Esercizi svolti. Elettrotecnica

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1 sercizi svolti di lettrotecnica a cura del prof. incenzo Tucci PL

2 NDC NOT SUL MTODO P L SOLUZON DL SCZ... CCUT STTC... POL QULNT, MNPOLZON CCUTL, FOMUL D PTTO... sercizio n.... sercizio n.... sercizio n sercizio n sercizio n.... sercizio n sercizio n sercizio n sercizio n LNTÀ SOPPOSZON DL FFTT... 6 sercizio n sercizio n sercizio n sercizio n.... MTOD D SOLUZON... sercizio n.... sercizio n.... sercizio n sercizio n sercizio n sercizio n sercizio n.... sercizio n.... NTO QULNT... sercizio n.... sercizio n sercizio n sercizio n.... DOPP POL... sercizio n sercizio n.... sercizio n sercizio n.... 6

3 Nota sul metodo per la soluzione degli esercizi La soluzione degli esercizi è un momento della fase di apprendimento nel quale l allievo è chiamato ad utilizzare sia i metodi appresi durante lo specifico corso (ad esempio, quello di lettrotecnica) sia il bagaglio di nozioni acquisite negli studi precedenti. Sebbene la complessità dei problemi da risolvere possano variare molto (da corso a corso nell ambito degli studi e, successivamente, nella vita professionale) è importante acquisire una metodologia valida in generale che consenta di affrontarne la soluzione in modo efficace. n ogni caso, la soluzione di un problema si può ottenere adottando una procedura operativa che può essere sintetizzata nei seguenti punti: a) identificazione degli obiettivi; b) scelta del metodo; c) elaborazioni analitiche e numeriche; d) analisi e controllo dei risultati; nel caso i risultati ottenuti non risultino soddisfare principi elementari (ad esempio, leggi di Kirchhoff, conservazione dell energia, ecc.) occorre reiterare la procedura, adottando eventualmente un diverso metodo di soluzione; e) presentazione e discussione dei risultati. Nel caso dei problemi di lettrotecnica, il processo risulta, nella maggior parte dei casi, molto più agevole, in quanto alcuni punti della procedura generale sono già specificati nel quesito. d esempio, la grandezza da calcolare ed il metodo da adottare per effettuare il calcolo sono indicati nel testo dell esercizio. Pertanto, la procedura per la soluzione dei problemi può essere ristretta ai seguenti punti: ) scelta del metodo; ) elaborazioni analitiche e numeriche; ) presentazione e discussione dei risultati. La chiara identificazione di tali passi della procedura, oltre ad essere un utile strumento per lo studente impegnato nella soluzione del problema, consente inoltre una più agevole ed efficiente valutazione della bontà della soluzione. n particolare, nei problemi inerenti l analisi dei circuiti (la maggior parte dei problemi affrontati durante il corso di lettrotecnica e ) occorre: ) indicare sul grafico del circuito i riferimenti per i versi delle grandezze; ) esprimere le sole equazioni necessarie e sufficienti a risolvere il problema; ) scegliere il procedimento più semplice ed efficace; ) utilizzare fin dove possibile i nomi simbolici dei parametri circuitali e sostituire i valori numerici solo alla fine del procedimento o quando è indispensabile; ) presentare in maniera logica e coerente il procedimento e i calcoli; 6) verificare la congruenza numerica e dimensionale dei risultati ottenuti. Negli esempi che vengono proposti si cercherà di mettere in evidenza tali fasi.

4 CCUT STTC ipoli equivalenti, manipolazioni circuitali, formule dei partitori sercizio n. Si determini il valore della resistenza equivalente ab nei seguenti casi: a) interruttori S e S aperti (posizione ); b) interruttore S aperto (posizione ) e interruttore S chiuso (posizione ); c) interruttore S chiuso (posizione ) e interruttore S aperto (posizione ); d) interruttori S e S chiusi (posizione ). Ω; Ω; Ω; Ω Ω; 6Ω 7Ω, 8 8Ω Soluzione Caso a) Quando i due interruttori sono aperti la resistenza equivalente risulta data dalla serie delle resistenze: 8 ab i Ω i Caso b) Quando l interruttore S è aperto e S è chiuso le resistenze,, e si trovano in parallelo con un corto circuito. Si ha quindi: 8 ab i 6Ω i 6 Caso c) Quando l interruttore S è chiuso e S è aperto le resistenze,, 6 e 7 si trovano in parallelo con un corto circuito. Si ha quindi: ab i 8 Ω i Caso d) Quando entrambi gli interruttori sono chiusi, la valutazione della resistenza equivalente può essere semplificata facendo riferimento allo schema di figura. nel quale si sono considerate le serie tra le resistenze e, e e 6 e 7. Circuiti statici

5 Ω Ω 67 Ω 6 7 Si osservi ora che, per la presenza dei due corto circuiti, le resistenze precedentemente definite si trovano collegate tra i nodi c d ed e f: esse risultano pertanto in parallelo (figura.). ndicando con p la resistenza equivalente a tale parallelo: figura. p.ω 67 Pertanto con riferimento allo schema di figura., si ottiene: ab.ω p 8 figura. figura. sercizio n. Per il circuito in figura, sia per la condizione di interruttore S aperto (posizione ) che di interruttore chiuso (posizione ), si determini: a) la resistenza vista dai morsetti -; b) la corrente e la tensione quando la tensione ai morsetti - è pari a. Circuiti statici

6 Ω ; Ω; Ω; Ω; Ω; 67Ω SOLUZON Notiamo innanzitutto che, sia quando l interruttore è aperto che quando è chiuso, le resistenze 6 e 7 risultano corto circuitate. sse, pertanto non intervengono né nella espressione di S né in quella di S. Calcolo S, S, S Quando l interruttore S è aperto il circuito da esaminare può essere più convenientemente rappresentato come in fig. in cui si osserva che tra e è presente il parallelo tra con una resistenza data dalla serie tra ed il parallelo tra e (). Pertanto, si ha: S ( ) ( ) Ω ( ) ( ) figura. La corrente S è la corrente che interessa la serie, di figura.. ssa si ottiene a partire dalla corrente totale, applicando due volte la formula del partitore di corrente. ( ) ( ) S SO La tensione S è la tensione ai capi del parallelo tra e la serie, : ( ) SO 8 Calcolo S, S, S Quando l interruttore S è chiuso il parallelo tra e () è cortocircuitato. l circuito si riduce pertanto al parallelo tra e. Circuiti statici 6

