esame di stato 2013 seconda prova scritta per i licei scientifici a indirizzo sperimentale (pni)

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1 Archimede 4 esame di stato seconda prova scritta per i licei scientifici a indirizzo sperimentale (pni) Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Una funzione f() è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in [, [ e nella figura sono disegnati i grafici G e L di f() e della sua derivata seconda f"(). La tangente a G nel suo punto di flesso, di coordinate (; 4), passa per (; ), mentre le rette y = 8 e y = sono asintoti orizzontali per G e L, rispettivamente.. Si dimostri che la funzione f'(), ovvero la derivata prima di f (), ha un massimo e se ne determinino le coordinate. Sapendo che per ogni del dominio è: f"() f'() f(), qual è un possibile andamento di f'()?. Si supponga che f () costituisca, ovviamente in opportune unità di misura, il modello di crescita di un certo tipo di popolazione. Quali informazioni sulla sua evoluzione si possono dedurre dai grafici in figura e in particolare dal fatto che G presenta un asintoto orizzontale e un punto di flesso?. Se G è il grafico della funzione a f ( ) =, si provi che a = 8 e b e b =. 4. Nell ipotesi del punto ), si calcoli l area della regione di piano delimitata da L e dall asse delle sull intervallo [, ]. y 8 4 G L

2 4 Archimede PROBLEMA ARTICOLO Sia f la funzione definita per tutti gli positivi da f () = ln.. Si studi f e si tracci il suo grafico g su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali e monometrici Oy; accertato che g presenta sia un punto di flesso che un punto di minimo se ne calcolino, con l aiuto di una calcolatrice, le ascisse arrotondate alla terza cifra decimale.. Sia P il punto in cui g interseca l asse. Si trovi l equazione della parabola, con asse parallelo all asse y, passante per l origine e tangente a g in P.. Sia R la regione delimitata da g e dall asse sull intervallo aperto a sinistra ], ]. Si calcoli l area di R, illustrando il ragionamento seguito, e la si esprima in mm avendo supposto l unità di misura lineare pari a decimetro. 4. Si disegni la curva simmetrica di g rispetto all asse y e se ne scriva altresì l equazione. Similmente si faccia per la curva simmetrica di g rispetto alla retta y =. Questionario. Un triangolo ha area e due lati che misurano e. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta.. Se la funzione f () f () ha derivata 5 in = e derivata 7 in =, qual è la derivata di f () f (4) in =?. Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A(; ) e B(; 8). Si determini l equazione della retta passante per B e avente distanza massima da A. 4. Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b, e h, illustrando il ragionamento seguito. 5. In un libro si legge: «se per la dilatazione corrispondente ad un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (p.es.,8%), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell',4%), mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè di,7%)». È così? Si motivi esaurientemente la risposta.. Con le cifre da a 7 è possibile formare 7! = 54 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio i numeri 457 e 547 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 54 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la 5-esima posizione e quale quello che occupa la 44-esima posizione? 7. In un gruppo di persone il % ha occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due persone. Quale è la probabilità che nessuna di esse abbia occhi azzurri?

3 Archimede 4 8. Si dimostri, senza utilizzare il teorema di l Hôpital, che: e lim π sin e π sin π =. 9. Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanto gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta.. Si stabilisca per quali valori k R l equazione ( ) = k ammette due soluzioni distinte appartenenti all intervallo [; ]. Posto k =, si approssimi con due cifre decimali la maggiore di tali soluzioni, applicando uno dei metodi iterativi studiati. Durata massima della prova: ore. È consentito l uso della calcolatrice non programmabile. È consentito l uso del dizionario bilingue (italiano-lingua del paese di provenienza) per i candidati di madrelingua non italiana. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. risoluzione del problema. La funzione f'() è, per ipotesi, continua e derivabile; f'() può avere un massimo o un minimo in un punto > solo se la sua derivata si annulla in : pertanto si deve annullare la derivata seconda di f(). Dal grafico deduciamo che l unico punto in cui f"() si annulla è =. Analizziamo il se gno di f"() in un intorno di = : dal grafico deduciamo che f"() > per < < e che f"() < per > : la derivata prima è crescente in < < e decrescente in >. Il punto = è quindi un punto di massimo. Per calcolarne le coordinate, osserviamo che f'() è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione f() nel punto di ascissa, ovvero è il coefficiente angolare della tangente inflessionale. Dai dati forniti, sappiamo che tale 4 tangente passa per (; ), pertanto il suo coefficiente angolare è m = =. Concludiamo che le coordinate del massimo di f'() sono (; ). Per tracciare un possibile andamento di f'(), osserviamo che la funzione f() è sempre crescente, quindi f'() è sempre positiva. Inoltre, per quanto già osservato, f'() è crescente per < < e decrescente per >.

