Controlli automatici. Esercitazione n. 1

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1 Controlli automatici Esercitazione n. 1 Introduzione alla simulazione di sistemi di controllo in ambiente Matlab-Simulink Caso di studio: cruise control Ing. Alessandro Pisano pisano@diee.unica.it 1

2 ESERCITAZIONE DI CONTROLLI AUTOMATICI CRUISE CONTROL F(t) 2

3 CRUISE CONTROL Il cruise control costituisce un semplice ma importante esempio di sistema di controllo di ampia diffusione in molti veicoli moderni. L obiettivo di controllo è mantenere una velocita di avanzamento costante a fronte di disturbi esterni quali ad es. il vento e la pendenza della carreggiata. Ciò viene realizzato misurando la velocita del veicolo, confrontandola con il valore desiderato Vdes (set-point) e variando automaticamente la spinta F(t) secondo un certo algoritmo di controllo. F(t) 3

4 Consideriamo un modello semplificato, illustrato in Figura. Il veicolo, di massa m, è attuato dalla spinta F(t). F(t) rappresenta la forza applicata al veicolo nell interfaccia tra il pneumatico e la carreggiata. Ipotizziamo di poter imporre un profilo arbitrario di forza applicata F(t) (attuatore ideale) La forza resistente b v, dovuta all effetto combinato di attriti e fenomeni aerodinamici, è assunta direttamente proporzionale alla velocita del veicolo, attraverso il coeff. di attrito viscono b, ed agente in direzione opposta al moto. La forza peso viene proiettata sulla direzione del moto. Legame I/O mv * t bv t F( t) mgsin F(t) Ingresso : Spinta applicata F(t) Uscita: velocità del veicolo v(t) * mg 4

5 Realizziamo il modello Simulink del sistema Andiamo ad impiegare un blocco ad-hoc che In ambiente Simulink riproduce un sistema dinamico caratterizzato da una certa FdT Utilizzando tale blocco, ed in aggiunta altri blocchi standard (ad es. guadagni, nodi sommatori, un blocco che genera un segnale costante, e un blocco che funge da oscilloscopio e consente la visualizzazione delle forme d onda generate) andremo a disegnare nella pagina di lavoro simulink una rappresentazione grafica in tutto e per tutto analoga agli schemi a blocchi che abbiamo disegnato piu volte a lezione. La realizzazione di un modello Simulink avviene attraverso tre fasi: - si importano in una pagina bianca di lavoro I blocchi elementari necessari per la realizzazione dello schema di simulaizone -si parametrizzano I blocchi in modo che implementino le funzionalita desiderate -Si interconnnettono tra loro I blocchi per realizzare lo schema desiderato Fatto cio, si puo avviare la simulazione e se ne visualizzano I risultati 5

6 Avvio SIMULINK Dalla finestra di avvio di Matlab, avviamo Simulink. Si apre la relativa finestra di avvio Simulink : Finestra di avvio SIMULINK 6

7 Finestra di avvio SIMULINK (Simulink Library browser) New Model Elenco delle librerie Le librerie sono gruppi di blocchetti elementari Simulink aventi funzionalita comuni. Alcune Librerie (ad es. Simulink, Aerospace blockset, etc.) contengono al proprio interno altre sotto-librerie (struttura gerarchica) Contenuto della libreria corrente 7

8 Premendo New model apriamo una nuova pagina di lavoro 8

9 ESEMPIO 1 Affrontiamo come problema inroduttivo il task di visualizzare la risposta al gradino del sistema dnamico descritto dalla funzione di trasferimento F s s s 7 In termini di schema a blocchi, rappresenteremmo qusto sistema (a ciclo aperto) nella maniera seguente 5 s s 7 y Nella pagina di lavoro Simulink, andremo a disegnare una rappresentazione analoga 9

10 Importiamo nella pagina di lavoro il blocco Transfer Fcn (funzione di trasferimento), che si trova nella sotto-libreria Continuous della libreria principale Simulink L importiazione dei blocchi nella pagina di lavoro si effettua con il mouse mediante drag-and-drop pagina di lavoro Simulink Poi importiamo il blocco Constant che sta nella sotto-libreria Sources della libreria principale Simulink 10

11 Disponiamo I blocchi come in figura Interconnettiamo I due blocchi. Il tracciamento di una connessione si effettua portandosi con il mouse nel punto di inzio della linea di connessione (quindi nel terminale di uscita del blocco Constant), premendo il tasto destro, e successivamente portandosi con il mouse - mantenendo premuto il tasto - verso il punto di destinazione, in questo caso il terminale di ingresso del blocco Transfer Fcn. 11

