Elettronica per le telecomunicazioni

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1 Elettronica per le telecomunicazioni Anno Accademico 2009/2010 Fiandrino Claudio 5 maggio 2010

2 II

3 Indice 1 Filtri Nozioni base Definizioni Esempi di filtri ideali Poli e zeri della funzione di trasferimento Progetto di filtri del 1 ordine Filtro passa basso Filtro passa alto Filtro passa banda Progetto di filtri del 2 ordine Analisi teorica Sensibilità Realizzazioni circuitali Tecnica di sintesi RLC Filtri con più amplificatori operazionali Filtri a variabili di stato Celle biquadratiche Filtri a capacità commutate Analisi per comportamento ideale Comportamenti con capacità parassite Realizzazione di resistori Integratore a capacità commutate Applicazioni di transistori bipolari Amplificatori accordabili a banda stretta Richiami sul modello di Ebers-Moll Modelli di piccolo segnale Polarizzazione Amplificatore ad emettitore comune Oscillatori Teoria degli oscillatori Oscillatore di Colpitts Mixer III

4 IV INDICE Mixer a Transconduttanza Mixer a Stadio differenziale PLL Introduzione Analisi Schema a blocchi e analisi teorica Funzione di trasferimento Analisi sul tipo di H LP (s) Condizioni di aggancio del PLL Realizzazioni circuitali dei componenti Demodulatori di fase VCO Applicazioni dei PLL Sintetizzatori di frequenza Convertitori Introduzione Campionamento Quantizzazione Realizzazioni circuitali Errori Convertitori D/A Convertitori A/D Sample & Hold

5 Capitolo 1 Filtri Per realizzare dei filtri i componenti induttivi a frequenze basse, vicino alla continua, non sono molto adatti. E possibile utilizzare gli amplificatori e, i filtri realizzati con amplificatori, prendono il nome di filtri attivi. Questa definizione deriva dal fatto che servono sia a filtrare il segnale sia ad amplificarlo in banda passante. 1.1 Nozioni base Definizioni Funzione di trasferimento La funzione di trasferimento di un sistema viene definita, nel dominio di Laplace, come: H(s) = N(s) D(s) dove:. il numeratore è un poliniomio di ordine m;. il denominatore è un poliniomio di ordine n. La condizione vincolante è: m n Trasmissività La trasmissività è una particolare funzione di trasferimento che lega le tensioni di ingresso e di uscita di un sistema; viene definita, sempre nel dominio 1

6 2 CAPITOLO 1. Filtri di Laplace, come: T(s) = V out(s) V in (s) In generale è un numero complesso che si può esprimere in termini di modulo e fase: T(jω) = T(jω) e jφω con s = jω. Guadagno Il guadagno di un filtro si definisce: G(ω) = T(jω) db = 20log 10 ( T(jω) ) Se:. è positivo si parla di guadagno;. è negativo si parla di attenuazione Esempi di filtri ideali Gli esempi di filtri ideali sono:. filtro passa basso;. filtro passa alto;. filtro passa banda. Filtro passa basso Grafico: T ω p ω La parte colorata rappresenta la banda passante; al di fuori il segnale viene attenuato e si parla di banda attenuata.

7 1.1. Nozioni base 3 Filtro passa alto Grafico: T ω p ω Come nel caso precedente la parte colorata indica la banda passante. Filtro passa banda Grafico: T ω p1 ω p2 ω Anche in questo caso la banda passante è colorata. I fronti di salita e di discesa sono verticali quindi non possono essere implementati fisicamente nella realtà. Di un filtro reale, nelle specifiche, si conosce la maschera. Ad esempio, per il filtro passa basso, la maschera è: T ω p ω s ω La zona bianca è quella zona in cui il segnale è trasmesso; all interno si distinguono ancora tre sezioni, a seconda della modalità con cui il segnale può passare:

8 4 CAPITOLO 1. Filtri T ω p ω s ω La parte tratteggiata in azzurro prende il nome di banda passante: in questa zona il segnale non subisce attenuazione. Nella parte tratteggiata in arancione, invece, il segnale è molto attenuato; per questo motivo prende il nome di banda attenuata. La zona di passaggio fra banda passante e banda attenuata prende il nome di selettività; nel grafico è la parte evidenziata in verde. La selettività è un indice di quanto è ripido un filtro: più ω p e ω s sono vicine più il filtro sarà ripido e quindi selettivo. L escursione verticale, invece, è il parametro che indica l attenuazione totale introdotta dal filtro Poli e zeri della funzione di trasferimento Il numero di poli della funzione di trasferimento definisce l ordine del filtro; denotando con:. p i i poli del denominatore;. z i gli zeri del numeratore; si può esprimere la trasmissività come: T(s) = k i (s z i) i (s p i) Sul piano complesso i poli devono essere presenti sulla parte colorata: jω σ Inoltre possono essere solo:

9 1.1. Nozioni base 5. reali;. a coppie complesse coniugate. Graficamente: jω α α σ dove:. in giallo sono colorati i poli reali;. in arancione sono colorate le coppie di poli complessi coniugati. Il denominatore della funzione di trasferimento si può esprimere:. D(s) = (s σ i ) nel caso di poli reali;. D(s) = s 2 + 2ξω 0 + ω 2 0 nel caso di poli a coppie complesse coniugate. I coefficienti:. ω 0 rappresenta la pulsazione di risonanza;. ξ rappresenta il coefficiente di smorzamento. Si definisce Q, fattore di qualità, l espressione: Q = 1 2ξ Le radici del polinomio s 2 + 2ξω 0 + ω0 2 sono: φ 1,2 = 2ω 0 Q ± jω Q 2 oppure in funzione del coefficiente di smorzamento: φ 1,2 = ξω 0 ± jω 0 1 ξ 2 Per ottenere poli a coppie complesse coniugate è necessario che il termine ± jω 0 1 ξ 2

10 6 CAPITOLO 1. Filtri sia immaginario e ciò accade se la radice è reale: 1 ξ 2 R = 1 ξ 2 > 0 = ξ < 1 In termini di Q, invece: Nel caso in cui: Q > ξ 2 I allora il termine: è puramente reale e i poli sono reali. ± jω 0 1 ξ 2 Riassumendo, dato un polinomio di secondo grado a denominatore della funzione di trasferimento, si hanno: Poli Condizioni su ξ Condizioni su Q a coppie complesse coniugate ξ < 1 Q > 0.5 Esempio a coppie reali ξ > 1 Q < 0.5 Considerando il sistema: x(t) h(t) y(t) e ipotizzando di realizzare una funzione di trasferimento di tipo passa basso come si esprime l uscita y(t) se in ingresso viene posto: Nel dominio di Laplace: x(t) = A i δ (t) Y (s) = X(s) H(s) Per realizzare un filtro passa basso è necessario che ci sia un solo polo e nessun zero nella H(s): i H(s) = (α i) i (s p i) con α i R. Quindi: Y (s) = A i i (α i) i (s p i)

