Metodologie innovative per l analisi costi-benefici: ROV - Real Option Valuation

Transcript

1 Metodologie innovative per l analisi costi-benefici: il metodo delle opzioni reali (ROV - Real Option Valuation) per la valutazione dei progetti di investimento infrastrutturali - Abstract - documento presentato all Università G. D Annunzio di Chieti, facoltà di Economia, maggio 2009 a cura dei consulenti Gemino Global Advisor

2 Cenni sull analisi Costi Benefici Nel caso degli investimenti pubblici si è soliti parlare di analisi economica: ciò sta a significare che non si valutano solo i flussi finanziari (tipici dell analisi finanziaria), ma anche i costi e i benefici che ricadranno sulla collettività per effetto del progetto di investimento. In tale situazione si cerca di valutare, in termini monetari, tutti gli svantaggi (costi) e tutti i vantaggi (benefici) che l investimento arrecherà alla popolazione interessata. L analisi costi-benefici è, quindi, una procedura che permette: di misurare i guadagni e le perdite degli individui, utilizzando il denaro come unità di misura (processo di monetizzazione); di aggregare le valutazioni di carattere monetario dei guadagni e delle perdite degli individui ed esprimerli come guadagni e perdite Processo di stima Processo di aggregazione Processo di monetizzazione Costi-Benefici Vantaggi e svantaggi individuali Vantaggi e svantaggi collettivi

3 I principi fondamentali alla base dell analisi costi-benefici L analisi costi-benefici si fonda su più scienze economiche e finanziarie, che vanno dalla Teoria della finanza pubblica (nelle impostazioni di Smith e Ricardo), alla Microeconomia classica (Kaldor, Baumol, Cournot, Hicks) alla Finanza aziendale (Markowitz, Black, Scholes, Merton). Finanza pubblica classica Microeconomia classica Finanza aziendale Teoria delle esternalità Teoria dei beni pubblici Funzioni di produzione, di ricchezza, etc Teoria dei mercati Analisi dei costi, capital budgeting Finanza valutativa moderna Analisi degli investimenti ANALISI COSTI-BENEFICI Real Option Obiettivo del presente documento è quello di introdurre la metodologia delle opzioni reali alla valutazione costi-benefici dei progetti di investimento

4 Metodologie di valutazione adottabili In linea generale, tra le metodologie maggiormente utilizzate per la valutazione economica di progetti infrastrutturali rientrano, principalmente: Il metodo dell attualizzazione dei flussi economici, ottenuti dalla differenza tra i benefici e costi interni ed esterni, scontati con un adeguato tasso sociale di sconto. Il metodo delle opzioni reali, che applica la teoria delle opzioni finanziarie alla valutazione dei progetti di investimento reali. La seconda metodologia offre, rispetto alla prima, un vantaggio assoluto: Inglobare nel processo di valutazione la variabile dell incertezza.

5 Metodologie di valutazione adottabili Ricorrendo al primo metodo, infatti, si arriverebbe ad ottenere come output della valutazione una batteria di indicatori economici (TIRE tasso interno di rendimento economico, VANE - Valore attuale netto economico, payback period economico, etc). Le formule valutative del VANE sono le seguenti: VANE=-C 0 + n t=1 CF t (1+r) t n VANE=-C 0 + CF t (1+Tire) -t = 0 t=1 il VANE (valore attuale netto economico) consiste nella somma di tutti i cash flow economici attualizzati all anno zero, attraverso un opportuno tasso di sconto sociale mentre il TIRE (tasso interno di rendimento economico) consiste in quel particolare valore del tasso di sconto che rende il VANE uguale a zero. Di conseguenza, se il VANE è uguale a zero, il TIRE è esattamente uguale al tasso di sconto sociale.

6 Il legame tra il VANE e il TIRE Infatti, il VANE è legato in maniera inversa al tasso di sconto; essendo il TIRE quel tasso che rende il VANE uguale a zero, è necessario che nella successione dei costi e dei ricavi/benefici vi sia almeno un inversione di segno. Ciò sta a significare che almeno una volta i ricavi/benefici, al netto dei costi, devono essere negativi per poi diventare positivi. Se, però, nel corso del progetto si sostengono ulteriori costi, che provocano un ulteriore inversione di segno, si avrà il fenomeno dei TIRE multipli, ossia tanti TIRE quante volte la funzione del VANE intersecherà l asse delle X, che a sua volta dipende dal numero di inversioni di segno del cash flow. Per ovviare a questa situazione si potrà procedere, con un algoritmo di calcolo, a riassumere i TIRE multipli in un unico tasso, oppure a ripartire la spesa su più anni, evitando, così, l inversione di segno dei cash flow. Caso 1: TIRE puntuale Caso 2: TIRE multipli VANE VANE TIRE TIRE 0 0 r r

