La matematica e i suoi modelli Un esempio tratto dalla vita quotidiana. 1. Quanto costa un viaggio in treno? Scheda 2

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1 La matematica e i suoi modelli Un esempio tratto dalla vita quotidiana Scheda 2 1. Quanto costa un viaggio in treno? 2. Come descrivere il procedimento di calcolo 3. Quale tipo di biglietto conviene? 4. La Freccia delle Dolomiti 5. Esercizi 1. Quanto costa un viaggio in treno? Come avrete capito, le vacanze dei signori Van Per Tren sono un pretesto per proporvi alcuni esercizi con cui riprendere confidenza con le nozioni di matematica che avete studiato nella scuola media inferiore e introdurre il lavoro che svolgeremo quest'anno. Nella realtà chi intraprende un viaggio si pone qualche problema in meno dei nostri amici. Comunque andiamo avanti nella nostra finzione. I Van Per Tren, che cercano di amministrare nel miglior modo possibile i soldi che hanno deciso di spendere per le vacanze, oltre al problema del tempo impiegato dai vari treni, si pongono anche quello del costo del viaggio. 1 Abbiamo visto che il percorso Bologna-Verona-Vicenza è lungo 166 km e che il percorso Bologna-Padova-Vicenza è lungo 154 km. Consultando lo specchietto con le tariffe di 2a classe (in vigore nell'estate 1991) riportato nell'orario dei Van Per Tren (vedi tabella (1.1)), stabilite se uno dei due itinerari è meno costoso e, in caso affermativo, qual è. (1.1) km tariffa km tariffa km tariffa km tariffa km tariffa Osservando lo specchietto i Van Per Tren si accorgono che le tariffe, che aumentano all'aumentare della percorrenza, non crescono in modo regolare: per 200 km il prezzo è circa 12 mila lire, per 2000 km non è 10 volte tanto, cioè 120 mila lire, ma solo lire. Per organizzarsi i

2 prossimi viaggi nel modo più conveniente, i nostri meticolosi amici cercano di capire meglio come variano le tariffe. La signora Van Per Tren, che per mestiere fa l'insegnante di matematica, esaminando la tabella riesce a capire l'andamento delle tariffe. Noi cercheremo di aiutarci con un grafico su carta quadrettata del prezzo del biglietto al variare della percorrenza ( figura 1). Come si vede il grafico ha un andamento a scalini. Ad esempio se la percorrenza è di 151, 152, 153,, 174 o 175 km la tariffa è comunque di lire: a questo intervallo di chilometri corrisponde un tratto di grafico orizzontale; quando si passa al 176 chilometro di percorrenza la tariffa scatta a lire. Non vi sono tariffe intermedie per viaggi in 2a classe. E in effetti se sull'asse verticale prendiamo il valore lire e tracciamo a questa altezza una retta orizzontale, non incontriamo alcun punto del grafico. Il grafico di figura 1 si ferma ai primi 400 chilometri. Per percorrenze così brevi le tariffe crescono più o meno in proporzione alla lunghezza del percorso. Infatti i tratti orizzontali che costituiscono il grafico si dispongono approssimativamente lungo una retta passante per l'origine, come si può vedere meglio nella figura 2. figura 1 figura 2 figura 3 La figura 3 richiama il significato della proporzionalità. Sono raffigurati diversi rettangoli con due lati sugli assi coordinati. Muovendo lungo la retta r il vertice P del rettangolo tratteggiato, questo viene ingrandito (se P viene allontanato dall'origine degli assi O) o rimpicciolito (se P viene avvicinato a O) mantenendo la stessa forma: le dimensioni, base e altezza, variano in proporzione, cioè vengono moltiplicate per uno stesso numero (questo numero è la scala).

