Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA 1 PROBLEMA 2 QUESTIONARIO

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1 Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA 1 Una funzione f (x è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in [, + [ e nella figura sono disegnati i grafici Γ e Λ di f (x e della sua derivata seconda f ''(x. La tangente a Γ nel suo punto di flesso, di coordinate (; 4, passa per (;, mentre le rette y = 8 e y = sono asintoti orizzontali per Γ e Λ, rispettivamente. 1 Si dimostri che la funzione f '(x, ovvero la derivata prima di f (x, ha un massimo e se ne determinino le coordinate. Sapendo che per ogni x del dominio è: f ''(x f '(x f (x, qual è un possibile andamento di f '(x? Si supponga che f (x costituisca, ovviamente in opportune unità di misura, il modello di crescita di un certo tipo di popolazione. Quali informazioni sulla sua evoluzione si possono dedurre dai grafici in figura e in particolare dal fatto che Γ presenta un asintoto orizzontale e un punto di flesso? a Se Γ è il grafico della funzione f ( x =, b x 1 + e si provi che a = 8 e b =. 4 Nell ipotesi del punto, si calcoli l area della regione di piano delimitata da Λ e dall asse x sull intervallo [, ]. PROBLEMA Sia f la funzione definita per tutti gli x positivi da f (x = x ln(x. 1. Si studi f e si tracci il suo grafico γ su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali e monometrici Oxy; accertato che γ presenta sia un punto di flesso che un punto di minimo se ne calcolino, con l aiuto di una calcolatrice, le ascisse arrotondate alla terza cifra decimale.. Sia P il punto in cui γ interseca l asse x. Si trovi l equazione della parabola, con asse parallelo all asse y, passante per l origine e tangente a γ in P.. Sia R la regione delimitata da γ e dall asse x sull intervallo aperto a sinistra ], 1]. Si calcoli l area di R, illustrando il ragionamento seguito, e la si esprima in mm avendo supposto l unità di misura lineare pari a 1 decimetro. 4. Si disegni la curva simmetrica di γ rispetto all asse y e se ne scriva altresì l equazione. Similmente si faccia per la curva simmetrica di γ rispetto alla retta y = 1. QUESTIONARIO 1. Un triangolo ha area e due lati che misurano e. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta.. Se la funzione f (x f (x ha derivata 5 in x = 1 e derivata 7 in x =, qual è la derivata di f (x f (4x in x = 1?. Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A (; 1 e B ( 6; 8. Si determini l equazione della retta passante per B e avente distanza massima da A. 4. Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito. 5. In un libro si legge: se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni di una certa percentuale (p.es.,8%, esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell 1,14%, mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè di,76%. È così? Si motivi esaurientemente la risposta.

2 6. Con le cifre da 1 a 7 è possibile formare 7! = 54 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio i numeri e corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 54 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la 56-esima posizione e quale quello che occupa la 1441-esima posizione? 7. In un gruppo di 1 persone il 6% ha occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due persone. Quale è la probabilità che nessuna di esse abbia occhi azzurri? ( sin( π e e 8. Si mostri, senza utilizzare il teorema di l Hôpital, che: lim = 1 x π 9. Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta. 1. Si stabilisca per quali valori k R l equazione x ( x = k ammette due soluzioni distinte appartenenti all intervallo [, ]. Posto k =, si approssimi con due cifre decimali la maggiore di tali soluzioni, applicando uno dei metodi iterativi studiati. Risoluzione Problema 1 1 Essendo la funzione derivabile fino alla derivata seconda, dire che f '(x ha un massimo, vuol dire che x : f ''(x =, e h > : f ''(x = >, x (x h, x e f ''(x <, x (x, x + h. Il grafico mostra che quanto detto si ha per x =. Per determinare l ordinata di tale massimo sfruttiamo l informazione sulla tangente di flesso che ha equazione y = mx perché passa per l origine, con m = 4/ =, perché passa per (; 4. Quindi la tangente è y = x. Ma il coefficiente angolare della tangente non è altri che f '(, quindi il punto cercato ha coordinate (;. Dal grafico di f ''(x, si ha che è f '(x è crescente in [, [ e decrescente in ], + [. Inoltre f ( x lim f '( x = lim =, quindi x = è asintoto orizzontale destro anche per f '(x. Un grafico x + x + x sin x è quindi del tipo seguente., che corrisponde alla 4x + 8 funzione f ( x =, definita per x, che si ottiene imponendo alla generica x + 16 ax + b f ( x =, che ha asintoto l asse x, le condizioni di passaggio per (; 4, il massimo nel x + c punto (; e il passaggio per (; ½. La funzione è sempre crescente, quindi la popolazione aumenta, ma ovviamente ciò non può succedere all infinito perché a un certo punto verranno a esaurirsi gli spazi a disposizione, nonché i beni alimentari. Quindi il punto di flesso ascendente fa sì che cambi la concavità della curva, in modo da tendere asintoticamente al valore di massima capienza. Basta imporre le condizioni date.