12 Di default, il blocco Constant è parametrizzato con il valore unitario per l ampiezza del segnale, mentre il blocco Transfer Fcn è parametrizzato con la FdT 1/(s+1) Facendo doppio click su un blocco, si accede alla sua finestra di parametrizzaione. Il blocco Constant, che genera il segnale di ingresso al sistema, è gia configurato correttamente per il presente esempio. Dobbiamo invece configurare il blocco Transfer Fcn. Apriamone la finestra di parametrizzazione 12

13 Parametrizzazione del blocco Transfer Function Il blocco deve rappresentare la Funz. di Trasf. F s s s 7 Si devono specificare i coefficienti dei polinomi a numeratore e denominatore della FdT utilizzando la notazione Matlab per la rappresentazione dei polinomi (un vettore che contiene i coefficienti del polinomio in ordine decrescente rispetto alle potenze di s) s 2 2s 7 Altri esempi: 14 [14] [1 2 7] s 3 4 [ ] s 4 2s 3 3s 2 [ ] 13

14 Il blocco deve essere parametrizzato nella seguente maniera. Dopo aver premuto i tasto OK, l aspetto del blocco Transfer Fcn nella pagina di lavoro cambia, e mostra al proprio interno la FdT avente i parametri scelti 14

15 Ora inseriamo il blocco Scope, che consente la visualizzazione di un segnale. Il blocco sta nella sotto-libreria Sinks della libreria principale Simulink. Ora colleghiamone il terminale di ingresso al terminale di uscita del blocco Transfer Fcn. In modo da visualizzare il segnale di uscita y e avviamo la simulazione (Pulsante Run Simulation) Pulsante Run Simulation 15

16 Prima di visualizzare la risposta, se ne calcolino i parametri caratteristici mediante le formule viste a lezione F s s s 7 Forma generale F s s 2 2 n 2 2 ns n 2 n 7 2 n 14 n / n rad / sec 14 / n 2 1/ n

17 Sovraelongazione percentuale vs. smorzamento S% 100e 1 2 Sovraelongazione percentuale S % S % Smorzamento [] 17

18 eq n s T a5% T a2% T a1 % F s s 2 2 n 2 2 ns n 5 3 eq 4 eq eq F s s s s 4.08 s 5.10 s 18

19 Il primo punto di massimo, in corrispondenza del quale si ha la massima sovraelongazione, si verifica approsimativante quando 3.5 t T 3.5/ n t max n 19

20 Ora dopo avere eseguito il modello, fare dopio click sul blocco Scope. LA risposta possiede le caratteristiche attese FILE: Esempio1.slx 20

21 Ritorniamo al problema del cruise control Legame I/O mv * t bv t F( t) mgsin F(t) Ingresso : forza applicata F(t) Uscita: velocità del veicolo v(t) * mg % Parametri m=1000; % massa del veicolo [kg] b=50; % coefficiente di attrito viscoso [N s / m] teta=5; % angolo di inclinazione del piano [gradi] g=9.81; % accelerazione di gravita [m/s^2] 21

22 Realizziamo il modello Simulink del sistema a ciclo aperto A lezione era stato ricavato il seguente Schema a blocchi * mgsin F(t) F (t) 1 ms b v(t) * mgsin F(t) F (t) Ps v(t) P s 1 ms b 22

23 Rivaviamo I parametri caratteristici della FdT P(s) del sistema P s 1 ms b s s 1 Ts 1 Processo P(s) con guadagno =1/b pari a 0.02, e costante di tempo m/b pari a 20 secondi T 1 20 s p T 23

24 Il valore costante della forza di ingresso che garantisce il raggiungimento asintotico del valore di regime pari a Vdes è pari a: F( t) mgsin * des bv La prima componente della spinta F(t) cancella (compensa) la forza peso. Il modello equivalente è bv des s 1 v(t) T 20sec Tempi di assestamento al 5%, 2%, ed 1% pari a circa 60, 80, e 100 secondi rispettivamente Transitorio lunghissimo e non modificabile Perfetta conoscenza dei parametri del sistema 24

25 Lo schema viene realizzato in simulink nella maniera seguente. Lo schema è ridondante, in quanto non sono state rimosse le due componenti uguali e contrarie associate alla forza peso. Si opera questa scelta per semplificare le successive estensioni dell modello a schemi in retroazione. Per generare l ingresso servono due blocchi Constant ed un nodo sommatore, Il nodo sommatore si trova nella libreria Commonly used blocks, e lo si deve successivamente parametrizzare con la stringa -+, che da luogo a due terminali di ingresso il primo dei quali avente segno negativo ed il secondo avente segno positivo Si inseriscano all interno dei blocchi anziche i valori numerici delle grandezze le relative costanti simboliche m, b, g, teta. FILE: CruiseContr_cicloaperto.slx 25

