PLASMONI SUPERFICIALI

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1 PLASMONI SUPERFICIALI Un possibile approccio nello studio delle proprietà fisiche dei etalli consiste nel considerare gli elettroni liberi presenti all interno del loro volue coe un liquido ad alta densità, ignorando, in pria approssiaione, il reticolo. All interno di tale liquido possono aver luogo oscillaioni, note coe plasoni di volue. Gli elettroni presenti invece sulla superficie del etallo, che sono noralente soggetti a fluttuaioni casuali, possono provocare, in presena di un opportuno capo elettroagnetico (e sotto certe condiioni), oscillaioni coerenti che avvengono parallelaente alla superficie e che costituiscono un onda attenuata in direione perpendicolare e con la assia intensità in prossiità della superficie stessa. Fig. a) carica e capo elettroagnetico di un plasone superficiale che si propaga lungo un interfaccia etallo-dielettrico nella direione x; b) decadiento esponeniale del capo elettrico nella direione. Quest onda è detta plasone superficiale e ha pertanto carattere non radiativo; la sua natura intrinsecaente bidiensionale è di grande interesse in applicaioni quali la progettaione di circuiti integrati ottici, o di dispositivi nanoetrici. Tuttavia l eccitaione del plasone superficiale necessita di particolari etodi di accoppiaento con la radiaione luinosa, in quanto esso presenta, a parità di energia, un vettore d onda aggiore rispetto a quello della luce.

2 Ciò equivale a dire che la curva di dispersione del plasone superficiale, (), giace alla destra della curva di dispersione della luce. Per ricavare tale relaione di dispersione e introdurre alcuni iportanti paraetri che caratteriano i plasoni di superficie consideriao un sistea costituito da un dielettrico isotropo, con costante dielettrica reale e positiva, occupante il seispaio >, e un etallo, con funione dielettrica coplessa e dipendente dalla frequena, ( ) = '( ) + i"( ), occupante il seispaio < (fig. ). Supponiao che la struttura in esae sia indefinita nella direione y, in odo che il capo elettrico e agnetico risultino indipendenti da tale variabile. Prendiao in esae dappria un onda di tipo TM in polariaione p, propagantesi nella direione x; in tale onda il vettore capo agnetico è perpendicolare al piano di incidena (il piano individuato dalla direione di propagaione e dalla norale alla superficie, in questo caso il piano x-). E x H y E x sp () Fig. Il capo agnetico H e il capo elettrico E possono essere scritti nella fora: H (x,,t) = y A e i x x it E Ac (x,,t) = x ( ) e i i x x it Ac + ( x ) nel seispaio > (nel dielettrico), e: e i x x it i xx+ it H (x,,t) = y B e E Bc (x,,t) = x i () e i xx+ it Bc + ( ) x e () i xx+ it

3 nel seispaio < (nel etallo). e deterinano il decadiento del capo elettroagnetico lontano dall interfaccia etallo-dielettrico e sono dati da: = x c = x ( ) () c Le parti reali di e devono dunque essere positive affinché i capi descrivano un onda superficiale. Iponiao ora la continuità delle coponenti tangeniali del capo elettrico e agnetico all interfaccia etallo-dielettrico ( = ). Dalla condiione E = x E x otteniao: A B = ( ) Mentre dalla condiione H = y H y si ha: A = B Otteniao cioè un sistea oogeneo di due equaioni nelle due incognite A e B, e affinché esso aetta soluioni diverse da quella banale è necessario iporre che il deterinante della atrice dei coefficienti associata sia nullo, condiione che porta alla relaione di dispersione: ( ) = () 3

4 Se, in un prio oento, assuiao che () sia reale, e devono essere reali e positive affinché le espressioni del capo elettrico e di quello agnetico descrivano onde che si attenuano al crescere della distana dalla superficie di separaione tra i due ei. Di conseguena () deve essere negativa. Elevando al quadrato entrabi i ebri della relaione di dispersione (), e sostituendo le (), otteniao un espressione esplicita (in funione di ) per x, che rappresenta il nuero d onda del plasone superficiale e che indichiao dunque con sp : ( ) = sp c + ( ) (3) Tale relaione è valida anche se () è coplessa. sp è coplesso e, se assuiao reale e "( ) < '( ) si ha sp = sp ' + i sp" con: sp ' = c '( ) '( ) + 3 " '( ) "( ) sp = '( ) c + ( '( )) deterina l assorbiento interno, entre per avere ' reale è necessario sp " avere '( ) < e '( ) > ; questa condiione è generalente soddisfatta nei etalli al di sotto della frequena di plasa p, infatti in questo caso si può scrivere: sp p '( ) 4

5 e dunque '( ) <. Nel seguito si scriverà per coodità sp al posto di sp '. Dalla relaione di dispersione appena ricavata è dunque evidente il fatto che il vettore d onda del plasone superficiale sia aggiore, a parità di (e quindi di energia), di quello della luce nel dielettrico, la cui apiea è pari a. Il plasone superficiale non può pertanto essere trasforato in luce (da c qui il suo carattere non radiativo), e non può essere eccitato con la seplice illuinaione dal dielettrico. Fig. 3 Curva di dispersione del plasone superficiale all interfaccia etallo-dielettrico. Le perdite ohiche nel etallo (descritte dalla parte iaginaria di () ), fanno sì che l energia trasportata dal PS decada esponenialente quando questo si propaga lungo l interfaccia dielettrico-etallo (nella direione x). La distana dopo la quale l intensità dei capi diinuisce di e del suo valore assio è detta lunghea di propagaione (L sp ) ed è legata a sp" : 5

6 L sp = sp c = " '( ) ( '( ) ) 3 "( ) 3 Un altro paraetro che è utile introdurre è inoltre la profondità di penetraione del capo nel dielettrico e in aria,, che rappresenta la distana (lungo ) per la quale l intensità dei capi si riduce di del suo valore assio e (assunto in prossiità dell interfaccia): = Nel dielettrico si ha: '( ) + d = e nel etallo: '( ) + = ( '( )). Per elevati valori di sp il capo risulta forteente concentrato nei pressi della superficie di separaione tra i due ei; per valori di sp inferiori, il capo ha nel dielettrico una forte coponente traversa E x, e si propaga per lunghe distane, entre nel etallo rispetto a E x. E rispetto a quella longitudinale E si antiene piccolo Nelle seguenti tabelle sono riportati, a titolo di esepio, alcuni valori di d, e L sp nel caso in cui il dielettrico sia aria: 6

