Il Modello di Kydland & Prescott: la politica monetaria ed il problema dell incoerenza temporale

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1 Il Modello di Kydland & Prescott: la politica monetaria ed il problema dell incoerenza temporale Dr Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., London) Università degli Studi della Calabria Mercati Finanziari Internazionali a.a Introduzione Come abbiamo studiato nel modello di Lucas, in linea di principio la banca centrale (d ora in poi BC) può usare la politica monetaria per raggiungere due obiettivi: stabilizzazione dell output, stabilizzazione dei prezzi. Il prioblema è che la banca centrale ha solo uno strumento a disposizione per raggiungere tali obiettivi ossia il tasso di interesse (in pratica la politica monetaria). Abbiamo, quindi, una situazione in cui vi sono due obiettivi ma un solo strumento di politica economica. Tale situazione conduce ad un problema (Timbergen, 952): quando il numero degli strumenti è inferiore al numero degli obiettivi, non tutti gli obiettivi possono essere raggiunti e bisogna trovare qualche "compromesso". In questa parte del corso vedremo come in presenza di discrezionalità da parte della banca centrale, l unico equilibrio sarà caratterizzato da una situazione in cui l output (il pil) risulta essere pari al suo livello naturale e l in azione risulta essere positiva. Tale equilibrio, però, non è pareto e ciente poichè alcuni degli agenti coinvolti nel processo di interazione (la BC) starebbero meglio in una situazione caratterizzata da output pari al suo livello naturale e in azione pari a zero, mentre altri agenti (il settore privato) sarebbero indi erenti. Quest ultima situazione, però, non è un equilibrio. Vedremo, quindi, le soluzioni attuabili al ne di raggiungere l equilibrio pareto e ciente. Tali soluzioni sono sostanzialmente tre: ) soluzione di Rogo (985) ossia la soluzione del "governatore conservatore"; soluzione di Bakus e Dri ll (988) ossia "regole e vincoli"; soluzione di Barro e Gordon (986) ossia giochi ripetuti e self-enforcement. 2 Politica monetaria e l incoerenza temporale Cerchiamo adesso di formalizzare il problema. Si consideri un processo di interazione sequenziale del tipo one-shot. In tale processo d interazione, il settore

2 privato (d ora in avanti SP) al tempo t = 0 formula aspettative sull in azione e e, successivamente, al tempo t =, la BC decide il livello e ettivo dell in azione. Il SP ha come funzione dei payo minimizzate l errore tra le proprie previsioni e l e ettiva realizzazione dell in azione. In altre parole la funzione di perdita del settore privato può essere espressa come ( e ) 2 : L obiettivo del SP è minimizzare tale funzione la quale ha un minimo nel punto zero ossia quando e = : In altre parole, se la banca centrale "sorprende" gli individui generando un in azione diversa dalle loro aspettative, questi ultimi subiscono una perdita. La banca centrale ha invece due obiettivi che sono dati da un livello ottimale di in azione e da un livello di output ottimale y : Le azioni della BC passano solo attraverso la politica monetaria e, per semplicità supponiamo che la BC controlli direttamente l in azione : Come dicevamo all inizio, la BC non controlla direttamente l output y, ma esso è legato all in azione (alla politica monetaria) tramite la relazione nota come curva di o erta di Lucas ossia: y = y + ( e ) + ": () La relazione precedente ci dice che l output y sara pari al suo livello naturale y più la di erenza tra l in azione e ettiva e l in azione attesa (il cui e etto è ltrato da un parametro > 0) più uno shock con media zero (E["] = 0) e varianza costante. Si supponga che la BC conosca lo shock "; mentre il SP non lo osserva. La funzione di perdita della banca centrale è data dalla seguente espressione: L = 2 (y y ) 2 ( ) 2 (2) la quale ci dice che l obiettivo della BC è stare il più vicino possibile ad i suoi obiettivi y e (il parametro > 0 indica il peso che la BC attribuisce all in azione rispetto all output): Supponiamo che questi siano = 0 e y > y: L obiettivo dell BC è quindi scegliere il modo tale da minimizzare la sua funzione di perdita, la quale, sostituendo la () nella (2) può essere scritta come: L = 2 (y + ( e ) + " y ) 2 2 : (3) Per trovare quelli che saranno i livelli di in azione e di in azione attesa ssati rispettivamente dalla BC e dal SP in tale processo di interazione dobbiamo applicare il concetto di backward induction e trovare quelli che sono i SPNE del gioco. Dobbiamo quindi procedere con l individuazione dell scelta ottimale della BC e poi, data questa scelta di ; individuare l in azione attesa e ssata dagli individui. I due obiettivi hanno un origine non banale. L in azione zero può essere vista come obiettivo di stabilità dei prezzi. L output più grande del suo livello naturale può avere origine nel fatto che la struttura economica di una determinata economia non è perfettamente concorrenziale per cui il livello naturale di produzione è sostanzialmente basso. 2

