Il disco di Poincaré e la geometria iperbolica.

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1 Mauro Bovio Appunti per le classi 5 A 5 B a.s. 2014/15 11 Il disco di Poincaré e la geometria iperbolica. 1. Introduzione In geometria euclidea molte proprietà dipendono dal V postulato : Per ogni retta r e per ogni punto P non appartenente a r, esiste un unica retta passante per P e parallela a r 1. Ad esempio dal V postulato segue la nota proposizione: se due rette sono parallele, allora formano con ogni trasversale angoli alterni interni uguali (Prop. 29 del I libro degli Elementi) che porta a dimostrare che in un triangolo la somma degli angoli interni è un angolo piatto. L inversa della proposizione citata (se due rette formano con una trasversale angoli alterni interni uguali allora sono parallele) non dipende invece dal quinto postulato: è dimostrata utilizzando il teorema dell angolo esterno. Si ottiene la geometria non euclidea iperbolica se si sostituisce al V postulato di Euclide il seguente: Assioma iperbolico: dati una retta r ed un punto P fuori di essa, esistono almeno due rette passanti per P che non incontrano r. 2 La teoria che si deduce da questo nuovo sistema di assiomi contiene risultati sorprendenti, non facili da visualizzare: per esempio, la somma degli angoli di un triangolo è minore di un angolo piatto, e, anzi, esistono triangoli per i quali la somma degli angoli è zero. CONSEGUENZE DEL V POSTULATO DI EUCLIDE. Le conseguenze immediate del V postulato di Euclide in geometria euclidea sono: Se due rette sono parallele, allora formano con ogni trasversale angoli alterni interni uguali. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 Proprietà dei parallelogrammi. Rette parallele sono equidistanti 2. Il modello del disco di Poincaré. Per noi il Piano Iperbolico H è il disco di Poincaré, cioè l insieme dei punti interni a una circonferenza C (detta anche orizzonte del piano) in cui le rette sono gli archi di circonferenze, privati degli estremi (detti anche punti ideali o all infinito), ortogonali alla circonferenza principale C e tutti i diametri, estremi esclusi. Da adesso in poi useremo la convenzione di scrivere in corsivo un elemento di H (ad esempio retta sta per retta iperbolica ). Nel disco di Poincaré possiamo parlare di rette iperparallele, se non si intersecano, parallele, se passano per i punti ideali (i quali non appartengono a H) e infine incidenti se si intersecano. La distanza fra due punti P e Q viene definita mediante il logaritmo di un certo birapporto e PA / PB precisamente: d ( PQ ) = ln (vedi anche la figura) dove PA, PB, QA, QB sono distanze QA / QB euclidee e A e B sono i punti ideali della retta PQ. 1 Il V postulato negli Elementi di Euclide (cfr. [E]) è formulato in modo equivalente nel seguente modo: se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minore di due retti (= tali che la somma è minore di due retti), le due rette prolungate illimitatamente verranno a incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti (=la cui somma è minore di due retti). 2 Possiamo pensare nella trattazione di Hilbert di mantenere gli assiomi di dei gruppi I, II, III e V (appartenenza, ordinamento, congruenza, continuità)

2 12 Mauro Bovio Appunti per le classi 5 A 5 B a.s. 2014/15 Essa soddisfa le proprietà che caratterizzano una distanza 3 Intuitivamente questa distanza si allunga più ci si avvicina al bordo della circonferenza come mostrano le seguenti immagini: Nella prima figura i segmenti sono tutti congruenti fra loro e sono raggi di una circonferenza mentre nella seconda figura a partire da AB si è costruito AC=2AB, AD=2AC, ecc. I triangoli della terza figura sono tutti isometrici. La distanza iperbolica è ben visualizzata dal seguente disegno Angeli e Diavoli di Escher ( ) che ricoprì il piano iperbolico con mattonelle congruenti tra loro. 3. NON EUCLID. Ora siamo pronti per scaricare il software Non-Euclid gratuitamente dal sito internet e disponibile anche in italiano. Con Non-Euclid si può operare direttamente con il disco di Poincaré oppure anche con il semipiano di Poincaré. Le figure in questi appunti sono state realizzate con Cabri per comodità di trasferimento delle stesse. PRESENTAZIONE DEL SOFTWARE Lo schermo di Non-Euclid appare diviso in tre quadranti: in alto a sinistra c è una descrizione del funzionamento del comando; in basso a sinistra c è una finestra in cui compariranno i risultati delle misurazioni che si possono fare; a destra vi è il disco di Poincaré su cui lavorare. 3 come funzione che ad ogni coppia di punti P,Q del piano associa un numero reale non negativo d(p,q) tale che: 1) d(p,q)=0 se e solo se P=Q 2) d(p,q)=d(q,p) 3) d(p,q)<d(p,r)+d(r,q) disuguaglianza triangolare valida se P,R,Q non sono allineati. Se P,Q,R sono allineati d(p,q)=d(p,r)+d(r,q)

