Stefania Paganoni Marzegalli EQUAZIONI FUNZIONALI LEGATE ALLE FUNZIONI ELLITTICHE JACOBIANE

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1 REND. SEM. MAT. UNIVERS. POLITECN. TORINO Vol. 45, 2 (1987) Stefania Paganoni Marzegalli EQUAZIONI FUNZIONALI LEGATE ALLE FUNZIONI ELLITTICHE JACOBIANE Abstract. In this paper we consider the functional equations (1^) and (2^). We prove that they have the same class of nonconstant holomorphic solutions and we find this class. 1. Si considerino le due seguenti equazioni funzionali:,, x /( )/(Zl -2 2 )+/(2 2 +Z 3 )/( )+/( l)/( 2 3 ~2l) + + k i f(z 1 + Z 2 )f(z l -2 2 )/( )/( )/(2 3 + Z^ f(z 3 - Z^= 0 (Z k ) /(2 I +2 2 )/(2 I -2 2 )[l-* 2 / 2 (2 1 )/ 2 (2 2 )]=/ 2 (2 1 )-/ 2 ( 22 ) In entrambe le equazioni la funzione incognita / e una funzione olomorfa definita in un intorno dell'origine e k e un parametro complesso. Si denoti con C(\ k ) e con C^) l a classe delle soluzioni rispettivamente di (1*) e di (2*). Si verifica facilmente che la famiglia di funzioni f(z) = asn(-j'*k) > con a.^c.^oj 2 = & 2 a 4 e contenuta sia in C(i k ) che in C^k). Per questo basta ricordare che vale la seguente identita (si veda [1]): sn(u + v;k) sn(u v\k) Classificazione per soggetto AMS (MOS): 39 B20 sn 2 (u,k) sn 2 (v,k) 1 k 2 sn 2 (u- } k) sn 2 (v-,k)

2 142 In questa nota si dimostra che ogni funzione non costante appartenente a C(i k ) appartiene anche a C^) e viceversa; successivamente si determinano le funzioni di C^). 2. Si osservi preliminarmente che /= 0 e Tunica funzione costante che appartiene sia a C(i k ) che a C( 2k ). Se infatti f=c= 0 appartiene a CQ^, allora / appartiene anche a C(i k ) se e solo se & 2 = fc 2 /3. Si puo ora dimostrare il seguente teorema. TEOREMA 1. Sia f non costante, /GC^). Allora /EC( 2/j ). Dimostrazione. Sia / non costante f^c(i k ). Ponendo z=z 1 =z 2 =z 3 in (I*) si ha (3) /(0)/(2z){3 + * 2 / 2 (0)/ 2 (2z)} = 0. Ora, poiche / non e costante, da (3) si ha (4) /(0) = 0. Ponendo ora z 1 = z 2 in (1^), si ottiene (5) /(2l+^){/(2l-2 3 )+/(23+2l)} = 0. Quindi da (5) con z x = 0 e z 3 = z segue che / e dispart. Ora se si pone z 3 = 0 in (1^), ricordando che / e dispari, si ha /(z 1 +z 2 )/(z 1 -z 2 ){l-^2/ 2 (z 1 )/ 2 (z 2 )}=/ 2 (z 1 )-/ 2 (z 2 ). Percio /ec {% ). Si tratta ora di determinare le funzioni di C^). Vale il seguente teorema: TEOREMA 2, f^cty) se e solo se ha una delle seguenti forme: (6) \ oppure se k = 0 ; f(z) = asn(j>k) ; a,(3gc\{0}^ k 2 =a*k 2