7 d ARGENTO 6 n 39 n 4 n ORO 6 n 8 n 3 n L sp ALLUMINIO 5 n μ ARGENTO 5 n μ ARGENTO.55 μ Consideriao ora un onda TE (in polariaione s) che si propaghi nella struttura di figura. Per una tale onda il vettore capo elettrico è perpendicolare al piano di incidena (è cioè lungo y). Eventuali soluioni di tipo plasonico per quest onda possono essere scritte coe: E(x,,t) = y Ae i xx it H(x,,t) = x Ac i e i xx it + Ac x e i xx it nel dielettrico ( > ), e: E(x,,t) = y B e i xx+ it H(x,,t) = -x Bc i e i xx+ it + Bc x e i xx+ it nel etallo ( < ). Iponendo la continuità delle coponenti tangeniali dei capi all interfaccia (per = ) otteniao le equaioni: 7

8 A = B A c i c = B i che possono essere cobinate nella singola equaione: ( + ) A = (4) Poiché le parti reali di e devono essere entrabe positive per avere un onda superficiale, l unica soluione dell equaione (4) è A=, e quindi B=, cioè un capo identicaente nullo. Dunque un plasone superficiale in polariaione s non può esistere nella struttura considerata. E possibile solo la propagaione di plasoni superficiali in polariaione p, per eccitare i quali traite seplice luce incidente sulla superficie planare del etallo dal eo dielettrico adiacente è necessario che la coponente parallela alla superficie del vettore d onda della luce, sin (dove è l angolo di incidena), sia uguale al nuero d onda del c ( ) plasone, pari a. Dal oento che, coe si è visto dalla c ( ) + relaione di dispersione, questa condiione non è verificata per la struttura esainata, è necessario ricorrere a particolari tecniche, quali ad esepio l accoppiaento traite riflessione totale attenuata (accoppiaento ATR), o traite reticoli. ACCOPPIAMENTO TRAMITE RIFLESSIONE TOTALE ATTENUATA Un prio esepio di struttura che sfrutta tale etodo è la configuraione di Kretschann, costituita da un fil etallico posto a contatto con un prisa di 8

9 vetro da cui proviene l onda in polariaione p incidente con un angolo aggiore dell angolo critico per la riflessione totale. Fig. 4 Geoetria di Kretschann. La riflessione totale all interfaccia etallo-vetro dà luogo ad un onda evanescente del etallo con velocità di fase pari a v = = x vetro c < c sen (onda lenta). Tale onda si attenua esponenialente in direione perpendicolare all interfaccia etallo-vetro, a se il etallo è abbastana sottile essa non è copletaente nulla quando raggiunge l interfaccia etallo-aria e riesce a eccitare qui il plasone superficiale nel caso in cui le velocità di fase delle due onde coincidano: aria + ( ) vsp = c = v = ( ) sp aria c vetro sen (5) Nella (5) copare il in quanto si è usata l espressione di sp ricavata precedenteente per la struttura con etallo seiinfinito. In realtà nel caso di un fil etallico di spessore finito l interaione tra le due interfacce non può essere trascurata, e il plasone che propaga lungo un interfaccia sente l esistena del plasone sull altra: ciò fa sì che la relaione di dispersione risulti odificata e si ottiene un nuovo valore per sp, pari a sp + sp, in cui sp è pari al nuero d onda per la struttura con etallo seiinfinito, e sp è il terine correttivo, 9

10 coplesso: la sua parte reale sposta il valore di sp, entre la parte iaginaria inserisce un terine di soraento. Per ricavare la relaione di dispersione esatta per la struttura di Kretschann si consideri quindi un sistea costituito da un seispaio vuoto ( = ) nella regione > d, un fil etallico, caratteriato da una funione dielettrica () coplessa nella regione < < d, e un dielettrico, con costante dielettrica s reale e positiva nella regione < (fig. 5). E E x x Fig. 5 Poichè si vuole studiare un onda superficiale TM in polariaione p che propaga nella direione x, l unica coponente non nulla del capo agnetico sarà H y, e può essere scritta nel odo seguente: H y (x,,t) = Ae ); i xx it nel vuoto ( d H y (x,,t) = [ ] i x x i t e Be + Ce e nel etallo ( d ); H y (x,,t) = De s i xx+ it nel dielettrico ( ); dove:

11 = c x = c s x s ) ( = c x Le parti reali di, e s devono essere positive per avere un onda superficiale. Iponiao poi le condiioni al contorno per H y su ciascuna interfaccia; si deve avere: - H y (x..t) continuo; - t H y x ),, ( continuo. Applicando tali condiioni ai capi scritti precedenteente si ottiene un sistea di equaioni lineari oogenee nelle incognite A, B, C, D. Affinché questo aetta soluioni diverse dalla banale si deve uguagliare a ero il deterinante della atrice dei coefficienti, giungendo così alla relaione di dispersione: d s s s s e ) ( ) ( ) ( ) ( = + + (6) Nel liite in cui d si ha: ) ( = + ) ( = + s s

12 Si riottengono cioè le relaioni di dispersione analoghe alla () per il plasone superficiale all interfaccia etallo-aria e etallo-dielettrico. Dalla relaione (6) si può ottenere l espressione di sp in funione della frequena; la condiione per l accoppiaento luce-plasone è sepre: sp = s sen (7) c Sotto questa condiione di risonana si osserva un inio accentuato nella riflettività all interfaccia dielettrico-etallo, che corrisponde all eccitaione del plasone all altra interfaccia. Questo inio può essere nullo per un certo valore di d, dipendente a sua volta da (), entre sparisce per d. Fig. 6 Andaento della riflettività in funione dell angolo di incidena per vari spessori d del fil etallico (Ag). All interfaccia etallo-dielettrico invece il PS non può essere eccitato perché il suo vettore d onda è ancora aggiore di quello della luce incidente per ogni valore dell angolo.