7 Limiti del VANE Il VANE, però, rappresenta una metodologia di valutazione di tipo deterministico, nel senso che si ipotizza oggi (tempo t 0 ) l evoluzione dei flussi economici che il progetto sarà in grado di generare per tutto il periodo di valutazione (time value). L implicazione concettuale è che il valutatore decide oggi l evoluzione di tutte le variabili critiche di valutazione; ad esempio: l evoluzione temporale e l ammontare degli investimenti da realizzare; le eventuali dismissioni da effettuare; etc.. Ovviamente, tali decisioni sono prese sulla base di una specifica prefigurazione del contesto economico futuro, dal quale dipende la proiezione dei flussi e, conseguentemente, la redditività di progetto. L evoluzione progettuale, però, è influenzata da una serie di eventi futuri, legati al mutare delle condizioni esterne (fattori macroeconomici, quali l aumento dei tassi di interesse, l evoluzione negativa dei tassi di cambio, l eventuale razionamento del credito) che possono incidere negativamente sul normale andamento del progetto ed inficiarne la realizzazione.

8 Limiti del VANE Il VANE calcolato senza tenere in considerazione degli eventi aleatori rappresenta il cosiddetto VANE base, in quanto fa riferimento alla parte deterministica del progetto (ossia alla parte prevedibile). In sostanza, il VANE base presenta un limite essenziale: non considera le possibilità di scelta (opzioni) che il decisore (pubblico o privato) ha in mano, quali ad esempio: abbandonare il progetto; mettersi in attesa e realizzare il progetto quando le condizioni che definiscono lo scenario economico esterno sono mutate a suo favore; introdurre varianti progettuali in corso d opera al progetto originario. Tali opzioni definibili opzioni reali opzioni reali in quanto si riferiscono ad un progetto reale d investimento - presentano caratteristiche del tutto simili alle opzioni finanziarie.

9 Opzioni finanziarie e Opzioni reali In linea generale, le opzioni finanziarie sono titoli derivati poiché derivano il loro valore da quello di un attività finanziaria. Come avremo modo di vedere meglio oltre, un opzione finanziaria conferisce a chi la detiene il diritto, ma non l obbligo, di comprare o vendere una certa attività entro una certa data e a un certo prezzo e il suo valore rappresenta il valore insito nella facoltà di esercitare l opzione. L esercizio dell opzione finanziaria consente di acquisire, ad un prezzo definito, l attività finanziaria cui l opzione si riferisce. Allo stesso modo, le opportunità progettuali che si dischiudono o che nascono dal fatto di aver scelto un deteminato iter realizzativo, possono essere considerate alla stregua di opzioni su attività reali, da cui l espressione opzioni reali, poiché i benefici rivenienti dalle opzioni del progetto possono essere colti nel momento in cui si decide di esercitare l opzione.

10 Opzioni finanziarie e opzioni reali Attraverso l applicazione della moderna teoria della finanza si riesce a risolvere tale problematica, trattando il progetto di investimento (attività reale) esattamente come il sottostante di un opzione finanziaria (attività finanziaria). Nelle slide seguenti si cercherà di evidenziare il parallelismo valutativo tra opzioni reali e opzioni finanziarie. Prima di procedere alla spiegazione del metodo delle real option, introdurremo, in sintesi, la modellistica valutativa delle opzioni finanziarie.

11 Sintesi sulle opzioni finanziarie In generale, un opzione è uno strumento finanziario che dà al detentore (holder) il diritto, ma non l obbligo, di acquistare o vendere da una controparte (writer) ad un prezzo stabilito (strike price), un determinato bene (underlying asset) entro o alla data prestabilita. Un contratto che dà il diritto di acquistare il bene è detto opzione call, mentre un contratto che dà il diritto di vendere il bene è detto opzione put. Una ulteriore distinzione va fatta in funzione della data di esercizio: se l opzione si può esercitare solo alla scadenza T del contratto, l opzione si dice di tipo europeo, se, invece, il contratto può essere esercitato in qualunque istante precedente la scadenza dello stesso, l opzione si dice di tipo americano. Se X è il prezzo di esercizio di un opzione call ed S T il prezzo del bene sottostante alla scadenza T: Se: S T >X, l opzione è detta in the money Se: S T <X, l opzione è detta out of the money Se. S T =X, l opzione è detta at the money.