3 143 U(z) = Xz, XEC; (7) ) oppure se k = 0. I f(z) = a sen (j), a,/3gc\{0}. Dimostrazione. Sia fgc(2 k )\ allora ponendo in (2^) z =Zj =z 2 si ha /(2z)/(0){l-* 2 / 4 (z)} = 0. Da questo segue /(z) = c con c = 0 o c 4 = -ry- se k 2 = 0, oppure (8) /(0) = 0. Si supponga nel seguito / non costante. Per la (8), se si considera z = z x = = z 2 in (2fc), si ha (9) 0 =/ 2 ( Z ) -/ 2 (-2) = [/(2) +/C-Z)] [f(z) -/(-2)] e quindi oft pari o / e dispari. Se / fosse pari, ponendo z x = 0, z 2 = z in (2fe) si avrebbe f\z) = -f\z) e questo e assurdo, perche / non e identicamente nulla. Quindi se /GC(2 ft ) e non e costante, allora / e dispari. Si derivi ora (2^) rispetto a z x ; siottiene: (10) [f\z l +z 2 )f{z l -z 2 )+f{z 1 +z 2 )f'{z 1 -z t )][l-k 2 f 2 {z i )p{z 2 )]- -2k 1 f{z i )f(_z 1 )f\z 2 )f{z l )/(2, -2 2 ) = 2/(2 1 )/'(2 1 ). Ponendo z = z x = z 2 in (10) si ha (11) f (0)/(2z)(l - * 2 / 4 (z)) = 2f{z)f'(z). Ora, poiche / non e costante, da (11) si ha f'(0)=a±0. Si osservi che se /G C( 2k ) e g( z ) = /(z/x), ^ e C\{0}, allora anche g G C^). Percio nel seguito si assumera, senza perdita di generalita, (13) /'(0) = 1. Derivando ancora (10) rispetto a z l 2 2 = 2, si ha e successivamente ponendo z x = 0 e (14) /"(2)/(-2) + 2/'(2)/'(-2) +/(2)/"(-2) - 2k 2 f 3 (z)f(-z) = 2.

4 144 Dalla (14) ricordando che / e dispari si ottiene: (15) ff"-f' 2 -k 2 f* + l = 0. E utile introdurre la seguente funzione ausiliaria $ =p _ (1 -/2)(i _ k 2 f 2 ) = /' (1 4- k 2 )f 2 - k 2 f 4 (si noti che per le (8) e (13), <S>(0) = $'(0) = 0). Si ha allora immediatamente /*' = 2f'lff" + (1 + * 2 )/ 2-2* 2 f ] = = 2/'{[//" -/' 2 - & 2 / 4 + 1] + If' (1+ * 2 )/ 2 - * 2 / 4 ]} e quindi (16) /<f>' = 2/'<S>. Ma, poiche I -TJ- ) = 73 si ottiene (17) $ = cf 2, c=/'"(0) + (14* 2 ), (infatti <J>"(0) = 2c = 2/""(0) 4 2(1 4 fc 2 )). Ponendo f"'(0) = y, dalla (17) segue che / deve soddisfare la seguente equazione differenziale (18) f' 2 = 1 + 7/ 2 + P/ 4, /(0) = 0, /'(0) = 1. Se & = 0 e 7 = 0 si ha /' = 1 e quindi /(z) = 2. Se = 0 o 7 = 0, si possono sempre trovare due numeri complessi k e a. con a = 0 in modo che, 2 = il (i + ft) * a 4 C 7 a 2 (basta infatti ricavare k 2 = & 2 a 4 dalla prima e, per la seconda, si trova che a deve soddisfare la relazione & 2 a 4 4-7a 2 + 1=0). Si ha allora che la (18) puo essere scritta nella seguente forma: (19) /'* = ( X fr) (l -/*). /(0) = 0,/'(0) = l. La classe delle soluzioni di (19) e ben nota ed e costituita dalle seguenti funzioni (si veda anche [2]):

5 145 f(z) = asn(-zr-- t kj se k = 0 2 /(z) = a sen se & = 0. a Ora, se si prescinde dalla (13), si trova che se f&c(2 k ) allora ha necessariamente una delle forme descritte in (6) e in (7). II viceversa si riduce ad una banale verifica. COROLLARIO. C(i^) e C^) contengono le medesime funzioni non costanti. Dimostrazione. Sia / non costante. Per il Teorema 1, se /^CQ^ allora /EC^). Viceversa, se f C(2 k ), allora, per il Teorema 2, / ha una delle forme descritte in (6) e (7) e una banale verifica mostra che / C(^). BIBLIOGRAFIA [1] Copson, E.T., An Introduction to the Theory of Functions of a Complex Variable, Oxford Univ. Press, London, [2] Fenyo, I.; Paganoni, L., Sur la connexion entre une equation fonctionnelle et Vequation des fonctions elliptiques jacobiennes, C.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada, 7,(1985), STEFANIA PAGANONI MARZEGALLI Dipartimento di Matematica Universita degli Studi di Milano ViaC. Saldini, Milano ITALIA Lavoro pervenuto in redazione il 27/VI/1987

6 Finito di stampare nel dicembre 1988 presso la Litografia s.r.l. M. & S. - Torino per conto del Seminario Matematico dell'universita e del Politecnico di Torino Via Carlo Alberto TORINO