TEORIA DELLE RETI ELETTRICHE

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1 TEORIA DELLE RETI ELETTRICHE - Santomauro Mauro - mauro.santomauro@polimi.it Bibliografia: Chua Leon O., Kuh Ernest S., Desoer Charles A., Fondamenti di Teoria dei Circuiti, McGraw-Hill, 987 Modalità d Esame: Due Prove in itinere contenenti anche domande di teoria Prova scritta seguita da un colloquio Redattore: Marone Alessandro Aiuto alla redazione: Balbo Elisa CIRCUITI DINAMICI CIRCUITI LINEARI CIRCUITI RESISTIVI BIPOLI DOPPI BIPOLI CIRCUITI NON LINEARI

2 INDICE Introduzione ai Bipoli Lineari... 5 Leggi di Kirchhoff e Ohm... 5 Metodi di Risoluzione... 4 Teorema di Tellegen... 9 Doppi Bipoli Generatori Pilotati Proprietà dei Doppi Bipoli Direzionalità Reciprocità Simmetria Passività Collegamento di Doppi Bipoli Analisi Nodale Modificata Generatore Ideale Di Corrente Generatore Ideale Di Tensione Generatore Di Tensione Pilotato In Tensione Generatore Di Corrente Pilotato In Tensione Generatore Di Tensione Pilotato In Corrente... 4 Generatore Di Corrente Pilotato In Corrente Metodi di risoluzione Doppi bipoli particolari Trasformatore ideale Giratore... 50

3 Dispositivi Non Lineari Metodo Risolutivo Grafico per Doppi Bipoli Non Lineari BJT MOSFET... 6 Caso di Doppio Bipolo Lineare Proprietà dei Bipoli Non Lineari Analisi di Piccolo Segnale Amplificatore Operazionale... 7 Circuiti Dinamici Metodo delle Equazioni di Stato Degenerazioni Topologiche e Parametriche Maglie di soli condensatori Maglie di condensatori e generatori di tensione Insieme di taglio di superfici chiuse di induttori Ιnsieme di taglio di superfici chiuse di induttori e generatori di corrente Esempi di degenerazioni parametriche... 8 Teorema di Sostituzione Soluzioni delle Equazioni di Stato Circuiti Lineari Circuiti Lineari del I o Ordine Circuiti Lineari del II o Ordine Analisi Grafica al variare delle Autosoluzioni Circuiti Dinamici Non Lineari... 8 Circuiti Dinamici Non Lineari del I o Ordine... 8 Circuiti Dinamici Non Lineari del II o Ordine

4 Circuiti Dinamici Lineari nel Dominio delle Trasformate Calcolo delle Frequenze Naturali Applicazione della Trasformata di Laplace Funzione di Rete Legame tra la Funzione di Rete e la Risposta in Frequenza... 4 Procedimento grafico per l analisi di H(jω) Sintesi Passiva RLC Come realizzare un fisicamente realizzabile Espansione in Frazioni Parziali (Sviluppo di Hermite o nei poli) Espansione in Funzione Continua (Lunga Divisione) Impedenze con solo LC Sviluppo in Funzioni Parziali Sviluppo di Funzioni Continue Realizzazione di RC e RL Realizzazione delle e delle Tabella Finale Processo di Normalizzazione o Scaling Appendice... 9 Esercizio... 9 Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Possibili Domande Di Teoria

5 Esercizio Esercizio Esercizio I a Prova in Itinere del 23 Novembre Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio II a Prova in Itinere del 28 Gennaio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio

6 Introduzione ai Bipoli Lineari Leggi di Kirchhoff e Ohm I principali metodi di analisi si basano sulle Leggi di Kirchhoff e Ohm. Legge di Kirchhoff per le Correnti (KCL) Vi sono due formulazioni equivalenti:. Per ogni superficie gaussiana S di un circuito concentrato qualsiasi, in un istante arbitrario t, la somma algebrica di tutte le correnti che fuoriescono dalla superficie gaussiana S nell istante t è uguale a 0 0 Dove S è perciò una superficie chiusa che contiene al proprio interno un numero determinato di nodi del circuito. 2. Per qualsiasi circuito concentrato, la somma algebrica delle correnti uscenti da un nodo è nulla in ogni istante Quest ultima formulazione prende il nome di Legge di Kirchhoff per le Correnti in un nodo. Risulta quindi conveniente rappresentare il circuito con un grafo: 7 A B 2 4 C 3 5 6,,, sono i Nodi del grafo D,2,,7 sono i Lati del grafo, che corrispondono ai bipoli 5

7 Grafo: 7 A 2 B 4 C S D S È necessario indicare per ogni lato il verso della corrente (da stabilire in modo arbitrario). Quando si parla di superfici chiuse si intende delle superfici che racchiudono uno o più nodi separandoli dal resto del grafo. Ad esempio, S è una superficie chiusa che contiene solo D dentro, mentre contiene A, B e C fuori. S contiene invece A e B. Si introduce la nozione di insieme di taglio per rappresentare una superficie chiusa S nei grafi come un insieme di lati tolti i quali il grafo risulta suddiviso in due grafi separati. Esempio: S S A B C A B C La Legge di Kirchhoff per le correnti è quindi: D Dove C è il cut set (insieme di taglio). Esempio: 0 D M N Si scrive la KCL per il nodo M e per il nodo N; si ottiene che la legge di Kirchhoff relativa ad una superficie chiusa che ha all interno un certo numero di nodi (ad esempio M e N) è la somma delle Leggi di Kirchhoff dei singoli nodi. 6

8 Tornando al caso in esame, per ottenere una formulazione compatta delle Leggi di Kirchhoff per ogni nodo, si può descrivere il grafo come una matrice con tante colonne quanti i lati e tante righe quanti i nodi: A B C D Nota: è stata usata la convenzione + per le correnti uscenti dal nodo, - per le correnti entranti e 0 per indicare che il nodo non ha correnti entranti o uscenti provenienti dal ramo corrispondente. Questa convenzione è stata scelta a priori. Si osserva che, scrivendo la KCL per A, B e C, la KCL al nodo D è linearmente dipendente dalle altre; infatti, la Legge di Kirchhoff al nodo D è la somma di quelle precedenti cambiata di segno. Si possono quindi scrivere N- relazioni indipendenti e la matrice risulta ridondante, in quanto una riga può essere cancellata e ottenuta dalla combinazione delle tre righe precedenti: A B C D La matrice che si ottiene prende il nome di matrice di incidenza e, nel caso in esame, risulta formata da sette colonne e tre righe. Si può quindi esprimere la KCL in forma matriciale nel seguente modo: 0 Dove con I si intende il vettore delle correnti dato da: Questa è la formulazione implicita per la KCL, ovvero è nella forma del tipo F(x,y) = 0, con matrici e vettori delle seguenti dimensioni:,,, 0, Un esempio di una funzione in forma implicita è: 0 La formulazione esplicita è invece del tipo y = f(x), in cui y è la variabile dipendente e x è la variabile indipendente. 7