4 4 Archimede Poiché la funzione f() ha un asintoto orizzonte a, il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione data tende a zero, cioè lim f '( ) =, ovvero f'() ammette l asintoto orizzontale y = per. Infine, dal grafico di f"() deduciamo che tale funzione è crescente per un breve tratto, poi decrescente e infine ancora crescente. Pertanto f'() dovrà avere la concavità rivolta inizialmente verso l alto, poi verso il basso e infine ancora verso l alto. In figura è illustrato un possibile andamento di f'(), dove abbiamo tenuto conto dell ipotesi iniziale f"() f'() f(). ARTICOLO 8 y Figura I grafici delle funzioni f (), f' (), f" (). Poiché la funzione f() ha derivata prima positiva, la popolazione è sempre crescente. Inizialmente il tasso di crescita è piuttosto elevato ed esso aumenta fino a quando non incontriamo, in =, il punto di flesso. Dal punto = la popolazione continua comunque ad aumentare, ma a un tasso di crescita via via inferiore poiché, sebbene la derivata prima della funzione sia positiva, essa tende a zero. La presenza dell asintoto orizzontale per la funzione f() suggerisce che la popolazione tende a raggiungere l equilibrio in prossimità di un valore fisso (in questo caso 8, in opportune unità di misura). a. Sfruttiamo la presenza dell asintoto orizzontale: lim f ( ) = lim = a = 8, b e da cui ricaviamo che a = 8. Imponendo poi il passaggio per il punto (; 4), 8 abbiamo = 4 da cui e b =, e b =, b = ovvero b = e b come richiesto. 4. L area cercata è A = f "( ) d = [ f '( ) ] dove nell ultima uguaglianza abbiamo applicato il teorema fondamentale del calcolo integrale. Poiché 8 8e f ( ) = si ha f '( ) = e ( e ).

5 Archimede 4 Risulta pertanto A f '( ) = [ ] = 8e ( e ) 8e =. e ( ) risoluzione del problema. Dobbiamo tracciare il grafico g della funzione f () = ln. La funzione è definita per >, pertanto il suo dominio è D f = ], [. Cerchiamo eventuali intersezioni con l asse delle ascisse. y = y = y = ln ln = y = ln = y = = Abbiamo quindi un unico punto di intersezione in P(; ). Studiamo il segno. Poiché le condizioni di esistenza impongono >, si ha ln > se e solo se ln >, ovvero >. Pertanto la funzione è positiva per >, mentre è negativa per < <. Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio. Poiché lim ln =, la funzione non presenta asintoto orizzontale. La funzione non ammette nemmeno asintoto obliquo perché: Calcoliamo il lim ln lim ( ) f ln = lim = lim Mostriamo, in generale, che ln =. che si presenta nella forma indeterminata. α R si ha lim ln =. (.) Infatti, applicando il teorema di l Hôpital, si ottiene: α lim ln lim ln = = lim α α α α α = lim =. α Ne deduciamo che la funzione risulta prolungabile per continuità in. Calcoliamo la derivata prima: f '( ) = ln = ( ln ). quanto riguarda il suo segno, abbiamo: Per 4

6 4 f '( ) > ( ln ) > ln > Archimede > e. ARTICOLO La derivata prima risulta pertanto positiva per > e e negativa per < < e : la funzione è decrescente in < < e, crescente in > e e ha un minimo (assoluto) in = e, 77. Infine f e e e ln = = e, =, per cui le coordinate del minimo sono e ;. e Calcoliamo il limite della derivata prima per. Esso si presenta sotto forma indeterminata. Tenendo conto dell osservazione fatta in (.), si ricava facilmente che la tangente alla curva, per, tende a coincidere con l asse. La derivata seconda è f "( ) = ( ln ) = ( 5 ln ). Si ha quindi: f "( ) > ( 5 ln ) > 5 ln > > e 5 dove abbiamo tenuto conto delle condizioni di esistenza. La derivata seconda è positiva per > e 5 mentre è negativa in < < e : ne deduciamo che la 5 concavità è rivolta verso il basso per < < e, verso l alto per > e 5. La 5 funzione presenta un flesso in = e, 45. Si ha f 5 e 5 5 e e ln = = e =, 8. Il punto di flesso ha quindi coordinate F e 5 ; e. 5,,,4,,8, Figura Grafico della funzione y = ln 5