3 In altre parole il rapporto base/altezza è costante: se la base è tot volte l'altezza, in tutte le riproduzioni proporzionate la base continua a essere tot volte l'altezza. Invece il rettangolo ottenuto spostando il vertice P nel punto Q non appartenente a r è un ingrandimento sproporzionato del rettangolo tratteggiato: la base è stata ingrandita maggiormente dell'altezza. Riassumendo queste osservazioni si può dire che le coordinate dei punti di una retta passante per l'origine (come r) sono proporzionali, cioè il rapporto tra ordinata e ascissa è sempre eguale. Analogamente nel caso delle tariffe ferroviarie al raddoppiare o triplicare o della percorrenza anche il prezzo viene approssimativamente moltiplicato per 2 o per 3 o. Dal grafico (vedi figura 4), ovvero dalla tabella, si vede che ogni 100 chilometri la tariffa aumenta di circa 6 mila lire. Del resto per 400 km il prezzo è circa 24 mila lire e, quindi, essendo le tariffe più o meno proporzionali alla percorrenza, il figura 4 costo di ogni chilometro è circa 24000:400=60 lire. Questo (60 lire/km) è il rapporto approssimativo tra prezzo e percorrenza. In conclusione possiamo dire che per percorrenze non troppo lunghe le tariffe crescono "regolarmente" all'aumentare della lunghezza del percorso e che il prezzo, 100 lire più, 100 lire meno, è dato dalla formula: (1.2) PREZZO = (n di CHILOMETRI PERCORSI) 60 lire Il punto a mezza altezza " " è un simbolo per indicare la moltiplicazione. Lo useremo spesso in alternativa al simbolo "x". Una formula che, come questa, abbia la forma " = ", cioè sia costituita da due termini separati dal simbolo di eguaglianza, viene detta anche equazione. La formula (1.2) rappresenta le tariffe ferroviarie in forma assai più concisa rispetto alla tabella (1.1). Tuttavia non le rappresenta esattamente, ma in forma approssimata. Il modello "tabella" è indispensabile se si vuole conoscere esattamente il costo di un viaggio, il modello "formula" ha il vantaggio di essere facilmente memorizzabile e di essere così impiegabile quando non si abbia sottomano il tariffario. 2 La formula (1.2) ha un altro limite: rappresenta le tariffe solo finché queste sono proporzionali alle percorrenze. I Van Per Tren hanno già notato che ciò non accade più ad esempio nel caso di un percorso di 2000 km. Confronta i valori che si ottengono con la formula e con la tabella nei casi sotto elencati. formula tabella formula tabella 250 km 1000 km 500 km 1250 km 750 km 1500 km La formula (1.2) per percorrenze superiori a 1000 km non va più bene, come si vede anche sul grafico che rappresenta tutta la tabella delle tariffe (vedi figura 5). La retta punteggiata è la stessa

4 retta delle figure 2 e 4: rappresenta i prezzi così come risulterebbero dalla formula (1.2). Oltre i 1000 km la retta si allontana dal grafico. figura 5 Dopo i 1000 km le tariffe crescono più lentamente. Prima aumentavano di circa 60 lire ogni chilometro. Oltre i 1000 km come variano le tariffe? Dalla fig. 5 si vede che pure oltre i 1000 km il grafico tende nuovamente a disporsi lungo una retta, anche se questa ha una pendenza minore di quella corrispondente alle percorrenze più brevi. Ciò ci dice che anche oltre i 1000 km a un aumento della percorrenza corrisponde un aumento più o meno proporzionale del prezzo. Da 1000 km (60 mila lire circa) a 3000 km (85 mila lire circa), cioè aggiungendo 2 mila km di percorrenza, il prezzo aumenta di circa 25 mila lire. 25 mila lire per 2 mila km corrispondono per ogni chilometro a un aumento di 25mila:2mila=12.5 lire. Quindi se la percorrenza eccede i 1000 km la formula diventa: (1.3) ovvero: PREZZO = (n di CHILOMETRI PERCORSI OLTRE I 1000) 12.5 lire PREZZO = (n di CHILOMETRI PERCORSI 1000) 12.5 lire 3 Calcolate i prezzi per 1250 e 1500 km impiegando (1.3) e confrontateli con quelli ottenuti nel quesito km 1500 km Il grafico in fig. 6 consiste di due tratti rettilinei che si raccordano nel punto (1000 km,60 mila lire). Il primo, da 0 a 1000 km, rappresenta la formula (1.2). Il secondo, oltre i 1000 km, rappresenta la formula (1.3). Abbiamo introdotto le formule (1.2) e (1.3) e il grafico di fig. 6 come rappresentazioni semplificate della tabella (1.1) e del grafico di fig. 5. In realtà l'aspetto più