9 Legge di Kirchhoff per le Tensioni (KVL) Essa afferma che: La somma delle tensioni lungo una maglia è uguale a 0. 7 A 2 B 4 C D Una maglia è un percorso chiuso che inizia da un nodo qualsiasi, passa attraverso elementi a due terminali e termina al nodo di partenza. Di solito si utilizza la stessa convenzione per tensioni e correnti per non scrivere più grafi per lo stesso circuito. Convenzione degli Utilizzatori Convenzione dei Generatori L importante è che tutti i bipoli abbiano la stessa convenzione. 8

10 Si vuole ora scrivere un numero di equazioni alle maglie che sia linearmente indipendente, e ciò si fa attraverso la definizione di albero che è legata al grafo. Un albero è un insieme di lati che godono delle seguenti proprietà:. Il grafo albero è connesso (cioè da un nodo vi è sempre un cammino verso ogni altro nodo) 2. Il grafo albero NON ha maglie Esempio: A B C D In nero si ha l esempio di un albero. Il lato tratteggiato in rosso NON fa parte dell albero e forma una maglia, poiché sta tra due nodi tra i quali, per definizione, c è già un cammino. Vale la regola generale che se si prende un qualsiasi lato non facente parte dell albero considerato si ottiene sempre una maglia. Si può scrivere la KVL per ogni maglia così ottenuta. 7 A 2 B 4 C D Si costruisce una matrice mettendo nelle colonne, vicini tra loro, i lati che formano l albero e poi gli altri lati in posizioni arbitrarie. Nelle righe si posizionano le maglie, che si formano con l aggiunta di un lato specifico, nello stesso ordine di come sono stati posizionati i lati nelle colonne. Le maglie sono tante quante i lati che non sono di albero. 9

11 Maglie Lati di Albero Lati di Coalbero M M M M Matrice Unitaria Ogni maglia si indica con M x, dove x è il lato di coalbero (unico) che forma la maglia stessa. Il verso di percorrenza è quello fissato dal lato di coalbero che forma la maglia (+). La matrice formata dalle prime 3 colonne e dalle 4 righe è relativa all albero, la matrice quadrata formata dalle restanti colonne con le righe corrispondenti è relativa al coalbero e si può osservare che questa matrice è di rango massimo e risulta unitaria per costruzione. Indicando con, matrice delle maglie fondamentali, la matrice formata dall unione di albero e coalbero, si ottiene: 0 che risulta essere la formulazione implicita della KVL. La dimensione è data dal numero di lati del coalbero, che sono tutti i lati (L) meno quelli che formano l albero stesso, i quali sono pari al numero di nodi (N) meno uno: Numero di lati dell albero = Numero di lati del coalbero = La somma da L come ci si aspettava. Perciò per trovare tutte le soluzioni di un insieme di L bipoli si hanno 2*L incognite. La metà delle relazioni cercate (L) si ottengono, come finora ricavato, con le Leggi di Kirchhoff per Tensioni e Correnti. 0 0 L altra metà delle relazioni (L) è data dalle Leggi di Ohm. 0

12 Si può osservare che: Una matrice con rango massimo ha le righe linearmente indipendenti. Il rango di una matrice rettangolare, al più è pari al più piccolo tra il numero di righe e colonne. Poiché il coalbero è una matrice unitaria 4x4 (che per definizione ha rango massimo), la matrice B formata da 4x7 ha rango massimo ( rango = 4 ). Per scrivere le KVL occorre prendere un albero e fra tutti gli alberi che si possono ottenere vi è l albero Lagrangiano, la cui particolarità è di avere la forma a stella, cioè da un nodo che fa da centro si raggiungono tutti gli altri. Questo nodo prende il nome di nodo di riferimento (terra, massa, ground). Mettendo il - del voltmetro sul nodo di riferimento si possono ricavare N- tensioni, che possono essere assegnate al nodo e prendono il nome di potenziali o tensioni di nodo. e + e 2 e e 4 Nodo di riferimento 0 - Proprietà: e, e2, e3 e e4 sono tensioni indipendenti in quanto si trovano sull albero. Si può osservare che una tensione è la differenza di due potenziali ed è definita sul lato in funzione dei potenziali che stanno ai nodi estremi di quel lato. Tutte le tensioni di lato possono essere espresse mediante le tensioni indipendenti:,,, 0 è la forma implicita. Dove g è un vettore (g, g2) : 0 0 La forma esplicita si ottiene risolvendo il sistema: da un sistema lineare a 4 incognite e 2 equazioni, si può ottenere una soluzione dipendente da 2 variabili indipendenti:, e,. I potenziali sono un particolare insieme di tensioni indipendenti (a qualsiasi albero si consideri corrisponde un insieme di tensioni indipendenti). Si può scrivere perciò 0 come:, dove sono i potenziali (le tensioni indipendenti).

13 Dimensionalmente, poiché, e,, la matrice deve avere dimensioni pari a,. La matrice lega i potenziali alle tensioni di lato; è la matrice di incidenza nodo-lato. Questa è solo una delle possibili soluzioni, che dipendono dall albero scelto. La KVL in forma esplicita è quindi data da: Si ottiene quindi: 0 Il vantaggio di questa formulazione è che la topologia del circuito è data dalla sola matrice che è molto facile da ricavare. Confronto con la teoria dei campi elettromagnetici: 0 corrisponde a 0, indica cioè che non vi sono pozzi o sorgenti di corrente. corrisponde a, indica cioè che la tensione tra due punti è indipendente dal cammino e dipende solo dagli estremi. Nota: Si ricorda che la divergenza e il gradiente sono l uno l operatore aggiunto dell altro. Leggi di Ohm Per arrivare a un metodo di analisi bisogna descrivere la struttura dei bipoli tramite le Leggi di Ohm. Con bipoli lineari si intendono quei bipoli la cui caratteristica o rappresentazione geometrica è data da una retta. In forma implicita: 0 I Formulazioni esplicite: V Chiamando:,, e 2

14 Si ottiene: Analisi dei casi particolari: Se 0: resistore (R) R Se 0: generatore ideale di tensione Se 0 e 0: 0, corto circuito Se 0: conduttanza (G) G Se 0: generatore ideale di corrente Se 0 e 0: 0, circuito aperto Si può vedere che mentre il resistore ideale ammette sia la formulazione serie che parallelo, i generatori ideali ammettono o la sola formulazione serie o la sola formulazione parallelo. La formulazione implicita è ammessa da tutti. In notazione matriciale: La matrice di è diagonale Osservazione importante: Non è detto che le due matrici siano invertibili, ciò è possibile solo se:, 0 Formulazione matriciale implicita: 0 3

