 (Y 2 ω) = h k h + k = 0; Y 2 dα = kdt dv + kdx + dw, Y 1 (Y 2 dα) = k h + k + h = 0. Possiamo ora identificare l insieme caratteristico per Ω, cioè le uno-forme annullate da {Y 1, Y 2 }. Scrivendo una uno-forma come γ = A 1 dx + A 2 dt + B 0 du + B 1 dv + B 2 dw, otteniamo immediatamente che le forme che soddisfano (Y 1 γ) = 0 = (Y 2 γ) sono identificate da A 1 = (h + k)b 1 + (h k)b 2 + 2B 0 w 2 A 2 = (h k)b 1 + (h + k)b 2 + 2B 0 v 2 E conveniente passare a considerare funzioni arbitrarie., f = h + k 2, g = h k 2, 18

19 ossia scrivere h = f + g, k = f g; in questo modo le formule precedenti divengono A 1 = (f B 1 + g B 2 + B 0 w), A 2 = (g B 1 + f B 2 + B 0 v). In questo modo abbiamo identificato tre uno-forme (corrispondenti a porre solo una delle tre funzioni {B 0, B 1, B 2 } diversa da zero) γ 0 = du w dx v dt, γ 1 = dv (f dx + g dt), γ 2 = dw (g dx f dt). Notiamo che γ 0 non è altri che la forma di contatto, γ 0 = α; le altre due esprimono la restrizione delle forme di contatto dv u tx dx u tt dt e dw u xx dx u xt dt alla varietà soluzione: infatti esse richiedono u xt = u tx (che è una condizione di integrabilità) e u tt = u xx. Esempio 7. Consideriamo, come suggerito da Dunajski, il sistema (sovradeterminato) di equazioni per u = u(x, y) dato da u x u y = A(x, y, u) = B(x, y, u). (22) Ovviamente questo ammette soluzione solo se è soddisfatta la condizione di compatibilità (che esprime semplicemente la condizione u xy = u yx ) A y + A u B = B x + B u A. (23) Il sistema si può esprimere come l annullarsi di una singola uno-forma, L annullatore di ω, cioé D, è generato dai campi ω = du A dx B dy. (24) X 1 = x + A u, X 2 = y + B u. Quindi le varietà integrali di ω, se esistono, sono tangenti a questi campi di vettori. D altra parte il teorema di Frobenius ci dice che D è integrabile se e solo se X 1 ed X 2 sono in involuzione. Un semplice calcolo mostra che [X 1, X 2 ] = [(B x + A B u ) (A y + B A u )] u. Evidentemente questo campo non è parallelo né ad X 1 né ad X 2, quindi i due campi possono essere in involuzione solo se si ha [X 1, X 2 ] = 0; questo caso corrisponde ad avere (B x + A B u ) (A y + B A u ) = 0. Abbiamo così ritrovato la condizione di compatibilità (23). 19

20 Riferimenti bibliografici [1] V.I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti 1979 [2] V.I. Arnold, Metodi geometrici della teoria delle equazioni differenziali ordinarie, Editori Riuniti 1989 [3] R.L. Bishop and S.I. Goldberg, Tensor analysis on manifolds, MacMillan 1968; Dover 1980 [4] S.S. Chern, W.H. Chen e K.S. Lam, Lectures on Differential Geometry, World Scientific 1999 [5] M. Dunajski, Solitons, Instantons and Twistors, Oxford UP 2010 [6] R. Hermann, Cartan connections and the equivalence problem for geometrical structures, Contr. Diff. Eqs. 3 (1964), [7] E. Massa, Geometrical theory of differential equations, unpublished lecture notes, GNFM summer school, Ravello 1989 [8] B. Schutz, Geometrical methods of mathematical physics, Cambridge UP 1980 [9] S. Sternberg, Lectures on Differential Geometry, Chelsea 1964 G. Gaeta, 17 Dicembre