GEOMETRIA NOTE DEL CORSO A.A. 2014/15

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1 GEOMETRIA NOTE DEL CORSO A.A. 2014/15 Nicola Ciccoli Contents 1 Preliminari Insiemi e applicazioni Gli insiemi e le loro operazioni Applicazioni Gruppi, anelli, campi Il campo dei numeri complessi Algebra delle matrici Esercizi di riepilogo Spazi vettoriali Spazi vettoriali Basi e dimensione

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3 1 Preliminari 1.1 Insiemi e applicazioni Gli insiemi e le loro operazioni Tutta la matematica moderna è scritta nel linguaggio della teoria degli insiemi. Da un punto di vista ingenuo un insieme è definito da una legge che ci permette di distinguere se certi elementi appartengono o meno all insieme. Ad esempio l insieme dei numeri interi minori di 5 è un insieme ben definito (mentre non è ben definito l insieme delle persone belle perchè la bellezza non è un dato oggettivo). In realtà, come dimostrato da Bertand Russell con i suoi famosi paradossi, tale teoria ingenua è contraddittoria. Esiste una ben più complessa teoria assiomatica degli insiemi che risolve queste contraddizioni. Non avremo però bisogno di usarla nel seguito del corso e quindi ci baseremo sulla precedente definizione ingenua di insieme. L appartenenza di un elemento ad un insieme verrà indicata con la notazione di Peano: se l elemento a appartiene all insieme A scriveremo a A, se non vi appartiene a A. Un insieme particolare è l insieme vuoto, cioè per definizione l insieme che non contiene nessun elemento. Tale insieme si indica con. Attenzione a distinguere tale insieme dall insieme che contiene il numero intero 0 che si indica con {0} (e diversamente dal precedente contiene, appunto, un elemento). Il numero di elementi di un insieme si dice la sua cardinalità. L insieme vuoto ha cardinalità zero. Definizione Dati due insiemi A e B diremo che B è un 3 Data la difficoltà, con i primi computer, di distinguere il numero 0 dalla lettera O era invalsa l abitudine di indicare lo zero, appunto con l ambiguo simbolo. Oggi che l uso di font di qualità permette di evitare agevolmente questo problema non è più necessaria tale accortezza, che è anzi fonte di errori.

4 1. Preliminari sottoinsieme di A e scriveremo B A se ogni elemento di B è anche elemento di A. Esempio L insieme dei numeri pari è un sottoinsieme dell insieme dei numeri interi. 2. L insieme dei numeri divisibili per 3 non è un sottoinsieme dell insieme dei numeri divisibili per 2. Osservazione Se B A e A B allora A = B. 2. Si assume per convenzione che A per ogni insieme A. 3. A A. 4. Se C B e B A allora C A. Esercizio Elencare tutti i sottoinsiemi di un insieme di 3 elementi. Soluzione Poniamo A = {1, 2, 3}. E utile considerare i sottoinsiemi in base al numero di elementi che contengono. Esiste un solo sottoinsieme con 0 elementi ed è l insieme. I sottoinsiemi con 1 solo elemento sono {1}, {2}, {3}. I sottoinsiemi con due elementi sono {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} (si noti che l ordine degli elementi non conta). Infine non bisogna dimenticare l insieme A stesso, che come tutti gli insiemi è sottoinsieme di sè stesso. Esercizio proposto: quanti sottoinsiemi ha un insieme di n elementi? Definiamo ora alcune operazioni fra insiemi. Definizione Dati due insiemi A e B: 4 1. si dice unione degli insiemi A e B e si indica con A B l insieme degli elementi che appartengono ad A oppure a B; 2. si dice intersezione degli insiemi A e B e si indica con A B l insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B;

5 1.1. Insiemi e applicazioni 3. si dice prodotto cartesiano degli insiemi A e B e si indica con A B l insieme delle coppie ordinate (a, b) in cui a A e b B. Si osservi che fra l unione e l intersezione di insiemi risultano le seguenti relazioni di inclusione: A B A, A B B, A A B, B A B. Da ciò segue facilmente che se B A allora A B = B e A B = A. L unione e la intersezione di insiemi si possono rappresentare visivamente tramite i cosiddetti diagrammi di Venn: Intersezione di insiemi A B A B Unione di insiemi A B A B Esercizio Si esplicitino l unione, l intersezione ed il prodotto cartesiano delle seguenti coppie di insiemi: 1. Siano A = {x R : x 1 } e B = { 2}; 2. Siano A = {1, 2, 5, 7} e B = {2, 3, 4, 5}; 3. Siano A = {x Q : x 2 } e B = {x Q : x 2 }; 4. Siano A = {x R : 3x + 2 = 1 } e B = {x R : x 2 1 }; 5. Siano A = {x R : x 1 } e B = {x R : x > 1 }; 5

6 1. Preliminari 6. Siano A = {x Z : x 3 } e B = {x R : x 6 }; Definizione Si dice differenza insiemistica tra due insiemi A e B l insieme A \ B = {x A x B} e si dice differenza simmetrica tra due insiemi l insieme A B = (A \ B) (B \ A) Anche in questo caso se ne può dare una rappresentazione tramite diagrammi di Venn. Differenza A \ B A B Differenza simmetrica A B A B Applicazioni Definizione (Imprecisa) Si dice applicazione fra gli insiemi A e B una legge f che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. L insieme A si dice dominio dell applicazione e l insieme B si dice codominio. 6

7 1.1. Insiemi e applicazioni Definizione (Precisa) Si dice applicazione f : A B un sottoinsieme F di A B tale che per ogni elemento a A esiste uno ed un solo elemento (a, b) F. 1 Esercizio Si dica quali fra le seguenti leggi sono applicazioni e quali no: 1. Sia A = {uomini} e B = R +. La legge che associa ad ogni uomo la sua altezza in centimetri. 2. Siano A = {giornidelmese}, B = R +. La legge che associa al giorno del mese il prezzo della benzina in quel giorno. Esempio Dato un insieme qualunque A l applicazione id A : A A, id A (a) = a è detta funzione identica dell insieme A. Definizione Due applicazioni f : A B e g : A B sono uguali se e solo se f(a) = g(a) per ogni a A. Osserva che due applicazioni che differiscano per il dominio od il codominio vengono automaticamente considerate diverse. Definizione Un applicazione f : A B si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte nel codominio; in formule se f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2, a 1, a 2 A. Esempio L applicazione f : N N, f(n) = 2n è iniettiva. Infatti se f(n 1 ) = f(n 2 ) allora 2n 1 = 2n 2 e pertanto n 1 = n L applicazione f : R R, f(x) = x 2 non è iniettiva. Infatti f(1) = f( 1) = 1. Si osservi che cambiando dominio un applicazione descritta dalla stessa legge matematica può diventare iniettiva oppure no. F. 1 Si tratta, in sostanza, di identificare una applicazione f con il suo grafico 7

