TRE ROMA. Sintesi. Proprietà aritmetiche nei Pullbacks

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1 ROMA TRE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI Università degli Studi Roma Tre Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea Magistrale in Matematica Tesi di Laurea Magistrale in Matematica Sintesi Proprietà aritmetiche nei Pullbacks Candidato Claudia D'Armiento Relatore Prof.ssa Florida Girolami Anno Accademico 2012/2013 Classicazione MSC2000: 13A15 13F05 13G05 Parole chiave: Pullbacks, Domini di valutazione, Domini di Bézout, Domini di Prüfer, Domini di Prüfer v-moltiplicativi.

2 Sintesi Lo scopo di questo elaborato è di analizzare le proprietà aritmetiche nei pullbacks. Il pullback che prendiamo in considerazione nel corso della trattazione è il seguente: siano T un dominio d'integrità, I un ideale non nullo di T, ϕ : T E := T/I la proiezione canonica, e D un dominio di integrità contenuto in E. Consideriamo ora R := ϕ 1 (D), che risulta essere il pullback degli omomorsmi canonici: R T D ϕ T/I = E (1) Assumiamo che R sia propriamente contenuto in T. Faremo riferimento a (1) come pullback di tipo. In questo lavoro vogliamo in particolare studiare sotto quali condizioni su T, E e D si ha che R è un dominio di valutazione, un dominio di Prüfer, un dominio di Bézout, un v-dominio e un dominio di Prüfer v-moltiplicativo. La costruzione pullback venne per la prima volta utilizzata in alcuni esempi fatti su anelli di polinomi, nei lavori di H. Prüfer (1932) e W. Krull (1936). Successivamente, nel 1954, A. Seidenberg utilizzò questa costruzione nei suoi studi sulla dimensione di Krull di un'estensione polinomiale. Tuttavia, in questi lavori non c'era ancora una notazione esplicita per i pullbacks. Il primo autore a formalizzare il linguaggio della costruzione pullback fu R. Gilmer nel 1968, con lo studio di uno dei più noti esempi di pullback, la D + M costruzione, nella quale si suppone che T sia un dominio di valuta-

3 Sintesi 3 zione contenente il suo campo dei residui E. Successivamente, l'utilità dei pullbacks come grande fonte di esempi portò ad un loro studio piú approfondito. Nel 1973, E. Batista e R. Gilmer studiarono i sopra-anelli e gli ideali divisoriali di un dominio della forma D + M; mentre tre anni dopo, nel 1976, J. Brewer e E. Rutter generalizzarono la D + M costruzione a sopra-anelli generali, indebolendo le ipotesi su T ; cioè, non veniva piú richiesto che T fosse un dominio di valutazione o un dominio quasi locale. Inoltre nel 1978 D. Costa, J. Mott e M. Zafrullah utilizzarono i pullbacks per lo studio della costuzione D + XD S [X], e nel 1980 J. Hedstrom e E. Houston caratterizzarono i domini locali che condividono il loro ideale massimale con un sopra-anello di valutazione. Successivamente D. F. Anderson e D. Dobbs hanno provato che questi domini detti di pseudo-valutazione, si ottengono come particolari pullback. Continuando nel nostro percorso storico incontriamo M. Fontana che nel 1980 studiò l'operazione di somma amalgamata di spazi spettrali e esaminò nel dettaglio alcune proprietà algebriche degli anelli utilizzati in tale operazione; inoltre, fornì numerose applicazioni alla teoria delle D + M costruzioni e alle CPI-estensioni nel senso di Boisen-Sheldon. Un livello teorico ideale dei pullbacks venne trattato nel 1996 da S. Gabelli e M. Fontana nel loro lavoro On the class group and the local class group of a pullback in cui viene preso in esame il seguente: R T D ϕ T/M = K (2) dove M è un ideale massimale di T e K è il campo dei quozienti di D. Quest'ultimo pullback prende il nome di FG pullback. Un pò di anni più tardi, nel 2000, mentre T. Lucas si occupava di costruire degli esempi derivanti dalla costruzione pullback, S. Gabelli e E. Houston caratterizzavano alcune proprietà di tali pullbacks. Inne, nel 2001, D. F. Anderson, D. Nour e El Abidine indagarono sulle costruzioni pullbacks A + XB[X] e A + XB[[X]] mentre, nel 2003, A. Mimouni tentò di rimuovere l'ipotesi che M fosse un ideale massimale in un FG pullback e sviluppò diverse tecniche utili molte delle quali richiedevano che T fosse un dominio di