12 Option call Al fine di comprendere l ingegneria finanziaria alla base delle opzioni, si riporta, di seguito, il diagramma di una opzione call. Diagramma di profitto di una opzione call con strike price 100 Premium (K) K -K Abbandono della call 100 Valore di mercato del sottostante (S) Esercizio della call Strike price (X) Holder Writer In questo caso, il detentore (holder) dell opzione call non può scendere sotto il livello K (cioè al massimo perde il costo di acquisto dell opzione) ma i suoi guadagni, se il valore del sottostante supera lo strike fissato (in questo caso 100), potranno essere illimitati. Il venditore (writer) della call, invece, al massimo guadagnerà quanto gli è stato corrisposto (il premio K) ma le sue perdite potrebbero essere illimitate, tanto più il valore del sottostante si allontana dallo strike price fissato (100). In definitiva: Se S<=X, l holder abbandonerà l opzione, in quanto potrà acquistare il sottostante direttamente sul mercato ad un prezzo inferiore; Se S>X, l holder eserciterà l opzione; in tal modo acquisterà il sottostante ad un prezzo (100) inferiore al prezzo di mercato dello stesso.

13 Option put Si riporta, di seguito il diagramma di una opzione put. In questo caso, il detentore (holder) dell opzione put possiede il sottostante; se il valore del sottostante supera lo strike price, egli non eserciterà l opzione in quanto l esercizio della put gli farebbe incassare 100 (lo strike) ma sul mercato potrebbe incassarne di più. Quindi, oltre lo strike price la put non viene esercitata, e l holder perde quanto già pagato (k) al writer. Diagramma di profitto di una opzione put con strike price 100 Premium (K) 100 Strike price (X) Writer Valore di mercato del sottostante (S) Holder Esercizio della call Abbandono della call In definitiva: Se S>=X, l holder abbandonerà l opzione, in quanto potrà vendere il sottostante direttamente sul mercato ad un prezzo superiore; Se S<X, l holder eserciterà l opzione; in tal modo venderà il sottostante ad un prezzo (100) superiore al prezzo di mercato dello stesso.

14 Pricing delle opzioni: la formula di Black & Scholes Al fine di attribuire un prezzo alle opzioni è possibile utilizzare la formula di Black & Scholes: Prezzo di una call europea Prezzo di una put europea dove: S T è il prezzo del titolo sottostante K è il prezzo d esercizio dell opzione r è il tasso di interesse privo di rischio (risk free rate) N è la distribuzione di ripartizione di una variabile causale normale Ipotesi alla base del modello: il prezzo del sottostante segue un moto browniano geometrico il sottostante e lo strumento derivato sono scambiati sui mercati in maniera continua non esistono costi di transazione, costi per tassazione e frizioni non sono ammesse opportunità di arbitraggio non rischioso sono ammesse vendite allo scoperto, sia dell opzione che del sottostante il tasso risk free è unico e immutabile nel tempo

15 Variabili della formula di Black & Scholes Come emerge dalla formula di Black & Scholes, per valutare un opzione utilizzando la formula di Black & Scholes si deve tener conto di diverse variabili cui questa è legata: Lo strike price (prezzo di esercizio delle opzioni): uno strike price alto rende una call meno costosa in quanto più difficile da esercitare; al contrario, la put diventa più costosa quanto più alto è il prezzo a cui si può esercitare (esempio 1). Il valore dell attività sottostante (underlying): un incremento di tale valore, a parità delle altre variabili di calcolo, fa apprezzare una call e deprezzare una put (esempio 2); Il tempo mancante alla scadenza: tale componente gioca a favore di entrambi i tipi di opzione, quindi al suo aumentare cresce sia il prezzo delle call che quello delle put (esempio 3); La varianza del valore dell attività sottostante (volatility): un incremento della volatilità del sottostante fa apprezza sia le opzioni call che le opzioni put (esempio 4); I dividendi pagati dall attività sottostante (dividend): l attività sottostante tende a ridursi se vengono pagati dei dividendi durante la vita dell opzione, questo fa si che tale fattore faccia deprezzare le call e apprezzare le put (si rientra nella fattispecie dell esempio 2); Il tasso di interesse risk free (risk free rate), che per assunzione di base, non muta nel tempo.