3 Mauro Bovio Appunti per le classi 5 A 5 B a.s. 2014/15 13 Dalla barra degli strumenti si ha accesso ai menù a tendina riassunti nella seguente tabella: File Modifica Visualizza Costruzioni Misura Nuovo Apri Annulla Cancella Punto (x,y) Distanza Salva Muovi Ampiezza Stampa punto Triangolo Esci Modello Idioma Etichette Nascondi Mostra Colore Sfondo Dimensione Punto Punto medio Punto di intersezione Punto su un oggetto Segmento Semiretta Retta Perpendicolare Circonferenza Bisettrice Riflessione Segmento di lunghezza data Semiretta di inclinazione data In particolare: Muovi punto (per poter muovere un punto e di conseguenza una figura). Punto di intersezione (da definire se due curve si intersecano) Punto su un oggetto (da vincolare su un oggetto) Misura triangolo (ciccando su tre vertici fornisce le lunghezze dei lati, le ampiezze degli angoli e la loro somma) ALCUNE COSTRUZIONI Costruire con Non-Euclid: a) Triangolo equilatero dato il lato b) Quadrato data la diagonale c) Esagono regolare inscritto d) Quadrilatero con 4 angoli retti (rettangolo) procedendo così: 1) Cerco la soluzione del problema nel piano euclideo

4 14 Mauro Bovio Appunti per le classi 5 A 5 B a.s. 2014/15 2) Trasferisco questo algoritmo grafico nel disco iperbolico di Poincaré e risolvo il problema. 3) Verifico sperimentalmente se la costruzione è corretta. a) Co (=Costruzione) segmento AB; Co cerchio centro A e raggio AB; Co circonferenza di centro B e raggio BA; Co punto di intersezione C ; triangolo ABC b) Co lato AB ; Co punto medio M; Co circonferenza di centro M e raggio MA; Co perpendicolare ad AB per M; Co intersezione C e D della perpendicolare con la circonferenza; Co quadrilatero ACBD; come si vede in geometria iperbolica si costruiscono quadrati con tutti gli angoli uguali ma non retti. c) Qui di seguito è riportata la costruzione dell esagono regolare in ambiente euclideo e il tentativo di costruirlo in ambiente iperbolico con lo stesso algoritmo. La verifica sperimentale consiste qui nella misura dei lati e degli angoli dei poligoni. I ragazzi notano subito che i lati dell esagono (iperbolico) così costruito non sono tutti uguali (AF=FE=BC=CD ED) e quindi che non si può costruire un esagono regolare in modo euclideo con riga e compasso. L esagono regolare però esiste anche in ambiente iperbolico (dividere una circonferenza in n parti uguali è sempre possibile). d) Non si possono costruire i rettangoli (anzi, vedremo poi che non esistono) : nel tentativo di costruire un rettangolo si tracciano due segmenti AB, BC fra loro perpendicolari e due rette r ed s rispettivamente perpendicolari a AB e BC e passanti per A e C. Agli studenti il fatto che non si ottiene un rettangolo stupisce. E sì vero che BC e AD sono paralleli (o meglio iperparalleli) ma dal parallelismo non si può dedurre che Cˆ = Dˆ. Quindi si può costruire un quadrilatero con 3 angoli retti e il quarto necessariamente acuto (quadrilatero di Lambert). Si vede che cambiando una delle regole del gioco cambiano le proprietà delle figure.

