La scelta di portafoglio

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1 La scelta di portafoglio 1

2 La scelta di portafoglio La scelta di portafoglio: il modo in cui un individuo decide di allocare la propria ricchezza tra più titoli Il mercato dei titoli è un istituzione che consente all individuo attraverso lo scambio di trasferire risorse da uno stato all altro e di fronteggiare il rischio. Un titolo ha un rendimento incerto, variabile a seconda dello stato del mondo; paniere o combinazione di redditi contingenti: un dato reddito se si verifica lo stato 1, un altro reddito se si verifica lo stato 2. 2

3 Il vincolo di bilancio Soltanto due titoli. Il vincolo di bilancio come vincolo sul valore dei titoli, sulla scelta di portafoglio Con α i = P A i A i/w P1 A A 1 + P2 A A 2 = P1 A A 1 + P2 A A 2 = W P1 A A 1 + P2 A A 2 = W P A 1 A 1 W + P A 2 A 2 W = α 1 + α 2 =1 Soltanto due stati: z is è il rendimento del titolo i, i = 1, 2, nello stato s, s =1, 2. 3

4 I redditi contingenti che una data allocazione della ricchezza produce y 1 = A 1 z 11 + A 2 z 21 y 2 = A 1 z 12 + A 2 z 22 Ricavando A i dal vincolo della ricchezza y 1 = α 1 W z 11 P1 A y 2 = α 1 W z 12 P1 A + α 2 W z 21 P2 A + α 2 W z 22 P2 A Il tasso di rendimento r is z is P A i P A i = r is 1+r is = z is P A i R is 4

5 dove R is rappresenta il rendimento totale del titolo i nello stato s. y 1 =[α 1 R 11 + α 2 R 21 ] W y 2 =[α 1 R 12 + α 2 R 22 ] W y 1 1 R 11 2 R 21 W P 1 A A 1 P 2 A A 2 W y 2 1 R 12 2 R 22 W Figura 1: 5

6 L individuo avrà un reddito y s che dipende dall ammontare acquistato dei due titoli e dal loro tasso di rendimento in quello stato. 6

7 y 2 D α 2 < 0 WR 12 A α 1 =1 WR 22 B α 2 =1 α 1 < 0 C WR 11 WR 21 y 1 Figura 2: Il vincolo di bilancio in termini di redditi contingenti 7

8 Se le quantità acquistate dei due titoli debbono essere non negative, il vincolo di bilancio individuale è limitato al tratto AB Il vincolo ha una pendenza negativa; in particolare, abbiamo supposto che se si verificalostato1,iltitolo2haunrendimentopiùelevatodeltitolo1(r 21 > R 11 ), mentre l opposto è vero se si verificalostato2(r 12 >R 22 ). Se così non fosse, se uno dei due titoli avesse un rendimento più elevato in tutti e due gli stati e risultasse perciò dominante sull altro, non si porrebbe nemmeno un problema di scelta: verrebbe acquistato soltanto il titolo più redditizio. Vedremo più avanti che questa situazione non può verificarsi se è soddisfatta la condizione di non arbitraggio. Le vendite allo scoperto implicano che gli α i possano assumere valori negativi: si vende un titolo che non si possiede prendendolo a prestito da qualcuno con 8

9 l impegno di restituirlo alla scadenza una volta che lo stato del mondo si sia rivelato; con il ricavato della vendita si acquista l altro titolo. Un espressione formale per il vincolo di bilancio in termini di redditi contingenti Ricaviamo α 1 dalla prima equazione y 1 =[α 1 (R 11 R 21 )+R 21 ] W y 2 =[α 1 (R 12 R 22 )+R 22 ] W α 1 = (y 1/W ) R 21 R 11 R 21 e sostituendo nella seconda equazione y 2 = R 12 R 22 R 11 R 21 [y 1 WR 21 ]+WR 22 9

