VI.BIS LE FIGURE NOTE SUPERFICI DI ROTAZIONE

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1 VI.BIS LE FIGURE NOTE SUPERFICI DI ROTAZIONE

2 Superfici di Rotazione Cap. VI-Bis Pag. SUPERFICI DI ROTAZIONE Sia la retta r) (,, ) (Fig. ) distante OA =d dall origine e un punto A(x,y,z,;,, ) distante O A dalla retta r).il piano per A e perpendicolare a r) intersecherà questa nel punto O ed avrà distanza OC=p con cos.dir. di OC uguali a quelli della retta r) di conseguenza CO =OA =d. Su questo stesso piano saranno i segmenti CA, CO, O A. Sia l angolo sul piano tra O A e il prolungamento di CO, per cui l Eq. di Vag: O' Acos x O' Asen y mentre CA O' A O' A d cos( 80 ) CA O' A d O' A d cos Dalla Fig. invece, che sintetizza la Fig., nello spazio sara : OAsin CA O' A d O' A d cos OAcos p xcos ' y cos ' z cos ' (avendo p gli stessi angoli direttori della retta r)). Se facciamo ruotare il punto A intorno alla retta e sullo stesso piano π perpendicolare a r) e di distanza p avremo che A percorrera una circonferenza di raggio O A=R, ed r) diventa un asse di simmetria, O centro della circonferenza governata dal valore di. Pertanto : OAsen R d Rd cos OA cos p d R d Rd cos tan p

3 Superfici di Rotazione Cap. VI-Bis Pag. Se la retta r) è asse di simmetria di una figura ruotata (Fig. ) di cui Q ( Q A delle fig. precedenti) e un suo punto, possiamo intendere ogni suo punto Q che ruoti intorno all asse r) con Eq. di Vag identica a quella vista per la Fig.,: OQcos x cos ' y cos ' z cos ' p OQsen R d Rd cos OQ p R d Rd cos se la retta r) asse di rotazione (Fig. 4), passa per l origine sarà d=0 OA e se OC=p=z OA =R proiezione di CA sul piano xoy. Pertanto: cos cos z p OQcos OQcos p OQsen OQsen R OQcos R cos x OQ cos Rsen y OQ cos p z OQ R cos cos Rsen cos p cos

4 Superfici di Rotazione Cap. VI-Bis Pag. ROTAZIONE DI UN PIANO CON FIGURA In un piano π perpendicolare a xoy sia una ellisse come da Fig.5 e un suo punto di valore A(x E,y E ) e come punto nello spazio i valori A(x,y,z;α,α,α ) e l angolo xop ˆ. Vediamo subito che,posti i valori parametrici: OAcos q cos xe OAsin msin ye z Dove x E è la proiezione di OA sul piano xoy, quindi il punto A avrà nello spazio le coordinate: x xe cos y xe sin z ye Dando ad x E e a y E i relativi valori parametrici avremo: OAcos x q cos cos OAcos y q cos sin OAcos z ye msin Al variare del angolo ε il punto P percorrerà una circonferenza sul piano xoy e quindi anche il piano π. Le variabili sono dunque ε per quanto riguarda il piano ed α per quanto riguarda l ellisse. Se la condizione è che ad ogni variazione di ε si abbia 0 60 avremo un solido che sappiamo essere un Ellissoide circolare (vedi Cap VI Le figure note nello spazio. Se spostiamo il centro della ellisse nel punto C(C x,0)la figura ruoterà per intero intorno all asse z: avremo cosi ottenuto la figura che è chiamata toro, come in Fig.6 (in assonometria). OAcos x ( q cos OCx )cos OAcos y ( q cos OCx )sin OAcos z ye msin La stessa formula si può usare per far ruotare una iperbole o una parabola con i propri valori. (Vedi PROGRAMMI SULLO SPAZIO: Cap.VI Bis Rotazione Ellisse; Rotazione Iperbole; Rotazione Parabola.)

5 Superfici di Rotazione Cap. VI-Bis Pag. 4 CILINDRO Sia l Eq. di Vag di una retta (nella figura r) perpendicolare al piano xoy) OX sen distanza (raggio) OXcos A' X altezza OX A' X cos OA sen ' dove e l angolo del punto X. Sara : A' X z altezza tan OX cos x cos *) OX cos y sen cos OX cos z sen Eq.di Vag cos cos x sen **) cos sen y sen cos A' X z tan Eq. di Vag di un Cilindro la cui altezza e data dal valore dell angolo max cioè 0 < < max la cilindricita da 0 < < 60 la forma da OA. Se ad ogni valore di α calcoliamo tutto β si avrà il cilindro dato sen da figure di OA sovrapposte; se per ogni valore di β e quindi per ogni figura di OA, calcoliamo tutti i valori di α il cilindro sarà rappresentato da infinite rette parallele all asse (cilindro rigato). Riducendo la **) riscriviamone la Eq. di Vag: cos sen cos ( sen cos )cos ( sen sen )cos cos cos cos sen sen ( cos ) sen cos cos sen sen cos cos cos a) sen cos cos sen cos Espressione già vista nel Cap. II in IL PUNTO NELLO SPAZIO Se moltiplichiamo l espressione a) per OX, e aggiungiamo OX cos A' X (vedi fig.):