8 1. Preliminari Definizione Sia data un applicazione f : A B. L insieme degli elementi del codominio che sono immagine di un elemento del dominio si dice immagine di f e si indica con Im f. L applicazione si dice suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio, cioè se Im f = B. Definizione Un applicazione si dice biettiva o biunivoca se è sia iniettiva che suriettiva. In un applicazione biunivoca ogni elemento del codominio è immagine di uno ed un solo elemento del dominio. Ad esempio è facile provare che la funzione identica è sempre biettiva. Esercizio Si dica quali se le seguenti applicazioni sono iniettive, suriettive, biettive: 1. Sia f : R R, f(x) = 2x Sia f : Q R, f(x) = x Sia f : N Z, f(x) = x. 4. Sia f : Z R, f(x) = 3x. 5. Sia f : R Z, f(x) = Sia f : R R, f(x) = senx. 7. Sia f : R + R, f(x) = logx. 8. Sia f : R R, f(x) = e x. 1.2 Gruppi, anelli, campi Come prima cosa richiamiamo alcune semplici proprietà delle operazioni fra numeri. Esistono vari insiemi numerici che avete sin qui incontrato nei vostri studi. Con N indicheremo l insieme dei numeri naturali, ovvero dei numeri 8 0, 1,..., n,... ;

9 1.2. Gruppi, anelli, campi con Z (numeri interi) indicheremo l insieme ottenuto dall insieme dei numeri naturali aggiungendo ad essi tutti i negativi di numeri naturali e dunque l insieme dei numeri 0, ±1, ±2,.... Ancora più grande è l insieme dei numeri razionali Q ottenuto aggiungendo all insieme dei numeri interi tutti i possibili rapporti fra due numeri interi (con denominatore non nullo!), ovvero le frazioni 0, ±1, ± 1 2, ±1 3, ±2 5, Tali numeri corrispondono, come ricorderete, ai decimali periodici. Non tutti i numeri decimali sono però periodici; altrimenti detto esistono dei numeri non esprimibili come rapporto di interi, quali, ad esempio, π, 2, 3. Quando ai numeri decimali periodici si aggiungono i numeri decimali non periodici si ottiene l insieme dei cosiddetti numeri reali che indicheremo con R. Vedremo fra poco che il processo di estensione non è ancora finito potendo ai reali aggiungere anche i numeri immaginari ed ottenere il caso dei numeri complessi. Ci interessa ora richiamare quelle che sono le principali proprietà delle operazioni di somma e prodotto in questi insiemi numerici. Concentriamoci anzitutto sull insieme dei numeri naturali. Le seguenti proprietà dovrebbero essere note a tutti: 1. associatività di somma e prodotto: (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a, b, c R 2. commutatività di somma e prodotto: a + b = b + a ab = ba a, b R 3. esistenza dell elemento neutro per la somma: a + 0 = 0 + a = a a R 9

10 1. Preliminari 4. esistenza dell elemento neutro per il prodotto a1 = 1a = a a R. 5. distributività della somma rispetto al prodotto a(b + c) = ab + ac a, b, c R. Un operazione è una legge con cui ad una coppia di elementi di un insieme facciamo corrispondere un altro elemento dello stesso insieme. Da un punto di vista più formale possiamo allora dare la seguente definizione: Definizione Un operazione interna binaria sull insieme A è una applicazione del prodotto cartesiano A A (l insieme delle coppie ordinate di elementi di A) a valori in A, (a, b) a b. Tale operazione si dice: associativa se (a b) c = a (b c) per ogni a, b, c A; commutativa se a b = b a per ogni a, b A; un elemento e A si dice neutro per l operazione se a e = e a = a qualunque sia a A; qualora sull insieme A sia definita anche una seconda operazione si dice che è distributiva rispetto a se Osservazioni: 10 a (b c) = a b a c a, b, c A. 1. L elemento neutro se esiste è unico. Supponiamo, infatti, che esistano due elementi neutri e 1 ed e 2 : allora e 1 e 2 = e 1 perchè e 2 è neutro e e 1 e 2 = e 2 perchè e 1 è neutro. Dunque e 1 = e Nella proprietà distributiva il ruolo delle due operazioni non è interscambiabile. E la proprietà che si usa per giustificare i cosiddetti raccoglimenti.

11 1.2. Gruppi, anelli, campi Le proprietà di un operazione dipendono anche dall insieme su cui essa è definita. Ad esempio passando dall insieme dei naturali all insieme degli interi si ottiene una nuova proprietà per l operazione di somma ovvero l esistenza di un elemento inverso (opposto) per la somma: per ogni a Z esiste un elemento a Z tale che a + ( a) = 0. E chiaro che in maniera analoga a quanto appena fatto è possibile definire in astratto la proprietà di esistenza di un elemento inverso rispetto ad una operazione in un insieme qualunque. Definizione Sia A un insieme con un operazione dotata di elemento neutro e. Si dice che un elemento a A è invertibile per se esiste un elemento b A tale che ab = e = ba. In tal caso si dirà anche che a ammette un inverso rispetto a e b si dirà l inverso di a e si indicherà con a 1. Osservazioni: 1. L inverso di un elemento a se esiste è unico. Infatti se b e c sono inversi di a risulta c = cab = b. 2. La notazione a 1 non indica un elevamento a potenza, è solo un simbolo formale. 3. Vedremo più avanti esempi di operazioni per cui non tutti gli elementi sono invertibili. Definizione Un insieme A con un operazione che sia associativa, dotata di un elemento neutro e e tale che ogni elemento di A abbia un inverso rispetto a si dice un gruppo. Se l operazione è anche commutativa si parla di gruppo abeliano. L insieme dei numeri interi con l operazione di somma è dunque un gruppo abeliano. E naturale chiedersi se sia un gruppo anche rispetto al prodotto. Ciò equivale a chiedere se dato n Z esiste m Z tale che nm = 1 Se n = 0 un tale m non può esistere. Se n 0 deve essere m = 1 e dunque m non è un numero intero n (a meno che non sia n = ±1). La richiesta dell esistenza di un numero inverso per il prodotto porta naturalmente alla costruzione dell insieme dei numeri razionali. 11