11 1.1. Nozioni base 7 Antitrasformando si ottiene: y(t) i α i e p i t L uscita è la somma di tanti termini esponenziali dove: p i = σ i + jω i Graficamente: jω jω i σ i σ Se p i è reale allora: y(t) = e σ i t che rappresenta la risposta di un sistema del primo ordine stabile. Visualizziamo graficamente ingresso e uscita per questo tipo di sistemi: x(t) y(t) t t Se p i è complesso allora i poli sono due: p 1,2 = σ i ± jω i La risposta del sistema in questo caso cambia: y(t) e σ i t [e jω i t + e + jω i t ] e σ i t cos(ω i t) Graficamente: x(t) y(t) t t

12 8 CAPITOLO 1. Filtri L uscita presenta oscillazioni di pulsazione ω i ω 0 che si attenuano di σ i. Il termine σ i si esprime: σ i = ξω 0 = 1 2Q ω 0 Il fattore di qualità Q, quindi, rappresenta fisicamente la rapidità con cui le oscillazioni si smorazano nel tempo. Più è elevato il fattore di qualità più le oscillazioni si smorzano lentamente; al limite, per Q, i poli si trovano sull asse immaginario e le oscillazioni non si smorzano: si realizza un oscillatore. Al contrario, per Q bassi, le oscillazioni si smorzano molto velocemente. 1.2 Progetto di filtri del 1 ordine Filtro passa basso Il circuito è: R 2 C 2 R 1 V in + V out I parametri da considerare sono:. trasmissività;. amplificazione in banda;. frequenza del polo. La trasmissività si esprime con: T(s) = V out V in = Z 2 Z 1 = 1 sc 2 //R 2 = R 2 R 1 R sr 2 C 2 L amplificazione in banda (in continua per il filtro passa basso) è data da: T(0) = R 2 R 1

13 1.2. Progetto di filtri del 1 ordine 9 La frequenza del polo: mentre la pulsazione del polo: in quanto ω = 2πf. 1 f p = 2πR 2 C 2 ω p = 1 R 2 C 2 I diagrammi di Bode, modulo e fase, sono: db f p f f p f Le specifiche di progetto sono:. amplificazione in banda controllata attraverso R 1 e R 2 ;. frequenza del polo controllata attraverso C Filtro passa alto Lo schema circuitale è il seguente: R 2 R 1 C 1 V in + V out I parametri da considerare sono, come nel caso precedente:. trasmissività;. amplificazione in banda;

14 10 CAPITOLO 1. Filtri. frequenza del polo. La trasmissività si esprime con: T(s) = V out V in = Z 2 Z 1 = sr 2C sr 1 C 1 L amplificazione in banda (f per il filtro passa alto) è data da: T( ) = R 2 R 1 La frequenza del polo: 1 f p = 2πR 1 C 1 e la pulsazione del polo: ω p = 1 R 1 C 1 I diagrammi di Bode, modulo e fase, sono: db f p f f p f Filtro passa banda Il circuito è: R 2 C 2 R 1 C 1 V in + V out

15 1.3. Progetto di filtri del 2 ordine 11 La trasmissività è: T(s) = V out = Z 2 sr 2 C 1 = V in Z 1 (1 + sr 1 C 1 ) (1 + sr 2 C 2 ) L amplificazione in banda passante è data da: In questo caso i poli sono due: f p1 = quindi anche le pulsazioni sono due: R 2 R 1 1 2πR 1 C 1 f p2 = 1 2πR 2 C 2 ω p1 = 1 R 1 C 1 ω p2 = 1 R 2 C 2 I diagrammi di Bode, modulo e fase, sono: db f p1 f p2 f f p1 f p2 f 1.3 Progetto di filtri del 2 ordine Analisi teorica Per un filtro del secondo ordine la funzione di trasferimento sarà del tipo: H(s) = N(s) s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 dove, a denominatore, le radici saranno complesse coniugate (Q > 0.5). Analizziamo per i vari tipi di filtro la forma del numeratore N(s) e quale influenza ha sui diagrammi di Bode.

16 12 CAPITOLO 1. Filtri Filtro passa basso Il filtro passa basso ha la proprietà di avere: N(s) = costante Si esprime dunque la funzione di trasferimento come: κω 2 0 H(s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 Studiamo il comportamento sull asse delle frequenze, ponendo s = j2πf: f 0 = amplificazione in banda = κ f = banda attenuata 1 f 2 Il diagramma di Bode del modulo di H(s): db db/dec f Le risposte reali possono essere di due tipi, a seconda del valore di Q: db db f f 0.5 < Q < Q > Il secondo grafico evidenzia il picco di risonanza o sovraelongazione: più cresce Q più cresce il picco; nel dominio delle frequenze, inoltre, l altezza del picco è proprio data dal valore di Q. In dettaglio: H(s) db = κ db + Q db

17 1.3. Progetto di filtri del 2 ordine 13 Graficamente: κ db Q db ω max Diagramma di Bode della fase: ω 0 ω Il cambiamento di fase è tanto più veloce tanto più il Q è elevato; la pulsazione ω 0 è quella per cui il segnale di ingresso risulta sfasato di 90. Filtro passa alto La funzione di trasferimento per un filtro passa alto deve avere due zeri nell origine, quindi: N(s) = s 2 Si esprime H(s) come: H(s) = κs 2 s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 Il diagramma di Bode del modulo di H(s): db f

18 14 CAPITOLO 1. Filtri Come per il filtro passa basso, le risposte reali possono essere di due tipi: db db f f 0.5 < Q < Q > Filtro passa banda Per il filtro passa banda la funzione di trasferimento risulta essere: κsω 0 H(s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 Il diagramma di Bode del modulo: db f L f H f La risposta reale è: db f L f H -3dB f I punti a 3dB dal picco individuano le frequenze: [ f L = f Q 2 1 ] f H = f 0 2Q [ Q ] 2Q

19 1.3. Progetto di filtri del 2 ordine 15 Esiste una formula alternativa per il calcolo del fattore di qualità: Q = f 0 BW = f 0 f H f L Più è elevato il Q più il filtro sarà selettivo il frequenza e il picco sarà più stretto; ciò comporta anche un aumento dell amplificazione che può essere uno svantaggio in quanto le frequenze amplificate sono molto vicine alla frequenza f 0. Graficamente: db f Sensibilità La sensibilità è un coefficiente che quantifica le variazioni di parametri reali rispetto a quelli di progetto. La condizione ideale sarebbe avere una sensibilità nulla corrispondente al fatto di misurare gli stessi parametri di progetto, ma è pressochè impossibile. Si definisce sensibilità: S y x = y y 1 x x Realizzazioni circuitali Per realizzare un filtro del secondo ordine è possibile utilizzare due tipi di celle:. celle a guadagno finito;. celle a guadagno infinito (celle a reazioni multiple). Considerando il primo tipo si procede ad analizzare la cella Sallen-Key.