4 Sintesi 4 valutazione. Per concludere questo percorso storico temporale sulla nascita del pullback, nel 2006 E. Houston e J. Taylor studiarono le proprietà aritmetiche nei pullbacks facendo riferimento al pullback descritto in (1). Questo lavoro viene sviluppato in 4 capitoli. Nel capitolo 1 iniziamo presentando le nozioni topologiche che ci serviranno successivamente per trattare le proprietà dello spettro degli ideali primi di un pullback: prima deniamo la somma amalgamata di due spazi topologici X e Y su un terzo spazio topologico Z tramite due applicazioni continue f : Z X e g : Z Y come lo spazio quoziente X Y, dove è una relazione di equivalenza. Introduciamo poi la nozione di prodotto - brato; siano A, B, C anelli, u : A C e v : B C omomorsmi di anelli. Denotiamo con D il pullback (o prodotto brato) di A e B su C, denito come l'anello: D = A C B = {(a, b) A B u(a) = v(b)} denotiamo con u : D B e v : D A le restrizioni su D delle proiezioni canoniche di A C B su B ed A. Il seguente diagramma è commutativo: cioè u v = v u. A C B u B v v Richiamiamo la Proprietà Universale dei Pullbacks nella seguente proposizione la cui dimostrazione si riduce ad una semplice verica. Proposizione 1 (Proprietà Universale dei Pullbacks). Sia R un anello e supponiamo che f : R B e g : R A siano omomorsmi di anelli tali che v f = u g. Allora esiste un unico omomorsmo h : R A C B tale che u h = f e v h = g: A C u (3)

5 Sintesi 5 R f!h g A C B u B Nel Capitolo 2 iniziamo col dare la denizione di ideale frazionario per un dominio di integrità D, con campo dei quozienti K. Denizione. Un ideale frazionario di D è un D-sottomodulo I di K tale che di D per qualche 0 d D. Dati due D-sottomoduli I e J di K, oltre alle usuali somma I + J = {x + y : x I e y J}, intersezione I J e prodotto IJ = { n i=1 x iy i : x i I, y i J}, si denisce anche I : J = {x K : xj I}. Se denotiamo con F(D) l'insieme degli ideali frazionari non nulli di D, l'insieme F(D) rispetto al prodotto tra due ideali frazionari è un semigruppo moltiplicativo, con elemento neutro D. Un ideale frazionario non nullo I di D si dice invertibile se è invertibile come elemento del monoide moltiplicativo F(D). In altre parole, se esiste J F(D) tale che IJ = D. L'unico ideale frazionario J che soddisfa IJ = D è univocamente determinato da I, questo è chiamato l'inverso di I e viene denotato con I 1. L'insieme degli ideali frazionari invertibili di D è il più grande sottogruppo del monoide F(D); questo gruppo è indicato con I(D). Gli ideali frazionari principali non nulli formano un sottogruppo P(D) in I(D), abbiamo quindi le seguenti inclusioni: v v A C u (4) P(D) I(D) F(D) (5) Nella prossima proposizione daremo alcune delle proprietà relative all'invertibilità degli ideali. Proposizione 2. Sia I un ideale frazionario invertibile di un dominio D. Allora: 1. I 1 = D : I;