12 1. Preliminari Definizione Un insieme A su cui siano definite due operazioni e tali che: 1. A sia un gruppo abeliano per, con elemento neutro 0; 2. sia distributiva rispetto a ; 3. A \ {0} sia un gruppo rispetto a con elemento neutro 1; si dice un campo. L elemento neutro della somma si dice zero del campo e l elemento neutro del prodotto si dice unità del campo. L insieme dei numeri razionali e l insieme dei numeri reali sono esempi di campi. L insieme dei numeri interi non è un campo. Esercizio L operazione di unione di insiemi è associativa? E commutativa? Ammette elemento neutro? Esistono elementi invertibili per questa operazione? 2. Stesse domanda per l operazione di intersezione. Vale una proprietà di distributività fra le due? 3. Sia F(R; R) l insieme delle funzioni di dominio e codominio R. Definiamo su questo insieme l operazione di somma: f + g : R R; (f + g)(x) = f(x) + g(x) e l operazione di prodotto: fg : R R; (fg)(x) = f(x)g(x) Di quali proprietà godono tali operazioni? 1.3 Il campo dei numeri complessi Vogliamo ora costruire un campo sull insieme delle coppie di numeri reali che chiameremo campo dei complessi. Indichiamo con R 2 l insieme delle coppie ordinate di numeri reali: 12 R 2 = {(a, b) a, b R}

13 1.3. Il campo dei numeri complessi e definiamo su questo insieme le due seguenti operazioni (x, y) + (x 1, y 1 ) = (x + x 1, y + y 1 ) (1.1) (x, y)(x 1, y 1 ) = (xx 1 yy 1, xy 1 + x 1 y). (1.2) Proposizione Rispetto a queste due operazioni l insieme R 2 è un campo con zero 0 = (0, 0) e con unità 1 = (1, 0). Dim. La dimostrazione delle proprietà della somma viene lasciata come esercizio. Vediamo le proprietà del prodotto; iniziamo con l associatività: (x, y) ((x 1, y 1 )(x 2, y 2 )) = (x, y)(x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) = ((x(x 1 x 2 y 1 y 2 ) y(x 1 y 2 + x 2 y 1 ), x(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + y(x 1 x 2 y 1 y 2 )) = = (((xx 1 yy 1 )x 2 (xy 1 + yx 1 )y 2, (xx 1 yy 1 )y 2 + (xy 1 + yx 1 )x 2 )) (xx 1 yy 1, xy 1 + yx 1 )(x 2, y 2 ) = ((x, y)(x 1, y 1 )) (x 2, y 2 ) Dimostriamo la commutatività: (x, y)(x 1, y 1 ) = (xx 1 yy 1, xy 1 + x 1 y) = Proseguiamo con l elemento neutro: = (x 1 x y 1 y, y 1 x + yx 1 ) = (x 1, y 1 )(x, y) (x, y)(1, 0) = (1x 0y, 1y + 0x) = (x, y) e non è necessario provare l altra identità in virtù della commutatività. Proviamo infine la distibutività. (x, y)((x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )) = (x, y)(x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) = (x(x 1 + x 2 ) y(y 1 + y 2 ), x(y 1 + y 2 ) + y(x 1 + x 2 )) = (xx 1 yy 1 + xx 2 yy 2, xy 1 + yx 1 + xy 2 + yx 2 ) = (xx 1 yy 1, xy 1 + yx 1 ) + (xx 2 + yy 2, xy 2 + yx 2 ) = (x, y)(x 1, y 1 ) + (x, y)(x 2, y 2 ) 13

14 1. Preliminari L insieme R 2 con la struttura di campo appena definita si dice campo dei numeri complessi e si indica anche con C. Una delle caratteristiche importanti del campo dei numeri complessi è legata al fatto che è possibile vedere ogni numero reale come un particolare numero complesso tramite l identificazione R a (a, 0) C. Questa è una buona identificazione perchè preserva le operazioni dei numeri reali, cioè (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) e dunque possiamo indifferentemente calcolare somme e prodotti di numeri reali o dei numeri complessi a cui essi sono identificati ottenendo lo stesso risultato. A questa proprietà i matematici si riferiscono dicendo che esiste una immersione dei reali nei complessi. Indichiamo ora con ı il numero complesso (0, 1). E facile allora dimostrare la seguente proprietà algebrica di ı: i 2 = ( 1, 0) = 1. Il numero complesso ı si dice unità immaginaria. Dato un qualunque numero complesso (a, b) si ha (a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) ovvero, identificando i numeri reali con le coppie (a, 0) e usando l unità immaginaria, (a, b) = a + ib.questa notazione è particolarmente comoda perchè permette di fare somme e prodotti di numeri complessi semplicemente ricordando le operazioni fra numeri reali ed il fatto che ı 2 = 1; infatti (a, b)(c, d) = (a + ib)(c + id) = ac + i 2 (bd) + iad + ibc = (ac bd) + i(ad + bc) = (ac bd, ad + bc). Infine questa notazione permette di introdurre una operazione tra numeri complessi particolarmente utile nell uso, il cosiddetto coniugio. Definizione Dato un numero complesso z = a + ib si dice coniugato di z il numero complesso z = a ib. 14

15 1.3. Il campo dei numeri complessi Si osservi allora che il prodotto zz è sempre un numero reale positivo (la cui radice quadrata indicheremo con z e chiameremo modulo del numero complesso). Infatti: zz = (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2 Un applicazione di questa osservazione si ha per scrivere quelle frazioni che hanno numeri complessi al denominatore nella forma a + ib. Praticamente si procede come segue: i = 2 5i (2 + 5i)(2 5i) = 2 5i 13 = 2 13 i 5 13 Come ultimo aspetto della teoria dei numeri complessi vogliamo ora parlare della loro rappresentazione trigonometrica. Si tratta, sostanzialmente, di usare le cosiddette coordinate polari nella rappresentazione dei numeri complessi non nulli, identificati a punti del piano reale diversi dall origine. Le coordinate polari sono le coordinate che ad un punto del piano diverso dall origine fanno corrispondere la sua distanza dalla origine ρ (un numero reale positivo) e l angolo θ compreso fra la semiretta dell asse delle ascisse e la semiretta uscente dall origine e passante per il punto in questione. In formule, ad un punto di coordinate (a, b) (0, 0) vengono date le coordinate polari ρ R +, θ [0, 2π[ tali che { a = ρ cos θ b = ρ sin θ Con tali coordinate si ha che z = ρ(cos θ + ı sin θ) e pertanto z = ρ(cos θ ı sin θ). Dunque z z = ρ è proprio il modulo del numero complesso. L angolo θ si dice invece argomento del numero complesso z. 15