5 importante è che esse ci consentono di comprendere il ragionamento seguito da chi ha predisposto la tabella delle tariffe: figura 6 chi amministrava le Ferrovie ha voluto ridurre il prezzo chilometrico per le lunghe percorrenze; ha fissato in 1000 km la soglia dopo cui applicare la riduzione e ha fissato in 60 lire/km e 12.5 lire/km i prezzi chilometrici per i primi 1000 km di percorso e per i chilometri successivi; quindi, per facilitare il pagamento dei biglietti e per ottenere una tabella non troppo lunga, ha raggruppato le percorrenze in intervalli (1-10, 11-20,, ) e ha approssimato le tariffe alle centinaia di lire. 2. Come descrivere il procedimento di calcolo Aprendo una parentesi osserviamo che le formule (1.2) e (1.3) possono essere unificate ricorrendo al seguente schema, dove, tralasciando le unità di misura, con percorrenza e prezzo abbiamo indicato, rispettivamente, il numero di chilometri di percorrenza e il prezzo in lire: (2.1) Osserviamo che in (2.1) compare un nuovo tipo di formula: PERCORRENZA > Formule come questa, costituite da due termini separati da un simbolo di diseguaglianza (<, >, o ), vengono dette disequazioni. Una agenzia di viaggi mette a disposizione dei clienti un calcolatore attraverso il quale essi possono ottenere facilmente alcune informazioni relative a orari e tariffe per viaggi in aereo e treno. Sulla parte bassa dello schermo del calcolatore, che è sensibile al contatto con le dita, appaiono raffigurati 4 piccoli "bottoni" con le scritte "aerei-orari", "aerei-tariffe", "treni-orari", "treni-tariffe". Se si tocca un bottone il calcolatore fa comparire nella parte alta dello schermo delle domande rispondendo alle quali l'utente può ottenere le informazioni desiderate. Per quanto riguarda i treni l'agenzia non ha predisposto il calcolatore alla stampa dei prezzi esatti come risultano dalla tabella (1.1): fornire al calcolatore tutti i dati della tabella avrebbe richiesto troppo tempo, e sarebbe stato un lavoro da rifare dopo pochi mesi; infatti le tariffe cambiano frequentemente. Del resto a chi chiede informazioni non interessa la tariffa esatta ma è sufficiente una stima di essa. Il calcolatore è stato quindi predisposto al calcolo approssimato dei prezzi secondo lo schema (2.1). figura 7 In figura 7 è riprodotto lo stato dello schermo dopo la selezione di "treni-tariffe" e la richiesta di alcuni prezzi. Finché l'utente non preme un altro bottone sullo schermo continua a scorrere la richiesta di una "percorrenza" e la stampa del relativo "prezzo". Per descrivere più completamente ciò che il calcolatore deve fare quando viene toccato il bottone "treni-tariffe", al posto di (2.1) possiamo impiegare il seguente schema:

6 (2.2) oppure a una scrittura come la seguente: (1) SCRIVI "n di km?" (2) LEGGI PERCORRENZA (3) VAI A CAPO (4) SE PERCORRENZA > 1000 SALTA A (7) (5) PONI PREZZO = PERCORRENZA 60 (2.3) (6) SALTA A (8) (7) PONI PREZZO = (PERCORRENZA 1000) 12.5 (8) SCRIVI PREZZO (9) SCRIVI "lire" (10) VAI A CAPO (11) SALTA A (1) (2.2) e (2.3) sono modi equivalenti per descrivere lo stesso procedimento di calcolo: rappresentano entrambi "le istruzioni d'uso" per calcolare approssimativamente le tariffe ferroviarie. (2.2) utilizza anche rappresentazioni grafiche (riquadri, frecce). Invece (2.3) ricorre soltanto a lettere, cifre e alcuni simboli (parentesi, +, =, ), cioè a caratteri tipografici, del tipo di quelli presenti sulla tastiera di una macchina da scrivere o di un calcolatore. Le parole che abbiamo messo in grassetto hanno un significato convenzionale: con LEGGI PERCORRENZA si vuole indicare che il calcolatore deve leggere il numero che è stato battuto sullo schermo e prenderlo come valore di percorrenza, con SALTA A (6) si vuole indicare che il calcolatore deve saltare alla riga (6), Uno schema come (2.2) viene detto diagramma di flusso: il "flusso" dell'esecuzione, cioè l'ordine

