UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO. Corso di Risk Management

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Corso di Prof. Filippo Stefanini A.A. Corso Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Edile

2 Storia del VaR J.P. Morgan è accreditata come la banca che ha reso il VaR una misura ampiamente diffusa. Nel 1990 il presidente di J.P. Morgan, Dennis Weatherstone, era insoddisfatto dei lunghi report di analisi del rischio che riceveva ogni giorno. Egli voleva un report semplice che sintetizzasse l esposizione totale della banca su tutto il proprio portafoglio di trading. Da questa esigenza nacque il report 4:15, dall ora in cui veniva messo sulla scrivania di Weatherstone, prima della chiusura dei mercati. Nel 1994 J.P. Morgan pubblicò su Internet una versione semplificata del proprio sistema di calcolo dei rischi finanziari, chiamata RiskMetrics. Nel 1996 il BIS Amendment adottò ufficialmente il VaR per calcolare il capitale che le istituzioni finanziarie devono detenere per coprire la loro esposizione ai rischi di mercato e di credito. pag 2

3 Il (VaR) è la massima perdita potenziale che un portafoglio può subire in un dato orizzonte temporale e con una data probabilità (intervallo di confidenza). Il calcolo del VaR ha lo scopo di consentire di fare la seguente affermazione: Con una probabilità del 100%-X non perderemo più del Y% del portafoglio nei prossimi N giorni. Y% è il VaR del portafoglio. Il VaR è il livello di perdita che non verrà superato con probabilità 100%-X. pag 3

4 Significato grafico del VaR nella distribuzione empirica dei rendimenti f(x) Numero di osservazioni X 2 0-2% -1% 0% 1% 2% 3% 4% Rendimenti mensili x (100%-X) pag 4

5 Ad esempio un VaR di 1 milione su un mese con livello di confidenza 95%, significa che la massima perdita per il portafoglio per il prossimo mese sarà 1 milione nel 95% dei casi. Nulla ci dice su che cosa succede nel restante 5% dei casi. pag 5

6 Il VaR è il (100%-X)-esimo percentile della distribuzione dei rendimenti del portafoglio nei prossimi N giorni. Il VaR è funzione di due parametri: l orizzonte temporale (solitamente 1 giorno, 5 giorni, 10 giorni, 1 mese, 1 anno) ed il livello di confidenza (tipicamente 95% o 99%). pag 6

7 Caveat Il VaR non descrive la perdita peggiore Il VaR non dice nulla sulla distribuzione delle perdite nella coda sinistra Il VaR è soggetto all errore di campionamento pag 7

8 Parametri del VaR Nell ipotesi che le variazioni di valore del portafoglio in giorni successivi si distribuiscano come variabili casuali normali identiche, indipendenti ed a media nulla si ricava che: VaR N 1 ( X) dove X è il livello di confidenza, s è la deviazione standard della variazione di valore del portafoglio nell orizzonte temporale prescelto ed N -1 è l inversa della funzione di distribuzione normale standardizzata. Sia N il numero di giorni. Se le variazioni di valore del portafoglio in giorni successivi sono variabili casuali normali identiche, indipendenti ed a media nulla si ricava che: VaR Ngiorni VaR 1giorno N pag 8

9 VaR e Capitale di Vigilanza Gli organi di vigilanza sulla stabilità di sistema finanziario richiedono alle banche di detenere un capitale minimo calcolato in funzione del Value at Risk Il Comitato di Basilea ha scelto i seguenti parametri per il calcolo del VaR: per il rischio di mercato nel book di trading, un orizzonte temporale di 10 giorni ed un intervallo di confidenza del 99% per il rischio di credito e per il rischio operativo, un orizzonte temporale di 1 anno ed un intervallo di confidenza del 99.9% pag 9

10 Expected Shortfall La Expected Shortfall è la perdita attesa, data una perdita maggiore (in valore assoluto) del VaR. La Expected Shortfall è anche chiamata Conditional VaR (cvar) o Tail Loss. Mentre il VaR si chiede quanto possono andar male gli investimenti finanziari, la Expected Shortfall si chiede: Se gli investimenti vanno male, qual è la perdita attesa? pag 10

11 Expected Shortfall La Expected Shortfall è la perdita attesa durante un periodo di N giorni se la perdita è maggiore del (100-X)-esimo percentile Come il VaR, anche la Expected Shortfall è funzione di due parametri: l orizzonte temporale (N giorni) e l intervallo di confidenza (X%). pag 11

12 Distribuzioni con lo stesso VaR ma con diverse Expected Shortfalls Due portafogli con lo stesso VaR possono avere Expected Shortfalls molto diverse Freq oss VaR Freq oss Rend% VaR pag 12 Rend%