20 16 CAPITOLO 1. Filtri Cella Sallen-Key La realizzazione circuitale prevede inizialmente di utilizzare ammettenze generiche Y i che verranno sostituite con condensatori o resistenze a seconda del tipo di filtro che si vuole realizzare (passa basso, passa alto, passa banda). Circuito generico: Y 2 Y 1 i 1 i 2 i 3 Y 3 + V in V x V out Y 4 V out Per determinare la trasmissività occorre scrivere le equazioni della corrente sul nodo colorato in rosso e della tensione V out : T(s) = V (V in V x ) Y 1 = (V x V out ) Y 3 + (V x V out ) Y 2 out Y V in 3 V out = V x Y 3 + Y 4 dove:. (V in V x ) Y 1 = i 1 ;. (V x V out ) Y 2 = i 2 ;. (V x V out ) Y 3 = i 3. Risolvendo si ottiene: T(s) = V out V in = Y 1 Y 3 Y 4 (Y 1 + Y 2 + Y 3 ) + (Y 1 Y 3 ) Per realizzare un filtro passa basso è necessario che il numeratore non presenti zeri, quindi occorre scegliere: Y 1 = 1 R 1 Y 3 = 1 R 3

21 1.3. Progetto di filtri del 2 ordine 17 Poichè il denominatore deve essere un polinomio di secondo grado in s gli altri due componenti saranno: Y 4 = sc 4 Y 2 = sc 2 Ricapitolando, per il filtro passa basso Sallen-Key: Ammettenza Componente usato Y 1 1 R 1 Y 2 sc 2 Y 3 1 R 3 Y 4 sc 4 Sostituendo i componenti specifici nel circuito generico si ha: R 1 i 1 i 2 i 3 C 2 R 3 + V in V x V out C 4 V out Dati (m, n) N si preferisce utilizzare per i componenti le seguenti espressioni: Componente R 3 R 1 C 4 C 2 Espressione R mr C nc Le espressioni della pulsazione di risonanza, frequenza del polo e fattore di qualità sono riportate in tabella sia con la dicitura per componente, sia con le espressioni introdotte in precedenza:

22 18 CAPITOLO 1. Filtri Parametro Espressione etichette Espressione m, n ω 0 1 R1 R 3 C 2 C 4 1 mnrc 1 f 0 2π R 1 1 R 3 C 2 C 4 2π mnrc R1 R 3 C 2 C 4 mn Q (R 1 + R 3 )C 1 m + 1 Si osservi che, nelle espressioni con m,n, il fattore di qualità non dipende dai componenti scelti, ma solo dal loro rapporto; invece, la f 0, dipende sia dal rapporto fra i componenti sia dalla costante di tempo (τ = RC). Se Q = 1 2 si ha (m = 1,n = 2) è un caso particolare (Butterworth). Come si può notare dal circuito l amplificazione in banda di questa cella è unitaria ed è un limite. Per sopperire a questa mancanza si introducono le celle KRC, celle di tipo Sallen-Key con amplificazione in banda pari a κ. Celle KRC Le celle KRC, circuitalmente, si realizzano introducendo una rete di reazione sul morsetto invertente dell amplificatore: R B R 1 C 2 i 1 i 2 i 3 R 3 R A + V in V x V out C 4 V out La trasmissività cambia: T(s) = V out V in = κ Y 1 Y 3 Y 4 (Y 1 + Y 2 + Y 3 ) + (1 κ) (Y 2 Y 3 ) + (Y 1 Y 3 )

23 1.3. Progetto di filtri del 2 ordine 19 Per questo circuito l amplificazione in banda risulta essere: κ = 1 + R B R A La pulsazione di risonanza e la f 0 non cambiano espressione, mentre il fattore di qualità diventa: mn Q = m (1 κ) (mn) Ora Q oltre a dipendere dal rapporto fra i componenti usati dipende anche dall amplificazione in banda che si vuole ottenere. Per m = 1, n = 1, ponendo quindi uguali i valori delle due resistenze e uguali i valori dei due condensatori, si ha: f 0 = 1 2πRC Q = 1 3 κ Esempio Si vuole progettare una cella KRC con Q = 10. Determiniamo il valore di κ: κ = 3 1 Q = = 2.9 Come è noto κ rappresenta l amplificazione in banda, quindi: κ = 1 + R B R A = R B R A = 1.9 Se a causa delle tolleranze sui componenti il rapporto R B R A varia di ±1%: κ = 2.9 ± % = κ = [ ] Sostituendo nell espressione di Q si nota che: 8.3 < Q < 12.5 In conclusione: piccole variazioni su κ generano grandi variazioni su Q; il fattore di qualità delle celle KRC è molto sensibile al parametro dell amplificazione di banda. Il progetto risulta critico perchè occorre usare componenti molto precisi pur di ottenere Q abbastanza vicini al valore teorico desiderato.

24 20 CAPITOLO 1. Filtri Considerazioni sulla sensibilità In questa sezione si analizza come le tolleranze sui componenti influiscano sui parametri f 0 e Q per le celle Sallen-Key e KRC. Ricapitolando: Parametro Sallen-Key KRC f 0 1 2π R 1 R 3 C 2 C 4 1 2π R 1 R 3 C 2 C 4 Q R1 R 3 C 2 C 4 (R 1 + R 3 )C 1 R1 R 3 C 2 C 4 (R 1 + R 3 ) C 4 + (1 κ) (R 1 C 2 ) Per la cella Sallen-Key: S Q C 2 = Q C 2 C2 Q = 1 2 S Q C 4 = Q C 4 C4 Q = 1 2 S f 0 R 1,R 3,C 2,C 4 = 1 2 Questo tipo di cella ha quindi sensibilità molto basse: con tolleranze sui componenti del 20% i parametri Q e f 0 variando della metà (10%). Questo è indubbiamente un vantaggio, ma Q e f 0 dipendono dai valori di tutti i componenti quindi modificando il valore di uno automaticamente varia anche l altro. Sarebbe meglio poter agire indipendentemente su uno, ad esempio Q, senza variare f 0. Inoltre, per Q elevati, i valori dei componenti utilizzati devono necessariamente essere molto diversi fra loro: se R 1 = R 3 = R allora C 2 C 4 = 4Q 2 quindi C 2 e C 4 avranno capacità di ordini di grandezza diversi. Per la cella KRC: S Q R 3 = 1 2 Q R 3 C 4 R1 R 3 C 2 C 4 la sensibilità su Q cresce al crescere di Q; per valori alti del fattore di qualità il filtro progettato sarà poco preciso. Cella a reazioni multiple La cella a reazioni multiple, come descritto nella sezione a pagina 15, presentano guadagno infinito.