7 Pertanto si ha: S Ω La corrente S è la corrente che interessa la resistenza. S La tensione S è la tensione ai capi di un corto circuito e pertanto risulta nulla: S sercizio n. Utilizzando i possibili collegamenti tra i resistori si determinino i corrispondenti valori di resistenza ottenibili. SOLUZON Osserviamo innanzitutto che i collegamenti che coinvolgono i nodi e C con gli altri due rami risultano equivalenti a causa dell identico valore della resistenza (). collegamenti possibili risultano pertanto - (coincidente ai fini dei valori possibili di resistenza con -C), -D; -C e -D (coincidente ai fini dei valori possibili di resistenza con C-D). n figura. sono mostrati i collegamenti che coinvolgono il nodo. Per tali casi i possibili valori di resistenza ottenibili sono (si omettono per semplicità i valori di resistenza tra coppie di morsetti per i quali il collegamento effettuato non introduce modifiche rispetto alla struttura originaria): figura. Circuiti statici 7

8 (ovvero con C) C 8 D D D C n figura. sono mostrati i collegamenti che coinvolgono il nodo (ovvero C); per tali configurazioni si avrà: C D C CD D (ovvero con C) C CD figura. sercizio n. Per i due circuiti in figura si determinino le caratteristiche dei bipoli equivalenti viste ai morsetti - e le si disegnino sul piano -. SOLUZON Poiché i singoli bipoli sono normali, ovvero esibiscono una caratteristica rappresentabile sul piano - tramite una retta, in generale non passante per l origine, la caratteristica del bipolo equivalente sarà anch essa di tipo rettilineo. l metodo più semplice per individuarla è quella di valutarla in due punti notevoli, rispettivamente per e. Per il bipolo contenente il generatore di tensione la condizione si ha collegando e tramite un corto circuito (figura.): Circuiti statici 8

9 Si ottiene: ; figura. l secondo punto notevole si ottiene quando ; in tal caso la tensione si ottiene applicando la formula del partitore di tensione e valutando la tensione ai capi di. ; 8 L equazione che descrive la caratteristica del bipolo sarà pertanto: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) Si osservi che: a) affinché la corrente risulti positiva con il riferimento scelto occorre che la tensione ai morsetti - sia maggiore di 8; b) la pendenza della retta è data dal valore della resistenza equivalente vista dai morsetti - quando il generatore di tensione sia stato spento; tale risultato trova riscontro nell ambito di un teorema generale, che sarà illustrato nel seguito, che va sotto il nome di teorema di Thèvenin (o del generatore equivalente di tensione). Per il secondo circuito risulta: ; J. ; J. L equazione che descrive la caratteristica del bipolo sarà pertanto: J J J. J Si osservi che la pendenza della retta è data dal valore della resistenza equivalente vista dai morsetti - quando il generatore di corrente sia stato spento (cioè al suo posto vi sia un circuito aperto). Tale risultato trova riscontro nell ambito di un teorema generale, illustrato nel seguito, che va sotto il nome di teorema di Norton (o del generatore equivalente di corrente). Circuiti statici 9

10 sercizio n. Per il circuito in figura si determini il valore della tensione ai morsetti del generatore tale che la corrente D nel resistore sia pari a m. kω; Ω; Ω; Ω SOLUZON L esercizio fornisce un esempio di metodo di soluzione a ritroso nel quale si parte dal valore della grandezza di uscita e, applicando opportunamente le leggi dei circuiti, si valutano le diverse grandezze che servono per ricavare l incognita. Naturalmente è ancora possibile una soluzione attraverso il modello fondamentale del circuito (LKCLKTcaratteristiche), ma essa risulta senz altro più onerosa dal punto di vista del calcolo. nfatti, si può scrivere - - D C ( D C D ) C che rappresenta il sistema fondamentale del circuito ( equazioni, incognite) in cui la corrente D nella è un termine noto mentre non lo è la tensione del generatore. dottando, invece, l approccio della soluzione a ritroso, nota la corrente D nella, è possibile applicare la LKC alla superficie gaussiana Σ rappresentata in figura.. Σ figura. Si ottiene così la corrente nel generatore di tensione: D D m Circuiti statici

11 Osserviamo ora che la resistenza si trova in parallelo con la serie tra e ; è quindi possibile applicare a tale parallelo la formula del partitore di corrente per ricavare la corrente in. 7 D m 7 Nota la corrente in si può applicare la LKT alla maglia D per ottenere il valore richiesto: ( ) () D La soluzione di questo esercizio consente di mettere in evidenza un risultato generale (proprietà di non amplificazione delle tensioni e delle correnti) valido per circuiti costituiti da soli resistori (lineari e non lineari) e da un solo generatore (di tensione o corrente). n tali classi di circuiti le correnti e le tensioni sui resistori non possono essere mai maggiori (al più possono essere uguali) della corrente e della tensione sul generatore. sercizio n. 6 Per il circuito a scala (in inglese, ladder ) mostrato in figura si determini la corrente nel generatore di tensione e quella in ognuno dei resistori di valore. SOLUZON Per risolvere l esercizio conviene ridurre la complessità topologica giungendo ad un circuito ad una sola maglia nella quale sia immediato calcolare la corrente richiesta. n particolare, partendo dalla estrema destra del circuito si osserva che le due resistenze di valore risultano in serie. Si ottiene così una resistenza equivalente di valore pari a che risulta essere in parallelo con una delle resistenze trasversali di valore. La resistenza equivalente a questo parallelo, di valore pari a sarà a sua volta in serie con una resistenza longitudinale di valore ottenendo ancora una volta una resistenza equivalente di valore. l procedimento a questo punto si ripete fino ad arrivare alla resistenza in serie al generatore che, quindi vedrà come resistenza equivalente totale una di valore. n sintesi, ogni cella della scala equivale ad una resistenza di valore come mostrato in figura.. Pertanto la corrente totale erogata dal generatore risulta pari a Circuiti statici

12 figura 6. Per calcolare la corrente in ogni resistore di valore occorre applicare la regola del partitore di corrente in modo iterativo ai nodi C, e osservando che, sulla base delle considerazioni precedenti, la corrente si ripartisce in parti uguali. Pertanto la corrente nel resistore di valore più a sinistra (quello tra i nodi C e D) risulterà pari a., nel successivo (quello tra i nodi e F). e nell ultimo.. sercizio n. 7 n figura è mostrato un chip di resistenze nella forma detta dual-in-line, largamente adoperato nella realizzazione di circuiti elettronici. ffettuando gli opportuni collegamenti tra i diversi morsetti, realizzare una rete a scala ( ladder ) del tipo precedentemente illustrato. Quante celle elementari si possono ottenere con un solo chip? SOLUZON n figura 7.a a è mostrata un cella elementare della rete a scala in cui sono presenti un resistore di valore pari a e uno di valore. Quindi per realizzare ogni cella elementare occorrono resistori del chip di cui due sono collegati in serie. Si potranno quindi ottenere al più due celle complete; una possibile scelta dei collegamenti esterni tra i piedini del chip è mostrata in figura 7.b. due resistori liberi possono essere utilizzati per terminare il circuito, come mostrato nello schema circuitale dell esercizio n. 6. figura 7.a figura 7.b Circuiti statici