7 con cui sono da eseguire le varie istruzioni (leggere, scrivere, calcolare un valore, ), è indicato dalle frecce. Nella sequenza (2.3) le istruzioni vengono eseguite dall'alto verso il basso, a meno che non si incontri un'istruzione che modifichi il flusso dell'esecuzione facendo "saltare" a una riga diversa dalla successiva. Il fatto che non si ricorra a frecce rende (2.3) "leggibile" da parte di un calcolatore: basta predisporlo a leggere un carattere dopo l'altro, riconoscendo quando alcuni caratteri formano una parola a cui deve corrispondere una azione (come scrivi, salta a, ) o formano un numero o. Una sequenza come (2.3) viene detta programma. Ciò che distingue (2.2) e (2.3) dal modo con cui ci esprimiamo usualmente sta nel fatto che viene impiegato un linguaggio molto scarno, che non dà luogo a ambiguità, doppi sensi o altre difficoltà di interpretazione, che si basa su poche parole "convenzionali" e pochi simboli e ha frasi che possono essere formate solo seguendo fedelmente, "meccanicamente", alcuni standard prefissati. Linguaggi come questi vengono detti formali. I linguaggi formali hanno importanza nella matematica non solo perché rappresentano il mezzo attraverso cui si può predisporre il comportamento dei calcolatori; infatti sono stati oggetto di studio ben prima dell'invenzione del calcolatore. Tuttavia dopo questa hanno assunto un nuovo rilievo e un impiego più esteso. I linguaggi formali impiegati nella redazione dei programmi (come più in generale la terminologia informatica: bit, chip, software, ) risentono del fatto che il primo sviluppo delle tecnologie informatiche, a partire dalla metà del Novecento, ha avuto luogo soprattutto negli Stati Uniti: le parole convenzionali sono quasi sempre prese a prestito dalla lingua inglese. Ad esempio invece dei "SALTA A" e "SE" che abbiamo usato in (2.3) in genere si usano "GOTO" e "IF". 4 Il calcolatore impiegato dalla agenzia rispondendo alle richieste di informazioni sul prezzo di un viaggio di 1200 km e poi su quello di un viaggio di 700 km passa attraverso la seguente sequenza di istruzioni: (1) - (2) - (3) - (4) - (7) - (8) - (9) - (10) - (11) - (1) - (2) - (3) - (4) - (5) - (6) - (8) - (9) Con quale ordine segue le istruzioni se calcola prima il prezzo per un viaggio di 900 km e poi quello per un viaggio di 1500 km? 3. Quale tipo di biglietto conviene? I Van Per Tren, visto l'andamento delle tariffe, vogliono valutare se, volendo visitare nei giorni successivi diverse località, convenga fare più biglietti o un biglietto unico (nel caso di lunghe percorrenze il biglietto vale per più giorni). Proviamo anche noi a fare questa analisi. 5 Se voglio trasferirmi dalla città A alla città B, distante 300 km, poi, due giorni dopo, alla città C, distante 350 km e, infine, dopo altri due giorni, alla città D, distante 500 km, mi conviene fare un biglietto unico o no? Nel libretto dell'orario ferroviario i Van Per Tren trovano elencate alcune tariffe agevolate. In particolare soffermano l'attenzione sul biglietto chilometrico: costa 150 mila lire e può essere impiegato per fare più viaggi, fino a una percorrenza complessiva di 3000 km (può essere impiegato