10 Non è consentito di trovarsi in uno stato del mondo con un reddito negativo. Il significato economico di questa condizione è che escludiamo il fallimento La posizione di ottimo La scelta ottima di portafoglio. Un modo molto semplice è uguagliare la pendenza delle curve di indifferenza a quella del vincolo dy 2 = π 0 1U (y1 ) dy 1 π 2 U 0 (y 2 ) = R 12 R 22 = R 11 R 21 π 1 U 0 (y 1 ) π 2 U 0 (y 2 ) = R 22 R 12 R 11 R 21 10

11 L individuo massimizza la propria utilità attesa dato il vincolo di bilancio dove gli y s sono max E (U) =π α 1,α 1 U (y 1 )+π 2 U (y 2 ) 2 y s =[α 1 R 1s + α 2 R 2s ] W, s =1, 2 e la massimizzazione è soggetta al vincolo α 1 + α 2 =1. L = E (U)+λ [1 (α 1 + α 2 )] = L α 1 = π 1 U 0 (y 1 ) WR 11 + π 2 U 0 (y 2 ) WR 12 λ =0 L α 2 = π 1 U 0 (y 1 ) WR 21 + π 2 U 0 (y 2 ) WR 22 λ =0 L λ =1 (α 1 + α 2 )=0 11

12 Si ricava π 1 U 0 (y 1 )R 11 + π 2 U 0 2 (y 2)R 12 =π 1 U 0 (y 1 )R 21 + π 2 U 0 (y 2 )R 22 Dalla definizione di rendimento R is R is = z is Pi A = E h U 0 i h 0 i (y s )R 1s = E U (ys )R 2s = π 1 U 0 (y 1 ) z 11 + π 2 U 0 (y 2 ) z 12 P A 1 = π 1U 0 (y 1 ) z 21 + π 2 U 0 (y 2 ) z 22 P A 2 L individuo nella posizione di ottimo ripartisce la propria ricchezza tra i due titoli in modo tale che l ultimo euro impiegato nell acquisto del titolo 1 fornisca la 12

13 stessa utilità marginale attesa dell ultimo euro impiegato nell acquisto del titolo 2. La scelta di portafoglio: il caso generale N titoli, con N 2. La ricchezza W vieneallocatatraquestititoliinmododa rispettare il vincolo di bilancio NX 1 P A i A i = W 13

14 Il vincolo di bilancio come vincolo sulle quote di ricchezza investite in ciascun titolo NX 1 P A i A i W = N X 1 α i =1 Il valore finale della ricchezza derivante da una data allocazione dipende dai tassi di rendimento (contingenti) dei titoli acquistati. Nel caso di N titoli il reddito contingente che deriva da una data allocazione della ricchezza è y s = W NX 1 α i (1 + r is )=W NX 1 α i R is 14

15 Il problema di ottimo consiste nel massimizzare l utilità attesa del reddito contingente y s max α i E (U) = nel rispetto del vincolo di bilancio SX 1 π s U (y s ) NX 1 α i =1 Formando il lagrangiano L L = E (U)+λ 1 NX α i 1 15

16 derivando rispetto a α i e λ, L P = S π s U 0 (y s ) WR is λ =0, α i 1 L λ =1 P N α i =0 1 i =1,...,N E h U 0 (y s )R is i = E h U 0 (ys )R js i,i6= j = Il titolo non rischioso Accanto agli N titoli considerati, ve ne sia un altro privo di rischio con rendimento R 0 =1+r 0. 16

17 N +1titoli sicché il vincolo di bilancio è NX 0 α i =1 Il problema di ottimo rimane immutato e alle FOC va aggiunta SX 1 π s U 0 (y s ) WR 0 λ =0 Sottraendo questa equazione da tutte le altre N condizioni del primo ordine SP 1 π s U 0 (y s )(R is R 0 )=0, i =1,...,N = E h U 0 (y s )(R is R 0 ) i =0, i =1,...,N 17

18 Ricordando la definizione di covarianza si ha cov (X, Y ) = E (X μ X )(Y μ Y )=E (XY ) μ X μ Y = E (XY ) = cov (X, Y )+μ X μ Y E h U 0 (y s )(R is R 0 ) i =0= cov ³ U 0 (y s ),R is + E h U 0 (ys ) i E (R is R 0 )=0= Asset pricing E (R is )=R 0 cov µu 0 (y s ),R is E h U 0 (y s ) i 18