13 sercizio n. 8 Nel circuito in figura i due interruttori S e S possono trovarsi nella posizione aperta () o chiusa (). Determinare il valore della tensione out e della corrente per ognuna delle quattro possibili combinazioni degli interruttori (,), (,), (,) e (,). Quale configurazione dà luogo al massimo valore di out e quale a quello minimo? possibile giustificare tale risultato? ; kω; 6kΩ; kω; kω SOLUZON Configurazione (,). ntrambi gli interruttori ( switch ) sono aperti. n tal caso la resistenza equivalente vista tra i morsetti -D sarà: (,) D (8.) La corrente risulterà pertanto pari a: mentre la tensione sarà data da: (,) (,) D m (,) out (,) D Configurazione (,). S aperto, S chiuso. n questo caso è in parallelo con un corto circuito. La resistenza equivalente vista tra i morsetti -D sarà: (,) La corrente risulterà pertanto pari a: mentre la tensione sarà data da: D (,) (,) D.m (,) out. (,) D Configurazione (,). S chiuso, S aperto. n questo caso e sono in parallelo. La resistenza equivalente vista tra i morsetti -D sarà: Circuiti statici

14 La corrente risulterà pertanto pari a: mentre la tensione sarà data da: (,) D (,) (,) D.67m (,) out (,) D Configurazione (,). S e S entrambi chiusi. n questo caso e sono in parallelo mentre è in corto circuito. La resistenza equivalente vista tra i morsetti -D sarà: (,) D La corrente risulterà pertanto pari a: mentre la tensione sarà data da: (,) (,) D.m (,) out. (,) D Dall esame dei quattro risultati si trovano i casi corrispondenti ai valori massimi e minimi delle due grandezze. Osserviamo che mentre per la corrente, che rappresenta una grandezza globale (dipendente, cioè, fissato il valore di, solo dalla resistenza equivalente vista dai morsetti del generatore), è possibile affermare che i valori massimo e minimo si otterranno per le configurazioni caratterizzate rispettivamente dal valore minimo e massimo della D (in particolare, la (,) e la (,)), non si può in generale affermare nulla per la tensione out in quanto dipendente da due parametri: la D e la resistenza D. Circuiti statici

15 sercizio n. 9 Per il circuito in figura calcolare le correnti,,. 8Ω; 6Ω; Ω; J ; J 9 SOLUZON La soluzione del circuito risulta certamente più agevole ridisegnando lo schema circuitale ed utilizzando l equivalenza tra bipoli. n particolare, ai due generatori ideali di corrente in parallelo può essere sostituito un unico generatore JJJ. Le diverse correnti si possono calcolare attraverso la formula del partitore di corrente. l circuito può essere ridisegnato come mostrato in figura 9.. figura 9. pplicando la regola del partitore di corrente è semplice a questo punto ricavare le correnti richieste. J J 9 6 Tali valori sono compatibili con le leggi di Kirchhoff ed i principi di non amplificazione delle correnti. Circuiti statici

16 Linearità e sovrapposizione degli effetti sercizio n. Per il circuito in figura si hanno le seguenti condizioni di funzionamento: a) con a, b si ha -.. Determinare il valore di quando a, b. Si ha, inoltre: b) con a, b. con a, b.. Si calcoli il valore di quando a b. SOLUZON L esercizio rappresenta un esempio nel quale il principio di sovrapposizione degli effetti consente di ricavare la soluzione senza che sia necessario calcolare tutte le grandezze di lato; si osserva, peraltro, che non è noto il valore dei singoli resistori. n generale, per ogni corrente k del circuito è possibile scrivere una relazione del tipo: k k a k b dove le costanti k e k, dimensionalmente omogenee con delle conduttanze, dipendono unicamente dalla topologia del circuito e dal valore delle resistenze. Per rispondere al quesito a) occorre determinare soluzione della seguente equazione: da cui si ricava: -.. [ S] Quando a e b il circuito ha un solo ingresso a e quindi l uscita risulta legata ad esso tramite una semplice relazione di proporzionalità:. Per rispondere al quesito b) occorre determinare e che sono soluzioni del seguente sistema di equazioni: Circuiti statici 6

17 la cui soluzione è:... Si ricava pertanto: a b.8. sercizio n. Per il circuito in figura, utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, si determini: a) la corrente ; b) la potenza generata dal generatore di tensione. Ω; Ω Ω; 66Ω J; J SOLUZON Per rispondere ai due quesiti si osservi che la corrente può essere valutata, una volta nota la corrente, scrivendo la LKC al nodo D. l problema può, dunque essere risolto calcolando la sola corrente attraverso il metodo della sovrapposizione. tal fine, la corrente può essere espressa come: () (J) (J) Per calcolare i tre contributi si fa riferimento ai tre circuiti mostrati in figura., dove, per semplicità di notazione, non viene riportata la dipendenza dal generatore. a) b) c) figura. Con riferimento alla figura. a) si ha: Circuiti statici 7

18 () ( ) 6 ( ) 6 Con riferimento alla figura.b) si osserva che, poiché il potenziale del nodo coincide con quello del nodo D, la resistenza 6 è in parallelo con. ndicando con a la resistenza equivalente alla serie tra la ed il parallelo tra e 6 si ha: 6 (J) a Ω (J) J a 6 Con riferimento alla figura.c) si osserva che la resistenza si trova in parallelo con la serie -. ndicata con b la resistenza equivalente il contributo dovuto a J può essere valutato utilizzando due volte la formula del partitore di corrente. a ( ) ( ) b Ω (J) J 6 6 b n definitiva: () (J) (J) La corrente si ottiene quindi applicando la LKC al nodo D: J La potenza generata dal generatore di tensione risulta: P g 96W Circuiti statici 8

19 sercizio n. Per il circuito in figura, utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, si determini la corrente e la potenza generata dal generatore pilotato. Ω; Ω rω J SOLUZON Per calcolare i contributi dovuti ai due generatori indipendenti si fa riferimento ai circuiti mostrati in figura., dove, per semplicità di notazione, non viene riportata la dipendenza delle correnti dal generatore. La corrente nel generatore pilotato viene calcolata per entrambi i circuiti applicando la LKC al nodo. a) b) figura. () (J) Con riferimento alla figura.a) dalla quale si nota che si ha: da cui La corrente risulta: r r r. Circuiti statici 9