13 Fig. 7 Curve di dispersione del plasone superficiale alle interfacce di un fil d argento (d=3n) su substrato dielettrico ( s =.5) in aria. Un altra struttura che sfrutta l accoppiaento ATR è la configuraione di Otto, adatta per etalli di spessore più elevato. In questo caso la superficie etallica, caratteriata da funione dielettrica () è separata dal prisa dielettrico (con costante dielettrica s ) da una gap di aria di spessore h. Il capo incidente in polariaione p proviene dal prisa e l angolo di incidena è aggiore dell angolo critico all interfaccia prisa-aria. Anche qui l onda evanescente che viene eccitata in aria decade esponenialente verso il etallo, a se la gap è abbastana stretta essa non svanisce copletaente all interfaccia aria-etallo ed eccita qui il plasone superficiale. Fig. 8 Configuraione di Otto. 3

14 La condiione di risonana è analoga a quella ottenuta per la configuraione di Kretschann. La larghea della gap può essere diensionata osservando l andaento della riflettività nel prisa al variare di h per un angolo di incidena fissato. Fig. 9 Andaento dei coefficienti di riflessione d apiea per la polariaione s e p in funione della larghea della gap per diversi valori dell angolo di incidena. ACCOPPIAMENTO TRAMITE RETICOLI DIFFRATTIVI Un alternativa all eccitaione di plasoni superficiali traite accoppiaento ATR sfrutta reticoli diffrattivi; se infatti la luce proveniente da un eo dielettrico colpisce un reticolo etallico si osservano delle anoalie dello spettro di riflessione. Tale fenoeno fu osservato per la pria volta da Wood, il quale fu il prio a suggerire che esse potessero essere dovute all eccitaione di onde superficiali, i plasoni appunto. Si consideri dunque una superficie etallica posta sul piano x-y, sulla quale si abbia una odulaione periodica di periodo a, e sulla quale incida un fascio di luce con un angolo. 4

15 Fig. Eccitaione di plasoni superficiali traite diffraione su un reticolo. Le coponenti della luce diffratta il cui vettore d onda coincide con sp potranno eccitare il plasone superficiale lungo la superficie del reticolo. Si deve cioè avere: = sen ± g = c x sp Dove è un intero e g =. a Più in generale, nel caso di una generica perturbaione della superficie etallica, si può scrivere: x = sen ± x = c sp dove x tiene conto della variaione di x introdotta dalla odulaione della superficie liscia del etallo, e per x = non si hanno soluioni per la relaione di dispersione. Il fenoeno inverso è anch esso possibile: un PS che si propaghi attraverso il reticolo (o più in generale attraverso una superficie corrugata) può ridurre, proprio a causa della perturbaione, il suo vettore d onda di un odo da trasforarsi in luce. x in 5

16 EFFETTI DI LOCALIZZAZIONE DEL CAMPO Se la perturbaione della superficie del etallo è sufficienteente profonda i plasoni superficiali vengono forteente scatterati e si coportano in odo disordinato di odo che la loro propagaione attraverso la superficie assoiglia ad un processo di diffusione. Ciò provoca degli accuuli localiati di densità di capo elettroagnetico più elevati di quelli causati da un plasone superficiale che propaga su una superficie liscia o con perturbaione ridotta. Si ottengono cioè delle eccitaioni superficiali confinate che prendono il noe di plasoni superficiali localiati e che si sviluppano graie all accentuata odulaione del etallo, oppure possono aver luogo in particolari strutture dalla geoetria confinata, quali ad esepio particelle etalliche ierse nel dielettrico. La relaione di dispersione per queste onde può essere ricavata nell approssiaione elettrostatica, risolvendo l equaione di Laplace con le relative condiioni al contorno. Ciò ha senso se la diensione caratteristica a del sistea considerato è piccola rispetto alla lunghea d onda del plasone superficiale localiato ( a << ). A titolo di esepio, si consideri una sfera etallica di raggio R, centrata nell origine, e iersa in un eo di costante dielettrica (fig. ). R Fig. Il poteniale elettrostatico ( r,, ) all interno della sfera può essere scritto coe: 6

17 ( r,, ) = a r Y (, ) r R in = = dove Y (, ) è un aronica sferica. Siilente all esterno della sfera si ha: out ( r,, ) = b Y (, ) + r R r = = Iponendo le condiioni al contorno sulla superficie della sfera, cioè la continuità di ( r,, ) e di il plasone localiato: si ottiene dunque la relaione di dispersione per r ( ) + + = E opportuno sottolineare che i plasoni localiati (anche detti risonane superficiali) sono eccitaioni notevolente diverse dai plasoni superficiali propaganti; essi sono confinati in strutture etalliche curve e sono caratteriati da frequena discreta e coplessa dipendente dalla diensione e dalla fora dell oggetto in cui si sviluppano. Possono essere inoltre eccitati per eo di luce di adeguata frequena e polariaione, indipendenteente dal vettore d onda di tale luce. I plasoni superficiali propaganti invece possono essere eccitati se sia la frequena che il vettore d onda della luce incidente sono appropriati. I due tipi di eccitaioni possono presentarsi sovrapposti oppure separataente, coe si vedrà in seguito. A tale proposito si consideri una struttura, nella quale i due effetti si anifestano separataente, costituita da un reticolo etallico nel quale si vogliono studiare gli effetti risonanti legati all eccitaione di plasoni localiati. 7

18 Supponiao che il seispaio per > (regione ) sia riepito da un dielettrico privo di perdite di costante dielettrica, entre per < (regione ) si ha un etallo con funione dielettrica ( ). Per = la superficie del etallo è odulata secondo la funione = f(x), periodica in x con periodo g (fig. ). Regione = f(x) Regione () x Fig. Dal dielettrico proviene un onda TM di lunghea d onda e frequena che incide noralente sul reticolo. Il capo incidente può allora essere espresso nella seguente fora: i i( ) E i (x,,t) = x + E t i i( +t) x e + E e i i( ) H i (x,,t) = y + H t y e dove = è il odulo del vettore d onda nello spaio libero. Il capo riflesso (per > ax f(x)) e quello trasesso (per < in f(x)) possono essere scritti coe sovrapposiione di onde diffratte: E r (x,,t) = N = H r (x,,t) = N = E + E ) [ i( N x+ N t e )] (x xn y H yn N [ i( N x+ N t e )] 8