16 1. Preliminari ρ (a, b) { a = ρ cos θ b = ρ sin θ ρ > 0, θ [0, 2π[ θ Presi ora due numeri complessi z 1, z 2 di moduli rispettivi ρ 1 e ρ 2 e argomenti rispettivi θ 1 e θ 2 si ha: z 1 z 2 = ρ 1 (cos θ 1 + ı sin θ 1 )ρ 2 (cos θ 2 + ı sin θ 2 ) = ρ 1 ρ 2 [(cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) + ı (cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 )] = ρ 1 ρ 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + ı sin(θ 1 + θ 2 )) dove nell ultimo passaggio abbiamo usato le formule di addizione per seno e coseno. Possiamo dunque dire che moltiplicando due numeri complessi i loro moduli si moltiplicano mentre i loro argomenti si sommano. Ciò permette anzitutto di osservare che il sottoinsieme costituito dai numeri complessi di modulo uno è chiuso rispetto al prodotto, vale a dire che il prodotto di due numeri complessi di modulo uno è ancora un numero complesso di modulo uno, e permette di dare una formula particolarmente conveniente per le potenze di un numero complesso non nullo (formula di De Moivre): z n = ρ n (cos nθ + ı sin nθ). Esercizio Dimostrare la formula di De Moivre. 1.4 Algebra delle matrici Sia K un campo qualunque (indicheremo con + la sua operazione abeliana e con la giustapposizione l altra operazione) e siano n e 16

17 1.4. Algebra delle matrici m due interi fissati. Chiameremo matrice con m righe e n colonne (o matrice m n) una tabella rettangolare di elementi di K a 11 a a 1n a 21 a a 2n (1.3).... a m1 a m2... a mn L insieme di tali matrici si indica con M m n (K). Scriveremo anche A = (a ij ) per indicare tale matrice. La i esima riga della matrice A è la matrice 1 n A (i) = (a i1 a i2... a in ) e si dice anche essere un vettore riga. Allo stesso modo la j esima colonna è la matrice n 1 a 1j A (j) a 2j =. e si dice anche essere un vettore colonna. Fissato un elemento a ij di una matrice si dice che i è il suo indice di riga e j il suo indice di colonna. Una matrice con uguale numero di righe e di colonne si dice una matrice quadrata. In tal caso il numero di righe si dice anche ordine della matrice. Le matrici sono spesso utili per riassumere informazioni numeriche da associare a coppie di indici che parametrizzano insiemi diversi. Possiamo ad esempio pensare di riassumere in una matrice il modo in cui un contadino utilizza i suoi prodotti Facendo corrispondere agli indici di colonna da 1 a 4 rispettivamente olive, grano, pomodori e fieno e agli indici di riga da 1 a 3 rispettivamente l utilizzo per consumo familiare, le vendite al mercato del paese e le vendite ad una industria di trasformazione, posto di aver fissato l unità di misura in quintali, possiamo dire che la matrice a mj

18 1. Preliminari ci dice che il contadino usa in casa 10 chili di olive, che vende al mercato cinque chili di fieno, ecc.... Vedremo in quali e quanti modi le matrici si possono utilizzare sia per risolvere problemi di algebra (sistemi di equazioni lineari), sia per studiare le proprietà di oggetti geometrici (incidenza di rette e piani nello spazio, coniche, ecc...). Questi utilizzi dipendono anzitutto dal fatto che con le matrici, così come con i numeri, si possono effettuare varie operazioni algebriche. Definiamo anzitutto la somma di matrici: date due matrici con uguale numero di righe e colonne e con elementi in uno stesso campo K, A = (a ij ) e B = (b ij ) la matrice A + B è la matrice che si ottiene sommando gli elementi con uguale indice A + B = (a ij + b ij ). Questo in parte spiega anche perchè richiediamo matrici i cui elementi appartengano ad un campo: vogliamo poter sommare gli elementi. Esempio: = E importante sapere quali sono le proprietà di questa operazione: non differiscono dalle proprietà della somma di numeri reali. Proposizione La somma di matrici m n ad elementi in un campo K è un operazione associativa, commutativa, avente per elemento neutro la matrice con tutti gli elementi nulli; rispetto a tale operazione ogni matrice ha un inverso (opposto). In altri termini l insieme M m n (K) è un gruppo abeliano rispetto alla somma. Dim Associatività: (A + B) + C = ((a ij ) + (b ij )) + ((c ij ) = ((a ij + b ij ) + c ij ) = (a ij + (b ij + c ij )) = ((a ij )+((b ij )+(c ij )) = A + (B + C).

19 1.4. Algebra delle matrici 2. Commutatività A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) = (b ij + a ij ) = (b ij ) + (a ij ) = B + A. 3. Indichiamo con (0) la matrice i cui elementi son tutti nulli. Allora A + (0) = (a ij ) + (0) = (a ij + 0) = (a ij ) = A. L altra uguaglianza segue dalla commutatività appena provata. 4. Data la matrice A consideriamo la matrice A = ( a ij ). Allora A + ( A) = (a ij ) + ( a ij ) = (a ij a ij ) = (0). L operazione di prodotto tra matrici è leggermente più complicata da definire (per togliere subito ogni dubbio NON è l operazione data dalla moltiplicazione degli elementi con uguale indice di riga e colonna) e non gode di tutte le proprietà del prodotto tra numeri. Anzi... La prima peculiarità sta nel fatto che per poter moltiplicare due matrici il numero di colonne della prima matrice deve essere uguale al numero di righe della seconda matrice. Siano allora A una matrice m n e B una matrice n r, entrambe con elementi in uno stesso campo K. Il prodotto di A e B è la matrice con m righe e r colonne il cui elemento di posto i, j è dato da: c ij = n a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj. k=1 Anche in questo caso facciamo osservare che è stato importante prendere gli elementi della matrice in un campo K perchè per poter definire l operazione prodotto righe per colonne è necessario poter sommare e moltiplicare questi elementi. Facciamo un esempio di calcolo del prodotto: ( ) ( ) = ( ). La prima differenza che salta all occhio è il fatto che il prodotto di matrici non è commutativo. Per un motivo molto importante: date due matrici A e B può capitare che si possa fare il prodotto AB ma non si possa fare il prodotto BA. Quando le matrici sono quadrate di uguale ordine è possibile fare entrambi i prodotti. Ma 19