8 da 5 persone diverse; i viaggi non devono essere più di 20). 6 (A) Se devo fare un viaggio di 3000 km mi conviene fare un biglietto normale o un biglietto chilometrico? E se devo fare due viaggi di 1500 km ciascuno? (B) Se devo fare più viaggi ciascuno di percorrenza inferiore a 1000 km, fino a quanto posso risparmiare con il biglietto chilometrico? 4. La Freccia delle Dolomiti I nostri amici olandesi osservano che da Padova si possono raggiungere in treno le Dolomiti, arrivando fino a Calalzo di Cadore, posto all'inizio della Valle d'ampezzo, vicino al Lago di Cadore. Pensano, quindi, di raggiungere Vicenza facendo scalo non a Verona ma a Padova, in modo da poter fare una puntata di un giorno nelle Dolomiti. Sull'orario notano un treno indicato come Freccia delle Dolomiti, e, stimolati dal nome, che suggerisce alte velocità, pensano di impiegarlo per raggiungere Calalzo. Nella tabella (4.1) sono state riportate dall'orario le ore in cui il treno sosta nelle varie stazioni. Per le stazioni in cui la sosta è più lunga è indicata sia l'ora di arrivo che quella di partenza. Stimiamo la velocità media con cui è percorso il tratto Padova- Calalzo :25 15:30 18:30 18:55: il tempo impiegato è 3 h e 25 min; la distanza è 158 km; il tempo è 3 h e rotti, la distanza è 150 km e rotti, 150=50 3, quindi il treno in 1 h fa mediamente circa 50 km. Controlliamo questa stima con la calcolatrice. km 0 Padova Campodarsego S.Giorgio Camposampiero Castelfranco Montebelluna Cornuda Fener Feltre Bribano Belluno Polpet Longarone Calalzo 1855 (4.1) 7 Calcolate la velocità media con cui il treno percorre il tratto Padova-Calalzo. distanza (Padova-Calalzo) = km tempo (Padova-Calalzo) = min

9 velocità (Padova-Calalzo) = distanza/tempo = km/h Nota: 1 h = 60 min; quindi per passare da una velocità in km/min al suo valore in km/h occorre moltiplicare per 60. Velocità intorno ai 50 km/h non sono certo da "freccia": sono di poco superiori alle velocità che riesce a tenere un ciclomotore. La signora Van Per Tren, per valutare se la bassa velocità media può dipendere dalla lunghezza delle soste nelle stazioni e dal fatto che vi sono molte fermate (le quali, in ogni caso, rallentano la marcia) decide di rappresentare su carta quadrettata il moto del treno (vedi figura 8). figura 8 I pallini neri rappresentano la posizione del treno lungo la linea ferroviaria al trascorrere del tempo, ad esempio quello evidenziato col cerchietto rappresenta il fatto che, secondo la tabella, alle 17:46, dopo 136 minuti dalla partenza, il treno è alla stazione di Belluno. I pezzi di grafico orizzontali rappresentano le soste nelle stazioni. Ad esempio durante il tragitto Padova-Calalzo il treno sosta a Castelfranco tra le 16:02 e le 16:22, cioè per 20 minuti, dal 32 al 52 minuto dalla partenza; ciò è rappresentato dal tratto orizzontale (indicato dalla freccia) tracciato in corrispondenza di Castelfranco. I Van Per Tren osservano che dove vi sono molte fermate il grafico non ha pendenza inferiore. Ciò fa svanire l'ipotesi che la lentezza del treno sia dovuta soprattutto alle molte fermate. Ma viene un'altra idea: la causa principale può essere la natura del percorso: è una linea ferroviaria che dalla pianura va in montagna; quindi avrà da superare tratti in salita e, presumibilmente, tratti con numerose curve; se le locomotrici non sono molto efficienti e la strada ferrata non è in buono stato difficilmente si possono tenere alte velocità. 8 Dal grafico di fig. 8, esaminando le pendenze, individuate il tratto tra due fermate successive in cui il treno è più lento e quello in cui è più veloce. Quindi usando la tabella (4.1) calcolate la velocità media del treno in tali tratti. tratto più lento velocità tratto più veloce velocità