3 2. La BC La BC sceglierà il livello di in azione che minimizza la funzione di perdita (3). Derivando questa espressione rispetto a e ponendo tale derivata pari a zero otteniamo il livello di in azione ottimale per la BC: = 2 e + (y y ") = D (4) Indichiamo questo livello di in azione con il simbolo D per ricordarci che questa sarà la scelta di in azione della BC nel caso discrezionale, ossia se esse è lasciata libera di scegliere : 2.2 IL SP Procediamo adesso backward e vediamo come il SP ssa la sua aspettativa su : Se il SP formula aspettative in maniera razionale sull in azione allora avremo che: quindi nel nostro caso speci co Avremo quindi che: e = E[] (5) e = E[ D ]: (6) E[] = 2 E[] + (y y E["]) Si ricordi che il SP non osserva " e che E["] = 0. Facendo alcuni semplici passaggi algebrici possiamo quindi ricavare le aspettative sull in azione ssate dal settore privato: E[] = (y y) = e : (7) Si noti che, poichè y > y, il SP avrà aspettative positive sull in azione. 2.3 Descrizione dell Equilibrio A questo punto, sostituendo la (7) nella (4) è possibile ricavare il livello di in azione ottimale per la banca centrale che è dato da: D = (y y) " (8) Si noti che, se " = 0 (no shock); l in azione D sarà sicuramente positiva poichè y > y. Inoltre essa sarà particolarmente alta quando: - è piccolo, ossia la BC non attribuisce grande importanza all in azione; - l output obiettivo della BC è molto più grande dell output naturale. 3

4 Cosa possiamo dire dell output d equilibrio? Come sappiamo esso può essere ricavato dalla curva di o erta di Lucas (eq. ) sostituendo al suo interno il livello e ettivo di in azione contenuto nella eq. (8) ed il livello di aspettative sull in azione contenuto nell eq. (7). Dopo aver fatto gli opportuni passaggi algebrici ricaviamo che: y = y + " = y D: (9) Questo implica che l output atteso è pari al suo livello naturale, ossia E[y] = y: L implicazione di questo risultato è sconfortante: la BC vorrebbe in azione pari a zero ed output maggiore del suo livello naturale, ma in realtà nisce con un livello di in azione positiva e l output pari al suo livello naturale (in assenza di shock). Il risultato raggiunto in termini di funzione di pardita per la BC lo possiamo indicare con il livello L D (perdita nel caso discrezionale) e ricordare che esso è il risultato di due componenti: L D = A {z} perdita per in azione positiva + B {z} perdita per output pari al suo livello naturale (0) Allo stesso tempo si noti come il SP, in assenza di shock, formula una aspettativa sull in azione chge è esattamente pari all in azione che si realizzerà, per cui la perdita per il settore privato sarà pari a zero. 2.4 E cienza dell equilibrio La domanda che possiamo porci a questo punto è la seguente: L equilibrio che si raggiunge nel modello descritto in precedenza è pareto e ciente? La risposta è no. Infatti consideriamo la seguente situazione, che possiamo per un attimo de ninire situazione "dell annuncio", in cui la banca centrale annuncia in azione pari a zero e gli individui ssano le aspettative sull in azione pari a zero credendo all annuncio, e la BC rimane coerente con il suo annuncio ssando in azione pari a zero. In questo caso abbiamo che il SP sarebbe in una situazione equivalente alla precedente poichè raggiungerebbe una perdita pari a zero, essendo l in azione e ettiva pari all in azione attesa. Cosa accade alla banca centrale? La sua funzione di perdita in questo caso (che indichiamo con il simbolo L C ) sara sempre positiva in virtù del fatto che (dalla curva di o erta) l output atteso che si raggiunge sarà pari al suo livello naturale, quindi più piccolo di y : D altra parte però, essendo l in azione pari a zero, almeno uno dei due obiettivi della BC verrebbe raggiunto, per cui avremo che: L C = {z} B : () perdita per output pari al suo livello naturale 4