20 1. Preliminari anche in questo caso non è garantito che sia AB = BA come mostra il seguente esempio: A = ( ) B = ( ) 0 1 AB = 0 0 ( ) 0 0 BA =. 0 0 ( Questo esempio mostra un altro comportamento strano: può capitare che due matrici non nulle abbiano prodotto uguale a zero (sono i cosiddetti divisori di zero). Parliamo anche delle proprietà della operazione di prodotto tra matrici. Le principali sono riassunte nella seguente proposizione che non dimostreremo. Proposizione Il prodotto tra matrici è associativo. La somma di matrici è distributiva rispetto al prodotto. Il prodotto di una matrice a destra o a sinistra per una matrice (con opportuno numero di righe o colonne) i cui elementi siano tutti nulli è una matrice con elementi tutti nulli. Occupiamoci, infine, del problema dell esistenza di un elemento neutro e della invertibilità rispetto al prodotto, quantomeno per quel che riguarda le matrici quadrate. Proposizione La matrice I n = detta matrice identica di ordine n, è l elemento neutro rispetto al prodotto di matrici quadrate di ordine n. 20 )

21 1.4. Algebra delle matrici Dim. Dobbiamo dimostrare che per ogni matrice A quadrata di ordine n, si ha AI n = I n A = A. Osserviamo che la matrice identità si può anche scrivere come quella matrice che ha elementi b ij con b ij = 0 se i j e b ij = 1 se i = j. Allora, usando la formula per il prodotto righe per colonne, l elemento di posto i, j della matrice AI n è dato da: n c ij = a ik b kj = a ij 1 k=1 e dunque AI n = A. Allo stesso modo si prova l uguaglianza opposta. Stabilita l esistenza dell elemento neutro per la moltiplicazione di matrici quadrate di ordine n ci si può chiedere se data una matrice A M n n (K) esiste il suo inverso rispetto al prodotto. Applicando la definizione a questo caso si può dare la seguente definizione. Definizione Una matrice A M n (K) si dice invertibile se esiste una matrice B M n n (K) tale che AB = I n = BA Se questo succede si dice che B è l inversa di A e si indica B = A 1. Per convincersi del fatto che non tutte le matrici sono invertibili osserviamo che se abbiamo una coppia di matrici quadrate M e N non nulle tali che MN = 0 allora M non può essere invertibili. Se lo fosse, infatti, avremmo M 1 MN = M 1 0 = 0, ma anche M 1 MN = I n N = N contraddicendo l ipotesi che N sia non nulla. Siccome esempi di matrici non nulle con prodotto nullo esistono, allora esistono anche esempi di matrici non invertibili. D altra parte esistono anche esempi di matrici invertibili. Sia ad esempio data la matrice D = α α α n 21

22 1. Preliminari Una matrice di questo tipo si dice matrice diagonale. Allora, con un po di pazienza, si può dimostrare che tale matrice è invertibile ed ha inversa α D 1 0 α2 1 0 = αn Esercizi di riepilogo 1. Siano A, B due insiemi. Definiamo A\B = {x A x B}. Dimostrare che A (B \ C) = (A B) \ (A C). 2. Sia X un insieme fissato e siano A, B X. Il complementare di B in X è l insieme B c = X \ B. Dimostrare le seguenti uguaglianza (leggi di de Morgan): (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c 3. Semplificare le seguenti formule: a) (5 + 3i)(2 7i); b) (4 3i) 2 ; c) 1 3 2i ; d) 2 7i 5+3i ; e) i 3, i 4 ; f) (1 + 2i) 3 ; 4. Dati i numeri complessi z = 2 3i e w = 4+5i scrivere nella forma a + bi i numeri complessi z + w, zw, z/w, z, w. 5. Calcolare la somma di matrici ( ) ( ). 22

23 1.4. Algebra delle matrici 6. Date le matrici A = ( ) ( 1 2 3, B = ), C = calcolare (A + B)C; spiegare perchè non è possibile calcolare AB + C, (A + C)B e dire se è possibile calcolare BCA. 7. Sia f : R R espressa da un polinomio di secondo grado f(x) = ax 2 + bx + c. Dire se esistono valori di a, b, c, per cui f è iniettiva o per cui f è suriettiva Date le matrici 2 1 A = calcolare AB e BA., B = ( ) 9. Calcolare il prodotto di matrici (1, 7, 3, 4) Data la matrice A = ( calcolare le sue potenze A 2 e A 3. ) 11. Una matrice A M n n (K) si dice nilpotente se esiste n N tale che A N = 0. Dare esempi di matrici nilpotenti di ordine 2 e Una matrice A = (a ij ) M n n (K) si dice triangolare superiore (risp. triangolare inferiore) se a ij = 0 per ogni i > j (resp. per ogni i < j. Se in una matrice triangolare superiore (risp. inferiore) anche gli elementi diagonali a ii sono 23

24 1. Preliminari tutti nulli si parla di matrice strettamente triangolare superiore. Dimostrare che la somma ed il prodotto di matrici triangolari superiori (risp. di matrici triangolari inferiori) è ancora una matrice triangolare superiore (risp. triangolare inferiore). 24

25 2 Spazi vettoriali 2.1 Spazi vettoriali Sia fissato un campo K. Definizione Un insieme V si dice uno spazio vettoriale sul campo K se sono definite un operazione interna + : V V V ed una operazione esterna : K V V tali che: 1. (V, +) è un gruppo abeliano; 2. α (v + w) = α v + α w per ogni α K e v, w V ; 3. (α + β) v = α v + β v per ogni α, β K e per ogni v V ; 4. α (β v) = (αβ) v per ogni α, β K e per ogni v V ; 5. 1 K v = v per ogni v V, dove 1 K è l unità del campo. Gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono vettori e quelli del campo si dicono scalari. L elemento neutro della somma in V si indicherà con 0 e si dirà vettore nullo. Primo esempio Lo spazio vettoriale M m n (K). Abbiamo visto che l insieme delle matrici m n ad elementi in un campo K è un gruppo rispetto alla somma di matrici. Ci chiediamo se è possibile dotare questo gruppo della struttura di spazio vettoriale su K. A tal fine è necessario definire il prodotto tra uno scalare ed una matrice. Definiamo 25