19 E t (x,,t) = M = H t (x,,t) = M = E + E ) [ i( M xm t e )] (x xm y H ym M [ i( M xm t e )] in cui = NK (con N intero e N g K g = ) e g i N i N = (i =,) sono le coponenti del vettore d onda del N-esio ordine diffratto nelle direioni x e, rispettivaente. E necessario ora iporre le condiioni di continuità sulla superficie di separaione etallo-dielettrico, e per fare ciò conviene introdurre una trasforaione di coordinate ( x y, ) ( u, v, w), che porti l interfaccia = f(x) nella superficie piatta v = - f(x) =. Iponendo le condiioni, è possibile ricavare (con passaggi che qui non riportiao) il capo elettrico e quello agnetico totali all interno delle scanalature del reticolo e la riflettività totale. Se la odulaione della superficie etallica è del seguente tipo: = a f ( x) = 7 g cos N = N Nx g (dove lo sviluppo è stato arrestato al settio terine per seplicità di calcolo e variando a è possibile variare la profondità delle scanalature del reticolo), e il etallo è argento ( = i ) l andaento della riflettività R p in funione della profondità delle scanalature del grating d g è quello riportato in figura 3 per due valori del periodo, g =3n e g =n e per radiaione incidente di lunghea d onda pari a =459.3n. 9

20 Fig. 3 Riflettività in funione della profondità d g delle scanalature per la struttura di fig.. Le curve presentano una serie di inii per quelle d g per le quali l onda incidente eccita il plasone superficiale localiato, cioè per quei valori di d g per cui le cavità costituite dalle scanalature del reticolo diventano risonanti, e al loro interno si eccita un onda staionaria con (-) nodi nella cavità nel caso della risonana -esia. La differena ( d ) d tra due valori risonanti successivi g di d g è pari a età della lunghea d onda del plasone nella cavità e si ha che per g g più bassi la parte reale della coponente del vettore d onda del plasone è aggiore. La figura 4 ostra invece la distribuione del odulo del capo agnetico totale H tot (x,) = H y (x,) all interno di un periodo del reticolo in funione di x e per g = n alla tera risonana.

21 H y (x,) (n) Fig. 4 Sono presenti due nodi nel dielettrico nella cavità, coe ci si aspetta per la tera risonana. La riflettività è R p =.3838 e nelle one più scure vi è un auento del capo di un fattore 4. La figura 5 ostra invece la corrispondente distribuione di E tot (x,). Il capo, coe ci si aspetta, assue il suo valore assio sul fondo della cavità, dove è presente un auento di un fattore 6. E tot (x,) (n) Fig. 5

22 Dall analisi della struttura appena considerata è dunque evidente il ruolo giocato dai plasoni localiati nella concentraione dell energia elettroagnetica all interno delle scanalature, con conseguente auento locale dell intensità del capo, e nell assorbiento di radiaione polariata con il capo H nella direione delle scanalature. Tale assorbiento avviene per un vasto range di angoli di incidena, in quanto i plasoni localiati presentano curve di dispersione piatte. Consideriao ora un altra struttura periodica in cui sia possibile l eccitaione di plasoni superficiali di entrabi i tipi; in particolare, studiando le curve di dispersione si vedrà che in tale struttura le due eccitaioni copaiono sovrapposte, dando origine a odi ibridi. Il sistea è costituito da un reticolo etallico riflettente con una perturbaione periodica di tipo onda quadra. Le scanalature hanno una larghea a, una profondità h e il periodo è d. La regione di spaio per > (regione ) è riepita d aria, entre per < abbiao il reticolo, che supponiao in oro. Fig. 6 Sul reticolo incide luce in polariaione p (con H parallelo alle scanalature), con angolo di incidena. Per analiare le proprietà di tale sistea facciao due approssiaioni:

23 - iponiao condiioni di ipedena superficiale sulle superfici etalliche, fatta ecceione per le pareti verticali delle scanalature, che assuiao perfettaente conduttrici; - poiché la lunghea d onda della luce incidente sul reticolo è olto aggiore di a, nell espansione odale dei capi all interno delle scanalature consideriao solo il odo fondaentale. Con queste ipotesi si può scrivere la coponente lungo y del capo agnetico nella regione ( > ) coe sovrapposiione di onde piane ed evanescenti (trascurando la dipendena dal tepo): H y ( x, ) = e i ( xsen cos ) + rn n= e i nx+ n n in cui r n è l apiea dell n-esio ordine diffratto e n = sen +. d Nella regione l apiea del odo fondaentale all interno delle scanalature è data da: A = i h e Dsen + h sin c + a con =. etallo Il denoinatore di A può essere espresso nella fora seguente: ( h) cot i D = ia ( ) + d n sin c = n + n a 3

24 e poichè gli eri della sua parte reale governano il coportaento della riflettività della struttura, dalla sua analisi è possibile studiare l eccitaione dei plasoni superficiali; in particolare si può ottenere la curva di dispersione ). Si consideri dappria il caso in cui si abbia d = 3.5 μ, a =.5 μ e h =.6 μ. Nella figura 7 è ostrato il diagraa di dispersione relativo e, per confronto, anche la curva per h, caso in cui sono eccitati solo plasoni superficiali che si propagano. ( x Fig. 7 La presena delle scanalature introduce una gap tra la pria e la seconda banda, all interno della quale copare un nuovo odo. La relativa curva è abbastana piatta, ostra cioè una piccola dispersione rispetto a x, ed è legata ad un plasone superficiale localiato. Il capo elettroagnetico è forteente concentrato nelle scanalature, coe ci si aspetta per un fenoeno risonante. L andaento del coefficiente di riflessione in funione dell energia dell onda piana in polariaione p incidente con un angolo pari a è ostrato invece nella figura 8: 4