25 1.3. Progetto di filtri del 2 ordine 21 La loro realizzazione circuitale generale è la seguente: Y 2 Y 5 Y 1 i 2 i 1 i 3 i 4 Y 3 i 3 + V in V x Y 4 V out Per determinare la trasmissività occorre scrivere le equazioni della corrente sul nodo colorato in rosso e della tensione V out : T(s) = V (V in V x ) Y 1 = (V x V out ) Y 2 + V x (Y 3 + Y 4 ) out V in V out = Y 3 V x Y 5 dove:. (V in V x ) Y 1 = i 1 ;. (V x V out ) Y 2 = i 2 ;. V x Y 3 = V out Y 5 = i 3. Risolvendo si ottiene: T(s) = V out Y 1 Y 3 = V in Y 5 (Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 ) + (Y 2 Y 3 ) Per realizzare un filtro passa banda è necessario che il numeratore abbia uno zero, quindi occorre scegliere: Y 1 = 1 R 1 Y 3 = sc 3 Poichè il denominatore deve essere un polinomio di secondo grado in s gli altri componenti saranno: Y 5 = 1 R 5 Y 4 = 1 R 4 Y 2 = sc 2

26 22 CAPITOLO 1. Filtri La scelta non è univoca tuttavia è indispensabile che non sia presente un anello aperto sull amplificatore operazionale. Ricapitolando, per il filtro passa banda con cella a reazioni multiple: Ammettenza Componente usato Y 1 1 R 1 Y 2 sc 2 Y 3 sc 3 Y 4 1 R 4 Y 5 1 R 5 Sostituendo i componenti nel circuito generico si ottiene: C 2 R 5 R 1 i 1 i 2 i 4 i 3 C 3 i 3 + V in V x R 4 V out Per questo circuito: T(s) = sc 3 R 4 R 5 s 2 C 2 C 3 R 1 R 4 R 5 + sr 1 R 4 (C 2 + C 3 ) + (R 1 + R 4 ) f 0 = 1 2π C 2 C 3 R 5 (R 1 //R 4 ) Q = C2 C 3 R 5 (C 2 + C 3 ) R 1 //R 4 Rispetto alla cella Sallen-Key è presente, in più, l ammettenza Y 4. Se non fosse presente non si potrebbe fare un progetto con un fattore di qualità alto altrimenti l amplificatore operazionale saturerebbe.

27 1.4. Tecnica di sintesi RLC Tecnica di sintesi RLC Un filtro passivo del secondo ordine è rappresentato circuitalmente da: + L V in R C Con: ω 0 = 1 LC f 0 = 1 Q = R ω 0 L = Rω 0C 2π LC La realizzazione di filtri di ordini superiori al secondo avviene collegando in cascata tante celle di questo tipo. Tuttavia, per bande di frequenza basse è noto che l induttore non si può utilizzare. Occorre trovare un blocco sostitutivo che abbia lo stesso comportamento di un induttore, ma sia realizzato con resistenze, condensatori ed amplificatori operazionali. Questo tipo di circuiti prendono il nome di GIC, o convertitori di impedenza. La loro realizzazione circuitale è la seguente: A Z 1 Z 2 + Z 3 + Z 4 Z 5

28 24 CAPITOLO 1. Filtri Il circuito equivalente è: A Z Con: Per essere un induttore: Quindi: Z = Z 1Z 3 Z 5 Z 1 Z 4 Z = sl Z 2 = 1 sl 2 oppure Z 4 = 1 sl 4 Scegliendo Z 2 = 1 sl 2 gli altri componenti devono essere: Z 1 = R 1, Z 3 = R 3, Z 4 = R 4, Z 5 = R Filtri con più amplificatori operazionali Per le celle viste fin qui, con un solo amplificatore operazionale, si sono riscontrati problemi di taratura indipendente per f 0 e Q e sensibilità dipendenti da Q. Al fine di migliorare la precisione occorre introdurre nuove celle con più di un amplificatore operazionale Filtri a variabili di stato Analisi teorica La funzione di trasferimento di un filtro passa alto è: κs 2 H HP (s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 Dividendo per s si ottiene una funzione di trasferimento tipica del filtro passa banda: κs H BP (s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 Se si divide ulteriormente per s si nota che il risultato è la funzione di trasferimento del filtro passa basso: κ H LP (s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2

29 1.5. Filtri con più amplificatori operazionali 25 La divisione per s nel dominio di Laplace corrisponde ad un integrazione nel dominio temporale: H HP V in V HP V BP V LP Analiticamente: con A 1 e A 2 costanti. Poichè:. V BP = V HP s ;. V LP = V HP s 2 ; V HP = V in A 1 V BP A 2 V LP Si ha: ( ) ( ) V HP = V in A 1 VHP A 2 VHP s s 2 Con qualche passaggio algebrico: [ V HP 1 + A 1 s + A ] 2 s 2 = V in = V HP V in = s 2 s 2 + A 1 s + A 2 Realizzazione circuitale R 3 R 3 C C V in R 3 + V HP R + R + V LP R 1 R 2 V BP

30 26 CAPITOLO 1. Filtri Si determina con la sovrapposizione degli effetti la tensione V HP : V HP Vin = V in V HP VLP = V LP V HP VBP = V BP ( R1 R 1 + R 2 ) ( 1 + R ) 3 R 3 //R 3 dove: ( 1 + R ) 3 = 3 R 3 //R 3 Mettendo a sistema le equazioni: ( ) R1 V HP = V in V LP + V BP 3 R 1 + R 2 V BP = 1 src V HP V LP = 1 src V BP Si ottiene: V HP s 2 R 2 C = [ 2 V in s 2 R 2 C 2 + s 3RC R 1 R 1 + R 2 ] + 1 I parametri f 0 e Q valgono: f 0 = 1 2πRC Q = 1 ( R ) 2 R 1 Per questa cella l amplificazione in banda è controllata agendo sui blocchi integratori ed è indipendente dal fattore di qualità Celle biquadratiche Si sostituisce al blocco sommatore un blocco integratore-sommatore:

31 1.5. Filtri con più amplificatori operazionali 27 R 5 C 2 R 3 C 2 R 4 R 1 R 1 R 4 + V in + VBP V LP + V LP Come nel caso precedente si procede con la sovrapposizione degli effetti: V BP Vin V BP VLP = 1 sc = 1 //R 2 V in R 1 1 sc 1 //R 2 V LP R 5 Mettendo a sistema le equazioni: 1 V BP = Si ottiene: V LP = V BP sr 4 C 2 sc 1 //R 2 R 1 V in + 1 sc 1 //R 2 V LP R 5 V BP = R 2 sr 4 R 5 C 2 /R 2 V in R 1 s 2 R 4 R 5 C 1 C 2 + sr 4 R 5 C 2 /R I parametri f 0 e Q valgono: f 0 = 1 2π R 4 R 5 C 1 C 2 Q = R 2 C 1 R 4 R 5 C 2 Il fattore di qualità dipende da un parametro, R 2, che non influenza f 0. A differenza delle variabili di stato per le celle biquadratiche le uscite possibili sono solo due anziche tre; il motivo è dovuto alla sostituzione del blocco sommatore.