6 Sintesi 6 2. I è nitamente generato; 3. se D è semilocale, allora I è un ideale principale; inoltre, se D è locale ed S K è tale che (S) = I, allora esiste s S tale che I = sd. Notiamo che non è vero in generale che se I è un ideale frazionario nitamente generato di un dominio di integrità D allora I è un ideale invertibile di D. Un controesempio è dato da: sia K un campo, consideriamo D = K[X, Y ], e sia I = (X, Y ), allora abbiamo che D = I 1. Passiamo ora a dare la denizione di v-ideale e t-ideale, introducendo la v-operazione. Denizione. Sia D un dominio di integrità con campo dei quozienti K. Deniamo su F(D) la seguente applicazione: v : F(D) F(D) che prende il nome di v-operazione. I I v := D : (D : I) Questa applicazione soddisfa le seguenti proprietà: 1. (xd) v = xd e (xi) v = xi v, per ogni x K {0}; 2. I I v e se I J allora I v J v, per ogni I, J F(D); 3. (I v ) v = I v, per ogni I F(D). Siamo ora pronti per denire un ideale divisoriale. Denizione. Un ideale I di F(D) si dice v-ideale o anche ideale divisoriale se I = I v. Nella seguente proposizione si hanno alcune proprietà degli ideali divisoriali.

7 Sintesi 7 Proposizione 3. Sia D un dominio di integrità e I F(D). Allora: 1. I è un ideale divisoriale se e solo se I = D : J per qualche J F(D); 2. se I è un ideale frazionario invertibile allora I è un ideale frazionario divisoriale; 3. I v = {xd : x K {0}, I xd}. Deamo ora l'insieme I t per poter poi arrivare alle denizione di t-ideale. Sia I F(D), deniamo I t := {J v : J F(D) nitamente generato e J I}. È immediato vericare che I t è un ideale frazionario tale che I I t I v. Denizione. I F(D) si dice un t-ideale se I = I t. La denizione appena data ci consente di denire analogamente a quanto fatto per la v-operazione la t-opetazione: t : F(D) F(D) I I t Banalmente se I è un ideale frazionario divisoriale, allora I è un t-ideale. Non è vero il viceversa. Abbiamo poi introdotto la nozione di ideale v-nito. Denizione. Sia D un dominio di integrità e sia I F(D), I si dice un ideale v-nito se esiste H F(D) nitamente generato tale che I = H v. Si vede chiaramente che se I è un ideale v-nito, allora I è un ideale divisoriale; inoltre se I è un ideale invertibile, allora I è un ideale v-nito. Possiamo ora riprendere la catena di inclusioni che abbiamo denito in (5) e ampliarla nel seguente modo: P(D) I(D) H(D) D(D) T (D) F(D) (6) dove abbiamo indicato con H(D) l'insieme degli ideali v-niti, con D(D) l'insieme degli ideali divisoriali e con T (D) l'insieme degli t-ideali.

8 Sintesi 8 Consideriamo in D(D) la seguente applicazione: : D(D) D(D) D(D) che prende il nome di v-moltiplicazione. (I, J) (IJ) v = (I v J) v = (I v J v ) v L'insieme D(D) rispetto alla v-moltiplicazione è un monoide con elemento neutro D, (D(D), ). Inoltre (H(D), ) è un sottomonoide di (D(D), ); infatti se I = H v e J = (H ) v, allora I J = H v (H ) v = (H v H v) v = (HH ) v, con H, H ideali nitamente generati. Passiamo ora a dare la denizione di ideale v-invertibile e ideale t-invertibile. Denizione. Sia D un dominio di integrità, un ideale I F(D) si dice v-invertibile se I v è invertibile nel monoide (D(D), ), cioè esiste un ideale J F(D) tale che I v J v = (IJ) v = D; se J v esiste, esso è unico e si dice il v-inverso di I. Denizione. Sia D un dominio di integrità, I F(D) si dice t-invertibile se esiste un ideale J F(D) tale che (IJ) t = D. Avendo dato queste denizioni possiamo fare la seguente osservazione: Osservazione. 1. Sia I F(D), se I è t-invertibile, allora I è v-invertibile. Sia J F(D) tale che (IJ) t = D, allora D = (IJ) t (IJ) v D. 2. Un t-invertibile t-ideale è sempre un ideale divisoriale v-invertibile, allora (I(D : I)) t = (I(D : I)) v = D. 3. Un ideale divisoriale v-invertibile I di D è un ideale t-invertibile se e solo se I e D : I sono ideali v-niti. Nel Capitolo 3 riprendiamo le varie classi di domini che utilizzeremo; introduciamo dapprima gli anelli Noetheriani, che sono quegli anelli in cui ogni ideale è nitamente generato. Possiamo caratterizzare gli anelli Noetheriani attraverso la seguente proposizione:

9 Sintesi 9 Proposizione 4. Sia A un anello, allora le seguenti condizioni sono tra loro equivalenti: 1. A è un anello Noetheriano; 2. A verica A.C.C. (condizione della catena ascendente) sugli ideali, cioè ogni catena ascendente di ideali di A, I 1 I 2... I n... è stazionaria, esiste N tale che I N = I N+1 = I N+2 =...; 3. ogni insieme non vuoto di ideali in A possiede elementi massimali. Passiamo poi alla denizione dei domini di Bézout che sono quei domini in cui ogni ideale nitamente generato è principale. Ricordiamo inoltre che valgono le seguenti implicazioni: ED P ID UF D domini di Bézout MCD dominio Introduciamo poi la denizione di dominio di valutazione. Denizione. Sia D un dominio di integrità, K il suo campo dei quozienti. Si dice che D è un dominio di valutazione di K se, per ogni elemento x 0 in K, o x D oppure x 1 D (le due eventualità potendosi presentare simultaneamente). Diamo anche in questo caso una proposizione che caratterizza i domini di valutazione: Proposizione 5. Le seguenti proprietà sono equivalenti per un dominio di integrità D: 1. D è un dominio di valutazione;

10 Sintesi gli ideali (frazionari) principali di D sono linearmente ordinati; 3. gli ideale (frazionari) di D sono linearmente ordinati; 4. D è un dominio di Bézout locale. Vengono poi introdotti i domini di Prüfer; per denire i domini di Prüfer si utilizza il concetto di ideale frazionario invertibile che abbiamo denito prima; un dominio si dice di Prüfer se ogni suo ideale (frazionario) nitamente generato è invertibile. Inoltre possiamo caratterizzare i domini di Prüfer attraverso i domini di valutazione e le localizzazioni con la seguente proposizione: Proposizione 6. Sia D un dominio di integrità, allora le seguenti condizioni sono equivalenti: 1. D è un dominio di Prüfer; 2. D P è un dominio di valutazione, per ogni ideale primo P di D; 3. D M è un dominio di valutazione, per ogni ideale massimale M di D. Inne troviamo la classe dei domini di Prüfer v-moltiplicativi indicati con PVMD, per la denizione dei PVMD si utilizza la nozione di ideale divisoriale v-nito. Denizione. Un dominio di integrità D si dice un dominio di Prüfer v- moltiplicativo (PVMD) se l'insieme H(D) degli ideali divisoriali v-niti, di D, forma un gruppo rispetto alla v-moltiplicazione: I v J v = (IJ) v = (I v J) v = (I v J v ) v, cioè, se per ogni H v con H F(D) nitamente generato esiste H v con H F(D) nitamente generato tale che (HH ) v = (H v H v) v = D. Proposizione 7. Per un dominio di integrità D le seguenti condizioni sono equivalenti: 1. D è un PVMD; 2. ogni ideale divisoriale v-nito di D è t-invertibile ((II 1 ) t = D).