19 Il rendimento (atteso) di un titolo è pari al rendimento del titolo privo di rischio più un premio per il rischio. Il premio per il rischio è positivo (negativo) se il rendimento del titolo covaria positivamente (negativamente) con il consumo Il teorema di separazione In presenza di un numero elevato di titoli, la ricerca del portafoglio ottimale (dei valori ottimali degli α) è drasticamente semplificata. 19

20 Sotto certe condizioni, il portafoglio ottimale è composto soltanto di due attività: il titolo privo di rischio e un attività rischiosa composita data dalla combinazione ottimale di tutti i titoli rischiosi (fondo comune)= proprietà di separazione. La proprietà di separazione: le proporzioni con cui i titoli rischiosi entrano nel fondo comune non dipendono dal livello della ricchezza. Esempio, i titoli rischiosi sono due e la loro proporzione ottimale all interno del fondo comune è α 1 /α 2, questa proporzione con il livello della ricchezza: la scelta dell investitore concerne soltanto l allocazione della ricchezza tra il titolo privo di rischio e il fondo comune. 20

21 Condizioni: Restrizioni sulla 1. distribuzione di probabilità dei rendimenti (distribuzione Normale), oppure 2. funzione di utilità dell investitore. Dalla definizione di coefficiente di avversione assoluta al rischio λ = U 00 (y s ) U 0 (y s ) Affinché si abbia separazione, λ deve essere una funzione iperbolica di y s, deve cioè assumere la forma λ =(c + dy s ) 1 dove c e d sono delle costanti. Tutte le funzioni di utilità di questo tipo appartengono alla classe HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) perché conuncoefficiente di avversione assoluta al rischio iperbolico. 21

22 Il reciproco di λ, coefficiente di tolleranza verso il rischio, τ τ = U 0 (y s ) U 00 (y s ) = c + dy s Funzione di utilità Tolleranza al rischio Quadratica y s a 1 2 y2 s a y s Esponenziale exp ( y s /a) a Logaritmica ln (a + y s ) a + y s ys 1 b y s Di potenza 1 b b Teorema di separazione. Indipendentemente dalla distribuzione di probabilità dei rendimenti, il portafoglio ottimale presenta la proprietà di separazione se e 22

23 solo se la tolleranza al rischio è lineare, ovvero se e solo se la funzione di utilità appartiene alla classe HARA. Esempio. Gli R is : tre stati con la stessa probabilità titolo stato π 1 U 0 (y 1 )(R i1 R 0 )+π 2 U 0 (y 2 )(R i2 R 0 )+π 3 U 0 (y 3 )(R i3 R 0 )=0= (π 1 = π 2 = π 3 =1/3) 2U 0 (y 1 ) U 0 (y 2 ) U 0 (y 3 )=0 U 0 (y 1 )+5U 0 (y 2 ) U 0 (y 3 )=0 23

24 P con y s = W N α i R is dati da 0 y 1 = W (α 0 +3α 1 ); y 2 = W (α 0 +6α 2 ); y 3 = α 0 W Dalle ultime due U 0 (y 1 )= 2 3 U 0 (y 3 ) U 0 (y 2 )= 1 3 U 0 (y 3 ) Se la funzione di utilità è quadratica, U 0 (y s )=1 ay s. Risolvendo 1 aw (α 0 +3α 1 )= 2 3 (1 aα 0W ) 1 aw (α 0 +6α 2 )= 1 3 (1 aα 0W ) α 1 = α 2 = 1 9 µ 1 aw α 0 = α 1 /α 2 =1 24

25 I titoli rischiosi hanno perciò la stessa quota nel fondo comune. P Poiché 2 α i =1e α 1 = α 2,α 1 = 1 α 0. Ricaviamo α Se a =1/4 e W =1,siha α 0 = aW α 0 =1/7 e α 1 = α 2 =3/7 Se la ricchezza raddoppia, W =2, si ha α 0 =5/7 e α 1 = α 2 =1/7 Al variare della ricchezza le proporzioni con cui i titoli rischiosi entrano nel fondo comune rimangono invariate Cambia l allocazione della ricchezza tra il titolo non rischioso e il fondo comune perché α 0 e 1 α 0 dipendono da W. 25