15 Metodi di Risoluzione Metodo di Analisi tramite Tabella Sparsa (STA) E un approccio di risoluzione delle reti a tabella sparsa. Consiste semplicemente nell utilizzare: KCL implicita, KVL esplicita e Ohm implicita Le incognite sono: le correnti I, le tensioni V e i potenziali e. Vettore delle incognite Termini noti N- 0 0 L I I L 0 N- L 0 L V V L 0 L L 0 N- e e N- L L L N- Nota: L è il numero di lati mentre N è il numero dei nodi. è la matrice identità di dimensioni L 0 0 Questa tabella prende il nome di Tabella Sparsa (Sparse Tableau) in quanto contiene pochi numeri diversi da 0. 4

16 Esempio: 0 0 x 0 x 0 x 0 0 x 0 x 0 x 0 I I L V V L e e N- 0 0 Perciò con L = 0 e N = 6 la tabella contiene 625 elementi in totale, di cui al massimo 70 ( ) elementi possono essere diversi da zero. Vantaggio: non è necessaria alcuna pre-elaborazione per ottenere la matrice. Metodo di Analisi Nodale (NA) A differenza del metodo della tabella sparsa che usa la formulazione implicita per la legge di Ohm, il metodo dell analisi nodale richiede che tutti i bipoli devono essere in formulazione parallelo. L equazione definitiva dell analisi nodale si ottiene dalle Leggi di Kirchhoff e dalla Legge di Ohm in formulazione parallelo: 0 Sostituendo la ricavata dalla KVL esplicita nella Legge di Ohm e poi sostituendo la ricavata dalla Legge di Ohm nella KCL implicita si sono così unificate le tre equazioni in una sola: La matrice deve essere quadrata e coerente con le dimensioni di : dove è il vettore dei termini noti,,,, Vi è il vincolo che non possono esserci generatori ideali di tensione (è necessaria la formulazione parallelo). Tutto è descritto da generatori ideali di corrente e resistori. 5

17 Se un generatore ideale di tensione ha una resistenza in serie, si può fare l equivalente Norton, altrimenti non può essere usato questo metodo. Nei bipoli è quasi sempre ottenibile, nei doppi bipoli è più complesso, e non è detto che esista la formulazione parallelo. Esempio: 5 A 2 B 4 C è una matrice 3x3: A B C A 0 B C 0 È una matrice simmetrica nel caso dei bipoli. Il metodo di Analisi Nodale è adottato nei simulatori circuitali, in quanto la matrice è direttamente ottenibile dai dati in ingresso che descrivono il circuito (vedi P-Spice). Esempio: Nome N + N - Valore R A 0 R [Ω] R 2 A B R 2 [Ω] Il programma legge ogni riga e scrive informazioni sulla matrice fino a completarla. 6

18 Questo metodo prende il nome di Stamp Method: A B C A B C Si individuano le 4 caselle di intersezione tra i due nodi e si mettono le transconduttanze in ognuna di esse: se gli indici sono uguali si mette il +, altrimenti si mette il. Se ci sono altri elementi già presenti si sommano. Se uno dei due nodi è il nodo di riferimento (indicato con zero), l unica casella interessata è quella con indici uguali (di volta in volta AA, BB, CC ) Il vettore è dato dai generatori di corrente che entrano od escono dai nodi. Considerando con il + il nodo da cui esce (si è scelta una convenzione): 0 A B C Nome N + N - Valore I 5 A C I 5 [A] I 6 0 C I 6 [A] In P-Spice si ha perciò una matrice: facilmente risolvibile dal programma Proprietà: utilizzando l analisi nodale, si può dimostrare che un circuito che abbia resistori e generatori di corrente e tensione accompagnati (cioè con resistori rispettivamente in parallelo e serie) comunque lo si costruisca, con valori di R e G > 0, ammette sempre una e una sola soluzione. R, G > 0 R R Bisogna dimostrare che la matrice è non singolare per qualsiasi valore. Ma poiché è diagonale e definita positiva, moltiplicata per e rimane definita positiva e ha determinante diverso da 0. 7

19 Per avere più soluzioni o nessuna soluzione bisogna avere generatori di tensione o corrente non accompagnati. Esempio: Circuito che ha una e una sola soluzione: R R R R R R Circuito che ha zero o infinite soluzioni: V V 2 V 3 Se, nel secondo caso, i generatori hanno valori non coerenti ( ), allora il circuito è mal posto e non si hanno soluzioni. Se la maglia funziona ( ), allora vi sono infinite soluzioni. Un altra possibilità per avere nessuna o infinite soluzioni è avere solo generatori di corrente entranti o uscenti da un nodo. In conclusione, condizione necessaria e sufficiente che un circuito di questo tipo ammetta una ed una sola soluzione è che i generatori siano accompagnati. 8

20 Teorema di Tellegen Se si considerano due circuiti aventi come unico vincolo di avere la stessa topologia, si ha: 0 Cioè i vettori di tensioni e correnti tra i due circuiti sono ortogonali tra loro: 0 Sostituendo : Si osserva che si è portata la matrice del circuito al circuito 2 e in quanto i due circuiti hanno la stessa topologia: Concludendo: 0 0 Nota: e sono chiamate potenze virtuali. Se i due circuiti hanno anche gli stessi bipoli allora sono potenze e da ciò deriva la legge che la sommatoria delle potenze in un circuito è pari a 0. Esempio di due circuiti con la stessa topologia: 9

21 Doppi Bipoli Si considerino doppi bipoli lineari caratterizzati dalla convenzione degli utilizzatori a entrambe le porte: I I 2 V V 2 Se si considera la linearità si può scrivere:,,, 0,,, I termini c e c 2 tengono conto di eventuali generatori indipendenti contenuti all interno del doppio bipolo, ma questi possono essere tirati fuori e quindi si ottiene la formulazione implicita stretta (con 0): In maniera compatta: Formulazione esplicita serie (anche detta formulazione controllata in corrente): Affinché sia possibile scriverla, deve essere una matrice non singolare: Si possono ottenere quattro formulazioni: serie, parallelo, prima ibrida e seconda ibrida, che prendono il nome di formulazioni cardinali. Queste hanno le due variabili indipendenti una per porta. 20