26 2. Spazi vettoriali α a 11 a a 1n a 21 a a 2n.... = αa 11 αa αa 1n αa 21 αa αa 2n.... a m1 a m2... a mn αa m1 αa m2... αa mn cioè moltiplichiamo per α ogni elemento della matrice. Non è difficile dimostrare che gli assiomi di spazio vettoriale sono verificati. Secondo esempio I vettori applicati in un punto. Consideriamo come insieme V l insieme dei vettori dello spazio ordinario applicati in uno stesso punto. Definiamo la somma di due tali vettori usando la regola del parallelogramma. Con questa operazione V è un gruppo abeliano. Il suo elemento neutro è il vettore di lunghezza zero. Poi posso definire la moltiplicazione fra un numero reale e un vettore nel modo seguente: se α R e v V allora α v è il vettore applicato con direzione uguale a v, lunghezza modificata di un fattore α e verso uguale o discorde a v a seconda del segno di α. In questo modo l insieme dei vettori dello spazio applicati in un punto risulta essere uno spazio vettoriale su R. Più avanti daremo una descrizione diversa di questo esempio. Terzo esempio Lo spazio K n. Questo è l esempio più importante di spazio vettoriale e fra non molto spiegheremo il perchè. Consideriamo l insieme K n delle n uple ordinate di elementi di K; K n = {(x 1,..., x n ) x1,..., x n K}. Questo spazio coincide con lo spazio delle matrici 1 n è pertanto in esso è definita una somma (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) che lo rende un gruppo. 26

27 2.1. Spazi vettoriali Definiamo anche l operazione di prodotto per uno scalare K esattamente come abbiamo fatto per le matrici: α (x 1,..., x n ) = (α x 1,..., α x n ). Non è difficile verificare che con queste operazioni K n risulta essere uno spazio vettoriale. Esercizi: 1. Si dice successione ad elementi in un campo K una qualunque applicazione s : N K. Se s(n) = a n la successione si indica anche con (a n ). Sia S K l insieme di tutte le successioni ad elementi in K e definiamo su di esso le seguenti operazioni: (a n ) + (b n ) = (a n + b n ), k(a n ) = (ka n ) per ogni (a n ), (b n ) S K e k K. Dimostrare che con queste operazioni S K è uno spazio vettoriale su K. 2. Sia K[X] l insieme dei polinomi a coefficienti in K. Si considerino l operazione di somma di polinomi e l operazioni di prodotto fra i polinomi qualunque ed i polinomi costanti. Si dimostri che con queste operazioni K[X] è uno spazio vettoriale su K. 3. Sia F(R; R) l insieme delle funzioni da R a R. Si considerino l operazione di somma di funzioni e quella di prodotto fra una funzione qualunque ed una funzione costante. Si dimostri che con queste operazioni F(R; R) è uno spazio vettoriale su R. Definizione Sia W un sottoinsieme non vuoto dello spazio vettoriale V. Diremo che W è un sottospazio di V se soddisfa le seguenti proprietà: 1. per ogni u, v W si ha u + v W ; 2. per ogni u W e ogni α K si ha αu K. Esempi: 27

28 2. Spazi vettoriali Il sottoinsieme di R 3 dato dalle terne con le prime due coordinate nulle è un sottospazio di R 3. Il sottoinsieme di R 3 dato dalle terne con prima coordinata uguale al quadrato della seconda non è uno spazio vettoriale. L insieme {0} costituito dal solo vettore nullo è un sottospazio di V (qualunque sia V ). Se U e W sono due sottospazi di V allora U W è un sottospazio di V. ATTENZIONE: l unione di due sottospazi non è un sottospazio (perchè? date un esempio). Esercizi: dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi di spazi vettoriali: Il sottoinsieme B R delle successioni limitate in S R. Il sottoinsieme dei polinomi di grado k in K[X]. Il sottoinsieme delle matrici diagonali in M n n (K). Il sottoinsieme di M 3 3 (R) delle matrici A tali che A 2 = 0. X = {(x, y, z) R 3 x 2 + y = 0}. X = {(x, y, z) R 3 x + y + z = 0}. X = {(x, y, z) R 3 x + y + z = 1}. Definizione Siano v 1,..., v n vettori di uno spazio vettoriale V. Un vettore w si dice combinazione lineare di v 1,..., v n se esistono degli scalari α 1,..., α n tali che Esempi: 28 w = α 1 v α n v n 1. In R 3 il vettore (0, 1, 0) è combinazione lineare dei vettori (2, 1, 0) e (1, 0, 0) in quanto (0, 1, 0) = 1(2, 1, 0)+( 2)(1, 0, 0). Viceversa il vettore (0, 0, 1) non è combinazione lineare di

29 2.1. Spazi vettoriali v 1 e v 2. Se lo fosse, infatti, dovrebbe essere a(2, 1, 0) + b(1, 0, 0) = (0, 0, 1), uguaglianza equivalente al sistema: 2a + b = 0 a = 0 0 = 1 che, chiaramente, non ammette soluzioni. (2.1) 2. In K[X] ogni polinomio di primo grado è combinazione lineare dei polinomi 1 e X. 3. In Z 3 5 il vettore ([4], [0], [0]) è combinazione lineare dei vettori ([2], [3], [1]) e ([1], [1], [2]) in quanto uguale a ([2], [3], [1]) + [2]([1], [1], [2]). Proposizione Sia W un sottospazio di V e siano v 1,..., v n W. Allora ogni combinazione lineare α 1 v α n v n appartiene ancora a W. Dim. In base alla proprietà 2) possiamo dire che α i v i W, i = 1,..., n. Ora per la proprietà 1) abbiamo che la somma di due vettori di W è in W. Dunque α 1 v 1 + α 2 v 2 W, ma quindi anche (α 1 v 1 + α 2 v 2 ) + α 3 v 3 W. Iterando l argomento si ottiene la tesi. Definizione L insieme dei vettori che si scrivono come combinazione lineare di v 1,..., v n si dice spazio generato da v 1,..., v n e si indica v 1,..., v n. Se coincide con tutto V allora v 1,..., v n si dicono un sistema di generatori per V. Proposizione Lo spazio generato dai vettori v 1,..., v n in V è un sottospazio dello spazio vettoriale V. Dim. Siano v, w v 1,..., v n. Allora esisteranno degli scalari α 1,..., α n e β 1,..., β n tali che: v = α 1 v α n v n, w = β 1 v β n v n 29