5 Mauro Bovio Appunti per le classi 5 A 5 B a.s. 2014/15 15 PROPOSTA DI LAVORO: VERIFICA DI ALCUNI TEOREMI Viene presentato un elenco di teoremi euclidei verificabili su Quelli in grassetto sono falsi in geometria iperbolica: 1) La somma degli angoli interni di un triangolo è di 180 2) Ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore 3) Le mediane di un triangolo si intersecano sempre in uno stesso punto (baricentro) 4) Il baricentro divide ogni mediana secondo un rapporto 2:1 5) Le bisettrici di un triangolo si intersecano sempre in uno stesso punto (incentro) 6) Le altezze di un triangolo si intersecano sempre in uno stesso punto (ortocentro) 4 7) Si può costruire sempre la circonferenza passante per tre punti non allineati. 8) Disuguaglianza triangolare: in un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due 9) Primo teorema dell angolo esterno: in un triangolo un angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno non adiacente ad esso. 10) Secondo teorema dell angolo esterno: in un triangolo un angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso. 11) Due rette parallele sono equidistanti 12) Transitività del parallelismo 13) Una perpendicolare e un obliqua a una stessa retta si incontrano sempre in un punto dalla parte dove l obliqua forma con la retta un angolo acuto. 14) In un triangolo, il prodotto base x altezza è invariante qualunque sia la coppia base, altezza considerata 15) Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali. 16) In un triangolo isoscele altezza, mediana, bisettrice coincidono 17) Un triangolo equilatero è anche equiangolo 18) In un triangolo equilatero ogni angolo misura 60 19) Teorema di Pitagora 20) Teorema dei punti medi per i triangoli 21) Esiste il rettangolo 22) I quadrilateri regolari hanno quattro angoli retti 23) Le mediane dividono un quadrilatero regolare in 4 quadrilateri regolari. 24) Le diagonali di un quadrilatero regolare sono anche bisettrici 25) Le diagonali di un quadrilatero regolare sono perpendicolari 26) I raggi di una circonferenza sono tutti uguali 27) Il rapporto fra la misura della circonferenza e del suo diametro è costante 28) Gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono isometrici 29) Un angolo al centro è sempre il doppio di un angolo alla circonferenza 30) Un angolo che insiste sul diametro è retto. La scoperta che la somma degli angoli interni è minore di un angolo piatto può subito essere collegata alla non esistenza del rettangolo: infatti se esistesse un rettangolo, si vede che, tracciando una diagonale, avremmo due triangoli di cui almeno uno con somma degli angoli interni maggiore o uguale a 180. Esistono però quadrilateri regolari (con quattro angoli uguali e quattro lati uguali). Altre osservazioni: Non ha senso calcolare le aree come in geometria euclidea, anche se proviamo a considerare il quadrilatero regolare (iperbolico) di lato unitario come unità di misura per definire l area. La difficoltà sta nel fatto però che non si riesce, ad esempio, a piastrellare un quadrilatero regolare di lato 2 con 4 quadrilateri regolari di lato 1. A proposito di 4 Si noti che il baricentro esiste sempre: infatti ciò si può dimostrare in modo non usuale (senza usare le proprietà dei parallelogrammi): per approfondimenti si veda [DV] e {CM].

6 16 Mauro Bovio Appunti per le classi 5 A 5 B a.s. 2014/15 piastrellature va ricordato, come proprietà in positivo non valida nel piano euclideo, il fatto che si può invece piastrellare il piano con qualsiasi poligono regolare con n lati: basta diminuire l angolo, che può essere reso arbitrariamente piccolo (e dunque uguale a 2π/n) aumentando la misura del lato. Tornando alle aree nel piano iperbolico, una funzione che ha le stesse proprietà dell area euclidea 5, è rappresentata dal difetto angolare di un triangolo ossia d(t)=180-s dove s è la somma degli angoli interni di un triangolo. Si dimostra che d(t)=d(t1)+d(t2) dove T è un triangolo decomposto nei triangoli T1 e T2 (verificabile con il software con i comandi Triangolo e Misura triangolo ). La somma degli angoli interni di un triangolo può essere resa arbitrariamente piccola (basta costruire triangoli con punti vicini al bordo di H, come nella terza figura) ma anche vicino a 180 (se vicini al centro di H) in accordo con il fatto che per piccole porzioni del piano iperbolico vale approssimativamente la geometria euclidea. Siamo in grado anche nel piano iperbolico di definire delle figure congruenti? O meglio, possiamo definire delle isometrie? Vedremo nel paragrafo successivo come costruire delle simmetrie che non sono altro che inversioni circolari rispetto alle rette, e poi, per composizione, le altre isometrie. Le presenti note sono tratte dall articolo Mauro Bovio - Il disco di Poincaré: un'esperienza di geometria iperbolica e qualche approfondimento. L insegnamento della matematica e delle scienze integrate, VOL 32B N.1 FEBBRAIO 2009 E vietata ogni riproduzione non autorizzata. 5 L area è una funzione definita fra le figure del piano e i numeri reali non negativi tale che A-1. Poligoni congruenti hanno area uguale. A-2. Una regione formata da poligoni ( o da figure in genere) che si intersecano al più sulla loro frontiera ha un'area pari alla somma delle aree dei poligoni che la formano. A-3 L area di un quadrato di lato unitario è 1. Si dimostra che, affinché valgano tutte le proprietà menzionate, è sufficiente scegliere di misurare l'area nel piano iperbolico con la formula A=kd dove d è il difetto e k una opportuna costante.