32 28 CAPITOLO 1. Filtri 1.6 Filtri a capacità commutate Analisi per comportamento ideale Per realizzare in forma integrata un interruttore è necessario utilizzare un transistore MOS: Elenco dei simboli usati: = Parametro V TH V GS V DS I DS Descrizione tensione di soglia tensione gate-source tensione drain-source corrente drain-source Si ricorda che in zona lineare: I DS = µ n C ox ω n L n (V GS V TH )V DS e si può approssimare: R on di valore pari a: 1 R on = ω µ n C n ox L n (V GS V TH ) Supponendo di pilotare con una tensione V φ il tasto dell interruttore:. se φ = 0 = = V φ 0 (stato basso);. se φ = 1 = = V φ V AL (stato alto). Il circuito che illustra questo comportamento è il seguente: V in V out V φ

33 1.6. Filtri a capacità commutate 29 Pass Transistor V in C V out La condizione iniziale prevede il condensatore scarico; impostando V φ allo stato alto anche V GS andrà allo stato alto quindi il canale permette il passaggio di cariche dall ingresso sul condensatore. Quando viene raggiunta la condizione per cui V out = V C = V in il condensatore è completamente carico. Durante la fase di passaggio la tensione V GS scende progressivamente come V DS che si annulla quando V out = V in. Il funzionamento descritto non è valido per ogni tensione di ingresso, ma solo per quelle che garantiscono: V GS > V TH Trasmission Gate V in C V out Inserire un pmos è molto utile perchè se entrambi conducono il comportamento non è più assimilabile ad una sola resistenza R on, ma al parallelo di due resistenze di valore R on. Con i grafici si intuisce bene il vantaggio; con un solo transistore la conduzione non può avvenire a tutte le tensioni, ma:

34 30 CAPITOLO 1. Filtri R on V in V DD V TH Con due transistori, uno n (in rosso) e uno p (in blu): R on V in V Tp V Tn si ha conduzione per tutte le tensioni in quanto se un transistore non conduce si è nella zona in cui conduce l altro Comportamenti con capacità parassite Introducendo capacità parassite che descrivono il comportamento reale dei circuiti elencati in precedenza si osservano due tipi di errori:. errore di piedistallo;. errore di feedtrought. Si procede ad un analisi separata dei due errori.

35 1.6. Filtri a capacità commutate 31 Errore di piedistallo C Go V in C DB C L V out La tensione su C L, quando il condensatore è completamente carico, non sarà più come prima V in : lo scostamento è l errore di piedistallo. Per tensioni di ingresso allo stato alto (t < 0) ad interruttore chiuso: Q TOT = (C L + C DB )V out + C Go (V out V DD ) Per tensioni di ingresso allo stato basso (t > 0) ad interruttore aperto: Q TOT = (C L + C DB + C Go )V out La quantità di carica nei due casi si deve conservare quindi: V out = C L + C DB C Go C Go V out V DD C L + C DB + C Go C L + C DB + C Go La quantità di variazione dell uscita rispetto al caso ideale è: C Go V DD C L + C DB + C Go Per il trasmission gate l errore di piedistallo è: V out = V DD C n G0 C n G0 + Cp G0 + C L V DD C p G0 CG0 n + Cp G0 + C L Errore di feedtrought C Go V in C DB C L V out C DS

36 32 CAPITOLO 1. Filtri Data una differenza di potenziale in ingresso V in si avrà: V out = C DS C DS + C L V in L interruttore non si comporta come un resistore ma come un condensatore di capacità C DS Realizzazione di resistori In forma integrata le fonti di imprecisione dei circuiti sono le resistenze mentre amplificatori e condensatori no (per i condensatori le capacità devono essere inferiori a 100pF ). Utilizzando dei condensatori e degli interruttori è possibile simulare il comportamento delle resistenze e poichè gli interruttori sono transistori non sono fonte di imprecisione V 1 C V 2 Chiudendo il tasto sulla posizione 1 il condensatore verrà caricato alla tensione V 1 e avrà una carica pari a: Q 1 = C V 1 Commutando il tasto sulla posizione 2 il condensatore si caricherà alla tensione V 2 con una carica: Q 2 = C V 2 La differenza: Q = Q 2 Q 1 (1.1) rappresenta la quantità di carica trasferita da 1 a 2. Il passaggio avviene ogni volta che si commuta l interruttore; definendo un periodo di clock t ck e una frequenza di clock f ck in modo tale per cui: f ck = 1 t ck

37 1.6. Filtri a capacità commutate 33 si può considerare la quantità di carica trasferita in un solo passaggio normalizzando l espressione (1.1) con t ck : Infatti dimensionalmente: Q t ck = Q 2 Q 1 t ck [ ] F s = A Si può esprimere la differenza di potenziale: quindi il termine: ha le dimensioni di una resistenza. Il circuito si comporta quindi come: = i eq 1 (V 2 V 1 ) = i eq C f ck 1 C f ck = R eq R eq + + V 1 V 2 Dove la resistenza R eq è una resistenza regolabile con la frequenza del segnale che pilota la commutazione degli interruttori. Sostituendo all interruttore il circuito equivalente con il pass transistor si ha: + + V 1 C V 2

38 34 CAPITOLO 1. Filtri Esiste una precisa configurazione di apertura e chiusura per gli interruttori: se il primo interruttore è aperto il secondo deve essere chiuso e quando il primo è chiuso il secondo è aperto. La frequenza di clock non può essere troppo grande o troppo piccola, ma deve poter garantire al condensatore il tempo necessario per caricarsi. Se la tensione del generatore è variabile è necessario che fra una commutazione e l altra dell interruttore cambi molto lentamente in modo tale da essere approssimata a costante; se ciò non accade non è possibile esplicitare la differenza di potenziale espressa in precedenza. Questa condizione richiede: f gen f ck Integratore a capacità commutate Analisi teorica C R V in + V out Sostituendo alla resistenza R il circuito pass transistor: C V in C 1 + V out La resistenza R diventa quindi: 1 R = C 1 f ck