13 Vantaggi del VaR Il VaR è una misura di rischio ampiamente diffusa sintetizza in un singolo numero importanti aspetti del rischio di un portafoglio di strumenti finanziari ha la stessa unità di misura dei rendimenti del portafoglio su cui è calcolato è semplice da capire risponde alla semplice domanda: Quanto possono andare male gli investimenti finanziari? pag 13

14 Misure di Rischio Coerenti Definiamo una misura di rischio coerente l ammontare di cash che deve essere aggiunto ad un portafoglio per rendere il suo rischio accettabile Proprietà di una misura di rischio coerente: 1. Se un portafoglio ha rendimenti più bassi di un altro portafoglio, la sua misura di rischio deve essere maggiore in valore assoluto 2. Se aggiungiamo un ammontare di cash K ad un portafoglio, la sua misura di rischio deve diminuire di K 3. Cambiando la dimensione di un portafoglio di un fattore moltiplicativo l, la misura di rischio deve essere moltiplicata per l 4. La misura di rischio di due portafogli che vengono fusi tra loro, deve non essere maggiore della somma delle loro misure di rischio prima che siano fusi pag 14

15 VaR vs Expected Shortfall Il VaR soddisfa le prime tre condizioni ma non la quarta in quanto non è una misura di rischio additiva La Expected Shortfall soddisfa tutte e quattro le condizioni Il VaR non è una misura di rischio coerente, mentre la Expected Shortfall è una misura di rischio coerente. pag 15

16 Misure di rischio spettrali Una misura di rischio spettrale assegna pesi ai quantili della distribuzione dei rendimenti Il VaR assegna tutto il peso al (1-X)-esimo quantile della distribuzione dei rendimenti o al X-esimo quantile della distribuzione delle perdite La Expected Shortfall assegna un peso uguale a tutti i quantili maggiori dell X-esimo quantile Per una misura di rischio coerente i pesi devono essere una funzione nondecrescente dei quantili pag 16

17 Ipotesi di normalità della distribuzione dei rendimenti La distribuzione dei rendimenti di un qualunque portafoglio di strumenti finanziari non è normale. Il motivo è da ricercare nelle emozioni che guidano il comportamento degli operatori di mercato: Avidità Paura pag 17

18 Ipotesi di indipendenza dei dati nel calcolo del VaR Quando le performance giornaliere di un portafoglio sono indipendenti ed identicamente distribuite, la varianza dei dati su un periodo di N giorni è pari ad N volte la varianza giornaliera Se i rendimenti di un portafoglio hanno un autocorrelazione a ritardo 1 pari a r,la varianza su un periodo di N giorni è pari a N 2( N 1) 2( N 2) 2 2( N 3) 3 2 n1 volte la varianza giornaliera pag 18

19 Impatto dell autocorrelazione In pratica il rendimento giornaliero di un portafoglio non è sempre indipendente dal rendimento del giorno precedente. La tabella seguente mostra il rapporto tra il VaR ad N-giorni ed il VaR ad 1-giorno, quando c è un autocorrelazione r a ritardo 1 (ipotesi di normalità della distribuzione dei rendimenti). N=1 N=2 N=5 N=10 N=50 N=250 r= r= r= r= pag 19

20 Scelta dei parametri del VaR L orizzonte temporale scelto dovrebbe dipendere da quanto velocemente il portafoglio può essere liquidato. Supponiamo che una banca voglia mantenere un credit rating AA e calcoli che le società con questo credit rating hanno una probabilità di fallire dello 0.03% su un orizzonte temporale di 1 anno. Questa banca userà per il risk management interno un intervallo di confidenza al 99.97% con un orizzonte temporale di 1 anno. Rating = Il rating esprime la valutazione dell affidabilità creditizia di un soggetto emittente strumenti finanziari di debito, ovvero della probabilità che questi faccia fronte puntualmente ai suoi debiti. Pertanto il rating fornisce agli operatori finanziari un informazione sul grado di rischio degli emittenti. pag 20

21 Marginal VaR Per un portafoglio in cui ho investito l ammontare w i (weight) nell i-esima componente, il Marginal VaR è la sensitività del VaR all ammontare investito nella i-esima componente: MVaR i VaR w i pag 21

22 Incremental VaR Incremental VaR è l effetto incrementale sul VaR di un nuovo trade o l effetto incrementale di chiudere un trade esistente. Risponde alla domanda: Qual è la differenza tra il VaR con ed il VaR senza il trade? Per un portafoglio in cui l ammontare w i è investito nell i-esima componente del portafoglio: IVaR i VaR w i w i pag 22