26 Scegliamo per il set point di velocita il valore Vdes=10 m/s (pari a 36 km/h) SI devono memorizzare nel workspace di Matlab le variabili simboliche impiegate nel modello, affinche il modello Simulink le possa interpretare. Si apra l editor di testo dei files script (pulsante New Script nella finestra principale di Matlab) e si inseriscano le seguenti righe di codice (comprendenti commenti) % Parametri m=1000; % massa del veicolo [kg] b=50; % coefficiente di attrito viscoso [N s / m] teta=5; % angolo di inclinazione del piano [gradi] g=9.81; % accelerazione di gravita [m/s^2] Vdes=10; %set-point di velocità [m/s] 26

27 Pulsante Run (esegue lo script) 27

28 Si verifichi la corretta esecuzione dello script ispezionando direttamente il contenuto del workspace di Matlab dalla finestra principale del programma, e verificando la presenza delle costanti simboliche impiegate nel modello simulink. Variabili memorizzate nel workspace 28

29 Bisogna impostare una durata sufficiente della simulazione per garantire l esaurimento del transitorio. Scegliamo 200 secondi, pari al doppio del Tempo di assestamento all 1% della risposta. Durata della simulazione in secondi 29

30 Ora si puo eseguire il modello con il pulsante RUN. Ora si puo eseguire la simulazione (Pulsante Run Simulation) Pulsante Run Simulation 30

31 L evoluzione ottenuta è in linea con quanto predetto sulla carta.. 31

32 Amplitude Prove con diverso valore del set-point (10, 20, 30) %Parametri veicolo e piano inclinato m=1000; % massa del veicolo [kg] b=50; % copefficiente di attrito viscoso [N s / m] teta=20; % angolo di inclinazione del piano [gradi] g=9.81; % accelerazione di gravita [m/s^2] Vdes=10 % set-point di velocità [m/s] P=tf(1,[m b]); step(10*b*p) hold on step(20*b*p) step(30*b*p) legend('vdes=10','vdes=20','vdes=30') Step Response Vdes=10 Vdes=20 Vdes=30 La durata del transitorio non dipende dal valore del set-point La rapidita di risposta è completamente determinata dalla costante di tempo del processo (T=20 s) Time (seconds)

33 Studiamo le soluzioni basate sul feedback, iniziando dal semplice controllore proporzionale (controllore di tipo P ) Trascuriamo temporaneamente la pendenza della carreggiata (teta = 0) Qual è il valore di regime della velocita? 33

34 FdT a ciclo chiuso v WV des s Guadagno: 1 k P V s ms b Vdes s 1 1 kp ms b v kp WV des 0 b k P kp ms b k P kp 1000s 50 k Guadagno non unitario P Costante di tempo: 1000 T 50k p s Diminuisce al crescere del guadagno kp del controllore La FdT a ciclo chiuso è asintoticamente stabile se kp positivo. Il valore di regime in corrispondenza di un set-point costante è pari al valore del guadagno per il valore del set-point Si ha lim t v t V des V des k p b k p k p k p 34

35 lim t v t V des k p b k p Effettuiamo un test di verifica Vdes=10 b=50 kp=1 kp b k P t 196 lim v 0. t V des

36 Amplitude lim t v t V des k p b k p Il guadagno diventa via via più vicino all unita al crescere di kp (migliore precisione) Poiche la costante di tempo T si riduce al crescere di kp, la risposta diventa progressivamente piu rapida al crescere di kp (migliore prontezza) P=tf(1,[m b]); R=5; W5=feedback(P*R,1) R=50; W50=feedback(P*R,1) R=200; W200=feedback(P*R,1) Step Response Kp=5 Kp=50 Kp=200 step(vdes*w5) hold on step(vdes*w50) step(vdes*w200) legend('kp=5','kp=50','kp=200') Time (seconds)

37 Scegliendo Kp sufficientemente grande si riesce ad ottenere un valore di regime della risposta arbitrariamente prossimo al valore del set point ed una durata del transitorio arbitrariamente rapida. Dove si paga? Elevati valori della spinta applicata al veicolo, che possono diventare non realistici 37