5 Poiche L C < L D, in questo caso la BC riuscirebbe ad avere una perdita inferiore a quella raggiunta sotto il caso di discrezionalità. La situazione "dell annuncio" sarebbe quindi pareto più e ciente rispetto alla situazione "discrezionale" inquanto il SP è indi erente tra le due situazione, mente la BC starebbe meglio nella situazione "annuncio". Questo implica che l equilibrio sotto discrezionalità non è pareto e ciente. Ma, allo stesso tempo, è necessario ricordare che la situazione "annuncio" pur essendo pareto e ciente, non è un equilibrio (più precisamente non è un SPNE. In pratica è come la situazione "non confessa, non confessa" nel dilemma del prigioniero: è pareto e ciente rispetto a "confessa, confessa" ma non è un NE=). Questo perchè la banca centrale troverebbe ottimale NON restare coerente con l annuncio una volta che il SP ssa le aspettative pari a zero. In tal caso la best response della BC sarebbe data dal livello di in azione che minimizza la sua funzione di perdita. Come si può ricavare dalla eq. (4), quando e = 0, l in azione ottima è strettamente positiva. Questo vuol dire che la situazione L C non può essere un equilibrio poichè in questo caso la BC avrebbe un interesse a fare "cheating" cioè ad imbrogliare, ossia a deviare dall annuncio di in azione zero. Così facendo la BC raggiungerebbe il suo livello ottimale di perdita (dato da un livello di in azione positivo e da un livello di output maggiore del suo livello naturale) che possiamo indicare con il simbolo L F ( rst best per la BC). Si noti anche che in questo caso il SP sarebbe "sorpreso" per cui raggiungerebbe non più una perdita pari a zero, ma una perdita data all in azione al quadrato. Da un punto di vista paretiano, quindi, la situazione in cui la BC raggiunge L F non è necessariamente migliore della situazione L C, poichè il SP preferisce quest ultima nella quale esso realizza una perdita pari a zero. L unica situazione pareto e ciente è quindi data da: in azione zero e output pari al suo livello naturale. Nella prossima sessione capiremo come è possibile raggiunge tale situazione. 3 Soluzioni al problema dell incoerenza temporale 3. Rules and Commitment (Bakus and Dri ll) Una possibile soluzione applicabile per risolvere il problema dell incoerenza temporale consiste nel non dare nessun potere discrezionale alla BC. In pratica si tratta di vincolare la BC a seguire una regola precisa di in azione (nel nostro caso in azione pari a zero) e a non concedere nessuna discrezionalità per poter deviare da questo annuncio. Tale commitment si ottiene scrivendo nello statuto della BC quale obiettivo di in azione essa si impegna a seguire. (Nel gioco dell entrant e dell incumbent si tratta di fare in modo che l incumbent rinunci alla strategia "share", qui è la stessa cosa). Tale soluzione ha dei vantaggi e degli svantaggi: - vantaggi: si raggiunge la soluzione pareto e ciente 5

6 - svantaggi: se la banca centrale ha necessità di utilizzare la politica monetaria in una situazione imprevista generando in azione essa non può farlo, per cui rinunciare completamente a tale strumento di politica economica rischia di avere delle conseguenze pericolose. 3.2 Governatore conservatore della BC (Rogo ) Una seconda possibile soluzione applicabile per raggiungere un equilibrio pareto e ciente consiste nel porre a capo della BC un governatore i cui obiettivi siano = 0 e y = y. In tal caso infatti, come si può ricavare dalle eq. (7) ed (4), il SP sserà aspettative sull in azione pari a zero e l in azione ssata dalla banca centrale sarà zero se " = 0. Dalla curva di o erta di Lucas si ricava che E[y] = y: In tal caso, quindi, l equilibrio raggiunto è esattamente coinciodente con la situazione pareto e ciente. Anche questa soluzione presenta degli svantaggi e dei vantaggi: - vantaggi: non c è nessun vincolo esplicito (come nel commitment), per cui eventuali situazioni impreviste possono sempre essere a rontate con la politica monetaria più appropriata. La politica monetaria è sempre disponibile, anche se in condizioni "normali" non la si utilizza per stimolare l output. - svantaggi: trovare un governatore conservatore non è cosa semplice. Si tratta, infatti, di una carica politica che, come tale, è verosimilmente esposto alle pressioni politiche. Ne risulta che è di cile credere che un governatore non abbia come obiettivo y > y: 3.3 Giochi ripetuti e self-enforcement (Barro e Gordon) Come abbiamo visto, il modello di Kydland e Prescott consiste in un gioco sequenziale del tipo one-shot. In tale gioco, l unico SPNE risulta essere non pareto e ciente. In realtà, la possibilità che gli equilibri di Nash siano non e cienti è nota (l origine dell ine cienza risiede nella presenza di esternalità) ed questo risultato ha rappresentato una sorta di s da per gli economisti in diversi ambiti. Come abbiamo studiato nella parte tecnica di Game Theory, molti giochi one-shot possono avere equilibri non pareto e cienti, ma qualora questi giochi siano ripetuti un numero in nito (o indeterminato) di volte, è possibile che le situationi pareto e cienti caratterizzino alcuni SPNE. Tale condizione richiede che gli individui valutino il futuro "abbastanza" ossia che gli agenti coinvolti abbiano un tasso di sconto su cientemente elevato. Su questa idea si basa la soluzione proposta da Barro e Gordon: il processo di interazione tra la BC e il SP non è one-shot ma è ripetuto un numero indeterminato di volte, per cui è possibile raggiungere la situazione pareto e ciente (caratterizzata da una perdita pari a zero per il SP e da una perdita pari ad L C per la BC) in un SPNE. A tal ne è necessario che la BC ed il SP valutino abbastanza il futuro. Si indichi con la lettera > 0 il tasso di sconto della BC e del SP. Si consideri un processo di interazione (dove il SP ssa le aspettative sull in azione e la 6