39 1.6. Filtri a capacità commutate 35 La funzione di trasferimento è: H(s) = V out = 1 V in scr = 1 s f ck C1 C = ω 0 s dove: ω 0 = f ck C1 C Il termine ω 0 rappresenta la costante di integrazione e:. dipende da un rapporto di capacità e non dai singoli valori dei condensatori, ma un rapporto si può realizzare in modo molto preciso controllando le armature dei condensatori;. può essere programmata con la frequenza di clock f ck. I valori di capacità dei componenti possono avere una deriva nel corso degli anni, ma considerando il rapporto si riduce questo problema. Esempio numerico Realizzare un integratore a capacità commutate con: f 0 = ω 0 2π = 1kHz Se venisse progettato scegliendo come resistenza: R = 100kΩ occorrerebbe avere una capacità di 1.59nF, infatti: f 0 = 1 2πRC = 1kHz = C = 1 2π( ) ( ) = 1.59nF Questo valore di capacità è di gran lunga superiore alla soglia indicata in precedenza a pagina 32 (100pF), quindi questo progetto non può essere realizzato per un circuito integrato. Utilizzando la tecnica delle capacità commutate:. ipotizzando di avere la frequenza interna del generatore di 10 khz, poichè: f ck f gen = f ck = 10 f gen = f ck = 100kHz. dalla teoria si conosce che: f 0 = 1 2π f ck C1 C quindi si può ricavare il rapporto delle due capacità: C 1 C = f 0 f ck 2π = 1kHz 100kHz 2π = =

40 36 CAPITOLO 1. Filtri. scegliendo come capacità C = 10pF si ha C 1 = 0.628pF per rispettare il vincolo. Considerazioni:. i valori di capacità scelti sono inferiori alla soglia quindi accettabili;. la frequenza di clock massima: f ckmax f ck ; se si considera come un rapporto di 10 allora: f ckmax f ck = f ckmax 100kHz = f ckmax = 1MHz la frequenza massima deve tenere conto del tempo in cui l amplificatore riesce ad assestare la tensione di integrazione;. la frequenza di clock minima deve considerare la possibilità che i condensatori vengano scaricati dalle correnti di perdita e di polarizzazione quindi deve essere di almeno 100Hz. Effetto delle capacità parassite Introducendo le capacità parassite (colorate in rosso nel circuito) si vuole studiare il comportamento del circuito: C p5 C C p6 V in + V out C p1 C p2 C 1 C p3 C p4. la capacità C p1 è in parallelo al generatore di ingresso quindi non interviene;. le capacità C p2, C 1 e C p3 sono in parallelo;. la capacità C p4 è a massa virtuale come la capacità C p5 ;. la capacità C p6 non influenza la tensione di uscita V out. In questo caso si ha: f 0 = 1 2π Cp 2 + C 1 + C p3 C f ck

41 1.6. Filtri a capacità commutate 37 L errore rispetto al circuito privo di capacità parassite è dato proprio dai contributi C p2 e C p3. Se tale errore non può essere accettato è necessario cambiare configurazione scegliendo quella che minimizza il numero di capacità parassite inserite. Questa configurazione è: C C V 1 in + V out In questo caso gli interruttori vanno pilotati contemporaneamente sullo stato alto oppure sullo stato basso. Sostituendo agli interruttori, evidenziati in azzurro nel circuito seguente: C C V 1 in + V out con i transistori, evidenziati in arancione, si ottiene:

42 38 CAPITOLO 1. Filtri C V in C 1 + V out Per questa tipologia di circuito le capacità parassite, di cui non si mostra il circuito, non intervengono. La tensione di uscita all istante temporale n è data da: V 0 (n t ck ) = V 0 [(n + 1)t ck ] + Q C = V 0[(n + 1)t ck ] + C 1 C V i[(n + 1)t ck ] dove:. V 0 [(n + 1)t ck ] rappresenta la tensione misurata all istante temporale precedente;.. Q C rappresenta la quantità di carica trasferita da C 1 a C; C 1 C rappresenta la costante di integrazione;. V i [(n + 1)t ck ] rappresenta la tensione di ingresso al passo precedente. Nel dominio delle trasformate z: V 0 = V 0 z + C 1 C Vi z quindi la funzione di trasferimento può essere espressa come: H(z) = C 1 C z 1 1 z 1 con z = e j2πf/f ck: H(f) = 1 πf/f ck ( ) e j2πf/fck jf/f 0 sin πf f ck dove:. 1 jf/f 0 è la funzione dell integratore normale;. il termine fra parentesi quadre rappresenta il termine di correzione e tende a 1 per f f ck. Quindi il circuito realizzato ha un comportamento simile all integratore normale solo per f f ck ; la rotazione introdotta è lineare anzichè 90.

43 Capitolo 2 Applicazioni di transistori bipolari Lo schema di un rivitore FM prevede: RF AMP IF + FBP f 0 Il segnale ricevuto dall antenna viene filtrato da un amplificatore a radiofrequenza (frequenze di ( MHz) e larghezza di banda 225 khz per segnali FM); la particolarità di questo filtro è che deve essere accordato sulla frequenza del segnale ricevuto. Il segnale filtrato viene inviato ad un moltiplicatore (mixer) perchè ne faccia il battimento con un segnale a frequenza f 0 generata dall oscillatore locale (vco, voltage controlled oscillator); il risultato di questa operazione deve essere un segnale con una frequenza intermedia fissa (intermediary frequency) pari a 10.7MHz più bassa rispetto alle frequenze di ingresso. L oscillatore locale deve quindi modificare la sua frequenza in base a quella del segnale di ingresso per garantire la IF fissa; successivamente il segnale viene filtrato con un filtro passa banda. I componenti dello schema a blocchi visto sono: 39

44 40 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari. amplificatore a radiofrequenza accordabile;. moltiplicatore o mixer;. oscillatore locale. La realizzazione circuitale avviene utilizzando transistori bipolari. Nelle sezioni seguenti verranno analizzati gli schemi circuitali e le proprietà per ognuno. 2.1 Amplificatori accordabili a banda stretta Richiami sul modello di Ebers-Moll α R I R α F I F I E I C I F I B I R ( ) V BE V I F = I E0 e T 1 ( ) V BC V I R = I C0 e T 1 I C = α F I F I R In regione attiva diretta: I E = α R I R I F V BC < 0 V T = 26mV V BE = 0.6V ( ) V BE V I C = α F I E0 e T ( ) V BE V I E = I E0 e T Poichè α F 1 = I E I C.