26 La completezza del mercato dei titoli Qualicondizionidebbonoesseresoddisfatteaffinché il mercato dei titoli consenta di spostare redditi da uno stato all altro come se ci si trovasse in un mercato completo per beni contingenti? Intanto: vendite allo scoperto ed esclusione della possibilità di fallimento. Ma altre due condizioni debbono essere soddisfatte. Due stadi 26

27 1. Attività finanziarie dette elementari o primitive o anche attività Arrow-Debreu; se certe condizioni sono soddisfatte, tutte le attività finanziarie possono essere ricavate dalle attività AD. In questo caso si dice che il mercato dei titoli ècompleto. 2. Utilizziamo i titoli AD per mostrare che i mercati dei titoli, se coadiuvati da un dato insieme di mercati a pronti e da un ipotesi sulle aspettative, offrono le stesse opportunità dei mercati completi per beni contingenti. Aspettative razionali Conclusione: riguarda il numero dei mercati da attivare nei due casi. La completezza dei mercati per beni contingenti richiede un totale di N S mercati; per ottenere gli stessi risultati nel caso dei mercati dei titoli sono necessari solo S + N mercati. 27

28 I titoli Arrow-Debreu Il rendimento del titolo 1 è (z 11,z 12 ); quello del titolo 2 è (z 21,z 22 ). I titoli AD sono attività elementari: il loro rendimento è pari a 1 se si realizza un dato stato di natura, zero in tutti gli altri stati. Con solo due stati, due attività AD: la prima ha un rendimento pari a (1, 0); lasecondaattività(0, 1). Un portafoglio in cui siano presenti un numero z 11 della prima attività AD e z 12 della seconda attività AD. Il rendimento è z 11 (1, 0) + z 12 (0, 1) = (z 11,z 12 ) ovvero il rendimento di una attività del titolo 1. 28

29 Se formiamo un portafoglio composto di z 21 unità della prima attività AD e z 22 della seconda attività AD, il suo rendimento è z 21 (1, 0) + z 22 (0, 1) = (z 21,z 22 ) P A 1 P A 2 = z 11P1 AD + z 12 P2 AD = z 21P1 AD + z 22 P2 AD Condizione di non arbitraggio I portafogli hanno gli stessi rendimenti dei due titoli, dovranno avere gli stessi prezzi. Il prezzo della prima attività AD è P1 AD e quello della seconda P2 AD. Qual è il significato economico? Tre interpretazioni. 29

30 1. Assenza di arbitraggio Un opportunità di arbitraggio consiste in una strategia di investimento che non comporta costi ma che garantisce un rendimento positivo in taluni stati e nullo negli altri. Poiché i titoli AD offrono un rendimento positivo in uno stato e nullo nell altro, per la condizione di non arbitraggio il loro prezzo deve essere positivo 2. Assenza di dominanza Dividiamo i due lati della prima equazione P A 1 e quelli della seconda per P A 2, 1=R 11 P1 AD + R 12 P2 AD 1=R 21 P1 AD + R 22 P2 AD 30

31 Sottraendo la seconda equazione dalla prima P1 AD (R 11 R 21 )+P2 AD (R 12 R 22 )=0 Poiché per la condizione di non arbitraggio i prezzi dei titoli AD sono positivi, le espressioni in parentesi tonde debbono avere segni opposti. Se R 11 >R 21,allora deve valere l opposto nel secondo stato. Nessun titolo deve risultare dominante rispetto all altro in tutti e due gli stati. Se così non fosse, tutti gli investitori domanderebbero l attività che rende di più vendendo quella che rende di meno. Ciò causerebbe una variazione dei prezzi dei titoli fino a ristabilire l uguaglianza 3. Fattori di sconto contingenti Tra l acquisto di un titolo e la maturazione del reddito trascorre un certo lasso di tempo. L acquisto dei titoli avviene oggi, mentre i rendimenti si realizzano domani. Ma la scelta di portafoglio avviene oggi, mentre i titol sono combinazioni 31