11 Sintesi 11 Introduciamo inoltre la denizione di v-dominio, che utilizzero poi nel corso della nostra trattazione. Denizione. Sia D un dominio di integrità, D si dice un v-dominio se ogni ideale frazionario non nullo I di D nitamente generato è un ideale v-invertibile. Notiamo che un PVMD è un v-dominio ma non è sempre vero il viceversa, infatti un ideale nitamente generato v-invertibile J è t-invertibile se e solo se il suo v-inverso D : J è v-nito. Diamo ora una caratterizzazione dei PVMD dovuta a M. Grin. Teorema 8. Sia D un dominio di integrità, allora le seguenti aermazioni sono equivalenti: 1. D è un PVMD; 2. D M è un dominio di valutazione per ogni M t-ideale massimale di D. Nel capitolo 4 riprendiamo l'articolo di E. Houston e J. Taylor [12] il cui scopo è quello di determinare, dato un diagramma di tipo, quali proprietà aritmetiche di D, T ed E inuenzano quelle di R e viceversa. Diamo ora i principali risultati: Teorema 9. In un diagramma di tipo, R è un dominio di valutazione se e solo se D e T sono domini di valutazione, I è un ideale primo di T, e qf(d) = qf(e). Segue immediatamente il seguente ben noto corollario: Corollario 10. Si consideri un pullback di tipo in cui I è un ideale massimale di T. Allora R è un dominio di valutazione se e solo se D e T sono domini di valutazione ed E = qf(d). Teorema 11. In un diagramma di tipo, R è un dominio di Prüfer se e solo se D e T sono domini di Prüfer, I è un ideale primo di T, e qf(d) = qf(e). Ritroviamo come caso particolare, il seguente ben noto corollario ottenuto da Fontana in [5, Teorema 2.4].

12 Sintesi 12 Corollario 12. Se consideriamo un pullback di tipo in cui I è un ideale massimale di T. Allora R è un dominio di Prüfer se e solo se D e T sono domini di Prüfer ed E = qf(d). Per vedere sotto quali condizioni R è un dominio di Bézout consideriamo il gruppo degli elementi invertibili di un dominio D, U(D). Dato un pullback di tipo, l'omomorsmo di anelli ϕ : T T/I = E rispetto al gruppo degli elementi invertibili denisce un omomorsmo di gruppi α : U(T ) U(E). Inoltre sappiamo che U(D) è un sottogruppo del gruppo abeliano U(E) e abbiamo quindi l'omomorsmo canonico β : U(E) U(E). Ora componendo U(D) α e β otteniamo ϕ = β α : U(T ) U(E) che è ancora un omomorsmo U(D) poichè composizione di omomorsmi. Teorema 13. In un pullback di tipo, R è un dominio di Bézout, se e solo se D e T sono domini di Bézout, I è un ideale primo di T, D e E hanno lo stesso campo dei quozienti e l'omomorsmo canonico ϕ : U(T ) U(E) U(D) è suriettivo. Dal teorema possiamo dedurre il seguente corollario: Corollario 14. In un pullback di tipo, se I è un ideale massimale di T. Allora R è un dominio di Bézout se e solo se E = qf(d), D e T sono domini di Bézout e l'omomorsmo canonico ϕ : U(T ) U(E) U(D) è suriettivo. Nel caso dei v-domini non si ha un vero e proprio teorema per caratterizzare R, dobbiamo fare delle ipotesi su T. I due lemmi che seguono ci dicono come la proprietà di R di essere un v-dominio si rietta sull'ideale I e sulle localizzazioni di R e T rispetto ad I. Lemma 15. In un pullback di tipo, se R è un v-dominio, allora I è un ideale t-primo di R e di T, qf(d) = qf(e), R I è un dominio di valutazione, e R I = T I. Inoltre, I : I = I 1 = I v : I v. Supponendo che T = I : I si ha che se R è un v-dominio allora T è un v-dominio. v-domini: Caretterizziamo nel lemma che segue gli ideali t-primi nei

13 Sintesi 13 Lemma 16. In un pullback di tipo, se R è un v-dominio, allora I è un t-primo ma non un t-ideale massimale di R. Vedremo ora sotto quali condizioni nel pullback R è un PVMD. Iniziamo con il dare un esempio che giustica l'introduzione di un ulteriore ipotesi su T. Sia F un campo e siano X, Y, Z tre indeterminate sul campo F e sia I = ZF (X, Y )[Z], l'ideale massimale di F (X, Y )[Z]. F (X,Y )[Z] Banalmente ZF (X,Y )[Z] F (X, Y ). Consideriamo il seguente doppio pullback: R D = F [X, Y ] T = ϕ 1 (E) E = F [X, Y, ( X Y )2 ] (7) F (X, Y )[Z] ϕ F (X, Y ) dove l'applicazione ϕ manda Z 0. Il diagramma superiore è un pullback di tipo. Inoltre è facile vedere che T non è integralmente chiuso e quindi non è un PVMD. D'altra parte, se non prendiamo in considerazione la riga centrale del diagramma il risultato è un diagramma dello stesso tipo di quelli descritti in [6, Teorema 4.1], e così R è un PVMD. Inoltre, senza fare nessuna ipotesi su T non c'è nessuna possibilità di dimostrare che T sia un PVMD ogni qual volta lo sia anche R. Il problema nell'esempio è il fatto che (I : I) T. Tuttavia, un generico diagramma pullback di tipo può essere esteso al seguente diagramma: R D = R/I T E = T/I (8) I : I ϕ (I : I)/I Nella proposizione che segue mostreremo che se R è un PVMD, allora