10 Il tratto in cui il treno viaggia più lentamente è anche il più lungo, e quindi quello in cui la velocità media risente meno delle fasi di partenza e arrivo in stazione. Ciò sembra confermare l'idea dei Van Per Tren che la lentezza del treno dipenda dalla natura del percorso. Consideriamo il profilo altimetrico della linea Padova-Calalzo, in modo da vedere se il tratto in questione affronta effettivamente una zona particolar-mente montuosa. In figura 9 il profilo è stato rappresentato impiegando la stessa scala per la distanza da Padova lungo la linea ferroviaria (asse orizzontale) e per la altitudine (asse verticale): 10 km sono stati rappresentati con segmenti di eguale lunghezza sui due assi. figura 9 Per esaminare meglio come varia la pendenza della linea ferroviaria dilatiamo il grafico verticalmente. Otteniamo (vedi figura 10) un modello meno fedele ma che ci consente di distinguere meglio i tratti con diversa pendenza. In particolare viene evidenziato come l'ultimo tratto della linea (Longarone-Calalzo) sia quello con la maggiore pendenza. figura 10 Come si può esprimere in forma più precisa il concetto di pendenza? Indicando di quanti metri (o centimetri, millimetri, ) si innalza la strada ogni 100 metri (o centimetri, millimetri, ) di avanzamento in orizzontale. Ad esempio il cartello stradale riprodotto in figura 11, a sinistra, segnala una discesa pericolosa con pendenza del 8% (8 per cento): la strada è inclinata come il triangolo disegnato a destra, che ha la base lunga 100 unità di misura e è alto 8 unità di misura. In altre parole il rapporto tra spostamento verticale e spostamento orizzontale è lo stesso che intercorre tra 8 e 100: 8/100 = 0.08 = 8 centesimi. Se percorro un tratto di discesa che corrisponde ad uno spostamento orizzontale di 25 metri mi abbasso di 8 centesimi di 25 metri, cioè di = 2 metri.

11 figura 11 Si noti che nel caso delle pendenze stradali, che possono arrivare a valori di poco superiori al 10%, non c'è grande differenza tra lunghezza della strada percorsa e avanzamento orizzontale. Ad esempio nel caso sopra raffigurato la base del triangolo e il lato obliquo hanno lunghezza pressoché eguale. In particolare, nel caso della nostra linea ferroviaria, che come abbiamo visto (vedi figura 9) è assai meno inclinata del triangolo raffigurato, possiamo considerare praticamente eguali l'avanzamento in orizzontale e la lunghezza della strada ferrata percorsa. 9 Dalla figura 10 si vede che il dislivello tra Longarone e Calalzo e poco più di 300 metri. La distanza tra Longarone e Calalzo è circa 25 km, cioè circa 25000m. Qual è, approssimativamente, la pendenza di questo tratto di linea ferroviaria? rapporto tra dislivello e distanza = 300/25000 = = centesimi = % 5. Esercizi In questa seconda scheda abbiamo richiamato altri tipi di modelli matematici: tabelle e equazioni per esprimere il legame tra due grandezze (nel nostro caso tra percorrenza e prezzo) e loro rappresentazioni grafiche, i concetti di rapporto e di proporzionalità, descrizioni di procedimenti di calcolo mediante linguaggi formali (diagrammi di flusso e programmi), il concetto di pendenza, Abbiamo visto anche in questa scheda che l'impiego di modelli matematici opportuni, per quanto spesso dia luogo a rappresentazioni semplificate delle situazioni, può facilitare le decisioni, la comunicazione, la comprensione dei fenomeni,. Ad esempio: individuare l'andamento delle tariffe ferroviarie, al fine di comprendere la logica con cui sono state formulate o di ottimizzare la scelta del biglietto, schematizzare un procedimento di calcolo in modo da poterlo comunicare ad un calcolatore, studiare il movimento di un treno e le caratteristiche della strada che deve percorrere. Abbiamo riosservato che i fenomeni possono essere rappresentati con modelli differenti (tabelle o equazioni, forma numerica o grafica, diagrammi di flusso o programmi, ), che possono avere impieghi e vantaggi diversi a seconda del contesto d'uso. Negli esercizi che seguono vi vengono proposte alcune attività relative agli esempi e agli strumenti matematici considerati nella scheda. 10 Scrivi su un foglio le frasi con cui spiegheresti per telefono come calcolare il prezzo del viaggio Belluno-Calalzo a una persona che abbia sottomano un orario ferroviario simile a quello dei Van Per Tren (indice grafico in prima pagina, tabella con le tariffe in ultima pagina, quadri orari nelle pagine intermedie). Supponi che la persona non abbia pratica di orari ferroviari e che tu non abbia sottomano un orario ferroviario per dirgli direttamente il prezzo. Ricorda che devi spiegare alla persona sia come calcolare il chilometraggio che come da questo

