Incontri di Matematica: Polinomi, Ricorrenza, Numeri Complessi

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1 Incontri di Matematica: Polinomi, Ricorrenza, Numeri Complessi Norberto Gavioli Dipartimento di Ingengeria e Scienze dell Informazione ematematica Università dell Aquila Ercole Suppa e Rosanna Tupitti Liceo Scientifico A. Einstein Teramo Progetto Lauree Scientifiche Teramo Liceo Scientifico A. Einstein A.S

2 Indice I Polinomi 2 1 Incontro del 6 novembre Notazioni e richiami principali Valutazione di un polinomio Divisione con resto Polinomi irriducibili Teorema di Ru ni Principio di identità fra polinomi Radici di polinomi a coe cienti interi Incontro del 11 dicembre Radici e coe cienti di un polinomio Polinomio reciproco Identità di Newton Radici multiple Problemi sui polinomi Esercizi proposti

3 Parte I Polinomi 2

4 1 Incontro del 6 novembre Notazioni e richiami principali Utilizzeremo la notazione classica per indicare un polinomio nella variabile x: p(x) =a 0 + a 1 x + + a n x n dove a 0,...,a n è una sequenza (eventualmente vuota) di numeri reali (o complessi) detti coe cienti del polinomio p(x). Quando questa sequenza è vuota il polinomio in questione è il polinomio nullo. Un polinomio è identificato completamente dall insieme dei suoi coe cienti. Per avere una definizione formalmente corretta è preferibile descrivere un polinomio nella forma p(x) =a 0 + a 1 x + + a i x i + = 1X a i x i dove {a i } 1 i=0 è una successione di numeri (reali o complessi), detti coe cienti, tali che a i 6=0per un numero finito di indici i. È una consuetudine omettere i coe cienti uguali a zero nella descrizione di un polinomio; pertanto se n è i l p i ù grande indice i tale che a i 6= 0 potremo scrivere p(x) =a 0 + a 1 x + + a n x n. In tal caso l intero n viene anche detto grado del polinomio. Il polinomio nullo non ha grado. Il grado del polinomio p(x) viene denotato con gr(p(x)). La somma p(x)+q(x) di due polinomi p(x) = P 1 i=0 a ix i e q(x) = P 1 i=0 b ix i è un polinomio i cui coe cienti si ottengono sommando indice per indice i coe cienti di p(x) eq(x): p(x)+q(x) = 1X (a i + b i )x i. i=0 i=0 3

5 Il prodotto p(x)q(x) è anch esso un polinomio p(x)q(x) = P 1 i=0 c ix i dove i coe cienti c i si ottengono imponendo che venga soddisfatta la legge distributiva del prodotto rispetto alla somma:... e più in generale... c 0 = a 0 b 0, c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0, c 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0, c i = ix a j b i j. j=0 È facile vedere che (laddove il grado sia definito): gr(p(x)+q(x)) 6 max(gr(p(x)), gr(q(x))) gr(p(x)q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x)) Definizione 1. Il coe ciente a n di un polinomio non nullo p(x) =a 0 + a 1 x + +a n x n di grado n è d e t t o coe ciente direttore di p(x). Un polinomio è detto essere monico se il suo coe ciente direttore è uguale a Valutazione di un polinomio Dati un polinomio p(x) =a 0 + a 1 x + + a n x n ed un numero reale (complesso), la valutazione p( )dip(x)in, è il numero reale p( ) =a 0 +a 1 + +a n n. La valutazione del polinomio nullo è sempre uguale a 0, comunque sia scelto il numero reale. Dati due polinomi p(x) e q(x), se a(x) = p(x)+q(x) e b(x) = p(x)q(x) allora si ha chiaramente che a( ) = p( )+ q( ) e che b( ) = p( )q( ). Definizione 2. Un numero reale (complesso) è detto radice del polinomio p(x) sep( ) = Divisione con resto Il fatto che si possa eseguire la divisione con resto tra polinomi ha numerose conseguenze, pertanto richiamiamo questo fatto come enunciato. Teorema 1. Dati due polinomi a(x) e b(x) 6= 0, allora esistono e sono univocamente determinati due polinomi q(x) e r(x), detti rispettivamente quoziente e resto della divisione di a(x) per b(x), tali che 1. a(x) =b(x)q(x)+r(x), 2. se r(x) 6= 0allora gr(r(x)) < gr(b(x)). 4

