Metodi e strumenti per i processi di modellizzazione Laboratorio interdisciplinare

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1 UNVERSTA DEGL STUD D PALERM MASTER LVELL N DDATTCA DELLE SCENZE PER NSEGNANT D SCULE MEDE ED ELEMENTAR Metodi e strumenti per i processi di modellizzazione Laboratorio interdisciplinare MT RETTLNE UNFRME E UNFRMEMENTE ACCELERAT DCENT : PRF. RE CLAUD FAZ PRF. RE BENEDETT D PALA ALLEVA : MELS BARBARA l movimento l sistema di riferimento Lo studio del moto l moto rettilineo l moto rettilineo uniforme Grafico spazio tempo La pendenza della retta in un grafico s/t La velocità media La velocità istantanea l moto uniformemente accelerato Laboratorio interdisciplinare

2 l movimento l nostro è un mondo pieno di movimento, le nuvole che corrono nel cielo, le foglie che cadono, i veicoli per strada, i nostri alunni vivono in modo del tutto normale esperienze che riguardano oggetti in movimento ed il movimento del proprio corpo e delle sue parti in relazione alle proprie reazioni ed a quelle del mondo circostante. Su questo argomento i bambini però si pongono alcune domande che spesso ci siamo fatti anche noi da piccoli: - Perchè, se siamo su un treno fermo, abbiamo l impressione che parta, ed invece è il treno vicino che si muove? - Perché, quando siamo in macchina, ci sembra che gli alberi si muovono? l sistema di riferimento Proviamo a dare una risposta alla seguente domanda: n base a quale criterio diciamo che il treno è fermo e gli alberi si muovono? l criterio proposto dalla scienza è il seguente: un corpo è in movimento quando, nel tempo, cambia la sua posizione rispetto a un osservatore. L insieme di tutti i corpi rispetto ai quali valutiamo se un oggetto è fermo o in movimento è detto sistema di riferimento. corpi possono essere in quiete rispetto a un sistema di riferimento e contemporaneamente, in moto rispetto a un altro. Ad esempio, un viaggiatore su un automobile è in movimento (a) rispetto a un osservatore a terra (c), ma è in quiete rispetto al suo compagno di viaggio (b).

3 Lo studio del moto corpi in movimento possono avere moto con caratteristiche molto diverse gli uni dagli altri. Ad esempio, il moto di una persona che cammina (A) è diverso dal moto di un pallone che rotola (B); il moto descritto dal volo di un uccello (C) è diverso da quello descritto dalla caduta di un sasso, ecc. (A) (B) (C) Conoscere un moto significa conoscere le leggi che lo regolano. Queste leggi sono le relazioni matematiche che sussistono tra le grandezze fisiche in gioco in ciascun fenomeno di moto. Le grandezze fisiche pertinenti per lo studio dei moti sono: spazio, tempo, velocità, accelerazione. l moto rettilineo l caso più semplice di moto è quello definito rettilineo ed è rappresentato dal movimento di un punto materiale che si muove lungo un segmento di retta. Per descrivere questo tipo di movimento, bisogna sapere dove il punto materiale si trova nei diversi istanti di tempo. Bisogna quindi misurare la sua posizione da un particolare punto di riferimento in istanti di tempo successivi. secondi 0 Minuti 3 Minuti 6 Km 2 Km 3 Km 4

4 l moto rettilineo uniforme sserviamo il moto rettilineo di un pulmino della scuola che parte: tempo 0 s 1s 2s 3s 4s 0 m 25m 50m 75m 100m posizioni Misurando le posizioni del pulmino a diversi Tempo S Spazio M 0 0 istanti di tempo, possiamo costruire una tabella che rappresenta la legge del moto del pulmino l moto rettilineo uniforme dati della tabella ci informano che il pulmino, muovendosi in linea retta, percorre durante ogni secondo un tratto sempre uguale e pari a 25 metri. Questo è il tipo di moto che viene detto uniforme. Se dalla tabella calcoliamo il rapporto tra le distanze percorse dal pulmino e i relativi tempi di percorrenza otteniamo sempre lo stesso valore: ovvero 25 metri al secondo. Quindi se il moto è uniforme, si mantiene costante il rapporto s / t; cioè la velocità del moto. s rappresenta la distanza percorsa nell intervallo di tempo t. Da ciò si deduce che: nel moto uniforme le distanze percorse sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo impiegate per percorrerle.