20 Pertanto la corrente si ottiene come: Con riferimento alla figura.b) si nota che: ( ).7 inoltre: J r r( J ) Pertanto: La corrente risulta: rj.667 r e rj.67 r ( J ).8 n definitiva: () La potenza generata dal generatore pilotato risulta: (J).96 P g () (J) r( ).W sercizio n. Per il circuito in figura per il quale risulta noto il sistema delle correnti, si determini il nuovo valore di corrente in ogni lato dovuto ad un incremento del % della resistenza. ; ; J. Ω; Ω; Ω h m;. m.69 m; 6. m SOLUZON l quesito consente di mettere in evidenza un utile applicazione del principio di compensazione che, a sua volta, rappresenta una conseguenza del principio di sovrapposizione degli effetti. Le correnti che interessano il circuito, in seguito alla variazione d della resistenza (indicate con k, k,, ), possono essere ricavate sottraendo alle correnti note quelle (indicate con k, Circuiti statici

21 k,,,) che interessano il circuito, rappresentato in figura., in cui sono spenti i generatori indipendenti ed agisce il solo generatore di compensazione: comp d. 6. m figura. Nel circuito di figura. osserviamo che e -. noltre al nodo si ha: ' h' ' Scrivendo la LKT alla maglia esterna (CD), in cui a si sostituisce la espressione precedente, si ottiene: ( d ) ' ( )( h) ' comp Da tale relazione è possibile ricavare pertanto la corrente e, da questa, tutte le altre. Si avrà: ' '.9 m; ' '.7 m Note le correnti del circuito di compensazione, si ottengono quelle di effettivo interesse che competono al circuito in cui è variato il valore di : '' '' ' ' 98. m;. m; '' '' '.8 m; ' m titolo di verifica dei risultati, si suggerisce di effettuare il calcolo di tali correnti con un altro sistema di soluzione. Circuiti statici

22 Circuiti statici Metodi di soluzione sercizio n. Per il circuito in figura si determinino le correnti di lato con il metodo dei potenziali di nodo e delle correnti di maglia. SOLUZON Metodo dei potenziali di nodo Si esprimono le correnti nei singoli lati in funzione dei potenziali di nodo con Φ D. ) ( ; ); ( ); ( C C Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ (.) Le LKC ai nodi, e C risultano: nodo ) J ) ( J C Φ Φ Φ nodo ) ) ( Φ Φ Φ C nodo C) J ) ( J C Φ Φ Φ Ordinando, si giunge al sistema di equazioni in forma matriciale: Φ Φ Φ J J C isolvendo tale sistema si ottengono i potenziali dei nodi, e C: Φ.86; Φ.; Φ C.87. Noti i valori dei potenziali di nodo il sistema delle correnti si ricava dalle relazioni (.):.9; -.7; -7.; -.9. Ω; Ω Ω; Ω J; J

23 Metodo delle correnti di maglia Con riferimento alla figura. si esprimono le correnti nei lati in funzione delle correnti di maglia. * * * * * * * J J ; J J ; J J ; J (.) figura. Si osserva che per la scelta effettuata le correnti di maglia J * e J * coincidono con le correnti dei generatori J e J. Pertanto, la corrente incognita risulta solo la J *; è pertanto evidente che basterà scrivere la sola equazione alla maglia ad essa associata. * * * J J ) ( ) * ( J J J J da cui: * J J J ( ).9 Nota tale corrente, dalle relazioni (.) si ottengono i valori di tutte le altre correnti. sercizio n. Per il circuito in figura calcolare la corrente in ogni lato applicando il metodo dei potenziali nodali. Ω; Ω; r Ω 8Ω Ω SOLUZON Scegliendo il nodo D quale nodo di riferimento si ha: Circuiti statici

24 D L applicazione della LKC al nodo fornisce: noltre, il potenziale del nodo C risulta dato da: 8 C C La soluzione del sistema di equazioni scritto precedentemente è: C D ; ; ; ' ora possibile valutare le correnti di lato:.;.; C ;. C.; sercizio n. 6 Per il circuito in figura calcolare la corrente in ogni lato applicando il metodo dei potenziali nodali. r - Ω g S Ω; Ω Ω; 7Ω SOLUZON Per determinare i potenziali dei nodi,, C della rete occorre risolvere il seguente sistema di equazioni, derivante dalla imposizione della LKC a tali nodi, nelle incognite,, C. Circuiti statici

25 Circuiti statici ( ) C ) r ( C C D g g - r iordinando e sostituendo i valori numerici si ottiene: C - 7. C C D La cui soluzione è: D C ora possibile ricavare il valore di tutte le correnti di lato: 7 - C C. 7 6

26 sercizio n. 7 Per il circuito in figura calcolare la potenza generata dal generatore pilotato. SOLUZON Scegliendo un sistema di correnti di maglia con i riferimenti indicati in figura 6., è possibile scrivere il seguente sistema di equazioni: J J J figura 7. J J J J J J J 8 Osservando poi che J, il sistema precedente diventa: La cui soluzione è : J J J J J J J J ; J. J. La potenza erogata dal generatore pilotato vale dunque -8JJ. 9W P Circuiti statici 6

27 sercizio n. 8 Nel circuito in figura calcolare la corrente. Si utilizzi il principio di reciprocità. Ω Ω Ω Ω Ω SOLUZON L impiego del principio di reciprocità consente di semplificare notevolmente la soluzione in quanto, attraverso l impiego di tale metodo, non è necessario ricorrere ad un sistema di equazioni (quale ad esempio, il sistema fondamentale) né a manipolazioni circuitali. Si osserva, infatti, con riferimento ai due circuiti in figura 8., che per il principio di reciprocità si ha: ' e ' ' ' e Nel circuito di figura 8.b il calcolo della corrente e risulta più agevole in quanto si riconosce che e sono in parallelo, così come e, e tali paralleli sono in serie con. Facendo riferimento allo schema di figura 8., in cui si ottiene: '. 8 Si ricavano quindi le correnti e utilizzando la formula del partitore di corrente ai paralleli di resistenze prima indicati. Si ottiene: ' ' ; ' ' La corrente e risulta pertanto: e ' '. 97m ' Circuiti statici 7

28 figura 8.a figura 8.b titolo di verifica si può determinare la corrente utilizzando il metodo dei potenziali di nodo. Si esprimono le correnti nei singoli lati di figura 8. in funzione dei potenziali di nodo, con Φ D e Φ C e, successivamente, le LKC ai nodi e : Φ ; Φ ; Φ ; Φ ; ( Φ Φ ) nodo ) ( Φ Φ ) nodo ) Φ ( Φ ) figura 8. isolvendo tale sistema si ottengono i potenziali dei nodi e : Φ 6.67, Φ La corrente è data da: ( Φ Φ ).97m Tale corrente, in accordo con il principio di reciprocità risulta pari alla e precedentemente calcolata. Si osserva, inoltre, che la corrente e è contenuta nella sola equazione al nodo C: Circuiti statici 8

