PROGETTO DI ECCELLENZA PERCORSI INNOVATIVI in Matematica e in Fisica

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1 PROGETTO DI ECCELLENZA 2014 PERCORSI INNOVATIVI in Matematica e in Fisica Conferenze

2 Non si può sempre aver ciò che si vuole: la risolubilità della equazioni algebriche. Università Cattolica del Sacro Cuore, Brescia Salò, 7 Aprile 2014

3 Cos è un equazione algebrica? 3x =9 x +2=0 x 2 5x +6=0 sono equazioni algebriche. In generale possiamo dire che un equazione algebrica è una scrittura del tipo a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 =0 dove n è un numero intero positivo e i coe cienti a 0, a 1,...,a n sono numeri noti. Se a n è diverso da zero, diciamo che l equazione ha grado n.

4 Cosa significa risolvere un equazione? Data un equazione algebrica a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 =0, risolvere l equazione significa trovare dei numeri che sostituiti alla variabile x rendono vera l uguaglianza. Esempi Una soluzione di 3x =9è 3. Soluzioni di x 2 5x +6=0sono 2 e 3. Quali sono le soluzioni di x 2 +1=0?Nessuna?±i?

5 Quali soluzioni vogliamo? PRIMA di risolvere un equazione algebrica dobbiamo decidere che tipo di soluzioni vogliamo. Esempio Consideriamo l equazione 2x =1. Se cerchiamo soluzioni intere, cioè numeri interi, dobbiamo concludere che non ci sono soluzioni. Se invece come soluzioni ci vanno bene anche numeri razionali (frazioni), allora possiamo concludere che una soluzione è 1 2.

6 Un po di storia Esempi di risoluzione di equazioni di primo grado sono riportati in un papiro egiziano risalente al 1650 a.c.

7 In tavolette babilonesi sono descritti metodi per risolvere alcune equazioni di secondo e terzo grado, dalle quali si può dedurre che di fatto i babilonesi conoscevano la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado. Data l equazione ax 2 + bx + c =0 le soluzioni sono date dalla formula x 1,2 = b ± p, con =b 2 4ac 2a

8 Osserviamo che la formula precedente ci dice che: Conoscendo i coe cienti a, b, c dell equazione, possiamo calcolare le soluzioni usando: le quattro operazioni +,,, : ; l estrazione della radice quadrata.

9 Bisogna osservare che per Egizi, Babilonesi e Antichi Greci, i numeri rappresentavano lunghezze. Quindi solo i numeri interi positivi avevano senso e risolvere un equazione significava descrivere una costruzione geometrica fatta con riga e compasso che, a partire da segmenti dati, producesse un nuovo segmento della lunghezza voluta.

10 Esempio Per un antico greco risolvere l equazione di primo grado 3x = 12 significava determinare l altezza di un rettangolo di area 12 ebase x

11 In modo analogo si può risolvere il problema della duplicazione del quadrato: dato un quadrato di area 1, disegnare un altro quadrato di area 2. L equazione da x 2 =2.

12 Duplicazione del cubo Nel 430 a.c. ad Atene infuriava una tremenda pestilenza. Gli Ateniesi si recarono a Delo per interrogare l oracolo, che rispose che l ira del dio Apollo si sarebbe placata solamente se il suo altare, di forma cubica, fosse stato raddoppiato. Questo problema equivale a risolvere l equazione x 3 =2. Ma gli Ateniesi non riuscirono a costruire l altare richiesto.

13 Quadratura del cerchio Ancora più di cerchio: cile si presentava il problema della quadratura del dato un cerchio di raggio 1 costruire con riga e compasso un quadrato di area uguale a quella del cerchio.

14 Durante il Medioevo alcuni passi avanti vengono fatti dagli Arabi, che cominciano a porre le basi per il successivo sviluppo dell algebra come la conosciamo oggi. Con il Rinascimento, e il rifiorire dell arte e della letteratura, anche la matematica torna a suscitare nuovo interesse e uno dei principali problemi a rontati è proprio quello della risoluzione delle equazioni algebriche. Diversi matematici giungono alla scoperta delle formule risolutive per le equazioni di III e IV grado. Traloroancheunmatematico bresciano, Niccolò Fontana (c.a ) detto Tartaglia. Sembra che nel 1539 Tartaglia abbia mandato a Girolamo Cardano ( ) una breve poesia contenente la formula per la risoluzione delle equazioni di terzo grado, formula che poi Cardano pubblicò nel suo libro senza attribuirne il merito a Tartaglia.

15 Formula di Cardano-Viète Le soluzioni dell equazione x 3 + px + q =0 sono date dalla formula s r s x = 3 q p 3 q q 2 r p q 2 2 Formule simili, ma più complesse, ci danno le soluzioni di una generica equazione di terzo o di quarto grado.

16 Osservando le formule risolutive per le equazioni di grado 2,3 e 4 notiamo che: Conoscendo i coe cienti dell equazione, possiamo calcolare le soluzioni usando soltanto: le quattro operazioni +,,, : l estrazione delle radici quadrata, cubica o quarta: p, 3 p, 4 p. Problema Esistono delle formule simili per le equazioni di grado superiore a 4?