5 Grafico spazio tempo Questi dati poi, possono essere visualizzati su un diagramma spazio/tempo relativo al moto dell oggetto. Sull asse delle ascisse vengono riportati gli istanti di tempo, mentre lungo l asse delle ordinate vengono riportate le posizioni dell oggetto di cui si vuole descrivere il moto. Un punto sul diagramma s-t rappresenta una data posizione ad uno specifico istante di tempo. P S Z N E K M ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 TEMP (RE) La pendenza della retta in un grafico s/t Per qualsiasi moto uniforme il grafico spazio/tempo è sempre una linea retta (A). L inclinazione della retta sull asse dipende dalla velocità dell oggetto in moto (nel nostro esempio, un pulmino). ssia, maggiore è la velocità del pulmino, maggiore è l angolo di inclinazione della retta rispetto all asse dei tempi (B); minore è la sua velocità, minore sarà l angolo di inclinazione della retta rispetto all asse dei tempi (C). (A) (B) (C) P P P S Z 100 S S Z Z N N N E E E K K K M 25 2 M 25 M ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 STANTE D TEMP (RE) STANTE D TEMP (RE) STANTE D TEMP (RE)

6 La velocità istantanea Quindi, possiamo suddividere il percorso in più tratti e calcolare la velocità media per ciascuno di essi. Ad esempio, il rapporto tra la lunghezza del tratto in salita e il tempo che il ciclista impiega per percorrerlo ci dà la velocità media del ciclista in salita. Lo stesso si può dire per il tratto piano in discesa. noltre, se riduciamo ulteriormente l ampiezza di questi intervalli (100m, 10m, 1m, ecc.) si può giungere a conoscere la velocità del ciclista in ogni punto del tracciato. n questo caso avremo trovato la velocità istantanea. La velocità media Supponiamo che un ciclista percorra una tappa lunga 180 Km in 5h. La velocità sarà di 36 Km/h. ra, se ci pensiamo bene, ci accorgeremo senz altro che c è qualcosa che non quadra. nfatti il ciclista, lungo il percorso, avrà affrontato tratti in pianura, in salita, in discesa, magari si sarà fermato per qualche foratura. È evidente che in tutte le situazioni citate avrà avuto velocità diverse. E allora, la velocità di 36 Km/h a quale punto del percorso e a quale istante si riferisce? Essa non si riferisce a nessun punto e a nessun istante particolare! La velocità di 36 Km/h è quella che il ciclista avrebbe avuto se avesse percorso la tappa di 180 Km in 5h con velocità costante. Tale velocità è definita velocità media e rappresenta il rapporto tra la distanza che è stata percorsa e l intervallo di tempo che è stato impiegato per percorrerla.

7 l moto uniformemente accelerato Studiamo, ora, il moto di un carrellino che si muove lungo una lunga rotaia. Per ridurre l attrito, ogni componente del carrellino deve essere ben lubrificata. Se incliniamo il piano della rotaia, il carrellino si muoverà verso il basso con una velocità via via crescente. La rapidità con cui esso aumenta la propria velocità (accelerazione), cresce all aumentare dell inclinazione del piano. Con una inclinazione del piano di circa 10, la misurazione degli spazi percorsi dal carrellino e dei tempi da esso impiegati a percorrerli fornisce i dati riportati nella seguente tabella. Tabella s (m) t (s) v s/t^2 0,0 0 (m/s) ,2 0,5 0,44 0,88 0,8 1 1,25 0,85 1,9 1,5 2,17 0,86 3,5 2 3,14 0,88 5,3 2,5 3,66 0,85 La prima colonna riporta gli spazi (espressi in metri) percorsi dal carrellino negli intervalli di tempo riportati nella seconda colonna. La seconda colonna riporta gli intervalli di tempo (espressi in secondi) impiegati dal carrellino per percorrere gli spazi riportati nella prima colonna. La terza colonna esprime le velocità del carrellino nei vari intervalli di tempo e la quarta il rapporto tra gli spazi percorsi dal carrellino e i quadrati dei tempi da esso impiegati a percorrerli (espressi in m/s 2 ).

8 Riportando su due grafici i dati dello spazio e del tempo e quelli della velocità e del tempo otteniamo, andamenti che ben si adattano, rispettivamente, ad un arco di parabola (grafico s-t) e ad una retta (grafico v-t). Tali curve indicano che gli spazi sono direttamente proporzionali ai quadrati dei tempi e che le velocità sono, invece, direttamente proporzionali ai tempi. Dall analisi dei dati, infine, risulta evidente che il rapporto tra lo spazio percorso e il quadrato del tempo impiegato a percorrerlo è abbastanza costante e eguale, in media, a 0,86 m/s 2. Questo tipo di moto, dove i rapporti s/t 2 sono costanti e le variazioni di velocità sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo in cui avvengono, si chiama moto uniformemente accelerato.

9 Auto A Laboratorio interdisciplinare potizziamo di cronometrare l andamento di due auto (molto veloci ) A e B che si muovono lungo un percorso rettilineo. Entrambe le auto partono dalla stessa posizione S=0 e istante t=0. Auto B L auto A, di massa 200Kg, si muove ad una velocità iniziale di 50m/s ma successivamente incrementa la velocità con un accelerazione di 7,5m/s². L auto, è sottoposta ad una forza di 1500N. L auto B, invece, procede alla velocità costante di 200m/s. Dati del problema MASSA AUT AUT A VELCTA NZALE FRZA APPLCATA ACCELERAZNE AUT AUT B 200 KG 50 m/s 1500 N 7,5 m/s² VELCTA 720 Km/h VELCTA NZALE 200 m/s VARABLE tempo NDPENDENTE VALRE NZALE 0 S TEMP STEP 0,5 S VARABLE DPENDENTE velocità distanza t v s