30 2. Spazi vettoriali e pertanto v + w = (α 1 + β 1 )v (α n + β n )v n v 1,..., v n. Inoltre se k K kv = (kα 1 )v (kα n )v n v 1,..., v n. Proposizione Dato uno spazio vettiorale V sul campo K e dati i vettori v 1,..., v n V, lo spazio generato v 1,..., v n è il più piccolo sottospazio di V contenente v 1,..., v n. Dim. Sia W un sottospazio di V contenente v 1,..., v n. Allora essendo un sottospazio anche le combinazioni lineari α 1 v 1 + +α n v n appartengono a W. Quindi v 1,..., v n W. In generale non è detto che uno spazio vettoriale ammetta un insieme v 1,... v n che sia un sistema di generatori. Quando questo accade lo spazio vettoriale si dice finitamente generato. Nel seguito, a meno che non si dichiari esplicitamente il contrario, gli spazi vettoriali presi in considerazione si intenderanno sempre finitamente generati. Definizione Siano v 1,..., v n vettori di uno spazio vettoriale V sul campo K. Si dice che i vettori v 1,..., v n sono linearmente dipendenti se esistono degli scalari α 1,..., α n non tutti nulli tali che α 1 v α n v n = 0. In caso contrario i vettori si dicono linearmente indipendenti. Alcuni casi speciali due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se uno è multiplo dell altro; infatti se α 1 v 1 + α 2 v 2 = 0 e α 1 0 allora v 1 = α 2 /α 1 v 2.

31 2.1. Spazi vettoriali 2. se un insieme di vettori contiene il vettore nullo allora è un insieme di vettori linearmente dipendenti; infatti se abbiamo l insieme di vettori v 1,..., v n 1, 0 allora abbiamo la combinazione lineare nulla 0v 1 + 0v n = 0 Esercizi: Si dica se i seguenti insiemi di vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti: 1. I vettori v 1 = (2, 1, 1), v 2 = (3, 2, 1) e v 3 = (6, 2, 2) in R I polinomi 1, X, X 2, X 3 in C[X]. 3. I vettori ([1], [1], [0], [0]), ([1], [0], [1], [0]), ([0], [0], [1], [0]) in Z Le seguenti matrici di M 2 2 (R): ( ) ( ) ( ,, Proposizione Un insieme di vettori non nulli I = {v 1,..., v n } in uno spazio vettoriale V è linearmente dipendente se e solo se almeno uno dei suoi elementi è combinazione lineare degli altri. Dim. Supponiamo che I sia linearmente dipendente. Allora esistono degli scalari α 1,..., α n K non tutti nulli tali che Supponiamo α k 0 allora: α 1 v α n v n = 0. v k = 1 α k (α 1 v α k 1 v k 1 + α k+1 v k α n v n ) e dunque v k è combinazione lineare degli altri. Viceversa supponiamo che esistano degli scalari α i tali che v k = α 1 v α k 1 v k 1 + α k+1 v k α n v n ) 31

32 2. Spazi vettoriali allora portando v k a destra del segno di uguale α 1 v 1 + α k 1 v k 1 + ( v k ) + α k+1 v k α n v n = 0 Proposizione Un sottoinsieme di un insieme di vettori linearmente indipendenti è ancora linearmente indipendente. Dim. Supponiamo, per assurdo, che I sia un insieme di vettori linearmente indipendenti e che J I sia un sottoinsieme di vettori dipendenti. Allora esiste un vettore in J che si scrive come combinazione lineare degli altri. Ma allora si esprime anche come combinazione lineare dei vettori di I e quindi I è un insieme linearmente dipendente contraddicendo l ipotesi. 2.2 Basi e dimensione Definizione Un insieme di vettori linearmente indipendenti che sia un sistema di generatori per lo spazio vettoriale V si dice una base per V. Teorema Se B = {v 1,..., v n } è una base per V e v V allora esiste ed è unica la n upla di scalari (α 1,..., α n ) tale che v = α 1 v α n v n Dim. Essendo B un sistema di generatori ogni v V si scrive come combinazione lineare degli elementi di B, cioè esistono scalari α 1,..., α n tali che: v = α 1 v α n v n. Dimostriamo l unicità di tale combinazione: supponiamo che sia anche v = β 1 v β n v n. 32

33 2.2. Basi e dimensione Sottraendo queste due equazioni 0 = (α 1 β 1 )v (α n β n )v n da cui α 1 β 1 =... = α n β n = 0 in virtù della lineare indipendenza dei vettori di B, e dunque α 1 = β 1,...,α n = β n. Gli scalari (α 1,..., α n ) si dicono le componenti di V sulla base B. Esercizio. Si dimostri che B = {(1, 1), (2, 0)} è una base di R 2 e si determinino le componenti di v = ( 3, 1) rispetto a questa base. Soluzione: chiaramente i vettori di B sono linearmente indipendenti in quanto (2, 0) non è multiplo di (1, 1). Dimostriamo che sono un sistema di generatori. Sia (x, y) R 2 e cerchiamo a, b R tali che (x, y) = a(1, 1) + b(2, 0) = (a + 2b, a) dovrà dunque essere a = y e, pertanto b = x+y 2 e ciò è sempre possibile. In particolare ( 3, 1) = ( 1)(1, 1) + ( 1)(2, 0) e dunque le componenti di v sulla base B sono ( 1, 1) B. Domanda: Dato uno spazio vettoriale V sul campo K esiste sempre una base per V? Proposizione Nello spazio vettoriale K n i vettori v 1 = (1, 0,..., 0),...,v n = (0,..., 0, 1) costituiscono una base. Dim. 1. Verifichiamo che sono un sistema di generatori. Dato (x 1,..., x n ) K n abbiamo che (x 1,..., x n ) = α 1 (1, 0,..., 0) + + x n (0,..., 0, 1) 2. Verifichiamo che sono linearmente indipendenti: per ogni n- upla di scalari (α 1,..., α n ) se α(1, 0,..., 0) + + α n (0,,..., 0, 1) = 0 allora si ha (α 1,..., α n ) = (0,..., 0) e quindi α 1 = = α n = 0. 33