6 Superfici di Rotazione Cap. VI-Bis Pag. 5 OX sen OX cos cos OX cos sen x cos ysen OXcos tan Eq. implicita da cui siamo partiti. Per esempio in *) se OA rappresenta una ellisse avremo un cilindro a base ellittica di altezza p : OX cos cos q cos q cos m sin OX cos sin msin OXcos p z OX q cos m sin z (ad ogni valore di α corrisponderanno tutti i valori di per 0< <60 ) Se è dato il valore p = altezza totale del cilindro, l altezza relativa può sempre essere interpretata come P psin cioè è data per un opportuno μ per cui l espressione diventa: OX cos cos q cos q cos m sin OX cos sin msin OXcos z psin OX q cos m sin p sin Dove per ogni valore di μ è data una figura OA per il cilindro sovrapposto e viceversa per il cilindro rigato. ****************************************************************** OX sen perimetro circonferenza base OA =R raggio perimetro ellisse base q m assi A' X OX cos sen perim. lat. cilindro tan A' X OX cos sen volume cilindro tan

7 Superfici di Rotazione Cap. VI-Bis Pag. 6 CILINDRO A BASE CIRCOLARE OX cos R cos x R OX cos Rsen y R OX cos z tan psin OX R sen CILINDRO A BASE ELLITTICA OX cos q cos x q cos m q cos m sen OX cos msen y OX sen OX cos z p sin tan sen

8 Superfici di Rotazione Cap. VI-Bis Pag. 7 CONO Sia un cono di altezza OC=p, per un qualunque valore di, compreso 0 < < 90, si avrà OC' psen CC' p( sen ) Per X(,, ) avremo ˆ OA C' X CC' C ' OX tan C' X OA p CC' p C' X ( sin ) tan OC ' OA OC' tan CC' C' X OA OA( sen) p C' X cos OA( sen)cos x Eq.di Vag C' X sen OA( sen) sen y OX C' X OC' OA ( sin ) p sin OX cos OC' psen OX sen C' X OA( sen) Eq.di Vag. OX cos x OA( sen) cos OX cos y OA( sen) sen OA( sen) OX cos z psen tan OX (cos cos ) OX sen OA ( sen) OX sin OA( sin ) OA( sin ) OX cos tan psin se anziché (sen ) avessimo posto (cos ) il cono avrebbe avuto il vertice nell origine. Per ogni valore di 0 90 dobbiamo fare 0 60 creando una pila di figure una sopra l altra partendo dalla più grande fino alla più piccola o viceversa. Se per ogni valori di 0 60 facciamo 0 90 avremo delle righe (generatrici) una accanto all altra. Ponendo μ compreso tra un valore massimo minore di 90 si avrà un cono tronco.

9 Superfici di Rotazione Cap. VI-Bis Pag. 8 CONO (CONTINUA) I valori di OA determinano la figura: CONO CIRCOLARE R( sen)cos x 0 60 per ogni valore di R( sen) sen y 0 90 psen z CONO ELLITTICO q cos ( sen) x m sen ( sen) y psen z 0 60 per ogni valore di 0 90

10 Superfici di Rotazione Cap. VI-Bis Pag. 9 ELICA Dato un cilindro o un cono, un punto che si muova sulla sua superficie con movimento rotatorio e traslatorio lungo l asse z (cioè che la sua traiettoria ne incontri le generatrici sotto un angolo costante) forma una Elica. Dall Eq. di Vag già vista per il cilindro: OX cos x OAcos OX cos y OA sen OX cos z psen se H rappresenta la distanza di due punti A e A, H=AA, dopo che abbia compiuto un intero giro e sia tornato sulla stessa generatrice di partenza, avremo che la loro posizione sarà: z H; ( in radianti) moltiplicando queste due uguaglianze H H z H passo z h h passoridotto ELICA CILINDRICA CIRCOLARE: OA R ELICA CILINDRICA ELLITTICA: OA q cos m sen qcos x msin y OX cos x OAcos q cos OX cos y OA sen msin OX cos z h OX OA ( h)

11 Superfici di Rotazione Cap. VI-Bis Pag. 0 OX sin x y OX cos z h OA OX OA OA tan h ( h) ********************** Dall Eq. di Vag già vista per il CONO: OX cos x OA( sen ) cos OX cos y OA( sen ) sen OA( sen ) OX cos z p sen tan e con lo stesso significato visto per l Elica cilindrica per H e H h e z h abbiamo l equazione: ELICA CONICA ELLITTICA: OA q cos m sen H H H OX cos x OA cos q cos OX OA OA ( h) H OA H H OX cos y OA sen m sin tan h H OA OX z cos h tan H L aver cambiato OA ( Sin) con OA sta a significare che ad ogni valore di β o α il vettore-elica salendo verso la sommità del H cono deve restringersi: resta inteso che OA ed anche H ( q, m). ELICA CONICA CIRCOLARE: OA R (q = m)

12 Superfici di Rotazione Cap. VI-Bis Pag. LA CHIOCCIOLA Prendendo spunto dall elica e dalle spirali piane possiamo ottenere una chiocciola partendo dalla sfera: R cos x q cos Spirale Ellittica - Circolare ( Spirale di Archimede) Rcos y m sin H R cos z Valore del passo Il valore H rappresenta il valore dello spostamento lungo l asse H della z : Volendo si può procedere analogamente per le altre spire.