10 niziamo a Tabella dei valori Velocità istantanea dell auto A= (v0+at) Spazio percorso dall auto A : s=vot+(at 2)/2 cronometrare quando le due auto si trovano all inizio del percorso rettilineo; registriamo i valori ogni mezzo secondo (per un intervallo di tempo compreso tra 0 e 10 s) Velocità costante auto B Spazio percorso dall auto B : s=vt e costruiamo una tabella. Descrizione tabella Nella prima colonna sono riportati i tempi espressi in secondi rilevati con il cronometro. Nella seconda e quarta colonna sono riportate la velocità istantanea e lo spazio percorso dall auto A. Nella terza e quinta colonna sono riportate la velocità istantanea e lo spazio percorso dall auto B

11 Commento valori auto A Analizzando i valori ricavati dalla tabella, osserviamo che l auto A nell istante iniziale T=0 ha già una velocità iniziale Vo 0 quando incomincia ad incrementare la velocità con accelerazione costante. n tal caso è evidente che la velocità da esso acquistata dopo un certo intervallo di tempo t, è data dalla somma della sua velocità iniziale Vo e dall incremento di velocità a t (cioè l incremento di velocità da esso subito nel tempo t a causa dell accelerazione a) per cui avremo : Vo+a t. Questo ragionamento ci consente di ottenere la formula mediante la quale ricavare i valori degli spazi percorsi dall auto A con velocità iniziale Vo 0. vviamente se l auto avesse mantenuto sempre la stessa velocità iniziale Vo, nel tempo t avrebbe percorso uno spazio S= Vot. Ma poichè la velocità è aumentata nello stesso intervallo, l auto ha percorso una distanza maggiore. Pertanto, nell equazione S(t) al termine Vot bisogna sommare il termine ½ a t², che indica lo spazio percorso dall auto A in seguito all accelerazione subita. Avremo quindi: S= V0t + ½ a t² 2 Commento valori auto A nseriti tutti i valori relativi all andamento dell auto, calcoliamo il t, il v e il s e notiamo valori uguali tra il t e il v ( t=0,5s e Vo=13,5Km/h). n questo modo verifichiamo che, nel moto uniformemente accelerato, la velocità del corpo varia di quantità uguale in eguali intervalli di tempo. La relazione che lega s e t nel moto uniformemente accelerato è la proporzionalità quadratica, infatti lo spazio percorso è direttamente proporzionale al tempo elevato al quadrato. 2 2

12 Commento valori auto B Analizzando i valori ricavati dalla tabella, osserviamo che l auto B procede a velocità costante. nfatti, se calcoliamo il t e il s avremo valori uguali, in ogni istante di tempo ( t=0,5s e VB=100m/s). n questo modo abbiamo verificato la prima legge della dinamica che afferma che un corpo percorre distanze uguali in intervalli di tempo uguali. Nel moto rettilineo uniforme la relazione che lega s e t è la proporzionalità diretta. Dall analisi dei dati ricavati dalla tabella possiamo affermare che le due auto percorrono moto diversi: Auto A Moto uniformemente accelerato dove la costante di proporzionalità è l accelerazione Proporzionalità quadratica Auto B Moto rettilineo uniforme dove la costante di proporzionalità è la velocità Proporzionalità lineare Rappresentiamo i valori ricavati dalla tabella, attraverso due diagrammi diversi: spazio/tempo e velocità/tempo

13 s Auto B Auto A t Descrizione grafico Su un diagramma s/t, l'asse dei tempi è tarato in secondi: il tempo 0 corrisponde al momento in cui si comincia a misurare il tempo. L asse dello spazio è suddiviso in metri con intervalli di 200 m tra una posizione e l altra. l moto dell auto B viene rappresentato dalla retta la cui pendenza è legata alla velocità costante. Più la retta è ripida tanto più spazio percorre l auto in un determinato intervallo di tempo. l moto dell auto A viene rappresentato da una parabola che rappresenta la velocità istantanea che varia in maniera uniforme con il passare del tempo. Descrizione grafico Su un diagramma v/t, l'asse dei Auto B tempi è tarato in secondi: il tempo 0 corrisponde al Auto A v momento in cui si comincia a misurare il tempo. L asse della velocità è suddiviso in (km/h) con intervalli di 200 (km/h). t l moto rettilineo uniforme dell auto B viene rappresentato da una retta orizzontale e parallela all asse dei tempi, questo dimostra che in ogni istante t la velocità è costante. l moto uniformemente accelerato dell auto A viene rappresentato da una retta i cui punti corrispondono a una coppia ordinata di valori velocità istantanea e un secondo di tempo. Tra i due intervalli abbiamo un aumento regolare che esprime una relazione lineare (al crescere della variabile indipendente, cresce anche la variabile dipendente). noltre notiamo che la retta sale; questo dimostra che la velocità aumenta e l accelerazione è positiva.