34 2. Spazi vettoriali La base appena descritta si dice base canonica di K n. Teorema Sia G = {v 1,..., v n } un sistema di generatori per lo spazio vettoriale V. Esiste allora un sottoinsieme di G che sia una base per V. Dim. Sia v h il primo vettore non nullo di G e poniamo w 1 = v h. Consideriamo il sottospazio di V generato da w 1. Sia v k il primo vettore non appartenente a w 1. Poniamo v k = w 2. Allora w 1 e w 2 sono linearmente indipendenti. Iteriamo questo procedimento. Determiniamo un insieme B = {w 1,..., w r } tale che per ogni intero i si ha w i w 1,..., w i 1. I vettori di B sono linearmente indipendenti e un sistema di generatori e quindi una base. Osserviamo che la dimostrazione del teorema precedente fornisce un algoritmo esplicito per determinare una base di uno spazio vettoriale quando ne sia noto un sistema di generatori. Ha per conseguenza, inoltre, che ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette una base. Teorema (Teorema dello scambio) In uno spazio vettoriale V siano {v 1,..., v n } e {w 1,..., w r } due basi di V. Scelto v i nella prima base esiste w j nella seconda tale che scambiando v i con w j l insieme {w 1,... w j 1, v i, w j+1,... w r } sia ancora una base per V. Dim. DA INSERIRE Osservazione Dal teorema dello scambio segue che due qualunque basi di uno spazio vettoriale hanno uguale numero di elementi. Infatti se B = {v 1,..., v n } e B = {w 1,..., w r } sono due basi di V allora scegliamo v 1 e scambiamolo con uno dei vettori di B ; ripetiamo l operazione con v 2, poi con v 3 e così via. Quando abbiamo ripetuto l operazione n volte otteniamo una base che contiene gli n vettori di B più eventualmente alcuni dei vettori w. Quindi è n r. Scambiando i ruoli delle due basi si ha anche r n e quindi. n = r. Tale numero è pertanto univocamente associato 34

35 2.2. Basi e dimensione allo spazio vettoriale (non dipende dalla particolare base scelta) e ne rappresenta una caratteristica importante. Definizione Il numero di elementi di una qualunque base di uno spazio vettoriale V si dice dimensione dello spazio vettoriale e si indica con dim V. Teorema Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n e v 1,..., v r vettori linearmente indipendenti di V. Esistono allora dei vettori {v r+1,..., v n } tali che {v 1,..., v n } sia una base per V. Dim. Se {v 1,... v r } non è una base vuol dire che non è un sistema di generatori. dunque esiste v v 1,... v r. Poniamo v r+1 = v. Se {v 1,... v r, v r+1 } è una base abbiamo finito. Altrimenti esiste u v 1,... v r+1. Poniamo v r+2 = u. E chiaro che iterando questo procedimento n r volte si giunge alla conclusione. Corollario Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n; siano v 1,..., v r V vettori linearmente indipendenti. Allora r n. Corollario Sia W un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale V. Allora dim W dim V. Dim. Infatti una base di W, {w 1,..., w r } è, in particolare, un insieme di vettori linearmente indipendenti in V. Pertanto per il teorema dello scambio risulta r n. Teorema Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e siano v 1,..., v n vettori linearmente indipendenti di V. Allora {v 1,..., v n } è una base per V. Dim. Dobbiamo mostrare che v 1,... v n sono anche un sistema di generatori. Supponiamo per assurdo che non lo siano. Dunque esiste v v 1,..., v n. Dimostriamo che allora {v, v 1,..., v n } ottenendo 35

36 2. Spazi vettoriali una contraddizione del teorema dello scambio. Se esistesse una combinazione lineare allora α 0, perchè altrimenti αv + α 1 v α n v n = 0 v = 1 α (α 1v α n v n ) che contraddice v v 1,..., v n. Sostituendo α = 0 si ottiene α 1 v α n v n = 0 da cui α 1 =... = α n = 0 perchè v 1,..., v n sono linearmente indipendenti. 36

37 2.2. Basi e dimensione Esercizi di riepilogo 1. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di R 3 sono sottospazi vettoriali: A = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = 1}. A = {(x, y, z) R 3 x = y, x + z = 0}. A = {(x, y, z) R 3 y 5 = 0}. A = {(x, y, z) R 3 2x 3 + y = 0}. A = {(x, y, z) R 3 x + y 1 = 0}. 2. Dati i vettori v 1 = (1, 1, 0) e v 2 = (1, 1, 0) dire quali dei seguenti vettori si possono scrivere come combinazione lineare di v 1 e v 2. (0, 0, 1). (2, 3, 0). (2, 2, 1). 3. Dire quali dei seguenti insiemi di vettori sono linearmente indipendenti. {(1, 2, 1), (2, 1, 2), (3, 1, 1)} in R 3. {([1], [1], [1], [0]), ([2], [1], [0], [1]), ([1], [2], [1], [2]), ([0], [0], [0], [1])} in Z 4 3. {X + X 2, 1 X 3, X + 2X 3, 3X 1} in R[X]. 4. Dire quali dei seguenti insiemi di vettori sono sistemi di generatori per gli spazi vettoriali cui appartengono. Le matrici di M 2 2 (R): ( ) ( ) ( ,, ) ( 1 1, 1 0 {(1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1), (4, 1, 1), (5, 1, 1)} in R 3. {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (2, 3, 2, 3), (0, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (3, 3, 4, 3)} in R 4. ) 37

38 2. Spazi vettoriali 5. Determinare una base dei seguenti sottospazi vettoriali. Il sottospazio dei polinomi a coefficienti reali di grado 4. Il sottospazio delle successioni (a n ) S R tali che a n = 0 se n 3. Il sottospazio delle matrici M 3 3 (Z 3 ) che verificano a ii = [0] per ogni i e a ij = a ji se i < j. Il sottospazio di R 4 dato da A B dove A = (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) e B = {(x, y, z, t) R 4 x = t = 0}. 38