6 Nel caso in cui il resto r(x) della divisione sia nullo, e quindi che a(x) siaun multiplo di b(x), si dice che il polinomio a(x) è divisibile per b(x) oppure che b(x) è un divisore di a(x). 1.4 Polinomi irriducibili Un polinomio a coe cienti reali (risp. complessi) di grado maggiore o eguale a uno è detto essere irriducibile se ammette come divisori esclusivamente polinomi a coe cienti reali (risp. complessi) di grado 0 o del suo stesso grado. Teorema 2. Dato un polinomio p(x) =a 0 + a 1 x + + a n x n di grado n > 1 allora esistono e sono univocamente determinati un insieme non vuoto S = {q 1 (x),...,q k (x)} di polinomi monici e irriducibili e dei numeri interi positivi e 1,...,e k tali che p(x) =a n q 1 (x) e1 q k (x) e k. Si osservi che, per motivi di grado, nel precedente teorema k 6 n. Nel caso in cui k = n allora si ha necessariamente che e 1 = e 2 = = e n =1 e q i (x) =x i,dove i è un numero reale (complesso), si dice allora che il polinomio p(x) si spezza completamente sui numeri reali (complessi). 1.5 Teorema di Ru ni Si supponga di dividere un polinomio p(x) per un polinomio monico di primo grado b(x) =x allora il resto r(x) della divisione è un polinomio nullo o di grado zero: r(x) =r, dover è un numero reale (complesso). Si ha pertanto p(x) =(x )q(x) + r. Valutando tale polinomio in si ottiene p( ) =( )q( )+r = r. Ne deduciamo che il resto della divisione del polinomio p(x) per x è sempre uguale alla valutazione di p(x) in. Pertanto è una radice del polinomio p(x) se e solo se il resto della visione di p(x) perx è il polinomio nullo. Abbiamo dimostrato il Teorema (di Ru ni ). Un polinomio p(x) è divisibile per x se e solo se p( ) =0. Esercizio. Mostrare che un polinomio p(x) =a 0 + a 1 x + + a n x n è d i v i s i b i l e per x 1 se e solo se la somma a 0 + a a n dei suoi coe cienti è uguale a 0. Soluzione. Da quanto visto sopra il polinomio p(x) èdivisibileperx se p(1) = a 0 + a a n = 0. 1 se solo Paolo Ru ni (Valentano, 22 settembre 1765 Modena, 10 maggio 1822), matematico e filosofo italiano. Il suo nome è legato al Teorema di Abel-Ru ni (probabilmente ideato nel 1803 o 1805) sulla irresolubilità algebrica delle equazioni di grado superiore al quarto. 5

7 Esercizio. Mostrare che un polinomio p(x) =a 0 + a 1 x + + a n x n è d i v i s i b i l e per x + 1 se e solo se la somma dei coe cienti dei termini di grado pari eguaglia la somma dei coe cienti dei termini di grado dispari, o, equivalentemente, se e solo se la somma a segni alterni dei coe cienti di p(x) è nulla. Soluzione. Scriviamo p(x) nella forma a 0 + a 1 x + + a 2h x 2h,dove2h = n se n è pari o 2h 1=n se n è dispari nel qual caso a 2h = 0. Da quanto visto sopra il polinomio p(x)èdivisibileperx+1 se solo se p( 1) = a 0 a 1 + a 2h 1 +a 2h = 0, e questo accade se e solo se a 1 + a a 2h 1 = a 0 + a a 2h. Esercizio. Mostrare che un polinomio p(x) =a 0 + a 1 x + + a n x n è d i v i s i b i l e per x se e solo se sono nulle la somma a segni alterni dei coe cienti dei termini di grado pari e la somma a segni alterni dei coe cienti dei termini di grado dispari. Soluzione. Come prima scriviamo p(x) nella forma a 0 +a 1 x+ +a 2h x 2h,dove 2h è il più piccolo multiplo positivo di h che eccede n e dove poniamo a i =0se i>n. Possiamo allora scrivere dove e p(x) =x(a 1 + a 3 x a 2h 1 (x 2 ) h 1 )+(a 0 + a 2 x a 2h (x 2 ) h ) = s(x 2 ) x + t(x 2 ) s(x) =a 1 + a 3 x + + a 2h 1 x h 1 t(x) =a 0 + a 2 x + + a 2h x h. Per quanto esposto in questo paragrafo, possiamo scrivere e s(x) =(x + 1)u(x)+r 1 t(x) =(x + 1)v(x)+r 2, dove r 1 = s( 1) ed r 2 = t( 1) sono i resti delle divisioni di s(x) et(x) per x + 1. Sostituendo s(x 2 )=(x 2 + 1)u(x 2 )+r 1 e t(x 2 )=(x 2 + 1)v(x 2 )+r 2 nell espressione trovata per p(x) si ha p(x) =s(x 2 ) x + t(x 2 )=(x 2 + 1) u(x 2 ) x + v(x 2 ) + r 1 x + r 2 Dal Teorema 1 ricaviamo che r 1 x+r 2 è il resto della divisione di p(x) perx 2 +1 e quindi p(x)èdivisibileperx 2 +1 se e solo se r 1 = r 2 = 0. Questo equivale a dire che s(x) et(x) sono entrambi divisibili per x + 1 e quindi, in base all esercizio precedente, che la somma a segni alterni dei loro coe cienti è nulla, che è quanto volevasi dimostrare. È possibile dare una soluzione diretta a questo esercizio utilizzando il teorema di Ru ni e il fatto che x 2 +1dividep(x) se e solo se p(i) =p( i) = 0, dove i è l unità immaginaria. 6