23 Component VaR Il Component VaR per la i-esima componente del portafoglio è la parte del VaR del portafoglio che può essere attribuita a questa componente. Per un portafoglio in cui l ammontare w i è investito nell i-esima componente del portafoglio: C i VaR w i w i pag 23

24 Proprietà del Component VaR Il Component VaR è approssimativamente lo stesso del VaR incrementale Il VaR totale è la somma dei Component VaR (teorema di Euler) VaR N i1 VaR w i w i pag 24

25 Riassunto (VaR) is the maximum loss a portfolio should sustain under normal market conditions over a specified time period and with a specified level of confidence. Parametric VaR is calculated via closed-form, analytical methods. Here the portfolio volatility is calculated from the historical volatilities and correlations of each constituent position. The desired confidence level and time horizon are then applied to this volatility to generate a VaR. Monte Carlo VaR is calculated by simulating a large number of possible scenarios for each market risk factor. In each scenario the portfolio is repriced and the resulting distribution of P&L outcomes is used to derive a VaR. This technique better captures the non-linear nature of any optionality in the portfolio. Marginal VaR is the difference in portfolio VaR with the selected security and the portfolio VaR without the selected security. In other words, marginal VaR specifies how much the portfolio VaR would decrease/increase if the selected security was eliminated. Incremental VaR or contribution to VaR specifies how much the total portfolio VaR would change by increasing the size of a selected security by an incremental amount. The sum of all incremental VaRs will be equal to the portfolio VaR. pag 25

26 Calcolo dell Incremental VaR con la matrice di varianze-covarianze Sia N la funzione di densità di probabilità normale standardizzata. Sia (1-a)% l intervallo di confidenza e sia T l orizzonte temporale di riferimento IVaR w i i N VaR w 1 i w ( ) T i w 1 w' w i N 1 ( ) n j1 w j w i ij T w' w Matrice di varianze-covarianze pag 26

27 Esempio Consideriamo il seguente portafoglio: Bloomberg ticker Name Portfolio Weights IT IM Equity Italcementi SpA 10.00% BRE IM Equity Brembo SpA 10.00% TEN IM Equity Tenaris SA 10.00% UBI IM Equity Unione di Banche Italiane SCPA 10.00% BP IM Equity Banco Popolare SC 10.00% ATL IM Equity Atlantia SpA 10.00% CRB IM Equity LYXOR ETF Commodities CRB 10.00% IT Govt Italy Buoni Poliennali Del Tesoro 10.00% IT Govt Italy Buoni Poliennali Del Tesoro 10.00% GR GOVT Hellenic Republic Government Bond 10.00% Matrice di varianze-covarianze pag 27

28 Esempio La matrice varianze-covarianze giornaliere è la seguente: 0.057% 0.026% 0.032% 0.025% 0.033% 0.021% 0.005% 0.000% % 0.001% 0.026% 0.053% 0.034% 0.026% 0.033% 0.019% 0.007% % % 0.001% 0.032% 0.034% 0.107% 0.035% 0.045% 0.028% 0.021% % % 0.001% 0.025% 0.026% 0.035% 0.056% 0.041% 0.018% 0.007% % % 0.000% 0.033% 0.033% 0.045% 0.041% 0.099% 0.023% 0.008% 0.000% % 0.001% 0.021% 0.019% 0.028% 0.018% 0.023% 0.046% 0.006% 0.000% % 0.001% 0.005% 0.007% 0.021% 0.007% 0.008% 0.006% 0.019% 0.000% 0.000% 0.000% 0.000% % % % 0.000% 0.000% 0.000% 0.001% 0.000% 0.000% % % % % % % 0.000% 0.000% 0.000% 0.000% 0.001% 0.001% 0.001% 0.000% 0.001% 0.001% 0.000% 0.000% 0.000% 0.001% Matrice di varianze-covarianze pag 28

29 Esempio La matrice di varianze-covarianze giornaliere undiversified: 0.057% 0.055% 0.078% 0.057% 0.076% 0.052% 0.033% 0.006% 0.004% 0.007% 0.055% 0.053% 0.076% 0.055% 0.073% 0.050% 0.032% 0.006% 0.004% 0.007% 0.078% 0.076% 0.107% 0.078% 0.103% 0.070% 0.045% 0.008% 0.006% 0.010% 0.057% 0.055% 0.078% 0.056% 0.075% 0.051% 0.032% 0.006% 0.004% 0.007% 0.076% 0.073% 0.103% 0.075% 0.099% 0.068% 0.043% 0.008% 0.005% 0.009% 0.052% 0.050% 0.070% 0.051% 0.068% 0.046% 0.029% 0.005% 0.004% 0.006% 0.033% 0.032% 0.045% 0.032% 0.043% 0.029% 0.019% 0.003% 0.002% 0.004% 0.006% 0.006% 0.008% 0.006% 0.008% 0.005% 0.003% 0.001% 0.000% 0.001% 0.004% 0.004% 0.006% 0.004% 0.005% 0.004% 0.002% 0.000% 0.000% 0.000% 0.007% 0.007% 0.010% 0.007% 0.009% 0.006% 0.004% 0.001% 0.000% 0.001% Matrice di varianze-covarianze pag 29