25 Fig. 8 La linea tratteggiata è stata ottenuta con il etodo dell espansione odale, quella a puntini con il etodo della atrice di trasferiento e quella continua deriva dal risultato sperientale. Il prio inio, per E. 5eV corrisponde ad un odo nella pria banda, e dovrebbe perciò avere carattere propagante; in realtà esso presenta invece un carattere ibrido, cobinaione di un plasone propagante e localiato. Il capo ha infatti picchi di intensità olto elevati agli angoli superiori delle scanalature, dove è circa 3 volte aggiore dell intensità della luce incidente. Il inio più pronunciato, per E. 37eV è invece associato al plasone localiato (linea piatta tra la pria e la seconda banda); in questo caso il capo elettrico è concentrato principalente all interno della cavità, dove arriva ad essere volte aggiore del capo incidente, ed è praticaente ero nelle altre regioni. Se si considera ora una struttura analoga alla precedente, a con scanalature olto strette e profonde (in particolare si ponga d =.75 μ, a =.3 μ e h = μ), si ottiene il seguente diagraa di dispersione: 5

26 Fig. 9 In questo caso il odo a energia inore è un plasone localiato, con curva di dispersione olto piatta per E. 66eV. Al variare dell angolo di incidena dunque l energia di tale odo riane pressoché inalterata. La seconda e la tera banda corrispondono a energie aggiori e sono estreaente vicine per incidena norale. Il rao inferiore E. 693eV ha ancora carattere ibrido, il capo è concentrato sia nelle scanalature che sulla superficie etallica oriontale e raggiunge intensità fino a 4 volte aggiori della luce incidente. Nelle figure seguenti si può osservare il capo elettrico nella struttura per E. 66eV (fig. ), corrispondente al plasone localiato, e per E. 693eV (fig. ), corrispondente al odo ibrido, per incidena norale. Nel caso del plasone localiato (fig. ) solo le pareti verticali delle cavità hanno un ruolo attivo nel processo di scattering: la luce incidente induce un dipolo alternante su di esse a causa della vicinana delle due superfici. 6

27 Fig. Il capo elettrico è notevolente aplificato nelle scanalature, e il valore di questo increento è legato al rapporto d a : quando la lunghea d onda della luce è aggiore del periodo del reticolo ( > d ) e olto aggiore della larghea delle scanalature ( >> a ) la parte iaginaria del denoinatore D, alla frequena per la quale la parte reale di D è nulla, è proprio d a (assuendo pareti perfettaente conduttrici = ). Dunque si ha: A ih d e = (8) a sen h Poiché la condiione di risonana nella cavità prevede cos h =, ne deriva che sen h, dunque l increento dell intensità del capo all interno = d delle scanalature è volte l intensità del capo incidente. E quindi evidente a coe, diensionando adeguataente la struttura, sia possibile ottenere capi elettrici localente olto elevati. Nel caso del odo ibrido (fig. ) per E. 693eV il capo elettrico è distribuito sia sulle superfici etalliche oriontali che all interno delle cavità, ed è olto elevato agli angoli superiori di queste. 7

28 Fig. La relaione (8) per A continua a essere valida, a in questo caso, poiché abbiao un odo ibrido e non una pura risonana, sen h, dunque A può essere estreaente elevato. Ciò spiega le grandi intensità di capo raggiunte da questi odi. APPLICAZIONI RETICOLI DI TRASMISSIONE La sepre aggiore iniaturiaione dei dispositivi negli ultii anni ha focaliato l attenione sulla capacità dei fenoeni plasonici di propagarsi in strutture di diensioni inori della lunghea d onda. In particolare è di grande interesse per lo sviluppo di dispositivi nanofotonici lo studio del ruolo dei plasoni superficiali nell elevata trasissione ottica osservata attraverso reticoli trasissivi di diensioni inferiori a. In questi ultii è possibile infatti osservare, per alcune lunghee d onda della luce incidente, un efficiena di trasissione olto aggiore di quella attesa, in alcuni casi prossia al %. Questo increento è dovuto a eccanisi 8

29 direttaente collegati con l eccitaione di plasoni superficiali sulle due superfici del reticolo. A tale proposito prendiao in consideraione una struttura reticolare etallica bidiensionale per la quale vogliao studiare il coportaento della trasittana al variare della funione dielettrica del etallo; in particolare, poiché sappiao che, affinché di abbia eccitaione di plasoni superficiali, è necessario che la parte reale della funione dielettrica sia negativa, si può vedere che per etalli che non verificano tale condiione, coe il tungsteno, e quindi non supportano plasoni superficiali, la trasittana è notevolente ridotta. La struttura considerata (fig. ) è coposta da un substrato di vetro su cui è depositato un array etallico di 4 fori spesso 5 n. Il periodo P varia da P n a 5 n e il diaetro dei fori d è tale che il rapporto = cos t =. 75. d Fig. Iagine realiata ediante icroscopio a scansione elettronica (SEM) dell array etallico per diversi valori del periodo P. L andaento dell intensità trasessa per vari etalli e per incidena norale in funione della lunghea d onda è riportato in figura 3 e ostra una serie di picchi corrispondenti all eccitaione di plasoni superficiali sulle due interfacce, aria-etallo e etallo-vetro. 9

30 Fig. 3 Esainiao dunque il picco corrispondente all energia più bassa ( aggiore), indicato nella figura 3 dalla freccia. Questo picco è associato il odo (,) nel substrato di vetro ed è sufficienteente isolato dagli altri in odo da poter essere studiato sena difficoltà. La posiione spettrale del picco (figura 4) varia con il periodo e si sposta verso lunghee d onda aggiori al crescere di quest ultio; per P grandi le curve tendono asintoticaente alla linea di dispersione del plasone, entre per piccoli valori di P le curve dei etalli nobili divergono verso valori definiti delle particolari proprietà ottiche del etallo. Il tungsteno presenta invece un andaento lineare. 3