8 1.6 Principio di identità fra polinomi Supponiamo ora che p(x) sia un polinomio non nullo che ammetta le n+1 radici 1,..., n+1 tra loro a due a due distinte. Dal Teorema di Ru ni discende che p(x) =(x 1 )p 2 (x). Poiché 0 = p( 2 )=( 2 1 )p ( 2 )e 2 1 6= 0sideducechep 2 ( 2 ) = 0. Sempre dal Teorema di Ru ni deduciamo che p 2 (x) =(x 2 )p 3 (x) cosicché p(x) =(x 1 )(x 2 )p 3 (x). Iterando questo ragionamento si conclude che p(x) =(x 1 )(x 2 ) (x n+1 )q(x), dove q(x) è un polinomio non nullo. Confrontando i gradi si ottiene che gr(p(x)) > n + 1. Abbiamo mostrato che non esiste nessun polinomio non nullo di grado minore o eguale ad n che abbia n +1 radici distinte, o equivalentemente che un polinomio di grado minore o eguale a n ha al più n radici a due a due distinte. In particolare se la di erenza d(x) = p(x) q(x) tra due polinomi di grado minore o eguale a n si annulla in n + 1 valori distinti 1,..., n+1, allora d(x) è il polinomio nullo. Riassumendo otteniamo il principio di identità tra polinomi: due polinomi p(x) e q(x) di grado minore o eguale a n, che assumano lo stesso valore su n +1 punti (p( i )=q( i ) per i =1, 2,...,n+1 dove i 6= j per i 6= j), sono uguali tra loro (identici). Esercizio. Mostrare che vi è un unico polinomio p(x) di grado 3 il cui grafico passa per i punti A(0, 3), B(1, 2), C(2, 5) e D(3, 24) del piano cartesiano. Soluzione. Dobbiamo trovare un polinomio p(x) di terzo grado tale che p(0) = 3, p(1) = 2, p(2) = 5 e p(3) = 24. L unicità è garantita dal principio di identità tra polinomi. Verifichiamo l esistenza costruendo detto polinomio per approssimazioni successive. Iniziamo a porre p 1 (x) = 3. Il grafico di questo polinomio passa per il punto A, ma non necessariamente per gli altri. L idea ora è quella di modificare p 1 (x) da ottenere un nuovo polinomi p 2 (x) il cui grafico passi per A e B ponendo p 2 (x) =p 1 (x)+ax dove a è un valore incognito. Indipendentemente dal valore del parametro a, il grafico di p 2 (x) continua a passate per A, infatti p 2 (0) = p 1 (0) + a 0= 3. Imponendo la condizione 2=p 2 (1) = 3+a si determina a = 1 e pertanto p 2 (x) = 3+x è un polinomio il cui grafico passa per i punti A e B. In modo analogo si definisce p 3 (x) =p 2 (x) +bx(x 1). Il polinomio p 3 (x) ha un grafico che passa per i punti A e B indipendentemente dal valore del parametro b, che viene determinato imponendo 5 = p 3 (2) = 1+2b. Si ha allora b =3ep 3 (x) =x 3+3x(x 1) = 3x 2 2x 3 ed il grafico di p 3 (x) passa per i punti A, B e C. Infine, posto p 4 (x) =p 3 (x)+cx(x 1)(x 2) si trova che il grafico di detto polinomio passa sempre per i punti A, B e C, indipendentemente dal valore del parametro c che viene determinato imponendo 24 = p 4 (3) = c. Si ricava c =1ep 4 (x) =3x 2 2x 3+(x 3 3x 2 +2x) =x 3 3cheèil polinomio cercato. In generale, dati n +1 punti A i (x i,y i ), dove i =1, 2,...,n+ 1, aventi ascisse a due a due distinte, il metodo precedente, detto anche metodo di Newton, 7