16 Variabili della formula di Black & Scholes Disponendo delle informazioni di base da inserire nella formula di Black & Scholes, è possibile individuare il valore normale delle opzioni. Al fine di procedere al calcolo prima menzionato, Gemino Global Advisor si avvale di due applicativi specifici: Un software appositamente sviluppato dai consulenti Gemino Global Advisor (GEM-OPTION VALUATION), in Excel; Un software specifico (Bloomberg/Real Option Valuation Toolkit). Di seguito sono riportati degli stamp dell applicativo sviluppato da Gemino per l applicazione della metodologia ROV.

17 Esempio 1: variazione dello strike price In questo esempio, a parità scadenza, di underlying, di volatilità e di tasso risk free, si può vedere come vari il valore delle opzioni al variare dello strike price. Modello in excel sviluppato dai consulenti Gemino Global Advisor

18 Esempio 2: variazione dell underlying In questo esempio, a parità scadenza, di strike price, di volatilità e di tasso risk free, si può vedere come vari il valore delle opzioni al variare del valore del sottostante. Modello in excel sviluppato dai consulenti Gemino Global Advisor

19 Esempio 3: variazione dei giorni di scadenza delle opzioni In questo esempio, a parità di strike price, di underlying, di volatilità e di tasso risk free, si può vedere come vari il valore delle opzioni al variare della scadenza delle opzioni. OPZIONE CALL Modello in excel sviluppato dai consulenti Gemino Global Advisor

20 Esempio 4: variazione della volatilità del sottostante In questo esempio, a parità di underlying, di strike price, di tasso risk free e di scadenza dell opzione, si può vedere come vari il valore delle opzioni al variare della volatilità del sottostante Modello in excel sviluppato dai consulenti Gemino Global Advisor

21 Le greche nel modello di Black & Scholes Negli esempi in precedenza considerati sono riportate anche le 5 greche che, per completezza di trattazione, si riportano di seguito: Delta: indica di quanto varia il valore dell opzione al variare dell underlying (valore del sottostante), esprimendo quindi la sensibilità del valore dell opzione a variazioni del sottostante; Gamma: indica come varia il Delta a seguito di uno scostamento unitario del valore del sottostante. Se il gamma è basso significa che il Delta è poco reattivo a variazioni unitarie_del_sottostante_all opzione; Vega: esprime l'entità della variazione del valore dell opzione al variare di un punto percentuale della volatilità del sottostante; Theta: indica di quanto varia il valore dell opzione al passare del tempo; in altri termini, di quanto l opzione si deprezza all avvicinarsi alla sua scadenza naturale; è anche conosciuta come un indicatore del declino temporale dell opzione; Rho: esprime la sensibilità del valore dell opzione al variare del tasso di interesse privo di rischio (risk free rate).

22 Riassumendo Avendo, quindi, a disposizione un set di dati di input, è possibile, attraverso il ricorso alla formula di Black & Scholes, valutare le opzioni finanziarie. La figura seguente sintetizza il modello di analisi. Strike price Underlying input Volatility Dividend Modello Black & Scholes Valore dell opzione Risk free rate Time Delta Gamma Theta Vega greche Rho

23 Dalle opzioni finanziarie alle opzioni reali Dopo avere accennato alla finanza dei derivati, bisogna vedere come è possibile adattare la valutazione delle opzioni finanziarie alla valutazione dei progetti infrastrutturali; per far ciò si deve partire, come già accennato in precedenza, dal presupposto che l analisi dei flussi di cassa attualizzati, sebbene sia logicamente ineccepibile, non lascia spazio a tutta una serie di prospettive alternative (o, appunto, opzioni) di cui chi fa un progetto, o dirige un investimento, può avvalersi. Queste diverse opportunità di investimento possono essere valutate esattamente come il diritto intrinseco a comprare o a vendere una call o una put, quindi con il ricorso alla formula di Black & Scholes vista in precedenza. In sostanza, si possono considerare le opportunità progettuali (o meglio le alternative progettuali) come opzioni su attività reali, nel senso che i benefici che si rinvengono dalle diverse opzioni di progetto potranno essere colti solo se si decide di esercitare l opzione. Opzione finanziaria sottostante Attività finanziaria Traslazione del metodo delle opzioni finanziarie alla valutazione di progetti infrastrutturali Opzione reale Attività reale sottostante Alternativa progettuale a Alternativa progettuale b Alternativa progettuale c Beneficio a Beneficio b Beneficio c Beneficio d Beneficio e Beneficio f Beneficio g Beneficio h Beneficio i