32 di redditi contingenti che si ottengono domani. I prezzi dei titoli rappresentano il valore che hanno oggi questi redditi contingenti, ne rappresentano il valore attuale. Poiché il primo titolo AD offre un rendimento pari a uno nello stato 1 e zero nello stato 2, P1 AD rappresenta il valore attuale oggi di una unità di reddito se si verifica lo stato 1 domani. P1 AD e P2 AD hanno la natura di fattori di sconto contingenti (stocastici). 32

33 1 P 1 AD 0 oggi domani Figura 3: In condizioni di certezza, il valore di un attività è dato dal valore attuale della somma dei rendimenti futuri. 33

34 In condizioni di incertezza il valore di un attività può essere calcolato in modo analogo con l avvertenza che i rendimenti sono contingenti, dipendono dallo stato di natura. Essi vanno scontati utilizzando un fattore di sconto che dipende a sua volta dallo stato di natura. Questi fattori di sconto sono i prezzi dei titoli AD. L ipotesidicompletezzadelmercatodeititoli Le tre interpretazioni poggiano sull ipotesi che sia possibile definire i prezzi dei titoli AD. Riscriviamo in forma matriciale Ã! Ã!Ã! P A 1 z11 z P2 A = 12 P AD 1 z 21 z 22 P2 AD = 34

35 P A = ZP AD Definire i prezzi dei titoli AD significa che è possibile trovare l inversa di Z, cioè Z 1 Calcolando esplicitamente Z 1 dove Z = z 11 z 22 z 12 z 21 P1 AD = 1 Z P2 AD = 1 Z P AD = Z 1 P A ³ z22 P A 1 z 12P A 2 ³ z11 P A 2 z 21P A 1 La relazione tra i prezzi AD e la scelta di portafoglio: Il prezzo relativo dei titoli 35

36 AD P AD 1 P AD 2 = z 22P A 1 z 12P A 2 z 11 P A 2 z 21P A 1 Moltplicando numeratore e denominatore per 1/ ³ P A 1 P A 2 ovvero P AD 1 P AD 2 P AD 1 P AD 2 = z 22 P2 A z 11 P A 1 z 12 P1 A z 21 P2 A = R 22 R 12 R 11 R 21 Ma il lato di destra di questa equazione è esattamente quello della condizione di 36

37 ottimo della scelta di portafoglio. Perciò π 1 U 0 (y 1 ) π 2 U 0 (y 2 ) = P 1 AD P2 AD Nella scelta di portafoglio, l individuo tiene conto dei redditi contingenti cui eventualmente questi titoli danno diritto. Ma la scelta di portafoglio viene effettuata oggi mentre i redditi contingenti si realizzeranno soltanto domani. Nella scelta di portafoglio occorre considerare il valore attuale dei redditi contingenti futuri. Questo è ciò che avviene nella condizione di ottimo: P1 AD e P2 AD rappresentano il valore attuale di una unità di reddito se si verifica lo stato 1 o se si verifica lo stato 2. Non differisce da quella relativa ad un mercato completo per beni contingenti solo se sono soddisfatte due condizioni. Occorre innanzitutto definire i prezzi 37

38 dei titoli AD a partire dai prezzi dei titoli scambiati sul mercato. condizioneèsoddisfatta,ilmercatodeititoliècompleto. Se questa Motivi di incompletezza In tre casi non siamo in grado di trovare l inversa di Z. Primo, llamatricez può non risultare invertibile perché i rendimenti dei due titoli sono linearmente dipendenti. I rendimenti del titolo 1 sono un multiplo dei rendimenti del titolo 2, (z 11,z 12 )=k (z 21,z 22 ). Il determinante di Z è nullo e non possiamo ricavare P1 AD e P2 AD. Ciòsignifica che un titolo risulta dominante rispetto all altro e che quindi non è soddisfatta la condizione di non arbitraggio. È come se sul mercato fosse presente un solo titolo: non è possibile replicare i risultati di un mercato completo per beni contingenti. 38