45 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta Modelli di piccolo segnale Modello ibrido π B r µ C r π g m V BE r 0 E r π = β 0 V T I C r µ 0 g m = I C V T r 0 = V A I C Modello a parametri h B C h ie h fe I B h oe E h ie = V T I B h fe = β 0 r 0 = I C V A Il termine β 0 rappresenta il guadagno di corrente Polarizzazione Inizialmente si studia la polarizzazione; lo schema circuitale da considerare è il seguente:

46 42 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari V AL R 2 R C I 2 Ib I C V CE I 1 V BE I E R 1 R E Le specifiche di progetto sono: V AL = +15V V CEq = +5V I Cq = 750µA 100 < β < 200 Le prime equazioni che si possono scrivere riguardano le correnti: I b = I E /β I C = V AL /R C La maglia di ingresso può essere rappresentata con il modello equivalente di Thevenin: + R B V BB dove:. V BB =. R B = R 1 //R 2 R 1 R 1 + R 2 V AL Sostituendo nel circuito seguente la parte tratteggiata in verde con il modello di Thevenin visto sopra: tensione V CE nel punto di equilibrio corrente I C nel punto di equilibrio

47 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta 43 V AL R 2 R C I 2 Ib I C V CE I 1 V BE I E R 1 R E Si ottiene la configurazione: V AL R C R B I C + I b V BE I E V CE V BB R E Da questa configurazione si può osservare che: I E = V BB R B I b V BE R E Poichè I E = I cq = 750µA costante il punto di lavoro deve essere stabile, anche se il fattore β nelle specifiche è molto impreciso e la tensione V BE è molto sensibile alle variazioni di temperatura. L unico parametro stabile è V BB perchè dipende dalla tensione di alimentazione e dai valori di resistenza, quindi per ottenere un punto di lavoro stabile è necessario che: I E V BB R B

48 44 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari ossia occorre rendere trascurabili le tensioni R B I b e V BE rispetto a V BB : Poichè: V BB V BE = V BB 0.6V = V BB 6V I b piccola = I b = I 2 I 1 = I 2 I b I b = I E /β sostituendo i valori massimi e minimi di β: quindi: La condizione necessaria è: 750µA 100 < I b < 750µA 200 I bmax = 7.5µA I 2 I b = I 2 = 10 I bmax = I 2 = 75µA La corrente I 1 invece vale: L espressione per I 2 è: I 1 = 9I b = I 1 = 67.5µA I 2 = V AL R 1 I 1 R 2 Sostituendo i valori numerici si ottiene la prima equazione per poter dimensionare le resistenze R 1 ed R 2 : Elaborando l equazione: 75µA = 15V R µA R 2 V BB = R 1 R 1 + R 2 V AL si ottiene la seconda equazione da mettere a sistema con la precedente: 6V = R 1 R 1 + R 2 15 = R 1 R 1 + R 2 = 2 5 = R 2 R 1 = 3 2 Il sistema è quindi formato da: 75µA = 15V R µA R 2 = 3 R 1 2 R 2

49 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta 45 Ottenendo: { R 1 = 83.3kΩ R 2 = 124.9kΩ A questo punto è necessario verificare se i risultati sono corretti: R B I b = R 1 //R 2 I b = 50kΩ 7.5µA = 0.37V V BE è impostata a 0.6V I due contributi sommati sono circa 1V perciò sono accettabili. É importante precisare che la corrente I b non deve essere troppo bassa altrimenti il transistore non viene polarizzato. Ora è possibile dimensionare R E ed R C ; poichè: I E = V BB R B I b V BE R E = 750µA si ha: R E = V BB R B I b V BE V 0.6V = I E 750µA = 6.7kΩ Per determinare il valore di R C si scrive l equazione alla maglia evidenziata in viola nel circuito seguente: V AL R 2 R C I 2 I 1 Ib V BE I C I E V CE R 1 R E V CE = V AL R C I C R E I E dove I C = I E. Perciò: R C = V CE R E I E + V AL I C = 5V 6.7kΩ 750µA + 15V 750µA = 6.63kΩ

50 46 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari Amplificatore ad emettitore comune In questa sezione si studia l applicazione del circuito precedente per realizzare un amplificatore ad emettitore comune; lo schema circuitale da analizzare è il seguente: V AL R 2 R C C L V in + C B R 1 I 2 I 1 Ib I C V BE R E V CE C E R L V out I E Il condensatore C B posto in ingresso del sistema permette la polarizzazione del circuito indipendentemente dal segnale di ingresso; il condensatore C E, invece, forza la corrente I E ad essere costante, perchè, applicando il segnale, il valore di capacità è dimensionato in modo tale che Z E, il parallelo fra R E e C E, abbia un valore molto piccolo, approssimabile ad un cortocircuito verso massa. In questo modo, applicando la sovrapposizione degli effetti:. il contributo dato dalla polarizzazione a V E è V Eq ;. il contributo dato applicando un segnale di ingresso è nullo. Quindi, in ogni istante di tempo, sulla resistenza R E è applicata una tensione costante pari a V Eq. Comportamento in zona lineare Applicando tensioni basse al segnale di ingresso si può operare approssimando il comportamento del transistore con il modello di Ebers-Moll perchè si lavora in zona lineare (evidenziato in arancione nel circuito):

51 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta 47 V AL C B R 2 I 2 I b I C R C C L + I 1 h ie h fe I b V in R 1 R L V out R E I E C E Il circuito equivalente, inserendo un impedenza generica Z E come parallelo di C E e R E : R S I b + h ie V in V in R b h fe I b RL Vout I E Z E Che si dimostra essere equivalente a: R S I b + h ie V in V in R b h fe I b RL Vout Z E Z E Se il valore della resistenza interna del generatore R S è trascurabile, tutta la tensione applicata in ingresso cade su R B ; perciò si può esprimere la corrente

52 48 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari I b come: La tensione di uscita sarà: I b = V in h ie + Z E (1 + h fe ) V out = R L h fe I b E sostituendo a I b l espressione precedente: Il guadagno è quindi: V out = A V = R L h fe V in h ie + Z E (1 + h fe ) R L h fe h ie + Z E (1 + h fe ) In continua Z E = R E serve per la polarizzazione, ma appena si applica il segnale il valore di Z E deve essere basso per non limitare l amplificazione (il termine è infatti a denominatore). Trascurando Z E : A V = R L h fe h ie si può concludere che l amplificazione è poco precisa in quanto:. h fe dipende dal transistore scelto;. h ie = V T I Bq dove V T è la tensione termica pari a 26mV a temperatura ambiente, quindi il guadagno dipende dalla temperatura. Gli amplificatori realizzati con gli operazionali invece non hanno dipendenza da questi fattori: il guadagno dipende esclusivamente dalla rete di retroazione introdotta. Analisi per segnali di ingresso con ampiezze diverse In questa sezione si prenderanno in considerazione due ipotesi:. cosa succede all amplificatore ad emettitore comune quando in ingresso non è presente alcun segnale;. cosa accade, invece, se in ingresso è presente un segnale sinusoidale ad ampiezza variabile.