17 Risolubilità per radicali Definizione Diciamo che un equazione è risolubile per radicali se le sue soluzioni si possono esprimere a partire dai coe cienti dell equazione stessa usando soltanto le quattro operazioni +,,, : ed estrazioni di radici. Per circa due secoli dalla scoperta delle formule di Cardano, i matematici mantennero la convinzione che formule analoghe esistessero anche per equazioni di grado maggiore al quarto e il poterle trovare dipendesse solo dalla maggiore abilità nel manipolare le espressioni algebriche. A confermare questa convinzione contribuì anche il grande matematico Gauss, che nel 1801 dimostrò che tutte le equazioni del tipo x n 1=0 con n numero intero positivo, sono risolubili per radicali.

18 Quante sono le soluzioni? Nel frattempo altri passi avanti si erano fatti sulla conoscenza di quante soluzioni può avere un equazione algebrica. Teorema (Teorema fondamentale dell algebra, 1799) L equazione di grado n con coe cienti reali a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 =0 ha al più n soluzioni reali distinte. Le soluzioni complesse, contate con la loro molteplicità, sono esattamente n.

19 Esempio x 2 5x +6=0 ha due soluzioni intere: 2 e 3. Infatti x 2 5x +6=(x 2)(x 3)

20 Esempio x 2 5x +6=0 ha due soluzioni intere: 2 e 3. Infatti x 2 5x +6=(x 2)(x 3) e quindi l equazione è soddisfatta se e solo se x 2=0 oppure x 3=0.

21 Esempio x 2 +2x +1=0 ha una sola soluzione uguale a -1. Infatti x 2 +2x +1=(x + 1) 2

22 Esempio x 2 +2x +1=0 ha una sola soluzione uguale a -1. Infatti x 2 +2x +1=(x + 1) 2 e quindi l equazione è soddisfatta se e solo se x +1=0. In qusto caso diciamo che 1 ha molteplicità 2.

23 Esempio x 2 +2x +1=0 ha una sola soluzione uguale a -1. Infatti x 2 +2x +1=(x + 1) 2 e quindi l equazione è soddisfatta se e solo se x +1=0. In qusto caso diciamo che 1 ha molteplicità 2. Esempio x 2 +1=0 non ha soluzioni reali. Ha però due soluzioni complesse coniugate: i, i

24 La scoperta di Ru ni e Abel Furono Paolo Ru ni ( ) e Niels-Henrik Abel ( ) che nei primi anni del diciannovesimo secolo dimostrarono che Esistono equazioni di grado 5 a coe cienti interi le cui soluzioni non sono esprimibili mediante formule simili a quelle di Cardano, cioè non sono risolubili per radicali. La loro scoperta venne accolta con molta di denza.

25 Evariste Galois ( )

26 Nel 1830 a soli 18 anni Galois presentò all Accademia delle Scienze di Parigi un manoscritto sulla risoluzione delle equazioni. In questo manoscritto egli descrive le idee di base di ciò che oggi chiamiamo Teoria di Galois. Sfortunatamente il manoscritto rimase dimenticato in un cassetto per vari anni. Galois morì in duello due anni dopo e soltanto dopo la sua morte la sua teoria venne conosciuta e apprezzata.

27 L idea di Galois L idea di Galois è quella di associare ad ogni equazione algebrica un insieme chiamato gruppo di Galois dell equazione in grado di misurare la simmetria esistente tra le soluzioni. Ci sono regole precise che stabiliscono come le soluzioni di un equazione possono essere permutate tra loro. Le soluzioni razionali non possono essere toccate.

28 Esempio L equazione x 2 2=0ha per soluzioni p 2 e soluzioni possono essere scambiate tra loro. p 2 equeste L equazione x 4 5x 2 +6=0è e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a x 2 2=0 x 2 3=0 e ha per soluzioni p p p p p p p p 2, 2, 3, 3. Soltanto 2, 2 e p 3, p 3 possono essere scambiate tra loro, ma non ad esempio 2 e 3.

29 Il Teorema di Galois Teorema L equazione a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 =0 con coe cienti razionali è risolubile per radicali se e soltanto se il suo gruppo di Galois è risolubile. Esempio L equazione x 5 6x +3=0non è risolubile per radicali.

30 Conclusioni Il teorema di Galois risolve in modo definitivo il problema di trovare formule risolutive per le equazioni algebriche. Sebbene non ci dia formule esplicite, esso ci permette di stabilire per ogni equazione algebrica se tali formule esistono oppure no, e nel caso in cui esistano ci indica anche un metodo per calcolarle. Chiudendo il problema della risoluzione delle equazioni algebriche, le idee di Galois hanno aperto tutto un nuovo mondo alla ricerca matematica ponendo le basi dell algebra moderna. E le equazioni che non si possono risolvere? Per le applicazioni pratiche è necessario trovare soluzioni di ogni tipo di equazioni, anche di quelle per le quali non abbiamo una formula risolutiva. Fortunatamente, per le applicazioni possiamo accontentarci di soluzioni approssimate. La necessità di determinare soluzioni approssimate con un alto grado di precisione ha dato impulso alla ricerca di metodi di approssimazione sempre più sofisticati.

31 Duplicazione del cubo e quadratura del cerchio Soltanto all inizio del 1800 vennero risolti definitivamente il problema della duplicazione del cubo e quello della quadratura del cerchio. In primo fu risolto da Gauss, il quale stabilì che i problemi geometrici che si possono risolvere con riga e compasso sono quelli che equivalgono ad una equazione a coe cienti razionali e di grado una potenza di 2. Negli stessi anni, Liuville ed Hermite dimostrarono che è un numero trascendente, cioè non è soluzione di nessuna equazione algebrica a coe cienti razionali. Da questo fatto si deduce che la quadratura del cerchio non si può fare con riga e compasso.