29 e Tale incognita può, pertanto, essere ricavata una volta noti i potenziali dei nodi e : Φ Φ e ( ) e Φ Φ ( ).879 figura 8. sercizio n. 9 Per il circuito in figura, utilizzando il metodo dei potenziali di nodo, si determini: a) il sistema delle correnti; b) la potenza generata dai generatori. ; ; Ω; Ω; 6Ω; 8Ω SOLUZON Quesito a) Per la presenza del generatore di tensione tra i nodi e C si possono esprimere le LKC al nodo ed al supernodo C di figura 9.. Si esprimono le correnti nei singoli lati in funzione dei potenziali di nodo con Φ D. ( Φ ( Φ Φ ; Φ C ); ( Φ C ) ( Φ Φ Φ ( Φ Φ ); ) ); (9.) Circuiti statici 9

30 Circuiti statici figura 9. Le LKC risultano: nodo ) supernodo C) Sostituendo le espressioni delle correnti ed ordinando si ha: ) ( ) ( ) ( Φ Φ Sostituendo i valori numerici e risolvendo si ottiene: Φ.; Φ.9; Φ C 8.9. Noti i valori dei potenziali di nodo il sistema delle correnti si ricava dalle relazioni (9.):.78.7;.;.66;.87.9 Quesito b) La potenza generata dai generatori risulta:.w P.6W P g g

31 Circuiti statici sercizio n. Per il circuito in figura, utilizzando il metodo delle correnti di maglia, si determini: a) il sistema delle correnti di lato; b) l energia generata dal generatore di corrente in minuto. SOLUZON Quesito a) l fine di ridurre l ordine del sistema di equazioni da risolvere si fa riferimento allo schema di figura. nel quale si è prefissato un percorso orientato per la corrente (nota) del generatore indipendente di corrente. Si possono quindi esprimere le correnti di lato in funzione di tale corrente e delle correnti di maglia J e J. J J ; J ; J ; J ; J (.) Le LKT agli anelli interessati dalle due correnti J e J risultano: r Sostituendo le espressioni delle correnti ed ordinando si ha: ) r ( J J ) ( r figura. ; rω; Ω; Ω Ω

32 La soluzione del sistema fornisce: J.8, J.9 Noti i valori delle correnti di maglia, il sistema delle correnti di lato si ricava dalle relazioni (.):.7;.8;.8;.9 -. Quesito b) L energia generata dal generatore di corrente in minuto risulta: Wg (, 6s ) 6 ( ) 6.7kJ sercizio n. Per il circuito in figura, utilizzando il metodo dei potenziali nodali, si determini: a) la potenza generata dai generatori indipendenti; b) la corrente cc quando i morsetti C-D sono collegati in corto circuito. ΡΩ Ω Ω Ω Ω h. r.ω J. o SOLUZON Quesito a) l circuito presenta n nodi. Sarebbero necessarie (n-) equazioni LKC., peraltro, immediato osservare la presenza di un generatore (bipolo controllato in corrente) tra i nodi e. Si può pertanto considerare il supernodo comprendente tali due nodi. Sarà, quindi, sufficiente scrivere LKC ai nodi C e D: h J dove ( φ φ φ ) ( r φ φ ) C b C C Circuiti statici

33 Si osservi che dalla LKC al nodo si ottiene: o J J.6 l sistema di equazioni nei potenziali nodali fornisce, pertanto: h φc ( φ φ ) ( r φ φ ) C ovvero, ordinando: C φ C J r φ h φc J Sostituendo i valori numerici, si ottiene: φ.9 ; φ.7. C Da tali valori si possono ricavare le grandezze necessarie per la determinazione delle potenze richieste: (.9.7 ).8 ; φ φ. ; o.6 da cui: Pg.8.W P J.9..8W gj J P go.6.w J 9 Quesito b) l circuito da considerare è riportato in fig.., nel quale non viene riportata la resistenza, in quanto cortocircuitata: tale condizione determina anche una tensione nulla erogata dal generatore pilotato r. n questo caso è sufficiente una sola LKC poiché i nodi C e D coincidono. n particolare al nodo C) si può scrivere: ' ' h J dove: ' ' ( φ ) ' ' φ J.6 Sostituendo i valori si ottiene: Circuiti statici

34 ' J h o φ CC J ' J.8 ' ( φ ). figura. Circuiti statici

35 eneratori equivalenti sercizio n. Per il circuito in figura, si determini: a) il generatore equivalente di tensione ai morsetti -; b) l energia assorbita dal resistore o in un intervallo pari a s; J ; ; Ω; Ω; Ω o 8Ω SOLUZON a) Calcolo generatore equivalente Per determinare il generatore equivalente di tensione ai morsetti - occorre valutare la resistenza eq e la tensione a vuoto. La resistenza equivalente si ottiene spegnendo i generatori presenti nel circuito. Con riferimento alla figura., essa risulta: eq 6Ω La tensione a vuoto si può valutare, utilizzando la sovrapposizione degli effetti, come somma dei contributi dovuti al generatore di corrente ed al generatore di tensione: figura. ' ' ' Quando agisce il solo generatore di corrente J (figura.), la tensione risulta quella ai capi della resistenza. Circuiti statici

36 Quando agisce il solo generatore di tensione (figura.), la tensione si può ottenere valutando la corrente erogata dal generatore, e, e quindi applicando la regola del partitore di corrente per determinare la corrente che interessa. figura. ' O J 9. n definitiva: figura. e. ( ) ( ) ' ' e 7. ( ) '' 6. ' b) Calcolo energia assorbita da o Per ottenere l energia assorbita dal resistore o in s occorre determinare la potenza assorbita. Con riferimento allo schema di figura., questa è data da: Circuiti statici 6

37 P o. W o ( ) 78 eq o figura. L energia sarà data da: s Wo Podt 7. 8J sercizio n. Per il circuito in figura, si determini: a) il generatore equivalente di tensione ai morsetti -; b) la potenza assorbita dal resistore o. J m; kω; Ω; r Ω; oω SOLUZON a) Calcolo generatore equivalente Per determinare il generatore equivalente di tensione ai morsetti - occorre valutare la tensione a vuoto e a resistenza eq. La tensione a vuoto può essere semplicemente determinata osservando che quando tra i morsetti e vi è un circuito aperto la corrente risulta nulla e, pertanto, risulta nulla anche la tensione ai morsetti del generatore pilotato. Pertanto le resistenze e saranno in parallelo e la tensione o risulta data da: J La eq può essere valutata come rapporto tra la tensione a vuoto prima calcolata e la corrente di corto circuito cc tra i morsetti e. Dal circuito in figura., nel quale il generatore reale di tensione è equivalente a quello reale di corrente è si ottiene: Circuiti statici 7