12 risalire al prezzo del biglietto. 11 Quale tra i tre grafici a lato potrebbe rappresentar e quanto si deve pagare in un A negozio per l'acquisto di una certa quantità di patate? Perché hai escluso gli altri due grafici? B C 12 Quale tra i tre grafici a lato potrebbe rappresentar e le ore di sole tra il novembre 2001 e l'agosto 2003? Perché hai escluso gli altri due grafici? A B C

13 13 Mario acquista una scheda telefonica da 5 mila lire all'inizio di settembre e la esaurisce con varie telefonate in una decina di giorni. Quale dei tre grafici seguenti potrebbe rappresenta re il valore della scheda telefonica di Mario dal momento dell'acquist o a quello del suo esauriment o? Perché hai escluso gli altri due grafici? A B C 14 Il diagramma di flusso seguente rappresenta il procedimento seguito dal calcolatore dell'agenzia di viaggi ( paragrafo 2) per determinare le tariffe ferroviarie che erano in vigore dall'autunno 1990 alla primavera 1991.

14 Dopo aver calcolato il valore dei prezzi relativi ad alcuni opportuni chilometraggi, su un foglio di carta millimetrata (o quadrettata) traccia il grafico del prezzo determinato dal calcolatore al variare della percorrenza da 0 a 3000 km (cioè il grafico analogo a quello di fig. 6, relativo alle tariffe in vigore nell'estate 1991). Quindi rispondi alle seguenti domande: (a) Nel caso del grafico di fig. 6 per il tracciamento sarebbe stato sufficiente congiungere i punti (0 km, 0 lire), (1000 km, lire) e (3000 km, lire). Nel caso del grafico che hai appena tracciato quali punti sarebbe stato sufficiente congiungere? (b) Utilizzando il grafico, stima le percorrenze corrispondenti alle seguenti tariffe: lire, km lire, km lire, km 15 Provate a calcolare mentalmente (come fareste in una situazione normale, senza ricorrere a meccanismi di calcolo scolastici) il tempo (in min) che trascorre tra le seguenti coppie di ore e descrivete su un foglio il ragionamento che avete impiegato per ciascuna di esse. (a) dalle 18:11 alle 21:20, (b) dalle 13:26 alle 15:24, (c) dalle 10:57 alle 16:29, (d) dalle 7:38 alle 9: Indichiamo con m i minuti trascorsi tra l'ora h1:m1 e l'ora h2:m2 dello stesso giorno (ad esempio nel caso (a) del quesito 15 h1 è 18, m1 è 11, h2 è 21 e m2 è 20 mentre m, se hai fatto i calcoli giusti, è 189). Si vuole preparare un programma per calcolare m mediante un calcolatore. Quale o quali tra le seguenti formule è corretto impiegare? (in aiuto o a conferma delle tue conclusioni fai una verifica con i dati del quesito 15) Prova a spiegare gli errori commessi nella o nelle formule scorrette. (1) m = (h m2) (h m1) (2) m = (h2 h1) 60 + (m2 m1) (3) m = h m2 h m1 (4) m = (h2 h1) 60 + m2 m