3 4 Dobbiamo calcolare f "( x dx = f '( x = f '( f '( = f '(. Calcoliamo f '(. Infine l area è 8e ( e + 1 Commento Problema interessante, anche perché non standard e cerca di far comprendere che la matematica serve soprattutto per i modelli, in particolare si apprezza l applicazione alla crescita di una popolazione. Problema 1. La funzione è definita, come già suggerisce il testo, in (, +. La funzione si annulla quando ln(x =, cioè x = 1. Allo stesso modo è positiva per x > 1, negativa per < x < 1. Studiamo il 1 ln( x x 1 comportamento agli estremi. lim x ln( x = lim = lim = lim =. Quindi non x x x x x x x lim x ln x = +, non abbiamo neanche asintoti orizzontali e, non lo vi sono asintoti verticali. ( x + facciamo vedere perché è ovvio dai precedenti calcoli, neanche obliqui. Studiamo la derivata prima. Che si annulla per ln(x + 1 =, cioè per x = e 1/,716. Passiamo alla derivata seconda.. Poiché in x =

4 e 1/ abbiamo un punto di minimo. Mentre la derivata seconda si annulla per 6ln(x + 5 =, cioè per x = e 5/6,44. Infine il grafico è il seguente.. Abbiamo già visto che P (1;. Quindi cerchiamo una parabola y = ax + bx, passante per P e con la tangente in P comune con la tangente a γ in P. Deve perciò essere. L equazione della parabola è y = x x.. Abbiamo a che fare con l integrale improprio x ( 1 ln x dx, che si integra per parti, tenendo conto che la funzione in (, 1 è negativa x x 1 x ln( x dx = lim x ln( x dx lim ln( x dx + + h = + h 4 = 4 x h h h h x h 1 h 1 = lim ln( h + lim ln( h + = + = + h 4 16 h h Ora 1/16 =,65 dm = 65 mm. 4. Per la prima simmetria non vi sono grossi problemi, basta sostituire x con ( x, e g(x = x ln( x, ovviamente definita per x <. Il grafico si ottiene anch esso facilmente.

5 La seconda simmetria si ottiene invece sostituendo y con ( y ottenendo h(x = x ln(x. Commento Problema standard, che a differenza del precedente, si limita ad accertare conoscenze; si nota la presenza di un integrale improprio che non ci risulta essere mai stato assegnato. Il quarto quesito affronta troppo timidamente l importante argomento delle trasformazioni geometriche. Troppa la differenza tra i due problemi che dovrebbero quindi essere valutati in modo del tutto diverso, ma ciò non è previsto. QUESTIONARIO 1. Possiamo dire che si ha = ½ sin(x, quindi l angolo compreso fra i lati dati è retto. Pertanto essi sono i cateti e il lato ignoto è l ipotenusa che misura = 1.. Abbiamo D[f (x f (4x] = f (x 4 f (4x. Noi sappiamo che D[f (x f (x] = f (x f (x e inoltre f (1 f ( = 5 (* e f ( f (4 = 7 (**. Vogliamo calcolare f (1 4 f (4. Moltiplichiamo la (** per e la sommiamo alla (*, ottenendo: f ( 4 f (4 + f (1 f ( = f (1 4 f (4, che è proprio ciò che volevamo calcolare, pertanto quanto richiesto è = 19.. Il fascio di rette per B ha equazione y = m (x La distanza di A da tale generica retta è 8m 7. Dobbiamo determinare il massimo di tale funzione. La derivata prima è 1+ m 7m m > 8 ( 1+ m, la funzione non è derivabile per m = 7/8, in cui vi è un punto angoloso e un 7m 8 7 m < 8 ( 1+ m minimo assoluto. Il massimo si ha invece per m = 8/7, e perciò la massima distanza vale Il volume si ottiene come la differenza fra il volume della piramide che abbiamo troncato e il volume della parte troncata. Cioè è 1/ (a h 1 b h. Dobbiamo sostituire le altezze delle h = h1 h due piramidi con l altezza del tronco. Sappiamo che: a b h h 1 =. Risolvendo il sistema con un a h1 = h a b metodo a piacere, troviamo due soluzioni, una sola delle quali accettabile:. b h = h a b 1 a b 1 a b 1 a b h = h = a + ab + b h a b a b a b Adesso sostituiamo: (