38 Kp = 3000 FdT a ciclo chiuso v WV des s kp 1000s 50 k P Polo a ciclo chiuso p= p 50 k P 0 p 50 k P k 1000 P 3.05 Costante di tempo a ciclo chiuso T =0.32 sec T 1 p Guadagno della FdT a ciclo chiuso =0.983 v WV des k 50 k P P Forma standard FO W v V des s Ts 1 38

39 Velocita del veicolo 39

40 Picco iniziale della spinta applicata F(t) 40

41 Ora formalizziamo il problema di controllo con delle specifiche esplicite S1 Errore a regime nullo per un set point costante S2 Sovraelongazione percentuale inferiore al 10% S3 Tempo di assestamento al 2% inferiore a 4 secondi Una specifica (S1) sul comportamento a regime, e due specifiche (S2 ed S3) sulla dinamica transitoria. 41

42 Analizziamo le specifiche transitorie S2 ed S3 S2 Sovraelongazione percentuale inferiore al 10% S3 Tempo di assestamento al 2% inferiore a 4 secondi 42

43 S2 Sovraelongazione percentuale inferiore al 10% La specifica S2 si traduce in un vincolo sullo smorzamento dei poli dominanti S % Sovraelongazione percentuale S % Smorzamento [] 43

44 0.6 Im Interpretazione geometrica: regione ammissibile nel piano complesso per i poli dominanti a ciclo chiuso Re arcsin

45 S3 Tempo di assestamento al 2% inferiore a 4 secondi La specifica S3 si traduce in un vincolo sulla costante di tempo tau (eventualmente equivalente) dei poli dominanti t a2 % 4sec Im 1sec Re Re 1 1 regione ammissibile 45

46 0.6 Re 1 Im Intersezione tra le regioni ammissibili. 37 Re Si deve fare in modo che i poli dominanti a ciclo chiuso ricadano nella regione ammissibile

47 Consideriamo ora il controllore I (integrale) Sistema di controllo con regolatore I * mgsin V des k I s F(t) 1 v(t) ms b 47

48 Consideriamo il controllore I (integrale) Si dimostra facilmente come il sistema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile per ogni valore di Ki. Si mostra anche (esercizio lasciato al lettore) che il valore di regime della velocita è sempre pari al set-point, comunque si scelga il guadagno ki (positivo) ki =10 Risposta completamente fuori specifica per quanto concerne il transitorio 48

49 Controllore di tipo I (integrale) Tracciamo il LdR R(s) v des t e v t ki 1 s F(t) 1 v(t) ms b L(s) Il guadagno integrale Ki è il parametro rispetto al quale si desidera tracciare il luogo delle radici, analizzando cosi la dipendenza dei poli a ciclo chiuso del sistema di controllo dal guadagno Ki 49

50 Controllore di tipo I - LdR b=50; m=1000; L=tf(1,[m b 0]) rlocus(l) I rami del luogo sono all esterno della regione ammissibile 50

51 Consideriamo un controllore PI Abbiamo mostrato a lezione come il valore di regime della velocità sia sempre pari al set-point comunque si scelgano i guadagno kp e ki (non negativi) * mgsin t v des k P s k s I F(t) F (t) 1 v(t) ms b 51

52 52

53 LdR ottenuto collocando lo zero del regolatore piu in bassa frequenza rispetto al polo del processo (che sta nel punto p=-0.05) z=-0.025; L=tf([1 -z],[m b 0]); rlocus(l) 53

54 LdR ottenuto collocando lo zero del regolatore piu in alta frequenza rispetto al polo del processo (che sta nel punto p=-0.05) z=-0.5; L=tf([1 -z],[m b 0]); rlocus(l) 54

55 Cosa fare Visualizzare, nei vari casi, la risposta a ciclo chiuso al variare del guadagno del regolatore, interpretando i risultati alla luce del luogo delle radici. Risolvere il problema di controllo con un regolatore PI in cui lo zero del regolatore cancella il polo del processo, ed il polo a ciclo chiuso viene posizionato al limite della regione ammissibile (cioè nel punto -1) 55

56 Aspetti rilevanti La cancellazione del polo del processo per mezzo dello zero del regolatore si realizza nella FdT tra set-point e uscita, ma non anche nella FdT tra disturbo e uscita Le specifiche vengono pertanto imposte, e soddisfatte, con riferimento al comportamento a ciclo chiuso in assenza di disturbo Una volta esaurito il transitorio iniziale di compensazione del disturbo, però, il comportamento a ciclo chiuso soddisfa le specifiche originarie ove venga variato il valore del set point. 56