22 Vi sono inoltre le due formulazioni con le matrici di trasmissione: I I 2 V V 2 Bisogna porre attenzione al fatto che è stata utilizzata la configurazione dei generatori a destra, degli utilizzatori a sinistra. Si può infine osservare che, per le formulazioni cardinali, le variabili dipendenti sono gli strumenti che misurano, le variabili indipendenti sono i generatori che forzano. Proprietà: Le quattro formulazioni cardinali hanno la proprietà di avere una variabile indipendente e una dipendente per porta. Le variabili indipendenti (cause) si rappresentano con generatori equivalenti, le variabili dipendenti con misuratori (voltmetri e amperometri). Esempi: + + I R I I H V 2 2

23 Generatori Pilotati Generatore di tensione controllato in corrente CCVS I V Generatore di corrente controllato in tensione VCCS V I Generatore di corrente controllato in corrente CCCS I I Generatore di tensione controllato in tensione VCVS V V Ogni formulazione cardinale ha perciò un generatore pilotato caratteristico. 22

24 Proprietà dei Doppi Bipoli. Direzionalità 2. Reciprocità 3. Simmetria 4. Passività. Direzionalità La direzionalità può essere dalle porte alle 2 o viceversa: i doppi bipoli possono essere sia unidirezionali che bi-direzionali. Un bipolo unidirezionale è tale da non presentare variazioni sulla porta a fronte di variazioni sulla porta 2 mentre presenta variazioni sulla porta 2 a fronte di variazioni sulla porta. Di conseguenza la unidirezionalità si può vedere dall elemento della I a matrice. riga II a colonna della Zero direzionali sono due bipoli completamente separati. Si considerino le matrici di trasmissione: I I 2 V V 2 I parametri si ottengono facendo il rapporto tra la grandezza che si misura e, al denominatore, il generatore forzante (la grandezza impressa). In quanto non si può fare il rapporto tra due generatori si può ricorrere ad artifici e ricavare, vi è tuttavia un metodo migliore per il quale bisogna prima introdurre il bipolo nullore. Nel piano I/V si consideri il bipolo che si trova nell origine degli assi ed ha contemporaneamente I = 0 (circuito aperto) e V = 0 (cortocircuito). Tale bipolo degenere prende il nome di nullatore. 0 23

25 Il circuito che contiene un nullatore risulta avere troppi vincoli e non è perciò risolvibile: R V V dd 0 I Nel piano I/V si consideri il bipolo che comprende tutto il piano e ha V = qualsiasi e I = qualsiasi. Tale bipolo si chiama noratore. Il circuito che contiene un noratore risulta avere infinite soluzioni in quanto ha troppi pochi vincoli: R V V dd I Si è pensato di creare un doppio bipolo comprendente sia un noratore sia un nullatore, quest ultimo prende il nome di nullore:

26 Il nullore è caratterizzato da una matrice 0 0 ed è l unica formulazione esistente. 0 0 Il nullore è il doppio bipolo caratteristico della matrice di trasmissione. Esempio: Si consideri un generatore pilotato in tensione: V V Perciò, oltre alla formulazione cardinale unica ammessa, permette anche la matrice di trasmissione. Il termine diverso da zero si trova in posizione diversa per ognuno dei generatori pilotati e si può infine osservare che il nullore può essere visto come il limite per un generatore pilotato quando il suo parametro caratteristico tende a. Esempio di utilizzo del nullore per ricavare la matrice : A V 2V V V V 2 0 Permette di calcolare: 2 e S 2A 2V 3V V 0 A I 2 Permette di calcolare: 3 e 2 In questo caso si ottiene perciò:

27 Il nullore viene anche utilizzato come modello per l amplificatore ideale: I I 2 V V 2 Nota: Di solito si rappresenta con un VCVS con guadagno elevato, ma in realtà può essere rappresentato da uno qualunque dei generatori pilotati con il valore del suo parametro. 2. Reciprocità Un doppio bipolo si può schematizzare nel seguente modo: Cause Doppio Bipolo Effetti Con una causa C applicata al doppio bipolo si ottiene l effetto E; applicando una causa C2, compatibile con la misura dell effetto E, dove prima si era ottenuto l effetto E si ottiene un effetto E2. Se C= C2 e E= E2, allora il doppio bipolo è reciproco. Se la causa C è un generatore di corrente e l effetto E è un segnale di tensione, allora la causa C2 deve essere un generatore che quando è spento funziona come un generatore di tensione (effetto E). Lo stesso ragionamento è valido per E2. Esempio: I I 2 V V 2 C E E C 2 26

28 Utilizzando la convenzione degli utilizzatori per entrambi i bipoli, cioè: I V I 2 V 2 I V I 2 V 2 Definendo quindi la potenza come: E le potenze virtuali (o incrociate) come: e Si ha che un doppio bipolo si definisce reciproco se. Si può ricavare la relazione di reciprocità nel modo seguente: si inseriscono due bipoli uno a sinistra e uno a destra di ognuno dei due doppi bipoli (α, β e α, β ). Si fa ciò per poter utilizzare il teorema di Tellegen che si può applicare solo a circuiti chiusi. V α I α I I 2 I β α V V 2 β V β V α I α I I 2 I β α V V 2 β V β Per il teorema di Tellegen è necessario utilizzare la stessa convenzione: Per la condizione di reciprocità e perciò: 0 0 Si possono quindi ottenere le condizioni di reciprocità per le matrici cardinali. 27

29 Esempio: Si ricavano le condizioni di reciprocità per la matrice : I α = I I β = I 2 = 0 I α = I = 0 I β = I 2 V α = V V β = V 2 V α = V V β = V 2 Si ottiene: Con lo stesso procedimento si ottiene: Invece, applicando lo stesso procedimento alle matrici ibride si ottiene:, Perciò per le matrici G e R la matrice deve essere simmetrica, per H e K gli elementi dell antidiagonale devono essere uguali in valore ma opposti in segno. Si può osservare che il bipolo lineare (resistore) è reciproco per definizione e anche un doppio bipolo contenente solo resistori è perciò reciproco. Nota: Un doppio bipolo può essere reciproco anche se non contiene solo resistori. Per le matrici di trasmissione si deve avere determinante unitario affinché siano reciproche: Esempio: Il bipolo caratterizzato dalla matrice 2 3, ricavata in un esempio precedente, è reciproco (il 2 determinante di è uguale a ). 28

30 3. Simmetria La simmetria ha come requisito la reciprocità (tranne che in un unico caso). Un doppio bipolo si definisce simmetrico quando sostituendo alla porta 2 la porta e viceversa non cambia niente: Si invertono gli indici a V e I: Si ottiene perciò: Il primo e il terzo sistema sono uguali quando: e Nota: Vi è contenuta la relazione di reciprocità. Per la matrice parallelo, la relazione è sempre: e Per le matrici ibride si ricava che deve valere: e Per le matrici di trasmissione: e Esempio: Il bipolo caratterizzato dalla matrice 2 3, ricavata in un esempio precedente, è simmetrico 2 (il determinante di è uguale a e ). Vi è un caso in cui un doppio bipolo può essere simmetrico ma non reciproco: 29