14 Sintesi 14 anche I : I è un PVMD (ma non c'è nessuna possibilità di dimostrare che T sia un PVMD). Quindi assumeremo spesso che in un generico diagramma T = I : I. Proposizione 17. In un pullback di tipo, se T = I : I e R è un PVMD, allora T è un PVMD. Il teorema che segue ha come ipotesi che T = I : I. Teorema 18. In un pullback di tipo, assumiamo che T = I : I. Allora R è un PVMD se e solo se T è un PVMD, I è un ideale t-primo di T, qf(d) = qf(e), e per ogni ideale primo non nullo P di D vale una delle seguenti condizioni: 1. D P e T ϕ 1 (D P ) sono domini di valutazione; 2. esiste un ideale nitamente generato A di D tale che A P, A 1 E = D, e (ϕ 1 ( P )) t = T. Se nelle ipotesi del teorema 18 si aggiunge l'ipotesi che I è un t-ideale massimale di T, si ottiene un risultato più soddisfacente ed utile. Teorema 19. In un pullback di tipo, assumiamo che T = I : I e che I è un t-ideale massimale di T. Allora R è un PVMD se e solo se T è un PVMD, qf(d) = qf(e), e per ogni t-ideale primo P di D vale una delle seguenti condizioni: 1. D P è un dominio di valutazione e E D P è un campo; 2. esiste un ideale nitamente generato A di D tale che A P e A 1 E = D.

15 Bibliograa [1] M. F. Atiyah and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading (1969). [2] N. Bourbaki, Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading, (1972). [3] J. Cahen, Couples d'anneaux partageant un idéal, Arch. Math. Vol. 51, (1988), [4] D. Dobbs, E. Houston, T. Lucas, M. Zafrullah, t-linked overrings and Prüfer v-multiplication domains, Communications in Algebra 17 (11), (1989), [5] M. Fontana, Topologically dened classes of commutative rings, Ann. Mat. Pura Appl. 123, (1980), [6] M. Fontana, S. Gabelli, On the class group and the local class group of a pullback, Journal of Algebra 181, (1996), [7] L. Fuchs and L. Salce, Modules over Non-Noetherian Domains, American Mathematical Society, (2001). [8] S. Gabelli, Characterizing integral domains by semigroups of ideals, Notes for an advanced course in idal theory (a.a ). [9] R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory, Dekker, New York, (1972). [10] M. Grin, Some results on v-multiplication domains, Canad. J. Math., 19, (1967),

16 Bibliograa 16 [11] E. Houston, On divisorial prime ideals in Prüfer v-multiplication domains, J. Pure Appl. Algebra 42, (1986), [12] E. Houston and J. Taylor, Arithmetic properties in pullbacks, Journal of Algebra 310, (2007), [13] B. G. Kang, Prüfer v-multiplication domains and the ring R[X] NV, Journal of Algebra 123, (1989), [14] A. Mimouni, Pullbacks and coherent-like properties, in: Advances in Commutative Ring Theory, in: Lect. Notes Pure Appl. Math., vol. 205, Dekker, New York, (1999), [15] J. Mott e M. Zafrullah, On Prüfer v-multiplication domains, Manuscripta Mathematica, Vol. 35, (1981), [16] M. Zafrullah, On nite conductor domains, Manuscripta Mathematica, Vol. 24, (1978),

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