7 Archimede 4. La generica parabola con asse parallelo all asse delle ordinate ha equazione y = g() = a b c. Imponendo il passaggio per l origine e per il punto P, si trova c = e a b c =, da cui b = a. Parabola e curva risultano tangenti in P se le loro rette tangenti in P hanno lo stesso coefficiente angolare. Calcoliamo la derivata prima della funzione e della parabola in = : si ha f'() = e g'() = a b. Pertanto a b =, da cui a = e b =. La parabola cercata ha dunque equazione y =.. L area della regione R è data dall integrale AR = ln d. Osserviamo che la funzione non è definita nell origine; di conseguenza l'integrale è un integrale improprio che dovrà essere calcolato con un opportuno limite. Per determinare l integrale indefinito usiamo il metodo di integrazione per parti: 4 4 d d ln = ln = ln d = ln c. 4 Applichiamo il risultato trovato per calcolare l area: AR ln d lim ln d = = { } = ξ ξ 4 4 lim ln ξ 4 = lim ξ ξ ln ξ ξ = dm = 5 mm ξ = ove abbiamo ancora utilizzato quanto visto in (.). 4. Indichiamo con s y la simmetria rispetto all asse y. Le sue equazioni ' = sono:. Sostituendo (e scri- y' = y vendo, y invece di ', y') otteniamo y = ln (), che rappresenta l equazione cercata. Indichiamo con s y= la simmetria rispetto alla retta y =. Le sue ' = equazioni sono: y' = y. Sostituendo si trova y = ln da cui y = ln, che rappresenta l equazione cercata. Entrambi i grafici sono rappresentati in figura. Figura Le trasformate di y = ln

8 4 Archimede risposte al questionario ARTICOLO. Si veda il tema di ordinamento (quesito n. ).. Siano g() = f () f () e h() = f () f (4). Applicando la regola della derivazione delle funzioni composte abbiamo g'() = f'() f'() e h'() = f'() 4 f'(4). Dobbiamo pertanto calcolare il valore di h'() = f'() 4 f'(4). Dai valori forniti dal quesito otteniamo: g'( ) = f '( ) f '( ) = 5 g'( ) = f '( ) f '( 4) = 7 Sostituendo nella prima equazione il valore di f'() ricavato dalla seconda equazione, otteniamo f'() [7 f'(4)] = 5 ovvero f'() 4 4 f'(4) = 5 da cui f'() 4 f'(4) = 9.. Si veda il tema di ordinamento (quesito n. ). 4. Per un altra dimostrazione dello stesso risultato si veda il quesito y n. 4 del tema di ordinamento. Poniamo la piramide a cui appartiene a il tronco in un opportuno sistema di riferimento cartesiano, A() con il vertice coincidente con b l origine e l altezza sull asse delle ascisse (figura 4); se k è la distanza della base minore dall origine, l altezza è lunga k h. Per determinare il volume del tronco di piramide, lo sezioniamo con piani ortogonali all asse e poi sommiamo tutte le «fette» k k h mediante un integrazione. Figura 4 Volume del tronco di piramide Dobbiamo calcolare gli estremi di integrazione e l area A() del generico quadrato sezione a distanza dal vertice. Come è noto vale la proporzione b k : b = (k h) : a da cui otteniamo k = a b h e k h = a a b h. Detto l il lato del quadrato a distanza dal vertice, dalla proporzione k : b = : l segue b l k a b = = h, dove nell ultima uguaglianza abbiamo sostituito a k il ( a b) valore trovato. Si ha pertanto A( ) =. Il volume richiesto è dunque: h 7