30 Esempio Ecco i risultati del calcolo del VaR con il metodo parametrico con 2 year lookback con intervallo di confidenza al 99%: Daily Monthly Yearly Ex ante Volatility 1.19% 5.32% 18.89% Diversified -2.77% % % UnDiversified -3.64% % % Matrice di varianze-covarianze pag 30

31 Esempio Di seguito riportiamo il breakdown del VaR di %: Incremental Portfolio VaR monthly Name 99% Italcementi SpA 10.00% -1.81% Brembo SpA 10.00% -1.81% Tenaris SA 10.00% -2.74% Unione di Banche Italiane SCPA 10.00% -1.89% Banco Popolare SC 10.00% -2.58% Atlantia SpA 10.00% -1.48% LYXOR ETF Commodities CRB 10.00% -0.66% Italy Buoni Poliennali Del Tesoro 10.00% 0.01% Italy Buoni Poliennali Del Tesoro 10.00% 0.05% Hellenic Republic Government Bond 10.00% -0.05% Matrice di varianze-covarianze pag 31

32 Backtesting Supponiamo che l orizzonte temporale sia 1 giorno ed il limite di confidenza sia X%. Se il modello di VaR è accurato, la probabilità che il VaR sia superato in un dato giorno è p=1-x. Supponiamo di guardare al numero totale di n giorni e osserviamo che il limite di VaR è ecceduto (in valore assoluto) in m giorni Se (m/n)>p, dobbiamo rifiutare il modello che ha prodotto valori di VaR troppo piccoli pag 32

33 Backtesting Il VaR è calcolato facendo l ipotesi che il portafoglio rimanga invariato durante il periodo di tempo Fare il backtesting di una metodologia di calcolo del VaR significa guardare a quanto spesso capitano le eccezioni (in valore assoluto, perdita osservata>var) Supponiamo che la probabilità teorica di una eccezione sia p =1-X. La probabilità di m o più eccezioni in n giorni (cioè la probabilità che il VaR sia superato in m o più giorni) è: n! n k nk p (1 p k m k!( n k)! ) Quando il numero di eccezioni m è più basso del numero atteso di eccezioni, la probabilità di m o meno eccezioni è: n! m k nk p (1 p k k!( n k)! ) 0 pag 33

34 Backtesting Una volta calcolato il VaR bisogna monitorare il numero delle perdite maggiori (in valore assoluto) del VaR stimato ("VaR Exceptions"). Per un VaR calcolato usando un intervallo di confidenza pari a (1-a)%, le eccezioni dovrebbero verificarsi secondo una percentuale pari ad a%. Quindi è possibile fare un back-test sulla metodologia utilizzata per il calcolo del VaR monitorando l incidenza delle VaR Exceptions Se la percentuale di eccezioni osservate supera la soglia di a%, significa che il modello usato per la stima del VaR non è corretto pag 34

35 Esercizio Un fondo hedge ha condotto un back-test sulla metodologia VaR ed ha monitorato l incidenza delle perdite giornaliere del portafoglio che sono risultate maggiori del VaR. Se l intervallo di confidenza scelto è il 95%, quante dovrebbero essere al massimo queste eccezioni? Il VaR è stato calcolato con il metodo storico su serie storiche di 2 anni. Nell ipotesi in cui la volatilità del mercato di riferimento sia rimasta costante durante i 2 anni considerati per il calcolo del VaR, il metodo VaR ha predetto correttamente il rischio del portafoglio dell hedge fund? pag 35

36 Esercizio Il grafico seguente mostra le perdite maggiori (in valore assoluto) del VaR stimato. Nel 2008 il numero delle eccezioni è stato superiore al 5% perché i movimenti di mercato sono stati molto più volatili rispetto ai precedenti 2 anni. Pertanto il modello utilizzato per la stima del VaR non si è rivelato corretto. pag 36