31 Fig. 4 Posiione del picco per diversi etalli in funione del periodo dell array. L intensità di trasissione noraliata, ostrata in figura 5-a) in funione della posiione spettrale del picco, è notevolente diversa per i etalli nobili e di transiione. Per i prii si nota che essa cresce quando il picco si sposta verso lunghee d onda aggiori; ciò può essere spiegato considerando che allo stesso tepo auenta anche il valore assoluto della parte reale di (funione dielettrica del etallo), il cui andaento è ostrato in figura 5-b), anche se in realtà il eccaniso è più coplicato; bisogna infatti considerare l attenuaione all interno di ogni buco, che si coporta coe una guida d onda cilindrica di d raggio r = in cui si propaga un odo sotto cut-off. Al crescere di tale attenuaione diinuisce e la trasissione auenta. A ciò bisogna aggiungere che il raggio effettivo dei buchi è in realtà aggiore di r a causa della profondità di penetraione finita del etallo (a sua volta dipendente dalla funione dielettrica). 3

32 a) b) Fig. 5 I etalli di transiione presentano invece un intensità di trasissione estreaente bassa. Per il Co e il Ni ciò è dovuto all elevato valore della parte iaginaria della costante dielettrica che provoca uno soraento. Nel caso del tungsteno invece la bassa trasissione è da attribuire al fatto che la funione dielettrica nel range di frequene considerato ha parte reale positiva e di conseguena esso non può supportare plasoni superficiali. Il fenoeno di trasissione è pertanto puraente diffrattivo ed estreaente debole. Per coprendere il ruolo fisico giocato dai plasoni nel processo di trasissione consideriao ora per seplicità una struttura unidiensionale costituita da un reticolo etallico, su cui siano state praticate delle fessure longitudinali olto sottili, posto su un substrato dielettrico. Il etallo è l oro, il periodo del reticolo è d, le fessure hanno larghea a e profondità h (fig. 6). Su tale sistea incide noralente radiaione in polariaione p. Assuiao inoltre a << d e la frequena della luce incidente al di sotto della frequena di plasa del etallo. 3

33 Fig. 6 Siao interessati all andaento della trasittana di ordine ero del reticolo in funione di. Questa è riportata nella figura seguente per vari valori di h, per d = 3.5μ, a =.5μ e nel caso in cui il sistea sia nel vuoto. Fig. 7 Per fessure abbastana profonde ( h.6μ ) si osserva un picco pronunciato in corrispondena di lunghee d onda poco più grandi del periodo. Tale picco si sposta verso lunghee d onda aggiori e si allarga al crescere di h. 33

34 Quando h diviene sufficienteente grande ( h μ ) si osservano inoltre anche altri picchi per successive. L origine fisica di questi picchi di trasissione può essere studiata osservando a curva di dispersione ), ostrata in figura 8 per h =.6μ. ( x Fig. 8 Il rao più in basso è associato a un odo di natura plasonica che propaga su ogni faccia del reticolo con E. 348eV per x =. La sua posiione spettrale corrisponde al prio picco di trasissione, per d e in questo caso si parla di plasoni superficiali accoppiati. Auentando h nel diagraa di dispersione (fig. 9) copaiono, coe nel caso del reticolo riflettente, nuove bande, corrispondenti all eccitaione di plasoni localiati. Per h = 3μ è presente una banda piatta per E =. 7eV, dovuta a un plasone localiato associato al picco di trasissione a = 7. 5μ, entre il picco a gap. 4μ è legato al rao inferiore della banda dopo la pria 34

35 Fig. 9 Si può dunque dedurre che i eccanisi che concorrono alla foraione dei picchi di trasissione sono due: i plasoni accoppiati sono responsabili del picco per d, entre i plasoni localiati del picco per >> d. Nel prio caso, a differena del secondo, la banda non è olto piatta, dunque vi è una forte dipendena dall angolo di incidena. Il processo di trasissione avviene nel odo seguente: la luce incidente eccita il plasone sulla superficie superiore del reticolo; tale odo si accoppia attraverso le fessure con il plasone sulla superficie sottostante e questo eccita a sua volta radiaione luinosa della stessa frequena e con lo stesso oento di quella incidente. Questo eccaniso è olto sensibile alla presena del substrato sulla superficie inferiore, e se le energie dei due plasoni coinvolti non coincidono l accoppiaento è eno efficace; inoltre, da un analisi della trasittana al variare di a, sarebbe possibile vedere che è necessario un valore inio della larghea delle fessure per accoppiare i plasoni sulle due superfici del reticolo. Il eccaniso di trasissione associato ai plasoni localiati è invece olto diverso: il capo incidente induce densità di corrente sulle pareti delle 35

36 fessure, con segno opposto su ogni lato. Il processo non è olto sensibile all indice di rifraione del substrato. Il capo localiato nelle fessure riesce poi a rieettere radiaione dal lato opposto del reticolo con alta efficiena. Le configuraioni di capo nei due casi sono ostrate in figura 3: Fig. 3 Configuraione di capo elettrico per due periodi del reticolo di trasissione nei casi h=.6μ (in alto) e h=3μ (in basso) nel vuoto. Le straordinarie proprietà trasissive dei reticoli etallici coe quello appena descritto possono avere iportanti applicaioni pratiche: la posiione spettrale dei picchi di trasissione e la loro larghea possono infatti essere 36

37 controllate variando fattori geoetrici, e ciò consente ad esepio di ottenere filtri per la radiaione elettroagnetica sena effetti diffrattivi. CIRCUITI PLASMONICI L idea di circuiti basati sui plasoni superficiali è legata al problea della iniaturiaione dei circuiti elettronici, che, se da un lato ha portato a coponenti con prestaioni sepre igliori, dall altro è stata accopagnata da un peggioraento dal punto di vista delle interconnessioni, i cui ritardi liitano la velocità dei circuiti digitali. La fotonica offre una pariale soluione al problea ipleentando sistei basati su fibre ottiche, che non sono però integrabili, in quanto le loro diensioni sono olto aggiori di quelle dei circuiti elettronici, inferiori ai n. Un ulteriore problea è dato dalla diffraione ottica, dal oento che le lunghee d onda utiliate nei circuiti fotonici sono dell ordine dei n. I plasoni superficiali offrono l opportunità di confinare la luce in diensioni inori di, e consentono di progettare circuiti in cui i segnali elettronici vengono convertiti in plasoni superficiali che propagano e vengono processati dagli eleenti ottici, per poi essere riconvertiti in segnali elettronici. Un prio problea da affrontare riguarda dunque le tecniche per guidare i plasoni in strutture etalliche di diensioni inferiori alla lunghea d onda. Una possibile sistea è costituito da un sottile fil etallico di larghea finita ierso nel dielettrico (figura 3); tale geoetria offre buoni risultati in terini di lunghea di propagaione (circa 3.6 per una lunghea d onda di 55 n), a non in terini di confinaento del capo nelle due direioni trasverse (x e y), lungo le quali si ha una propagaione non desiderata su distane aggiori di. 37