24 Il VANES - Valore attuale netto esteso Considerando un qualunque intervento progettuale come una serie di opzioni su attività reali, muta anche il concetto di valore attuale netto economico (VANE), che assume la denominazione di VANES (valore attuale netto economico esteso). La formula è la seguente: VANES=VANE+valore delle opzioni create dal progetto-valore delle opzioni distrutte dal progetto Si possono considerare le opportunità progettuali come opzioni su La attività teoria reali, delle opzioni nel senso reali che aggiunge i benefici al VANE, che che si considera rinvengono i benefici dalle e diverse i costi medi opzioni del di progetto, il potranno valore creato essere (flussi colti solo di se cassa si decide positivi) di esercitare e quello distrutto l opzione (optando, (flussi di cioè, cassa per negativi) quella alternativa dalle opportunità progettuale). progettuali che nascono o si dischiudono nel corso della sua realizzazione. A titolo esemplificativo, se si sceglie un ipotesi progettuale (ipotesi A) a scapito di un altra alternativa (ipotesi B), oltre ai flussi di cassa impliciti del progetto, si dovranno valutare: le opportunità che la realizzazione dell intervento A comporterà; le opportunità che si perdono optando per il progetto A a scapito del progetto B. Valutando con logiche finanziarie (esattamente come un opzione finanziaria) tali opportunità e sommando il valore così ottenuto al VANE si otterrà la redditività economica dell intero progetto.

25 Esempi di opzioni reali progettuali Si riportano, di seguito, alcune tipologie di opzioni da prendere in considerazione nel caso si valutino grandi progetti di investimento con il metodo delle opzioni reali. L opzione di fare investimenti addizionali, la quale fa sì che, affianco ai flussi di cassa generati da un progetto di investimento, si possa tener conto del valore di un opportunità aggiuntiva creata dallo stesso investimento (una call su progetti successivi) L opzione di abbandono, la quale, pur non essendo tradizionalmente considerata sotto il profilo dei cash flow, costituisce una sorta di c assicurazione contro l insuccesso di un investimento e quindi valutabile esattamente come un opzione put. L opzione di stand-by (detta anche opzione di attesa), assimilabile ad una call sul progetto sottoposto a valutazione, utile quando si riscontri la convenienza a ritardare l intervento, magari aprendo, nel frattempo, un progetto con VANE positivo. Ovviamente, quelle appena descritte sono solo alcune delle opzioni che possono presentarsi nalla fase di valutazione progettuale.

26 Valutazione delle opzioni reali con il modello di Black & Scholes Per valutare i progetti di investimento con il metodo delle opzioni reali, assimibili alle opzioni finanziarie, sarà necessario attribuire dei valori alle variabili contenute nella formula di black & Scholes, come visto per la valutazione delle opzioni finanziarie: Lo strike price (prezzo di esercizio delle opzioni): nella valutazione delle opzioni finanziarie rappresenta il prezzo al quale si può esercitare l opzione; nel modello delle opzioni reali, rappresenta il costo richiesto qualora si decida per una determinata alternativa progettuale; ad esempio, se si sceglie l alternativa di progetto A, il costo che si dovrà sostenere sarà 100, che rappresenta lo strike price; Il valore dell attività sottostante (underlying): nella valutazione delle opzioni finanziarie, questo è il valore intrinseco dell attività finanziaria sottostante l opzione; nelle modello delle opzioni reali è assimilabile ai benefici economici interni ed esterni che scaturiscono dalle diverse alternative progettuali; Il tempo mancante alla scadenza: nella valutazione delle opzioni finanziarie rappresenta il tempo mancante al giorno entro il quale si potrà esercitare l opzione; nel modello delle opzioni reali è assimilabile al periodo entro il quale si ha la possibilità di definire/scegliere tra le diverse alternative progettuali; La varianza del valore dell attività sottostante (volatility): nella valutazione delle opzioni finanziarie indica quanto varia, in più o in meno, rispetto al valore medio, il valore del sottostante finanziario; nella valutazione delle opzioni reali, è assimilabile alla deviazione standard della serie dei flussi economici ottenibili dall alternativa progettuale prescelta; segue