39 Con più titoli e più stati si ha dipendenza lineare se il vettore dei rendimenti di un qualsiasi titolo può essere espresso come una combinazione lineare del vettore dei rendimenti degli altri titoli. In termini economici, possiamo replicare i rendimenti di un titolo comprando una qualche combinazione dei titoli restanti. Un secondo motivo di incompletezza può essere dovuto al fatto che sul mercato dei titoli il numero dei titoli è minore del numero degli stati del mondo. Supponiamo che vi sia un solo titolo e due stati del mondo. In questo caso non è possibile ottenere gli stessi risultati di un mercato completo per beni contingenti perché non possiamo trasferire attraverso lo scambio redditi da uno stato all altro. Formalmente, è come se una riga della matrice dei rendimenti fosse composta soltanto da zeri. 39

40 L ultimo motivo di incompletezza. Un attività è un bene, di natura finanziaria o reale, che frutta un rendimento. Alcune di queste attività non formano oggetto di scambio è il caso del capitale umano. Anche se il numero delle attività è uguale a quello degli stati del mondo, ma alcune di esse non possono essere scambiate, il mercato delle attività risulterà incompleto. Il mercato dei titoli è completo se è possibile scambiare un numero A di titoli maggiore o tutt al più uguale al numero S degli stati del mondo, con S titoli che presentano rendimenti linearmente indipendenti. 40

41 Il ruolo delle aspettative La seconda condizione perché il mercato dei titoli replichi i risultati di un mercato completo per beni contingenti riguarda le aspettative. Due stati di natura ma anche due beni fisicamente distinti, sicché ora i beni contingenti sono quattro I titoli AD continuano a rappresentare il diritto ad ottenere una unità di reddito se si verifica un dato stato di natura con il reddito espresso in euro o più in generale in unità monetarie. Il primo titolo AD rappresenta il diritto ad ottenere 1eurosesiverificalostato1ea0eurosesiverifica lo stato 2; il secondo titolo ADrappresentaildirittoa1eurosesiverifica lo stato 2 e a 0 euro se si verifica lo stato 1. 41

42 Riformuliamo il problema di scelta di portafoglio esprimendo però il vincolo della ricchezza attraverso i titoli AD. Qualsiasi titolo può essere replicato da un opportuna combinazione di titoli AD. Data la ricchezza W, l ammontare dei titoli AD che l individuo può acquistare è soggetto al vincolo: P AD 1 AD 1 + P AD 2 AD 2 = W dove AD 1 e AD 2 sono l ammontare dei due titoli AD che l individuo acquista. Ciò presuppone che il mercato dei titoli sia completo, ovvero che esistano S =2 mercati per i titoli AD. AD 1 e AD 2 rappresentano l ammontare di reddito di cui l individuo potrà disporre se si verificano, rispettivamente, lo stato 1 o lo stato 2. 42

43 Con AD 1 e AD 2 quale quantità dei beni l individuo potrà acquistare? Siccome vi sono due beni e due stati di natura, esistono 2 2 = 4 beni contingenti. Indicheremo le quantità di questi beni contingenti con y is : i identifica il bene e s lo stato di natura. Quando decide come allocare la ricchezza tra i titoli AD, l individuo non conosce però quali prezzi avranno questi beni. Per ipotesi infatti non esistono N S = 4 mercati completi per beni contingenti ma solo S = 2 mercati per i titoli AD. Soltanto successivamente, una volta realizzatosi uno stato, l individuo potrà acquistare su N =2mercati a pronti le quantità dei due beni. Questi sono mercati a pronti perché gli scambi si svolgono dopo che lo stato del mondo si è realizzato diversamente dai mercati contingenti dove gli scambi 43