38 r y Fig. 3 Riducendo lo spessore del fil fino a ottenere un filo nanoetrico si riesce invece a ottenere un attenuaione del capo entro distane inori di lungo x e y, a in questo caso le perdite associate al riscaldaento del etallo liitano forteente la assia lunghea di propagaione (lungo ) ottenibile. Per evitare le perdite ohiche è possibile ricorrere a un array di nanoparticelle etalliche circondate da dielettrico che consentono di guidare il plasone e allo stesso tepo di liitare le perdite graie al ridotto volue del etallo. In figura 3 è ostrato un esepio di tale guida in cui particelle d oro sono poste su un wafer di silicio-isolante e la lunghea d onda di lavoro è di 5 n. Fig. 3 Capo elettrico (A) ottenuto traite siulaione FDTD all interno della guida (B). La struttura della guida non è unifore lungo y, in quanto la diensione delle particelle etalliche è ridotta da 8n 8n al centro fino a 5n 5n 38

39 ai bordi della guida. Ciò perette di concentrare aggiorente il capo al centro, anche se in realtà tale effetto è liitato sostanialente solo alla direione x, entre lungo y si ha un estensione dell ordine di. Un etodo per ottenere confinaento in entrabe le direioni trasverse è quello di guidare i plasoni in scanalature etalliche a fora di V (figura 33). In questo odo si riesce a cobinare una forte localiaione trasversa con una propagaione uniodale, possibilità di trasissione del % nei tratti curvie alta tollerana a iperfeioni strutturali. x y Fig. 33 Per guidare il capo è necessario che l angolo sia inore dell angolo critico, e in questo caso si ottengono valori soddisfacenti anche per la lunghea di propagaione. Ad esepio, per una struttura con scanalature larghe.6μ e profonde μ ( 7 ), nel caso in cui il etallo sia oro, si ottiene una lunghea di propagaione tra i 9 μ e i 5 μ. Un punto olto iportante nella progettaione di chip plasonici, è la conversione di segnali ottici provenienti da dispositivi fotonici in plasoni superficiali. Questo processo necessita di accoppiatori che devono presentare alta efficiena di conversione. Una possibile soluione prevede la cobinaione di particelle etalliche seisferiche che facciano da focaliatore plasonico e di una guida a nanoparticelle. Nella figura 34 è ostrato un esepio in cui 9 particelle disposte lungo un seicerchio del raggio di 5 μ convertono la luce incidente (che ha una lunghea d onda di 53 n ed è in polariaione p) nel plasone e lo focaliano in una ona ad elevata intensità di capo dove questo 39

40 si accoppia con una guida etallica. Il capo si propaga nella guida e penetra parialente nella biforcaione finale, larga n e dunque di diensioni inferiori a. Fig. 34 Iagine ottenuta al SEM dell array focaliante di nanoparticelle etalliche accoppiato con una guida in Ag di larghea 5n. Sono possibili altre configuraioni, a la cobinaione di array focalianti e di guide nanoetriche è, per ora, un eleento fondaentale nel progetto di circuiti planari plasonici. Infine sono ovviaente necessari eleenti che consentano il controllo attivo dei segnali, che costituiscono uno degli obiettivi dell attuale ricerca nel capo della plasonica. SORGENTI LUMINOSE Le possibili applicaioni dei plasoni superficiali non sono liitate alla sola progettaione di strutture nanoetriche; essi possono infatti essere utiliati per risolvere il problea della bassa efficiena nei diodi ad eissione di luce (LED). In tali dispositivi la produione di radiaione luinosa prevede l inieione di elettroni e lacune in un seiconduttore, nel quale essi si ricobinano 4

41 eettendo luce. L eissione avviene pertanto all interno del ateriale, a solo la luce che fuoriesce da questo costituisce radiaione effettivaente utiliabile. Una rappresentaione scheatica della struttura di un LED è ostrata nella figura 35: Fig. 35 Solo l eissione che avviene per angoli copresi tra - c e + c (dove c è l' angolo critico per la riflessione totale) risulta in eissione dal dispositivo, entre la restante parte riane intrappolata nel ateriale sotto fora di odi guidati. Un espressione approssiata per la fraione di luce effettivaente eessa è data da, dove n è l indice di rifraione del ateriale in cui avviene n l eissione. Per un seiconduttore, coe ad esepio GaAs, n = 3.5, e dunque solo il 5% dell eissione è utiliabile. Un odo per risolvere il problea è quello di includere lo strato eissivo in una cavità ottica: la struttura ostrata nella figura 35 infatti costituisce già di per sé una cavità, deliitata però da specchi olto deboli (le superfici del dielettrico), con la conseguena che lo spettro di odi all interno è continuo; ponendo invece il ateriale in una icrocavità costituita da specchi etallici ad elevata riflettività si ottiene uno spettro di odi discreto, e si può dunque fare in odo di lavorare in propagaione uniodale. Se nella cavità è presente solo il odo fondaentale è più seplice ottiiare l eissione, e si riducono i possibili eccanisi di perdita. Con questo approccio si hanno dunque principalente due alternative: 4