31 Riscrivendolo come: Si ha che 0 e si può osservare che non è reciproco (gli elementi sulla diagonale sono 0 uguali ma non opposti in segno, mentre la condizione è ) e quindi non si può applicare la definizione di simmetria vista precedentemente per la prima matrice ibrida ( ) in quanto presuppone la reciprocità. Infatti: La condizione si otteneva dalle precedenti supponendo. Invece nel caso in esame si ha e quindi affinché la matrice sia simmetrica deve valere come effettivamente è. 4. Passività ,,, 0 Tutti i generatori pilotati fanno parte della quarta categoria. Per i doppi bipoli passivi si può scrivere: 0,0 Perciò se è definita positiva allora il doppio bipolo è strettamente passivo. Per determinare se è definita positiva si può separare nella sua parte simmetrica ed emisimmetrica: 2 2 Esempio: La parte emisimmetrica di una matrice non contribuisce alla forma quadratica associata. 30

32 Teorema di Sylvester (per matrici 2x2): Una matrice simmetrica (per questo è necessario prima simmetrizzarla) è definita positiva se 0 e il determinante è maggiore di 0. Esempi: ok; , non è positiva e perciò il bipolo non è passivo ok; 8 290, è positiva e perciò il bipolo è strettamente passivo. 3 2 Nota importante: Per determinare la passività della matrice se non si hanno le matrici cardinali non si può applicare la regola vista precedentemente. Tuttavia l unica formulazione che ammette solo la matrice è il nullore 0 0 ed esso non è passivo. 0 0 Nota: Per gli induttori mutuamente accoppiati Dividendo per : Si ottiene: 0 si deve avere 0 e 0. Quando gli induttori sono fortemente accoppiati. Al diminuire di, l accoppiamento diventa lasco. Per 0 gli induttori sono disaccoppiati. 3

33 Collegamento di Doppi Bipoli Si possono collegare le porte e 2 tra di loro in serie o in parallelo. Ci sono 4 possibili configurazioni: A A B B Serie/Serie Parallelo/Parallelo A A B B Serie/Parallelo Parallelo/Serie Le porte collegate in serie sono percorse dalla stessa corrente mentre le porte collegate in parallelo possiedono la medesima differenza di potenziale. Vi è inoltre il collegamento in cascata: A B Nota: Nel collegamento in cascata si può collegare anche prima B e poi A. In totale vi sono perciò 6 possibili combinazioni (erano solo 2 per i bipoli). 32

34 Proprietà dei bipoli: Nel collegamento in serie dei bipoli si sommano i parametri serie, nel collegamento in parallelo si sommano i parametri parallelo. Si suppone inizialmente che questa proprietà sia valida anche per i doppi bipoli e si dimostra come in realtà essa sia sottoposta ad un vincolo. Esempio: A 2 2 Serie Serie B 2 2 Si ottiene tuttavia: 3,5, che non è la somma di. Nota: le resistenze sono state prese di valore unitario per facilità di calcolo. Se invece si considerasse: A Serie Serie B 33

35 Si ottiene: , che è la somma di. Esiste un test che permette di capire se vale la sommabilità dei parametri o no, prende il nome di test di Brűne: a) Si fa il collegamento della porta. b) Si mette il generatore opportuno alla porta (se sono collegate in serie ci vuole un generatore di corrente, di tensione se sono collegate in parallelo). c) Le porte 2 si devono porre aperte o in corto circuito a seconda della configurazione esaminata (aperte per serie, chiuse per parallelo) d) Si calcola la tensione V. e) Se la tensione è V = 0, allora vale la sommabilità dei parametri. Esempi: S/S P/P A A V V B B f) Il test va completato mettendo il generatore alla porta 2 e la tensione V alla porta. Esempio: P/P 34

36 Un altro esempio di doppi bipoli (stelle) collegati in parallelo: In questi due casi è sempre soddisfatto il test di Brűne grazie alla topologia del circuito. Osservazione: Il test di Brűne serve a verificare che è conservata l identità dei doppi bipoli. Si vuole ora ottenere 4 2 partendo dalle due stelle viste precedentemente senza modificarne la 2 4 posizione. Si consideri il trasformatore ideale con : : Il doppio bipolo rimane invariato e collegando un altro doppio bipolo in qualunque configurazione si mantiene comunque l identità del doppio bipolo e pertanto la sommabilità dei parametri. 35

37 Si consideri ora la cascata di due doppi bipoli: I A I 2A I B I 2B V A V 2A V B V 2B La matrice di trasmissione si ottiene dal prodotto delle matrici dei singoli doppi bipoli e si può osservare che in questo caso non serve il test di Brűne in quanto i doppi bipoli mantengono la loro identità. Nota importante: V V 2 V 3 Si ha che, mentre la matrice di trasmissione è sempre il prodotto delle due, tale proprietà non si può tuttavia sempre applicare alle singole funzioni di trasferimento. Esempio: I R I 2 R V R V 2 R V 3 Le funzioni di trasferimento singolo tra V e V 2 e tra V 2 e V 3 sono: e Tuttavia si ha: e perciò è necessario che o siano zero affinché: 36

38 Si può provare che per il seguente circuito, disaccoppiando i bipoli, si ha sempre: V 2 Esempio: R R V 2 V R V 2 R V 3 C La matrice di trasmissione di C è: Perciò se si disaccoppiano i due bipoli impedendo che il secondo circuito carichi il primo si può fare Se si inserisce un nullore in cascata, il prodotto delle matrici è sempre zero. 37

39 Analisi Nodale Modificata Questa tecnica è usata soprattutto nei simulatori circuitali e l idea che sta alla base è la seguente: l analisi nodale esamina tutte le correnti che entrano in un nodo e poi le tensioni espresse con i potenziali Si consideri che i lati tratteggiati in rosso non permettano formulazioni parallelo: vengono chiamati bad-branches e ai potenziali bisogna aggiungere le correnti passanti in quei rami: I I I I 0 I I 0 Le correnti I 4 e I 6 si aggiungono al vettore delle incognite. In quanto vi sono due incognite in più, vi devono anche essere due equazioni in più affinché il problema sia risolvibile: termine incognite noto e e 2 e 3 e 4 e 5 I 4 I G N I 4 I 6 Leggi di Ohm e e 2 e 3 e 4 X = e 5 I 4 I 6 Dove la matrice G N si costruisce normalmente applicando il processo Stamp come la matrice nodale pura e le colonne I 4 e I 6 si ricavano considerando solo il grafo ridotto alle linee rosse e indicando con - una corrente entrante e con + una corrente uscente da un nodo (indicati sulla sinistra con i numeri che vanno da a 5). Infine, la parte sottostante della tabella si ricava applicando le Leggi di Ohm ai rami considerati. 38