9 Archimede 4 a a b h a a b h ( a b) ( a b) V = d = b h h = b a b h a b h h ( a b) = ( a b ) = h ( a ab b ). ( a b) h 5. Senza perdere di generalità, consideriamo un parallelepipedo di dimensioni a, b, c. Il volume e l area della superficie iniziali sono V = abc e S = (ab ac bc). Sia p la percentuale di incremento lineare. A seguito della dilatazione, le dimensioni diventano a' = a( p), b' = b( p), c' = c( p). Calcoliamo nuovamente volume e superficie: V' = a'b'c' = abc ( p) = V ( p) = V ( p p p ) S' = (a'b' a'c' b'c') = (ab ac bc)( p) = S ( p p ). Se l incremento percentuale è «piccolo», possiamo trascurare i termini di secondo e terzo grado, ottenendo V' V ( p) e S' S ( p) da cui V V V ' V S S S ' = p e = p come richiesto. La risposta al que- V S S sito è pertanto affermativa purché p sia «piccolo».. Per rispondere alla prima domanda poniamo in ordine decrescente gli ultimi cinque numeri che si ottengono con una permutazione di {,,, 4, 5,, 7}. Essi sono 754, 754, 754, 754, 754. Pertanto il numero in posizione 5 è 754. Per rispondere alla seconda domanda disponiamo in ordine crescente i numeri formati dalle cifre date. I numeri che hanno come prima cifra si ottengono con una permutazione delle rimanenti sei cifre, ovvero di {,, 4, 5,, 7}; essi sono pertanto! = 7. Ponendo come prima cifra e permutando {,, 4, 5,, 7}, abbiamo ulteriori! = 7 numeri. Il numero di posizione 44 è quindi il primo numero che ha come prima cifra il, ovvero Il problema è formalmente simile all estrazione da un urna senza reinserimento. Indichiamo con E ed E i due eventi: E = { la prima persona estratta non ha gli occhi azzurri} E = { la seconda persona estratta non ha gli occhi azzurri} Dobbiamo pertanto calcolare la probabilità dell evento composto E = E E = {entrambe le persone estratte non hanno gli occhi azzurri}. Per il teorema del prodotto per eventi dipendenti, si ha p(e) = p(e E ) = = p(e ) p(e E ). Poiché 8

10 4 4 4 p( E ) = e p( E E ) =, abbiamo p( E) = = Archimede ARTICOLO In alternativa, possiamo applicare la definizione classica di probabilità: p = numero dei casi favorevoli numero dei casi possibili. I casi possibili sono rappresentati dalle coppie (non ordinate) che si possono formare con oggetti; si tratta quindi delle combinazioni di oggetti presi a a : C =, =! = 45.! 8! I casi favorevoli sono rappresentati dalle coppie che si possono formare con 4 4! 4 oggetti, cioè dalle combinazioni di 4 oggetti a a : C 4 =., = =!! Pertanto la probabilità cercata vale p = = Il limite si presenta sotto forma indeterminata. Il metodo più semplice consiste nell osservare che il limite proposto è il limite del rapporto incrementale della funzione, continua e derivabile, f () = e sin calcolato in = p. Esso corrisponde pertanto al valore assunto dalla derivata in = p. Si ha f'() = e sin cos da cui f'(p) = e sinp cos p = e () =, che è il valore del limite richiesto. In alternativa possiamo operare la sostituzione t = p, tenendo presente che quando p abbiamo t. Si ritrova lo stesso risultato, tenendo conto dei limiti notevoli lim sin e lim = e =. 9. Il quesito proposto è non banale. Partiamo da alcune definizioni. Due insiemi si dicono equipotenti se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i due; in questo caso i due insiemi hanno la medesima cardinalità. Se un insieme è equipotente all insieme dei numeri naturali N, esso viene detto numerabile. Sappiamo (si veda «Archimede», n. -, pag. 4) che l insieme dei numeri naturali N e l insieme dei numeri razionali Q sono equipotenti; d altra parte, è noto che l insieme R è non numerabile (questi risultati sono dovuti a Cantor). Perciò ha ragione Luisa: infatti gli irrazionali costituiscono l insieme R Q e, ovviamente, R è l unione di Q e di RQ. Se quest ultimo insieme fosse numerabile, R risulterebbe a sua volta numerabile come unione di due insiemi numerabili. In conclusione, l insieme degli irrazionali non è numerabile e quindi ha cardinalità maggiore dell insieme dei razionali. 9

11 Archimede 4. Consideriamo la funzione f () = ( ): si tratta di una cubica di cui si traccia facilmente il grafico. f () ha per dominio R, è continua e derivabile, interseca gli assi in (; ) e (; ). È positiva o nulla per < e negativa per >. La sua derivata prima è f'() =, per cui la funzione è decrescente per <, crescente per < < e decrescente per >. Presenta un minimo relativo in (; ) e un massimo relativo in (; 4). Intersechiamo ora la curva con la generica retta y = k. Dal grafico (figura 5) si deduce che per k < 4 otteniamo due soluzioni distinte nell intervallo [, ]. La retta y = interseca f () in due punti, di cui il maggiore ha ascissa compresa tra e. Per trovare un approssimazione di tale soluzione, consideriamo l equazione ( ) = e riscriviamola nel seguente modo: =. Posto g( ) =, osserviamo che la funzione g() è deri- vabile in [, ] e che g'( ) = < per ogni [, ]. Inoltre l immagine dell intervallo [, ] è contenuta in [, ]; pertanto la funzione ammette un punto unito. Applichiamo il metodo del punto unito con valore iniziale =. Otteniamo i seguenti valori approssimati: =, =,, =,578, =,548, 4 =,58, 5 =,54, =,59, 7 =,5. Essendo verificata la condizione di convergenza, sappiamo che la successione dei valori trovati converge all unico punto unito cercato. Poiché le prime cifre decimali non variano, possiamo ritenere che un approssimazione sia =,5. y 7,5 5,5,5 5 Figura 5 Il grafico di y = ( ) commento A nostro avviso la traccia proposta è risultata alla portata degli studenti dell indirizzo PNI. Viene confermata la tendenza a incentrare le richieste sui contenuti di 4