44 avvengono prima che lo stato si realizzi. La struttura che stiamo considerando contempla dunque S =2mercati per i titoli oggi e N =2mercati a pronti domani. Poiché l individuo non sa quali prezzi avranno domani questi beni, si formerà al riguardo delle aspettative: se si verifica lo stato s, si aspetta che il bene i avrà un prezzo b P is, dove l accento circonflesso ci ricorda che si tratta di aspettative. Il suo vincolo di bilancio in termini redditi contingenti è AD 1 = P b 11 y 11 + P b 21 y 21 AD 2 = P b 12 y 12 + P b 22 y 22 44

45 Sostituendo nel vincolo P AD 1 ³ b P 11 y 11 + b P 21 y 21 + P AD 2 ³ b P 12 y 12 + b P 22 y 22 = W Per comprendere il significato economico, si ricordi l interpretazione dei prezzi dei titoli AD come fattori di sconto contingenti. Nelle parentesi tonde vi sono ivalorifuturi attesi dei beni contingenti che l individuo intende acquistare a seconda dello stato del mondo che si verificherà. I prezzi Ps AD convertono questi valori futuri in valori attuali; l equazione afferma che la somma di questi valori attuali deve essere pari alla ricchezza disponibile. L individuo decide le quantità dei beni da acquistare massimizzando l utilità attesa: X maxe (U) = X y is i s π su (y is ) = π 1 [U (y 11 )+U (y 21 )] + π 2 [U (y 12 )+U (y 22 )] 45

46 Formiamo il lagrangiano L L = E (U)+λ h W P AD 1 ³ b P 11 y 11 + b P 21 y 21 P AD 2 ³ b P 12 y 12 + b P 22 y 22 i Derivando rispetto alle variabili y is π 1 U 0 (y 11 )=λp AD 1 π 2 U 0 (y 12 )=λp AD 2 bp 11 ; bp 12 ; π 1 U 0 (y 21 )=λp AD 1 π 2 U 0 (y 22 )=λp AD 2 Queste condizioni sono del tutto identiche a quelle dei mercati completi per beni contingenti se poniamo P is = P AD s dove P is è il prezzo corrente per il bene i nello stato s che si avrebbe su di un mercato contingente (da non confondere con b P is che è il prezzo futuro atteso sul mercato a pronti). Se vale quella condizione, un insieme di N S mercati bp is bp 21 bp 22 46

47 completi per beni contingenti è equivalente a S mercati per i titoli più N mercati a pronti, in totale N + S mercati. La condizione richiede quindi che: 1. sia possibile definire i prezzi dei titoli AD, ovvero che esistano S titoli con vettori dei rendimenti linearmente indipendenti. 2. tutti gli individui abbiano le stesse aspettative sui prezzi futuri a pronti b P is e che queste aspettative si rivelino esatte. 47

48 Si noti che P is è osservabile da tutti ed è uguale per tutti gli individui. Viceversa, bp is èunprezzoatteso sul mercato a pronti che si terrà domani e in generale differisce da individuo a individuo in quanto si tratta di un aspettativa. Se si verifica lo stato 1; dalla condizione precedente si ricava P 11 = P 21 bp 21 Poiché il lato di sinistra, il prezzo relativo dei beni contingenti, è uguale per tutti gli individui, lo stesso deve valere per il lato di destra: tutti gli individui debbono avere le stesse aspettative. Inoltre, queste aspettative debbono riguardare i prezzi di equilibrio se si vuole che tutti gli individui siano in grado di effettuare gliacquistiprogrammatisulmercatoapronti(gliy is ). Questo tipo di aspettative viene denominato in letteratura aspettative razionali. bp 11 48

49 L ipotesi aspettative razionali è molto forte : presuppone che gli individui dispongano di informazioni, e della capacità di elaborare queste informazioni, tali da anticipare correttamente il funzionamento di un mercato che si terrà in futuro. Se sono soddisfatte le condizioni 1 e 2, allora S mercati per i titoli più N mercati aprontioffrono la stessa gamma di alternative di N S mercati contingenti. Importanza di questo risultato. Nel mondo reale il numero dei beni fisicamente distinti e quello degli stati del mondo concepibili hanno un ordine di grandezza assai elevato; di conseguenza, il numero dei mercati da attivare combinando mercati dei titoli e mercati a pronti è molto minore che nel caso dei mercati contingenti. 49

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