42 - bloccare l eissione che avviene attraverso odi che non contribuiscono alla radiaione utile (odi guidati); ciò può essere fatto introducendo icrostrutture periodiche nel piano della cavità che ipediscano la propagaione di odi guidati introducendo una band-gap. - Invece di bloccare i odi guidati, si può provare a recuperarli cercando di fare in odo che essi si trasforino in radiaione, e ciò avviene sepre graie a opportune strutture periodiche. Il secondo etodo è in realtà più efficiente e si basa sull uso di un odo guidato che faccia da gradino interedio tra il processo di eissione nel ateriale e la radiaione. Tale odo è appunto il plasone superficiale. Consideriao quindi una icrocavità, la cui rappresentaione scheatica è riportata nella figura 36. Fig. 36 Lo strato di dielettrico in cui avviene l eissione è incastrato tra due specchi. All interno di esso è presente l eettitore vero e proprio, che possiao considerare coe un dipolo oscillante forato (dal oento che il capo prodotto dal dipolo viene riflesso dalla struttura circostante e si riaccoppia con il dipolo) ierso nella cavità. Lo spettro della potena dissipata è ostrato in figura 37: 4

43 Fig. 37 La potena dissipata nell intervallo < u <. 5 è quella che può essere irradiata (e della quale solo una parte alla fine sarà utiliabile); per.5 < u <.75 si ha potena intrappolata tra gli specchi superiori, entre il picco per u =. corrisponde all eccitaione del plasone superficiale all interfaccia tra lo specchio inferiore e il dielettrico. Ciò che si vuole fare è dunque: - assiiare l accoppiaento tra la sorgente e il plasone superficiale, e cioè auentare il più possibile la potena trasferita dall eettitore a quest ultio. - assiiare l accoppiaento tra il plasone e la radiaione luinosa. Per quanto riguarda il prio punto, consideriao per seplicità il caso di una sorgente iersa in un seispaio dielettrico liitato superiorente da un seispaio etallico; il trasferiento di energia dall eettitore al plasone può essere ottiiato variando la distana del prio dal etallo, coe è evidente dai grafici seguenti (figura 38), in cui è ostrata la potena trasferita dalla sorgente al plasone, alle onde superficiali dissipative e alla radiaione, in funione della suddetta distana e per varie orientaioni del dipolo. 43

44 Fig. 38 Osservando poi la curva di dispersione del plasone ), si può notare che al crescere di x auenta la densità dei odi plasonici attorno a un valore asintotico di. A questa frequena è dunque possibile l accoppiaento dell eettitore con un gran nuero di odi. ( x 44

45 Fig. 39 Curva di dispersione del plasone all interfaccia etallo-dielettrico Il problea di questa frequena asintotica è che essa non è accordabile con la frequena della sorgente; vi sono tuttavia strutture più efficaci della singola interfaccia etallo-dielettrico per supportare plasoni superficiali, che offrono inoltre anche una certa accordabilità, quali ad esepio strutture planari ultistrato. Queste ultie si basano sull utilio di plasoni superficiali accoppiati e tra di esse si possono distinguere principalente in due tipi di dispositivi: - strato etallico circondato da dielettrico; - cavità dielettrica deliitata da due sottili fil etallici. In entrabi i casi si hanno due possibili configuraioni di capo per i plasoni accoppiati (figura 4), associati a una distribuione di carica sietrica o antisietrica sulle due interfacce. Nel caso di strato etallico circondato da dielettrico, la configuraione sietrica (caso (a) nella figura 4) ha uno ero di capo nel etallo, quella asietrica (caso (b)) ha invece più perdite in quanto presenta una aggiore concentraione di capo in esso. La soluione più efficace tuttavia è la cavità dielettrica deliitata da fil etallici, in quanto si può diostrare che in questo caso, e in particolare per la configuraione asietrica (caso (d)), si riesce ad accoppiare fino al 9% della potena eessa dalla sorgente con i plasoni. 45

46 Fig. 4 Una volta trasferita la potena i plasoni accoppiati è ovviaente necessario trasforare questi ultii in radiaione luinosa. Anche in questo caso vi sono varie possibilità, di cui si è già discusso, coe l accoppiaento ATR o l introduione di strutture periodiche. Le seconde sono particolarente intressanti in quanto consentono di ottenere l accordabilità in frequena di cui si è parlato poco fa, sfruttando la struttura a bande della curva di dispersione. Le bande sono infatti in genere piatte ai bordi, dove si ha quindi un elevata densità di odi, e la loro posiione spettrale può essere controllata variando il periodo del reticolo. 46

47 CONCLUSIONI L esistena dei plasoni superficiali non è una scoperta degli ultii anni; essi furono studiati per la pria volta nel 9 da Wood, che osservò delle anoalie nello spettro di riflessione di un reticolo illuinato con luce in polariaione p. Nel 97, Rayleigh fu il prio a tentare una trattaione teorica del fenoeno con un approccio basato sullo scattering, secondo il quale, in corrispondena di certe lunghee d onda, la foraione di un nuovo ordine diffratto provocava una ridistribuione di energia negli altri ordini e le conseguenti anoalie nello spettro di riflessione. Il concetto di eccitaione collettiva superficiale risale però solo agli anni 5, quando venne introdotto per la pria volta da Pines e Boh, e poi da Ritchie. Ma è negli ultii anni che la ricerca sui plasoni superficiali ha avuto aggior ipulso, specialente graie alle poteniali opportunità che essi sebrano offrire nel capo della progettaione di circuiti fotonici e delle nanotecnologie. Tuttavia le applicaioni coprendono aree olto più vaste, dallo sviluppo di sorgenti luinose, coe LED e OLED (organic light-eitting diode), e di lenti super-risolutive, alla progettaione di coponenti non lineari. Nel prossio futuro, gli sfori aggiori sono rivolti al raggiungiento dei seguenti obiettivi: - progettare circuiti con interconnessioni etalliche di diensioni inori della lunghea d onda e dalle perdite confrontabili con quelle delle tradiionali guide ottiche; - perettere il controllo attivo di segnali plasonici ediante la odulaione elettro-ottica, ottica e pieoelettrica, e traite eccanisi di guadagno, nelle strutture plasoniche; - progettare coponenti ottici plasonici D in grado di accoppiare fibre a singolo odo con circuiti plasonici; - sviluppare nanolitografia plasonica a diensioni olto inferiori alla lunghea d onda su larghe superfici. 47

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