38 cc r J figura. Sostituendo l espressione di nella prima equazione si ottiene : J. cc.9 ( r ) n definitiva: eq o cc 8Ω b) Calcolo potenza assorbita da o Per ottenere la potenza assorbita dal resistore o si può fa riferimento al circuito di figura. costituito dal generatore di Thèvenin appena calcolato e dalla resistenza o. Si avrà: P o o o eq o 9.7W figura. Circuiti statici 8

39 sercizio n. Per il circuito in figura si determini il generatore equivalente di tensione ai morsetti -C al variare del valore di k nell intervallo - k. ; Ω; Ω SOLUZON Poiché siamo in presenza di un circuito contenente un generatore pilotato per valutare la resistenza equivalente si può procedere ricavando la tensione a vuoto e la corrente di corto circuito ai morsetti - C. La tensione a vuoto risulta data da: o Per determinare la corrente si può scrivere la LKC al nodo e la LKT alla maglia costituita dal generatore e dalle due resistenze e. k (.) icavando dalla prima delle (.): ( k ) (.) e sostituendo nella seconda si ottiene: ( k) (.) Pertanto, la tensione a vuoto risulta pari a: C o ( k) ( k) ( k) (.) Si osserva come, per k crescente, la tensione a vuoto decresca ed assuma valore pari a zero per k, qualunque sia il valore di. n tali condizioni infatti la corrente e quindi la tensione su risultano nulle, dovendo essere soddisfatta la prima delle (). Circuiti statici 9

40 Per effettuare il calcolo della corrente di corto circuito si fa riferimento al circuito di figura.. l calcolo della corrente ovvero della cc può essere effettuato utilizzando il metodo dei potenziali di nodo. Poniamo il nodo C a potenziale di riferimento e scriviamo la LKC al nodo. dove: ( Φ k ) Φ ; ; Φ (.) Sostituendo le precedenti espressioni nella (.) e risolvendo per Φ si ottiene: figura. La corrente cc risulta data da: Φ ( k ) ( k ) CC ( k ) ( k ) Pertanto la resistenza equivalente risulta: eq ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) (.6) ffettuando le opportune manipolazioni sulla (.6) si ottiene: eq Ω Si osservi che per k, posto eq / cc si ottiene una forma indeterminata /. Per procedere al calcolo della resistenza in tale caso si può procedere valutando la tensione ai morsetti C dovuta ad un generatore di corrente noto. Facendo riferimento allo schema di figura., nel quale è stato spento il generatore indipendente di tensione, la LKC al nodo fornisce: e quindi: k Circuiti statici

41 Pertanto: C Φ Φ ( ) e quindi la resistenza equivalente risulta: C eq ( ) Ω figura. sercizio n. Per il circuito in figura si determini il generatore equivalente di tensione ai morsetti C. ; k7; kω; kω; kω; Ω; kω SOLUZON Per determinare il generatore equivalente di tensione ai morsetti - occorre valutare la tensione a vuoto e a resistenza eq. La tensione a vuoto può essere valutata semplicemente utilizzando il metodo dei potenziali di nodo. nfatti, scrivendo le LKC ai nodi e e fissando a zero il potenziale del nodo C si ha: nodo ) ( ) Φ Φ nodo ) k ) Φ ( ) Φ La soluzione del precedente sistema fornisce: ( Φ.; Φ -9 Ne consegue che la tensione a vuoto è pari a: Ε Φ -9; Circuiti statici

42 Per il calcolo della corrente di corto circuito possiamo, ancora una volta, utilizzare il metodo dei potenziali di nodo; in questo caso si tratta di applicare la LKC al solo nodo in quanto, come si evince dallo schema di figura., il potenziale del nodo è noto e pari a zero. figura. nodo ) ( ) Φ e quindi: Φ ( ) 6 cc Φ k Φ ( k ) Φ. La resistenza equivalente risulta pertanto data da: eq cc.ω Circuiti statici

43 sercizio n. 6 Per il circuito in figura determinare: a) la potenza generata dal generatore pilotato; b) il generatore di Thèvenin ai capi della resistenza. k Ω Ω SOLUZON Poiché nel circuito esiste una sola maglia basta scrivere una sola LKT. questa va aggiunta la relazione che esprime il valore della tensione ai capi del generatore pilotato: kx x kx kx x kx ; kx ; m x k k.m La potenza generata dal generatore pilotato vale dunque: P g -k x 7mW. Per determinare il generatore equivalente di Thevenin occorre considerare che nel circuito è presente un generatore pilotato. Poiché in questi generatori la grandezza (tensione o corrente) fornita ai morsetti dipende dal valore di una grandezza in un latro ramo del circuito non risulta possibile in generale effettuare sostituzioni con corto-circuiti o circuiti aperti. Per determinare la resistenza equivalente in questi casi si potrà procedere ad esempio calcolando tale parametro come rapporto tra la tensione a vuoto e la corrente di corto circuito. alutiamo prima di tutto la tensione a vuoto facendo riferimento allo schema di figura 6.. x k k x x ; ; x k.; Circuiti statici

44 figura 6. Per valutare la corrente di corto circuito ai morsetti si può far riferimento allo schema di figura 6.: figura 6. x kx cc kx cc cc k x x k x k x x eq. Ω cc Circuiti statici

45 sercizio n. 7 Per il circuito in figura si determini il punto di lavoro del diodo la cui caratteristica è: D 6 D [exp( ) ] dove, T. T Si utilizzi una procedura grafica ad esempio con l ausilio del calcolatore ed un programma che consenta il tracciamento di grafici. SOLUZON l punto di lavoro può essere determinato attraverso una procedura grafica nella quale si riportano su un piano - le caratteristiche del bipolo equivalente alla Thèvenin ai morsetti del diodo e quella non lineare del diodo. l punto di lavoro sarà dato dalla intersezione delle caratteristiche. Nel seguito è presentata una procedura scritta utilizzando il software MTL che realizza tale metodo. % procedura MTL per la determinazione grafica del punto di lavoro di un diodo e-6; d.; ; eq; [-.:.:]; %corrente di saturazione inversa del diodo %tensione di attivazione termica del diodo %tensione a vuoto del bipolo alla Thèvenin %resistenza equivalente ai morsetti del diodo %crea il vettore contenente i valori della tensione %(var. indip.) D*[exp(/d)-]; %crea il vettore contenente i valori della corrente %del diodo (var. dip.) Th(/eq)*(-); %crea il vettore contenente i valori della tensione plot (,Th); hold on; plot (,D); %del bipolo alla Thèvenin %disegna la retta della caratteristica del bipolo %lineare %disegna la curva della caratteristica del diodo Nella figura 7. è mostrato il risultato di tale procedura. MTL consente una post-elaborazione del grafico con la possibilità, ad esempio, di effettuare zoom successivi per una più accurata valutazione del punto di lavoro. Nella figura è riportato il risultato di successive operazioni di zoom che consentono una più accurata valutazione dl punto di lavoro. Si ottiene:.686; 6. m. Una procedura di tipo numerico risulta senz altro più efficiente per la determinazione del punto di lavoro e più in generale per la soluzione di equazioni di tipo non lineare. Tra le diverse tecniche Circuiti statici