37 Undiversified VaR In una situazione di crisi di mercato le correlazioni tendono a salire. Si assume allora che i rendimenti dei titoli in portafoglio siano perfettamente correlati e che si muovano contemporaneamente nella peggior direzione Possiamo modificare la matrice di varianze-covarianze per studiare che cosa può succedere al portafoglio in situazioni in cui le correlazioni tra i titoli salgono fino a diventare tutte uguali ad 1. pag 37

38 Il VaR e la liquidità Che senso ha calcolare il VaR per un portafoglio concentrato o poco liquido? pag 38

39 Esempio Creiamo un portafoglio così composto: Dati al 28/03/2008 pag 39

40 Esempio Il VaR del portafoglio calcolato con il metodo storico con intervallo di confidenza 95% su un orizzonte temporale di 1 giorno è -0,17% Dati al 28/03/2008 pag 40

41 Esempio ed in maggior dettaglio Dati al 28/03/2008 pag 41

42 VaR per una distribuzione normale Se la distribuzione dei rendimenti è normale, il Value at risk è proporzionale alla volatilità: VaR( zero) W 0 z t VaR( mean) W 0 z t t dove W 0 è il valore iniziale del portafoglio s è la standard deviation m è il rendimento medio Dt è il periodo di tempo z è il coefficiente di distribuzione normale pag 42

43 Se la distribuzione dei rendimenti è normale standardizzata Se la distribuzione dei rendimenti è normale e se scegliamo a=99% VaR perché il percentile della distribuzione normale con a=99% è pag 43

44 VaR per una distribuzione generale Sia W 0 è il valore iniziale del portafoglio W è il valore di portafoglio al tempo T W W 1 0 R R è il rendimento del portafoglio con media m e standard deviation R* è detto rendimento critico Il più basso valore di portafoglio per un dato intervallo di confidenza c è W* W0 1 R * W* W VaR( mean) E W 0 R* VaR( zero) W W* W0 0 R * pag 44

45 La morte del VaR? Il Value at risk non ha permesso di individuare la possibilità di crollo dei mutui subprime statunitensi che hanno causato centinaia di miliardi di dollari di perdite per le banche di tutto il mondo La crisi subprime ha evidenziato i difetti di questa misura finanziaria basata sui prezzi storici pag 45

46 La morte del VaR? Finance is an area that's dominated by rare events. The tools we have in quantitative finance do not work in what I call the Black Swan domain. Nassim Taleb, autore del libro The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable e del libro Fooled By Randomness: The Hidden Role of Chance in Life and in the Markets VaR creates a false sense of security among senior managers and watchdogs. This is like an air bag that works all the time, except when you have a car accident. David Einhorn President and Co-Founder Greenlight Capital LLC pag 46

47 VaR e UCITS III sofisticati The calculation of the Value-at-Risk must be done according to the following calculation standards: unilateral confidence interval of 99 %; holding period equivalent to 1 month (20 days); effective observation period (history) of risk factors of at least 1 year (250 days) unless a shorter observation period is justified by a significant increase in price volatility; quarterly data update; daily calculation, in principle. In principle, UCITS must apply an instant price choc equivalent to a 20 days price variation and a confidence interval of 99%. Fonte: CSSF CIRCULAR 07/308, 2 agosto 2007 pag 47

48 VaR e UCITS III sofisticati The Commission would like to draw the UCITS' attention on the fact that the method of calculation of a VaR equivalent to 99% confidence interval and one month holding period described above is based on simplifying hypothesis which are far from being always observed in reality. Consequently, the Commission expects that the UCITS applies such equivalent VaR with caution and makes use, if appropriate, of a more conservative method or determines directly the VaR on the basis of the parameters of 99% and one month holding period (instant choc) when it becomes obvious that the indicated method (square root of time, quantiles of normal distribution) results in an underestimate of the risk for the standard calculations determined at the beginning of this point (i.e. 99%, one month). Fonte: CSSF CIRCULAR 07/308, 2 agosto 2007 pag 48

49 Esercizio Se la distribuzione dei rendimenti è normale un VaR mensile del 20% con intervallo di confidenza del 99% a quale volatilità annua dei rendimenti corrisponde? VaR Ngiorni VaR 1giorno N VaR VaR 12 20% 12 1anno 1mese 69.28% VaRannuale annuale / annuale annuale VaR 29.79% pag 49

50 Metodi di calcolo del VaR Non c è un unico metodo per il calcolo del VaR. Modelli basati sui dati passati Calcolo con la matrice di varianze-covarianze Simulazione con il metodo di Monte-Carlo Modelli basati sulle volatilità implicite Il problema è che i dati sulle volatilità implicite sono disponibili solo per un numero ridotto di strumenti finanziari. Tuttavia in questo modo si ottiene una misura del VaR più reattiva agli shock di mercato pag 50