40 Si effettua ora un analisi dei vari generatori di corrente e tensione pilotati e non e si stabilisce caso per caso quali introducono una o più variabili e quali non introducono nuove variabili.. GENERATORE IDEALE DI CORRENTE Non introduce nuove variabili. Il suo contributo deve essere posizionato nella colonna del termine noto. 2. GENERATORE IDEALE DI TENSIONE Introduce una variabile I K. Il suo contributo deve essere inserito nella colonna del termine noto corrispondentemente alla riga introdotta da I K. N + I K V S N - Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: VS N + N - V S Dove VS è l etichetta con cui viene indicato il generatore, mentre V S è il valore numerico del generatore stesso. Il simulatore leggendo V S aggiunge una colonna I K alla matrice nodale pura. N + N - I K 0 N + - G N 0 N I K e X = e N- I K V S Leggendo N + e N - il programma posiziona eventuali nell intersezione tra le righe corrispondente ai nodi e la colonna di I K. In quanto si posizionano nella riga, aggiunta sotto la matrice, ± nelle rispettive posizioni e il valore di nella colonna dei termini noti. 39

41 3. GENERATORE DI TENSIONE PILOTATO IN TENSIONE Il lato di comando essendo un circuito aperto ammette formulazione parallelo e perciò non introduce nuove variabili. Il lato comandato necessita invece dell introduzione della variabile I K. N C + I K N + V J V K N C - N - Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: F XX N + N - N C + N C - β Dove N + e N - sono i nodi pilotati, N C + e N C - sono i nodi pilotanti e β è il fattore di pilotaggio. Si ha: 0 N + + N C - N C N - I K N N C G N 0 - N C 0 N - - I K 0 + -β +β e X = e N- I K 0 4. GENERATORE DI CORRENTE PILOTATO IN TENSIONE Questo generatore ammette formulazione in parallelo e perciò non introduce nuove variabili N C + N + V J I K N C - N - Si ha: 40

42 5. GENERATORE DI TENSIONE PILOTATO IN CORRENTE Sia il lato di comando che il lato comandato non ammettono formulazione parallelo e perciò bisogna aggiungere due variabili. N C + N C - I N V N I J V k I k N + N - Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: H xxx N + N - V N R m V N N C + N C - (0) La seconda riga di comando è dovuta al fatto che è necessario mettere un nodo aggiuntivo con un generatore di tensione nullo V N =0 per distinguere il ramo di comando da eventuali altri rami posti in parallelo. In Spice è necessario inoltre che la corrente si consideri uscente dal generatore nullo di tensione V N, ma ciò non modifica in alcun modo l analisi del circuito. Si ha: 0 e 0 N + + N C N C - N - I K I J 0 0 N N C G N N C 0 - N I K R m I J e X = e N- I K I J 0 0 4

43 6. GENERATORE DI CORRENTE PILOTATO IN CORRENTE Sia il lato di comando che il lato comandato non ammettono formulazione parallelo e perciò bisogna aggiungere due variabili. N C + N C - I N V N I J I K N + N - Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: G xxx N + N - V N α V N N C + N C - (0) Si ha: 0 e 0 N + + N C N C - N - I K I J 0 0 N N C G N N C 0 - N I K α I J e X = e N- I K I J 0 0 Nota importante: Il circuito seguente è lineare in quanto quando i generatori forzanti sono spenti, tutti gli elementi al suo interno sono lineari. A V INPUT OUTPUT CIRCUITO LINEARE 42

44 Esempio (numerico): V3 0 4 Nei lati che non ammettono formulazione parallelo sono presenti dei generatori cerchiati in rosso. Bisogna inserire il generatore nullo tra i nodi e 5 (e il più si pone verso il nodo 5) per rappresentare l amperometro e misurare che pilota il generatore di corrente (nota: deve uscire dal nodo + del generatore fittizio di tensione) bipolo * bipolo 6 bipolo 7 bipolo

45 I vettori delle incognite e dei termini noti sono dati da: Vettore delle incognite Vettore dei Termini Noti = Generatori Indipendenti Il generatore pilotato β V è pari a: e β e e 0 Il generatore di corrente pilotato in corrente è pari a: 0 La matrice segnata con i contorni in verde è data da: La matrice è quella che si ottiene dalle Leggi di Ohm per i membri che non ammettono formulazione parallelo. Non ha le proprietà di simmetria dell analisi nodale, tuttavia la diagonale continua ad essere dominante e la matrice è sparsa (in questo caso solo 25 elementi su 8 sono diversi da 0). 44

46 Metodi di risoluzione Vi sono metodi diretti e indiretti per risolvere. I metodi diretti ottengono la soluzione esatta in un numero finito di passi (considerando eventuali approssimazioni). I metodi indiretti hanno un numero di passi variabile a seconda della forma della matrice e portano a verificare se la soluzione e convergente tramite iterazione. I metodi diretti sono quelli più utilizzati nei programmi; uno di questi metodi è quello a eliminazione gaussiana: da un sistema di partenza si tende a risolvere una variabile in funzione delle altre fino ad ottenere un unica equazione. Risolta quest ultima si procede con sostituzione inversa a determinare le rimanenti variabili. Scomposizione: è inferiormente triangolare, è superiormente triangolare A = L U Scrivendo e chiamando si ottiene: Ma questo sistema è direttamente risolvibile con il metodo di eliminazione gaussiana. Il processo di costruzione di e avviene su : U U L A L A Sulla diagonale non c è conflitto in quanto si può dimostrare che esistono N gradi di libertà pari al grado N della matrice (quindi la diagonale di U può essere riempita di ad esempio) Il tempo impiegato si può dimostrare essere pari a: e perciò si indica che il costo è dell ordine di : Il tempo impiegato risulterebbe essere enorme. Analizzando matrici si evidenzia come esse siano piene di 0. Ciò implica inutili moltiplicazioni per zero e somme con zero come addendi. Se si tiene conto della sparsità della matrice si ricava sperimentalmente che in realtà il costo è compreso tra,,. È un risultato sperimentale. 45