27 Valutazione delle opzioni reali con il modello di Black & Scholes (segue) I dividendi pagati dall attività sottostante: nella valutazione delle opzioni finanziarie rappresenta la remunerazione del sottostante finanziario; nella valutazione delle opzioni reali, è assimilabile al rendimento medio atteso dal progetto di investimento; Il tasso di interesse risk free: in entrambi i casi (opzioni finanziarie e opzioni reali) rappresenta è il tasso privo di rischio desumibile, in un determinato periodo, sul mercato finanziario. Utilizzando delle proxy progettuali per tali valori, si giungerà, con l ausilio dei fogli di calcolo visti in precedenza (Excel) o di appositi software di valutazione (CrystalBall/Bloomberg) a determinare: il valore di opzione progettuale, con relative greche; Il VANES, sommando al VANE base, ottenuto dall attualizzazione attualizzazione dei benefici e costi di progetto, il valore delle opzioni progettuali.

28 Esempi progettuali Nel caso di una progettazione di una metropolitana leggera, si possono considerare i flussi economici derivanti dalla somma dei benefici economici interni ed esterni, alla quale si andrà a sottrarre la somma dei costi economici interni ed esterni del progetto, ottenendo, per attualizzazione degli stessi, il VANE base. Ad esempio, si considereranno oltre ai rientri (ricavi da tariffazione) e costi finanziari (costi per investimenti), anche i benefici per la collettività (riduzione dei tempi di percorrenza, riduzione dei carichi veicolari per sostituzione di mezzi di trasporto, etc) e i costi per la collettività (occupazione di terreni agricoli, riduzione della produttività dei terreni limitrofi, impatti visivi e sonori attribuibili alla nuova infrastruttura viaria, etc). Sommando i benefici e costi interni ed esterni si ottiene il VANE nella sua concezione deterministica. Se il progetto preliminare prevede la possibilità di ampliare il progetto, all anno t 3, realizzando investimenti ulteriori (ad esempio allungando la tratta ferroviaria), tale possibilità può essere concepita come un opzione call a disposizione dell ATI di progetto, che potrà essere esercitata solo successivamente al periodo di valutazione.

29 Esempi progettuali Il VANES del progetto, quindi, è dato dal VANE base di progetto, che non considera l opzione di espansione progettuale, al quale si somma il valore dell opzione di espansione, dove: Lo strike price è dato dal costo aggiuntivo che sarò necessario sostenere per attuare l espansione (investimenti aggiuntivi); Il valore dell attività sottostante è dato dai maggiori benefici, in termini di maggiori rientri finanziari o maggiori benefici economici globali di progetto; Il tempo alla scadenza è il valore che intercorre dal periodo di valutazione (tempo t 0 ) fino al momento in cui si può esercitare l opzione di scegliere se dar corso all ampliamento progettuale (tempo t 3 ); La varianza del sottostante è data dalla stima della volatilità dei maggiori benefici economici connessi con l opportunità di ampliamento di progetto; Il dividendo del sottostante è dato dal differenziale di rendimento che si otterrebbe tra la situazione di progetto e la situazione con ampliamento; Il tasso risk free è il tasso di un attività finanziaria priva di rischio. Sommando al VANE il valore dell opzione di realizzare l ampliamento progettuale, si ottiene il VANE esteso di progetto, che valorizza anche l opzione di ampliamento.

30 Bibliografia essenziale Dixit, A.,J. Pindyck, Investment under Uncertainty, Princeton University Press, 1994 Grenadier, SR, Game Choices: the intersection of real options and game theory, Risk Books, 2000 Trigeorgis, L. Real Options: Managerial Flexibility and Strategy in Resouce Allocation, MIT Press, 1996 Amram M. e Kulatilaka N., Real Options, Harvard Business School press, Boston, 1999 Geske R. e Shastri K., Valuation by Approsimation: A Comparison of Alternative Option Valuation Techniques, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1985 Stanley B. Block - Geoffrey A. Hirt, Finanza aziendale, Mc Graw Hill, Milano, 2008

31 Finanza d impresa Finanza Immobiliare Finanza Agevolata Studi e Analisi SEDE LEGALE Strada Comunale Cannuccia, SNC Pineto (TE) Complesso Cerquitelli, 1 Piano, Tel Fax info@geminosrl.it SEDE OPERATIVA Via SS 16 Bis, n Spoltore (PE) ARCA delle Professioni, Scala Ciclamino Tel Fax info@geminosrl.it