9 permette di di costruire un polinomio p(x) di grado al più eguale a n tale che p(x i )=y i. Si pone p(x) =h 1 +h 2 (x x 1 )+h 3 (x x 1 )(x x 2 )+ +h n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n 1 ) Dove h 1,...,h n sono parametri da determinare. Imponendo p(x 1 )=y 1 si trova h 1 = y 1. Supposto di aver già determinato h 1,...,h i, possiamo trovare il valore di h i+1 risolvendo in h i+1 l equazione y i+1 = p(x i+1 )=h 1 + h 2 (x i+1 x 1 )+h 3 (x i+1 x 1 )(x i+1 x 2 )+ + h i (x i+1 x 1 )(x i+1 x 2 ) (x i+1 x i 1 )+h i+1 (x i+1 x 1 )(x i+1 x 2 ) (x i+1 x i ). Un altro metodo, noto come metodo di Lagrange, consiste nel determinare dapprima, per ciascun i = 1,...,n + 1, l i-esimo polinomio di Lagrange: l i (x) = (x x 1) (x x i 1 ) (x x i+1 ) (x x n+1 ) (x i x 1 ) (x i x i 1 ) (x i x i+1 ) (x i x n+1 ) Successivamente, notando che si ottiene direttamente l i (x j )= ( 1 se i = j, 0 se i 6= j, p(x) =y 1 l 1 (x)+ + y n+1 l n+1 (x). 1.7 Radici di polinomi a coe cienti interi Supponiamo che i coe cienti del polinomio p(x) =a 0 +a 1 x+ +a k x k, di grado k, siano tutti interi e che = m n sia una radice razionale di p(x). Supponiamo inoltre che sia ridotta ai minimi termini, ossia che m ed m siano due interi primi tra loro. Abbiamo allora Moltiplicando per n k si ottiene m p( ) =a o + a 1 n + + a m k k n k =0. 0=a 0 n k + a 1 mn k a k 1 m k 1 n + a k m k, e quindi, portando a primo membro il primo addendo, a 0 n k = m(a 1 n k a k 1 m k 2 n + a k m k 1 ). Dal momento che m divide il secondo membro e che m è coprimo con n k si trova che m è un divisore di a 0. In modo del tutto analogo si mostra che che n deve essere un divisore di a k. Abbiamo mostrato il seguente risultato: 8

10 Proposizione 1. Se p(x) =a 0 + a 1 x + + a k x k è un polinomio di grado k a coe cienti interi e = m n è una sua radice razionale scritta come frazione ridotta ai minimi termini, allora in numeratore m di divide il termine noto a 0 ed il denominatore n divide il coe ciente a k del termine di grado massimo. Esercizio. Mostrare che il numero p 2+ p 3 è irrazionale. Soluzione. Poniamo = p 2+ p 3. Si ha 2 =5+2 p = ( 2 5) 2 =(2 p 6) 2 = 24. Abbiamo allora mostrato che è radice del polinomio p(x) =x 4 10x 2 + 1, che è a coe cienti interi. Una eventuale radice razionale di p(x), per quanto detto, è una frazione con numeratore e denominatore che possono essere uguali solo a ±1. Dal momento che 6= ±1, ne deduciamo che non può essere razionale. Esercizio (Giochi di Archimede 2010). Quante coppie (x, y), formate da numeri interi strettamente maggiori di 1, sono tali che: x 2 + y = xy + 1? (A) Nessuna, (B) una, (C) due, (D) tre, (E) più di quattro. Soluzione. Si devono cercare le radici intere del polinomio p(x) =x 2 yx+y 1. In base alla Proposizione 1, una radice deve essere un divisore = d>1di y 1=dh > 0. Si trova allora 0 = 2 y + y 1=d 2 (hd + 1)d + hd = d(d hd 1+h) =d(d 1)(1 h), da cui discende h =1e1< = d = y 1e quindi y>2. Viceversa si verifica che comunque venga scelto un intero >2, per la coppia (x, y) =( 1, )sihax 2 + y =( 1) 2 + y = 2 +1= ( 1) +1 = xy + 1 come richiesto. La risposta corretta è pertanto la (E). 9