7 BC ssa l in azione) esattamente identico a quello descritto in precedenza, e si consideri la ripetizione in nita di tale processo di interazione. Si consideri il seguente pro lo di strategie: SP: " ssa e = 0 se in passato = 0 è stata l in azione ssata dalla BC, altrimenti ssa e = E[] = (y y) per sempre." BC: " ssa = 0 se in passato è stato ssato = 0; altrimenti ssa = (y y) " per sempre." E possibile dimostrare che tali strategie costituiscono SPNE a patto che il tasso di sconto della BC sia più grande di un certo valora soglia. In tale SPNE si sserà in azione pari a zero e aspettative sull in azione pari a zero e l output atteso sarà pari al suo livello naturale. Per capire se le due strategie sopra indicate costituiscono un SPNE dobbiamo veri care che esse siano best response l una dell altra in ogni possibile sottogioco del gioco. Poichè il gioco è ripetuto in nite volte abbiamo in niti sottogiochi. Però, nonostante questi sottogiochi sono in niti, esistono solo due tipologie di sottogiochi: quelli preceduti da un in azione 6= 0 e quelli preceduti da un in azione = 0: Andiamo nella prima tipologia. In questo caso la strategia del SP prevede di giocare e = E[] = (y y) mentre la BC prevede di giocare = (y y) ": Poichè queste espressioni sono quelle contenutre nelle eq. (7) e (8) noi sappiamo che queste sono best response l una dell altra nel gioco one shot, per cui sono best response in questi sottogiochi. Andiamo adesso nella seconda tipologia. Qui il settore privato prevede di ssare aspettative pari a zero e la BC prevede di ssare in azione pari a zero. Se la BC ssa in azione pari a zero, il settore privato ha come best response quella di ssare aspettative sull in azione pari a zero poichè questo minimizza la sua funzione di perdita generando una perdita pari a zero. Questo fa si che e = 0 è best response a = 0: Se il SP ssa e = 0 è best response per la BC ssare = 0? Dipende dal suo tasso di sconto. Infatti, se la BC ssa = 0 essa ottiene una perdita pari ad L C ; e se continua a giocare tale strategia la perdita pari ad L C verra ottenuta per sempre, per cui il valore attuale di tale usso in nito di perdite sarà pari a: L C + L C + 2 L C + 3 L C + ::::: = L C ( :::) = LC (2) Se invece la BC ssa un in azione pari a = (y y ") (derivata dalla eq. 4) essa raggiungerebbe una perdita pari ad L F : Ma tale perdita sarebbe raggiunta solo in un determinato sottogioco, poichè da quel momento in poi, poiche è stato giocato un livello di in azione diverso da zero, si genererà il payo che caratterizza il SPNE del gioco one-shot che è pari a L D e questo payo durerà per sempre. Il valore attuale di una eventuale deviazione da parte della BC sarebbe quindi pari a: 7

8 L F + L D + 2 L D + 3 L D + ::::: = (3) L F + L D ( :::) + L D L D = L F L D + LD La BC avrà quindi come best response a e = 0 ssare = 0 se e solo se il valore della perdita derivante dalla eq. (2) sarà minore o uguale al valore della perdita derivante dalla eq. (3), ossia: L C LF L D + LD : (4) Da questa espressione è possibile ricavare il valore soglia di per cui la BC ha come best response ssare = 0: Infatti: L C L D L F L D (5) L C L D L F L D (6) da cui: ovvero: che diventa: L F LC L F L D (7) (L F L D ) L C L F (8) (L D L F ) L C L F (9) LC L D Si noti che sia il numeratore che il denominatore della precedente espressione sono strettamente positivi. Inoltre si noti che il denominatore è sicuramente più grande del numeratore, per cui il livello soglia sarà un numero compreso tra 0 e. Se la banca centrale ha un tasso di sconto maggiore di tale livello soglia, allora ssare = 0 quando e = 0 è best response. Ne consegue che il problema dell incoerenza temporale si risolve "autonomamente" (self-enforcement) nel caso in cui il processo di interazione sia ripetuto in nite volte e se LC L F L D L F : L F L F 8