12 4 Archimede analisi affrontati dagli studenti nell ultimo anno di studi. Il primo problema è simile, come impostazione, a quello proposto nella prova PNI del. Viene richiesto di desumere, a partire dai grafici di una funzione e della sua derivata seconda, l andamento della derivata prima della funzione stessa. Il problema non è banale: richiede abilità di analisi dei dati forniti e la capacità di passare dal grafico di una funzione a quello delle sue derivate prima e seconda. Molto interessante, a nostro avviso, la seconda richiesta: la funzione fornita viene utilizzata per modellizzare la crescita di un certo tipo di popolazione. Questo permette da un lato di mettere in campo competenze trasversali maturate dallo studente durante il suo corso di studi, dall altro fornisce un contesto reale di applicazione degli strumenti matematici acquisiti. Non presentano particolari difficoltà invece i rimanenti due punti: l ultima domanda è una semplice applicazione del teorema fondamentale del calcolo integrale. Piuttosto standard, e anche questo incentrato su contenuti di analisi, il secondo problema. Esso si articola in alcuni punti sostanzialmente indipendenti gli uni dagli altri, aspetto questo che dovrebbe aver agevolato anche gli studenti meno sicuri. Non particolarmente significativa, a nostro avviso, la richiesta di calcolare, con tre cifre significative, le ascisse del punto di flesso e del punto di minimo, vista la possibilità di usare la calcolatrice. Lascia qualche perplessità anche la richiesta, nel terzo punto, di un cambiamento di unità di misura, che sembra fine a se stessa. Più interessante la richiesta del calcolo dell area, in quanto si perviene a un integrale generalizzato. Come proposto nella soluzione del problema, è opportuno α stabilire un risultato più generale per i limiti del tipo lim ln, con a >, piuttosto che calcolare diverse volte lo stesso tipo di limite ricorrendo al teorema di De l Hôpital. Il problema, così come formulato, non presenta nel complesso particolari difficoltà, anche in considerazione della somiglianza della funzione con quella assegnata nel tema d esame PNI del 5. Per quanto riguarda i questi, i numeri,, 4 e 5 sono analoghi a quelli della prova di ordinamento. Il quesito è una semplice applicazione di un noto teorema di trigonometria e non presenta, di fatto, alcuna difficoltà. Una questione di geometria solida, il calcolo del volume del tronco di piramide retta a base quadrata, compare nel quesito 4; notiamo che lo stesso quesito, con una formulazione leggermente diversa, era stato assegnato nella prova di ordinamento del. I quesiti,, 8 e riguardano varie questioni di analisi. Il quesito è un problema di massimo che conviene tuttavia risolvere per via geometrica piuttosto che per via analitica. Il quesito 8 richiede il calcolo di un limite senza però poter applicare il teorema di De l Hôpital; il quesito risulta di facile risoluzione una volta riconosciuto il limite di un particolare rapporto incrementale. Più interessanti i rimanenti quesiti. Il calcolo combinatorio del quesito ci sembra in sintonia con le richieste dei giochi matematici, mentre il quesito 5 è una riformulazione della legge di dilatazione lineare e volumica dei solidi. Concludiamo con un osservazione sul quesito 9. Sebbene negli ultimi anni (si vedano i temi di maturità e ) siano comparsi in vario modo questioni ri- ARTICOLO 4

13 Archimede 4 guardanti la cardinalità di insiemi infiniti, ci sembra che la richiesta di quest anno sia stata eccessivamente complessa. Motivare adeguatamente il fatto che la cardinalità degli irrazionali è maggiore della cardinalità dei razionali non sembra alla portata di uno studente di quinta. Inoltre, nella formulazione del quesito si usa una terminologia poco adeguata alle delicate questioni riguardanti gli insiemi infiniti, che potrebbe essere risultata fuorviante. A riprova di questo fatto, molte delle soluzioni proposte nei vari siti internet sono ben lontane dal fornire una risposta esauriente. Mauro Dianin Liceo «Maria Ausiliatrice», Padova mauro.dianin@gmail.com 4