47 Tecniche ad hoc vengono utilizzate per l immagazzinamento dei dati, utilizzando strutture dati lineari (liste) anziché matrici. Un possibile inconveniente è il seguente: x x x x x x 2 x x x 0 x x 0 0 x x x 0 6 x x Se la matrice è sparsa in questa configurazione, dopo la prima sostituzione diventa piena. Se si cambiasse invece l ordine dei nodi: x x 5 0 x x x 0 0 x x 0 x x x x x x x x x La matrice rimane sparsa anche dopo la prima sostituzione. È necessario quindi utilizzare un algoritmo aggiuntivo che preservi la sparsità. Nota: Cambiando il termine noto non è necessario ricavare nuovamente la scomposizione LU di e perciò la risoluzione è più veloce. Tutto quello che è stato fatto può essere riutilizzato per i circuiti non lineari risolvendo N circuiti lineari. Un circuito non lineare dinamico potrà essere risolto tramite la risoluzione di K circuiti non lineari (resistivi). 46

48 Riassunto ed Esempi delle Proprietà Reciprocità Simmetria Passività Matrice R Reciprocità + Matrice G Reciprocità + Reciprocità + oppure Anti-reciprocità + Matrice reciproca: Matrice H Per le 4 cardinali: -Strettamente passivo 0 -Passivo 0 -Inerte 0 Eccezione: doppio bipolo simmetrico ma non reciproco 0 0 Matrice T Nullore Non passivo Esempio di bipolo passivo: V I Esempio di doppio bipolo strettamente passivo: R R 0 R 2 2 È strettamente passivo, reciproco e simmetrico. 47

49 Esempio di doppio bipolo non passivo: R R 0 0 Non è passivo, ma è reciproco e simmetrico. Esempio di doppio bipolo passivo ma non strettamente passivo: I R I Se si mette un generatore di corrente qualsiasi da un lato e lo stesso dall altro lato invertito di segno, risulta che in R non scorre corrente. Calcolando la forma quadratica associata: Se allora 0. 48

50 Doppi bipoli particolari A. Trasformatore ideale Ammette solo quattro formulazioni (con le matrici ibride, e con le matrici di trasmissione, ) H V K V 0 I K I 0 V K V T I K I 0 0 Dalla matrice si ricava che è reciproco, ma non è simmetrico in quanto. È bidirezionale e poiché: P V I V K K I 0 è inerte. Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2: R La resistenza viene perciò vista in ingresso moltiplicata per. Prende il nome di Convertitore positivo di impedenza (PIC). Nota: Per è come una prolunga che effettua tuttavia anche un disaccoppiamento elettrico tra le due porte; è reciproca ed anche simmetrica. Se la matrice H ha la seguente forma: H V K V 0 I K I 0 Per è simmetrico, non è mai reciproco, non è passivo. Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2 si ottiene: Prende il nome di Convertitore negativo di impedenza (NIC). 49

51 B. Giratore Ammette formulazione tramite matrice R: 0 0 Non è reciproco né simmetrico, è anti-reciproco. È bidirezionale e poiché P = 0 è inerte. Si rappresenta nel seguente modo: Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2: R La resistenza risulta invertita e moltiplicata per Un giratore può essere costruito tramite amplificatori operazionali e resistori. Prende il nome di Invertitore positivo di impedenza (PII). Nota importante: Un induttanza può essere creata utilizzando un giratore dove al posto di R si posiziona un condensatore C. C L 50

52 Analizzando una stella con la resistenza centrale negativa si osserva che: R R 0 0 È reciproco e simmetrico. Non è passivo. Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2: R Prende il nome di Invertitore negativo di impedenza (NII). Riassumendo: PIC (Convertitore Positivo di Impedenza): 0 0 NIC (Convertitore Negativo di Impedenza): 0 0 PII (Invertitore Positivo di Impedenza): NII (Invertitore Negativo di Impedenza):

53 Dispositivi Non Lineari Diodo: I D I D V D V D I S Se si utilizza il modello Sparse Tableau, 0 e 0 rimangono invariate, mentre le leggi di Ohm variano e sono quelle dei componenti non lineari. Se si utilizza l analisi nodale e l elemento non lineare ammette la formulazione parallelo, la formulazione è la stessa vista precedentemente, se non l ammette si deve utilizzare l analisi nodale modificata. Ciò che cambia è che non si ha più un sistema di equazioni lineari da risolvere, ma sono equazioni non lineari e varia perciò il metodo risolutivo. 0 scalare, non lineare. I D I D R S V D V S I S V S V D Sostituendo : 0 0 La soluzione si può o ricavare graficamente dall intersezione tra le due curve oppure risolvendo la funzione 0. 52

54 Si osserva tuttavia che la funzione risultante non può essere risolta analiticamente. F(V D ) soluzione V D Si adoperano perciò delle tecniche numeriche: si cerca di trovare una serie di valori per l incognita che tende a convergere alla soluzione. Si determinano iterativamente dove e la soluzione asintotica. Il metodo utilizzato è il Metodo di Newton: si sostituisce all elemento non lineare la sua linearizzazione (cioè la tangente alla curva nel punto considerato). I D g m 0 g m P 2 P x 2 x x 0 V D I S Dove m è la derivata calcolata in x 0: V D I V S ev T V 53

55 Dal punto di vista circuitale si risolve il seguente circuito lineare: I D R S I S 0 g m 0 V D V S Dove g m 0 e I S 0 cambiano ad ogni iterazione mentre la struttura circuitale rimane la stessa. Considerando 0: x 2 x x 0 Lo sviluppo in serie di Taylor di è: Vale perciò la regola: Si ottiene:

56 Nota importante: Il procedimento non funziona in alcuni casi, ad esempio nel caso seguente: I D x 0 x V D Teorema: Il metodo di Newton converge se si considera x 0 sufficientemente vicino alla soluzione. Nella simulazione circuitale questa richiesta non è fortunatamente molto limitante. Inoltre si può osservare che un altro problema è la presenza di esponenziali che possono causare un over-flow dei dati. Anche per risolvere questo problema è necessario far partire l iterazione da soluzioni vicine a quella cercata. Esempio: I D x 0 x V D In realtà la formulazione utilizzata dal calcolatore è: In questo modo non si deve invertire la matrice formata da. L iterazione è stabilito che debba proseguire fino a che la funzione non assuma un valore scelto dall utente: ; oppure che la variabile valga un certo valore: stabilito dall utente a seconda del processo in esame. È infine stabilito un numero massimo di iterazioni superato il quale il programma deve segnalare la presenza di un problema. Nota: viene anche chiamato residuo, quando è zero, si è arrivati alla soluzione. 55