6 5. L affermazione non è corretta. Infatti se operiamo con i numeri proposti allora effettivamente all aumento lineare dello,8% corrisponde l aumento superficiale di 1,8 1,77, effettivamente è di circa lo,77% che è quasi il doppio dello,8%. Ciò non accade se x è grande, per esempio se fosse x = 5% =,5 allora l incremento superficiale sarebbe (1,5 1 = (,5 1 = 1,5 = 15% > 5% e quello volumico (1,5 1 (,84 1 =,84 = 84% > 5%. Ciò dipende dal fatto che nello sviluppo di (1+ x = x + x + 1, se x è piccolo allora x è trascurabile rispetto a x, che quindi rappresenta l aumento della superficie. Allo stesso modo nello sviluppo di (1+ x = x + x + x + 1, se x è piccolo allora x e x sono trascurabili rispetto a x. L affermazione così come è proposta è perciò errata. Il raddoppio e il triplo è relativo ai coefficienti di dilatazione, come si vede in termologia, proprio perché i coefficienti di dilatazione sono dell ordine di I 7! numeri si dividono in 7 gruppi da 6! = 7 numeri a seconda che inizino per 1,,, 7. All interno di ognuno di questi gruppi vi sono poi 5! = 1 gruppi che hanno uguali le prime due cifre, 4! = 4 che hanno uguali le prime cifre e così via. Poiché 56 = 54 4, il primo numero è il quintultimo, quindi fa parte dei numeri che con 76541, che è l ultimo, hanno uguali le prime 4 cifre. Le ultime cifre sono permutazioni di 1, e in ordine di grandezza sono le seconde, cioè sono 1. Quindi il numero è Poiché 1441 = 7 + 1, vuol dire che è il primo numero che comincia per, cioè il più piccolo numero che ha il come prima cifra, quindi Due persone da 1 si possono scegliere in = = 45 diversi modi. 4 dei 1 non hanno gli 4 4 occhi azzurri, due di questi si scelgono in = = 6 diversi modi. Quindi la probabilità cercata è 6/45 = /15 1%. sin( x sin( π sin( x π e e e 1 8. Possiamo scrivere lim = lim, possiamo usare i limiti notevoli x π x π f ( x e 1 sin f ( x lim = lim = 1 se lim f ( x =. Perciò scriviamo: f x f x ( ( π ( π ( ( π sin x e 1 sin x lim = 1. sin x x π 9. La questione riguarda la cardinalità degli insiemi infiniti. Il secondo procedimento diagonale di Cantor mostra che i reali hanno cardinalità superiore ai razionali. D altro canto i reali sono unione dei razionali e degli irrazionali. Se gli irrazionali fossero equipotenti ai razionali, anche la loro unione, cioè i reali lo sarebbero. Pertanto gli irrazionali hanno la stessa cardinalità dei reali, quindi Luisa ha ragione. 1. Studiamo la cubica f(x = x ( x, ottenendo il grafico seguente Una generica retta di equazione y = k, incontra il grafico esattamente due volte in [; ], ciò accade per i valori di k compresi tra il minimo e il massimo,

7 cioè per < k < 4. Se k = quindi ci sono queste due soluzioni. Come metodo iterativo possiamo usare quello delle tangenti in cui f ( xn x = n 1 x + n f ' x, con f(x = x ( x. Il grafico dice che le soluzioni stanno in [1; ]. ( n Partendo da x = 1, troviamo la soluzione minore, con il processo iterativo seguente: [1; 1,; 1,47; 1,47], quindi l approssimazione richiesta è 1,4. Partendo da x = troviamo quella maggiore: [;,666;,548;,5;,5]. Commento Quesiti per lo più standard, che potevano essere migliorati senza grosse difficoltà. Non era necessario che il triangolo del quesito 1 fosse rettangolo, ciò conferma ancor più negli studenti già portati a generalizzare in modo errato, che gli unici triangoli interessanti sono quelli retti. Allo stesso modo nel quesito 6 potevano scegliersi altri numeri, che facessero comprendere se lo studente capisce come avviene la suddivisione dei 7! Numeri, mentre in questo modo si tratta solo di andare a ritroso per il 56 e considerare il primo dei numeri che inizia per. Nel quesito 7 appare ridicolo parlare del 6% di 1 persone. Il quesito con questi numeri e questa impostazione è eccessivamente banale. In effetti solo il quesito appare interessante e richiede logica e reale comprensione degli argomenti svolti. Valutazione complessiva sufficiente.