46 possibili si segnala il metodo di Newton-aphson. Si tratta di una procedura iterativa per la soluzione di equazioni di tipo non lineare f(x) e deriva dallo sviluppo in serie di Taylor di f(x) intorno ad un punto x : f ( x) f ( x ) f '( x )( x x ) ξ ( x) dove f rappresenta la derivata della f(x) e ξ(x) i termini di ordine superiore dello sviluppo. Trascurando tali termini e supponendo che x sia lo zero della funzione si ottiene: x x f ( x ) f '( x ) La procedura di ricerca della soluzione sarà esprimibile al passo n tramite la formula iterativa: x n x n f ( xn ) f '( x ) n Si parte quindi da una soluzione di tentativo x e si itera fin quando si ottiene (in senso approssimato) lo zero della funzione. Nel caso dell esercizio proposto, facendo sistema tra le equazioni del diodo e quella del bipolo alla Thevenin si ottiene l equazione non lineare da risolvere: f ( ) eq exp( ) T dove eq e sono rispettivamente la resistenza equivalente e la tensione del generatore alla Thèvenin. Nel seguito è presentata una semplice procedura che implementa il metodo. Utilizzando gli stessi valori dei parametri prima considerati si ottiene: zero della funzione:.6869 valore della funzione:. corrente nel diodo:.687 l numero di iterazioni effettuate partendo da una soluzione di tentativo v è pari a, mentre partendo da v è pari a. vedi anche Chua, Desoer e Kuh, Circuiti lineari e nonlineari, d. Jackson. La procedura viene interrotta quando il valore della funzione risulta inferiore ad un certo ε piccolo a piacere. Circuiti statici 6

47 figura 7. Circuiti statici 7

48 % Procedura per la determinazione del punto di lavoro di un diodo attraverso la soluzione di una equazione non lineare con il metodo di Newton-aphson input('inserire il valore della corrente inversa del diodo o '); T input('inserire il valore della tensione di attivazione termica del diodo T '); input('inserire il valore della tensione a vuoto del gen. di Thevenin o '); eq input('inserire il valore della resistenza equivalente '); vinput('inserire il valore iniziale della soluzione di tentativo '); vv; % valore iniziale della soluzione di % tentativo fv(eq*)*[exp(v/t)-]-; % calcola il valore della funzione da % studiare iter % conteggia le iterazioni necessarie while abs(f)>e-6 % fin quando la funzione risulta % maggiore di un eps assegnato % itera la formula di Newton_aphson df((eq*)/t)*exp(v/t); % calcola la derivata % nell'ascissa % corrente vv-f/df % determina la nuova ascissa % con la % formula di Newton_aphson end id *[exp(v/t)-] fvv(eq*)*[exp(v/t)-]-;% calcola il nuovo valore della % funzione ffv iteriter %calcola il valore della corrente nel %diodo % mostra i risultati fprintf('zero della funzione: %f\n valore della funzione: %f\n ',v,f); fprintf('corrente nel diodo: %f\n numero iterazioni: %f\n ',id,iter); Circuiti statici 8

49 sercizio n. 8 Per il circuito in figura si determini: a) il generatore equivalente di corrente ai capi della resistenza o; b) la potenza assorbita da tale resistenza. 6; J; Ω; Ω; oω rω; g.s SOLUZON Quesito a) Per determinare il generatore equivalente di tensione (corrente) ai capi della resistenza o occorre valutare la tensione a vuoto e la corrente di corto circuito cc. Si osservi che per il calcolo della tensione a vuoto, la corrente o risulta nulla e pertanto la tensione erogata dal generatore di pilotato di tensione è nulla. Si può pertanto far riferimento al circuito di figura 8.. La tensione a vuoto può essere valutata come: figura 8. J ( J g ) 7. g Per quanto riguarda il calcolo della corrente di corto circuito, si osserva che la tensione o è nulla e così risulta anche la corrente fornita dal generatore pilotato. Con riferimento al circuito di figura 8. si ha: rcc J cc J cc. r figura 8. Circuiti statici 9

50 La resistenza equivalente del generatore di tensione risulta: eq cc 7.Ω Quesito b) La potenza assorbita risulta data da: P o a o o o ( o eq ).7W dove con si è indicata la tensione ai capi della resistenza o. Circuiti statici

51 Doppi bipoli sercizio n. 9 Determinare i parametri della rete a stella di un doppio bipolo ai cui morsetti - è applicata una tensione 8.7 e per il quale si ha che: a. con i morsetti - in corto circuito:. e -.; b. con i morsetti - aperti:.7. SOLUZON n questo problema sono assegnate le tensioni e le correnti ed occorre ricavare le resistenze. noltre, poiché viene richiesto di ricavare i parametri del circuito a stella, si può far riferimento alla caratterizzazione del doppio bipolo tramite una matrice di resistenze. Dalla condizione di funzionamento a) si ottiene: 8.7 (.) m (.) (. ) m (. ) Si osserva che si hanno due vincoli (le due relazioni caratteristiche del doppio bipolo) e tre incognite (i tre parametri della stella). Considerando anche i dati relativi alla condizione di funzionamento b) si ottiene: 8.7 (.7 ( m b b ) m ) ( ) ( ) bbiamo così un sistema di quattro equazioni in quattro incognite rappresentate dalle resistenze della matrice e dalla corrente con morsetti secondari aperti b. ffettuando i calcoli si ottiene: ; ; b m da cui è possibile ricavare le resistenza della stella di figura 9.: 87. m a m Ω; b m Ω; m Ω c Circuiti statici

52 figura 9. sercizio n. Per il circuito in figura: a) si determini la matrice delle resistenze del doppio bipolo visto dai morsetti -, - ; b) si valuti il generatore equivalente di tensione (alla Thèvenin) ai morsetti -, quando ai morsetti - sia collegato il generatore reale di tensione; c) si calcolino, utilizzando il metodo dei potenziali di nodo, le correnti nei singoli lati del circuito, quando ai morsetti - sia collegato il generatore reale di tensione ed ai morsetti - sia collegato il resistore o ; g Ω; Ω; 6 Ω; r. Ω; o Ω SOLUZON a) Calcolo della matrice del doppio bipolo Si osserva innanzitutto che la matrice del doppio bipolo risulterà non simmetrica per la presenza del generatore pilotato. Per il calcolo dei parametri si alimenta con un generatore di corrente rispettivamente alla porta e e si valutano le tensioni corrispondenti alle due porte. Per il calcolo di e si fa riferimento al circuito di figura 8.. limentando la porta - con un generatore di corrente occorre valutare rispettivamente la tensione e. Si osserva innanzitutto che la corrente p coincide con per la legge di Kirchhoff alle correnti (LKC) applicata all insieme di taglio costituito da questi due lati del circuito, noltre, essendo, le due resistenze e sono in serie e la serie è in parallelo con. [ r ] r Si tratta quindi di calcolare la corrente r. ssa può essere ottenuta applicando il partitore di corrente al nodo : Circuiti statici