57 Interpretazione vettoriale considerando 0: Dove è lo Jacobiano e consiste nella derivata di rispetto ad ogni variabile, è una matrice di numeri. In realtà non si prende il circuito non lineare e gli si applica il procedimento, che è una linearizzazione; ma, a partire da un certo punto di lavoro si costruisce non il circuito linearizzato, ma il circuito formato con gli elementi linearizzati: Circuito base: L NL NL L L L Companion Network: L L L L Il circuito che sostituisce gli elementi non lineari con gli equivalenti linearizzati è il Companion Network ed è costituito da Companion Models. Non è dunque necessario calcolare le derivate parziali dello Jacobiano; ma, bastano le derivate scalari dei singoli elementi calcolate nel punto di lavoro. 56

58 Per evitare errori dovuti a scorrette approssimazioni è meglio avere un idea di dove dovrebbe collocarsi il punto di lavoro e partire con il processo iterativo da un punto il più prossimo possibile ad esso. Esame del caso in presenza di Doppi Bipoli: e R Doppio Bipolo R 2 e 2 Questo è un circuito elementare di un doppio bipolo con sia alla porta uno che alla porta due, due bipoli rappresentati da un equivalente o Thevenin o Norton. Equazioni implicite di un doppio bipolo non lineare:,,, 0,,, 0 Nota: Esistono Doppi Bipoli non lineari che permettono tutte e sei le rappresentazioni. Si può scrivere: E quindi ottenere:,,, 0 e risolverlo numericamente con il metodo di Newton. 57

59 Metodo Risolutivo Grafico per Doppi Bipoli Non Lineari BJT B I = I B I 2 = I C C V = V BE V 2 = V CE E, E, e R I 0 0, 0,2 0,3 V CE = V 2 e V I 2 e R I B = I 0,4 0,3 0,2 0, e V 2 Osservazione: Normalmente la variabile dipendente V dovrebbe essere messa sull asse delle ordinate, ma per similitudine con la caratteristica del diodo si rappresenta in questo modo. Le rette che passano per R ed e e per R ed e sono determinate dal vincolo sui resistori. 58

60 Le intersezioni sono a prima vista numerose: prendendo un punto a caso nel grafico si determinano specifici, e ; tuttavia il corrispondente punto nel grafico può non trovarsi sulla retta corrispondente al carico sui morsetti 2 e non essere quindi una soluzione accettabile: I e R M A B C N P O e V I 2 e R A O N P M B C e V 2 Si costruisce l immagine della retta filtrata dal doppio bipolo nel secondo grafico ottenendo una curva (non una retta in quanto il doppio bipolo è non lineare). Il punto P è la soluzione cercata:,,, Si può fare anche l inverso portando la retta di carico dei morsetti 2 nel piano ; in questo caso si ottiene che il punto P è il trasposto del punto P. Bisogna inoltre porre attenzione al fatto che talvolta i doppi bipoli sono unidirezionali e perciò non è la stessa cosa partire dal piano o dal piano. Per un BJT ad emettitore comune si può trascurare la dipendenza da V 2 e perciò si possono risolvere due problemi scalari di primo ordine al posto di un problema vettoriale di secondo ordine: 59

61 I I V Si riporta I sul grafico V I e si ottiene la soluzione cercata. In alcuni casi possono esserci più soluzioni possibili o nessuna soluzione. Esempio di più soluzioni possibili: I V Il metodo di Newton nel caso di più soluzioni possibili trova la soluzione più vicina al punto di partenza. Esempio di nessuna soluzione: I V 60

62 MOSFET G I I 2 D V V 2 S S I =I G V = V GS I D = I 2 e R V GS = V 0 2 e V DS = V 2 Si può osservare che è inutile porre una resistenza in serie al generatore del morsetto in quanto I 0. Il punto di lavoro è dato dall intersezione tra la retta e il grafico del MOS. Inserendo una resistenza non lineare in uscita al secondo morsetto questo funziona da inverter. I D = I 2 V GS = V 0 2 V DS = V 2 0 Nota: è un doppio bipolo in formulazione parallelo. 6

63 Caso di Doppio Bipolo Lineare R R 2 e e 2 V e I 2 I 2 R I 2 e R I V 2 I I I e R 22 e I 2 R Essendo il doppio bipolo lineare, la retta di carico rossa del grafico rimane una retta (blu nel disegno) nel grafico (viceversa per il passaggio inverso) e l intersezione è la soluzione cercata. Nota: Se i termini R 2 e R 2 sono nulli significa che il bipolo non è bidirezionale. 62

64 Proprietà dei Bipoli Non Lineari Proprietà della Passività: Un bipolo è strettamente passivo solo se 0 e 0 se e solo se, 0, con la convenzione degli utilizzatori; è passivo se 0 (ad esempio il circuito aperto e il corto circuito). Esempio di grafico di un circuito strettamente passivo: I V La caratteristica, è interamente contenuta nel primo e nel terzo quadrante e passa per l origine degli assi. Due esempi di grafici di circuiti passivi: V I Tipo diodo I V Si può osservare come i grafici siano nulli anche per valori di, 0. Ha senso di introdurre la proprietà di passività solo se vale la Proprietà di Chiusura, in quanto grazie ad essa si può affermare che un bipolo che abbia al proprio interno, collegati in qualunque maniera, solo bipoli strettamente passivi è strettamente passivo. Proprietà di Non-Amplificazione: Se un circuito è alimentato con una tensione E ed è formato da bipoli lineari e non lineari ma tutti strettamente passivi, allora il modulo di qualunque tensione interna è inferiore a E: E Di conseguenza, se si pone il nodo del generatore a massa, si ha che: 0, cioè lo zero è il potenziale più basso, mentre E è il potenziale più alto. 63

65 Dimostrazione per assurdo della proprietà di non-amplificazione: Tesi: Esistono uno o più potenziali maggiori di E (è il contrario di quanto si vuole dimostrare) Ipotesi: Si considera il nodo del circuito con potenziale e Tutte le tensioni dei bipoli che finiscono nel nodo M devono avere il verso segnato in figura, ma perciò, essendo tutti i bipoli strettamente passivi, allora tutte le correnti sono uscenti. Per rispettare la Legge di Kirchhoff delle Correnti, la somma delle correnti entranti e uscenti dal nodo deve essere nulla: 0, ed essendo le correnti nel caso in esame tutte positive devono perciò essere nulle. Di conseguenza tutti i nodi adiacenti devono avere potenziale e iterando il procedimento si arriva ad affermare che ; ma questo nega la tesi di partenza ed è ciò che si voleva dimostrare. Uno stesso identico ragionamento può essere effettuato per determinare che il potenziale nullo è il limite inferiore. Questo teorema vale con qualunque componente purché sia strettamente passivo, quindi devono essere tutti bipoli la cui caratteristica passi per l origine e stia nel e 3 quadrante. 64