53 Circuiti statici r figura. Si avrà pertanto: r ) (.8 Ω La resistenza può essere calcolata come: [ ] r r Si tratta quindi di calcolare la corrente r applicando, ancora una volta il partitore di corrente al nodo : r Si avrà pertanto: r.6 Ω Per il calcolo di e si fa riferimento al circuito di figura.. limentando la porta - con un generatore di corrente occorre valutare rispettivamente la tensione e. Si osserva che il generatore pilotato può essere sostituito da un corto circuito poiché. noltre, la p coincide con per LKC applicata all insieme di taglio costituito da questi due lati del circuito. noltre, essendo, le due resistenze e sono in serie e la serie è in parallelo con. r

54 figura. La corrente r può essere ottenuta applicando il partitore di corrente al nodo : Si avrà pertanto: r ( ).6 Ω La resistenza può essere calcolata come: r La corrente r risulta: Si avrà pertanto: r. Ω.8.6 n definitiva, la matrice di resistenza risulterà data da [ Ω].6. b) Calcolo del generatore equivalente di tensione possibile e conveniente procedere alla determinazione dei parametri del generatore di Thèvenin utilizzando i risultati acquisiti al punto precedente. l valore della tensione a vuoto o può essere determinato dalla soluzione del seguente sistema di equazioni: da cui si ottiene: - g o g Circuiti statici

55 o 8.8 g Per il calcolo della resistenza equivalente si può determinare la corrente di corto circuito cc alla porta - del circuito mostrato in figura.. ncora una volta si utilizzano i risultati relativi alla caratterizzazione del doppio bipolo precedentemente ricavati: - g cc cc cc figura. Sostituendo l espressione della nella prima delle precedenti equazioni ed ordinando si ottiene: ) cc ( g La resistenza equivalente eq, considerando che sulla porta è stata fatta la convenzione del generatore, risulterà quindi: eq.97 Ω c) Metodo dei potenziali nodali possibile applicare il metodo dei potenziali nodali sul circuito di figura. considerando il nodo D a potenziale di riferimento (nullo). ndicando con Φ, Φ e Φ C i potenziali incogniti, con gp la corrente nel generatore pilotato (lato controllato in corrente) e con le conduttanze si ottiene: Φ Φ Φ ( - Φ r Φ r(-φ ( ) cc )- Φ Φ Φ Φ ( ) Φ g C g o C r C ) g Φ gp Φ g r g Circuiti statici

56 figura. n forma compatta tale sistema può essere espresso come: Φ J in cui : ; J La soluzione del sistema fornisce: Φ,.797 ; Φ -.8; Φ C.6969; gp -.7. Le correnti nei diversi lati risultano quindi:.69; -.697;.9;.96; -.8; gp -.7. sercizio n. Dato il doppio bipolo caratterizzato dalla matrice di resistenza : a) si effettui la sintesi del doppio bipolo; b) si determini il generatore equivalente di tensione alla Thèvenin ai morsetti - quando ai morsetti - sia collegato il generatore reale di tensione ed la resistenza o; c) si effettui la verifica del teorema di conservazione delle potenze quando ai morsetti - sia collegato il generatore reale di tensione ed ai morsetti - la resistenza o. ; g Ω; o Ω; [Ω] Si osservi che gli elementi della matrice non hanno tutti dimensioni di conduttanza perché tra le incognite compare la corrente nel generatore pilotato; analogamente non tutti gli elementi del vettore J sono delle correnti. Circuiti statici 6

57 SOLUZON a) sintesi del doppio bipolo Si osserva che la matrice caratteristica del doppio bipolo non è simmetrica. ssa peraltro può essere ricondotta alla somma di due matrici, una delle quali risulta simmetrica, mentre l altra non lo è. i fini della sintesi, tale suddivisione comporta che il doppio bipolo complessivo risulterà dato dalla serie di un doppio bipolo reciproco caratterizzato da una matrice (simmetrica) e di uno non reciproco caratterizzato da una matrice. La serie dei due doppi bipoli è mostrata in figura.: le correnti alle due porte dei doppi bipoli sono uguali, mentre la tensione totale risulta la somma delle due tensioni e. figura. Per il doppio bipolo la cui matrice è si ha: m e m < ii, i,; esso può essere sintetizzato convenientemente a mezzo di una configurazione a stella o T di resistenze. Con riferimento alla figura. si avrà: ' ' a b c b m ' b figura. Da queste relazioni si ottengono i valori dei parametri incogniti: Circuiti statici 7

58 Ω Ω Ω b m a m c m Per quanto riguarda il doppio bipolo non reciproco si osservi che esso deve verificare la condizione: ' ' '' * Si tratta pertanto, come mostrato in figura., di un doppio bipolo generatore di tensione controllato in corrente: figura. l doppio bipolo complessivo risulterà pertanto quello mostrato in figura.. figura. b) generatore equivalente di tensione alla Thèvenin Per determinare il generatore equivalente di tensione alla Thèvenin ai morsetti - quando ai morsetti - sia collegato il generatore reale di tensione occorre valutare la resistenza equivalente e la tensione a vuoto. Si possono a tale scopo utilizzare le equazioni caratteristiche del doppio bipolo. Per il calcolo di eq si spegne il generatore di tensione e si alimenta la porta secondaria con un generatore di corrente di valore (figura.) figura. Circuiti statici 8

59 g dalla prima delle due equazioni precedenti si ricava fornisce: che, sostituita nella seconda, g 6 eq Ω g g Per il calcolo di si avrà ( ): g ricavando dalla prima equazione e sostituendo nella seconda, si ottiene: g g l circuito di partenza ed il risultante bipolo equivalente alla Thèvenin ai morsetti - sono mostrati in figura.6. figura.6 c) verifica del teorema di conservazione delle potenze l fine di effettuare la verifica del teorema di conservazione delle potenze, quando ai morsetti - sia collegato il generatore reale di tensione ed ai morsetti - la resistenza o, è necessario determinare la corrente in ogni lato. Si può a tale scopo utilizzare il risultato conseguito al punto precedente. Per la determinazione della corrente e quindi della tensione basterà infatti collegare ai morsetti del generatore equivalente alla Thèvenin di figura.6 la resistenza di carico o. Si avrà: eq. eq Circuiti statici 9