53 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta 49 Nel primo caso: VE I E = I S e VT V BE = V T log I E I S V EDC = V BEDC = V T log I E I S Nel secondo caso invece non si può più approssimare il comportamento del transistore con il modello di Ebers-Moll: VE V I E (t) = I S e T = I C V BE = V in + V E dove: Quindi:. V in dipende dal tempo;. V E no, in quanto si inserita Z E opportunamente per forzare una corrente costante su R E. V BE (t) = V in (t) + V E Sostituendo, la corrente sul collettore risulta essere: Se in ingresso è presente un segnale: VE Vin (t) I C (t) = I S e VT V e T V in (t) = V inp cos(ω i t) con V inp ampiezza di picco qualsiasi, si introduce il parametro: x = V inp V T che misura quanto l ampiezza del segnale di ingresso è grande o piccola rispetto alla tensione termica. Il termine: V in (t) V T = V inp V T cos(ω i t) = x cos(ω i t) Perciò: VE I C (t) = I S e VT e x cos(ω it) Lo sviluppo in serie di Fourier di e x cos(ω it) : + e x cos(ωit) = I 0 (x) + 2 I n (x)cos(n ω i t) n=1

54 50 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari dove I n (x) sono le funzioni di Bessel modificate di prima specie e ordine n. Sostituendo lo sviluppo: { [ ]} VE + I C (t) = I S e VT I n (x) I 0 (x) I 0 (x) cos(n ω it) La tensione di uscita è: quindi: VE V out = V AL R C I S e VT n=1 V out = V AL R C I C (t) { I 0 (x) [ n=1 ]} I n (x) I 0 (x) cos(n ω it) dove: VE V. I S e T I 0 (x) è il termine fissato dal generatore costante, la parte in continua; VE {. I S e VT I 0 (x) 2 } + I n (x) n=1 I 0 (x) cos(n ω it) è il termine che esprime la distrosione data dalle armoniche di ordine superiore. La componente in continua della corrente di collettore è, come scritto in precedenza: VE I CDC (t) = I S e VT I 0 (x) quindi si può ricavare: V BEDC = V T log I E I S V T log I 0 (x) Il primo dei due contributi è esattamente identico a quello ricavato quando in ingresso non è presente alcun segnale mentre il secondo rappresenta un termine correttivo. Funzioni di Bessel Le funzioni di Bessel, al variare del parametro x, seguono il comportamento descritto in figura (2.1). Considerando i contributi normalizzati rispetto a I 0 (x) il comportamento è quello mostrato in figura (2.2). Ad esempio, la funzione di Bessel di ordine 1 indica di quanto viene amplificata la componente della prima armonica del segnale di uscita.

55 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta 51 Figura 2.1: grafico funzioni di Bessel modificate di prima specie Se il rapporto V inp /V T è piccolo allora le funzioni di Bessel tendono a zero: significa che l uscita non è distorta dalle armoniche di ordine superiore. Quando, invece, il rapporto V inp /V T diventa significativo tali contributi influenzano in modo notevole l uscita. V outp n=1 V inp = R C I C V inp 2 I 1(x) I 0 (x) dove:. I 1 (x) rappresenta l ampiezza della prima armonica superiore;. I 0 (x) è l ampiezza del segnale di ingresso. Poichè: Rielaborando si ottiene: x = V inp V T V outp n=1 V inp = R C I C x V T 2 I 1(x) I 0 (x) = R C I C V T 2 I 1(x) x I 0 (x) Il rapporto: I C V T = gm transcoduttanza di piccolo segnale.

56 52 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari Figura 2.2: grafico funzioni di Bessel modificate di prima specie normalizzate Quindi: V outp n=1 V inp = (R C gm) 2 I 1(x) x I 0 (x) Il primo termine, (R C gm), caratterizza il contributo di piccolo segnale, mentre il secondo è un termine correttivo perchè le ipotesi di piccolo segnale non sono verificate. L espressione: gm 2 I 1(x) x I 0 (x) = Gm(x) prende il nome di transconduttanza di ampio segnale. Modello Piccolo segnale Ampio segnale Guadagno R C gm R C Gm(x) Si osservi che: x 0 = Gm(x) 1 quindi si ritorna alle condizioni di piccolo segnale. Graficamente:

57 2.1. Amplificatori accordabili a banda stretta 53 Gm(x) gm x Si osservi su un grafico come vengono distribuite le ampiezze delle componenti: V n=1 n=2 n=3 ω n Per selezionarle singolarmente è necessario filtrarle con un filtro passa banda e si realizza inserendo nel circuito solito la parte in azzurro: I C V AL R 2 L C R C C C V in + C B R 1 I 2 I 1 Ib V BE R E V CE C L C E R L V out I E

58 54 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari In questo modo se la capacità è variabile è possibile spostare la banda del filtro e selezionare l armonica desiderata. Indicando con Z RLC il parallelo di C C, R C e L C : Z RLC = 1 C s s s RC + 1 LC con: ω 0 = 1 C Q = R LC L Si indica: Z RLC (ω 0 ) Z RLC (n ω 0 ) = Q n 1 n un parametro che, a seconda dell armonica scelta, mostra quanto è larga la banda del filtro e come si attenua. Ipotizzando di selezionare la seconda armonica (n = 2): Z RLC (ω 0 ) Z RLC (2ω 0 ) = Q 1 2 Graficamente: V out n=1 n=2 n=3 ω n 2.2 Oscillatori Teoria degli oscillatori Lo schema a blocchi per un oscillatore è: V in A(s) V out B(s)

59 2.2. Oscillatori 55 La funzione di trasferimento è: e il guadagno ad anello è: Av(s) = A(s) 1 A(s)B(s) T(s) = A(s)B(s) La pulsazione ω k per cui: T(jω k ) = 1 è la pulsazione a cui il circuito oscilla perchè ogni disturbo viene amplificato. Le condizioni di Barkhausen per identificare un oscillatore sono: { T(jω k ) = 1 T(jω k ) = 0 L ampiezza non può crescere a dismisura, ma deve essere limitata quindi è necessario che: A(s) sia non lineare Questa condizione è verificata utilizzando un transistore bipolare come amplificatore: C R l C B(s) i

60 56 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari Oscillatore di Colpitts Nell oscillatore di Colpitts si sostituisce il blocco B(s) con: C 2 C 1 Verifica delle condizioni di Barkhausen Inserendo un generatore di test: C R l V f V out C 2 i V φ C 1 Si osserva che: e: V φ = C 1 C 1 + C 2 V f V φ = V BE la tensione fra base e collettore del bjt. Indicando con Z RLC il parallelo fra condensatore, resistenza ed induttore, si ha: C 1 V out = gm Z RLC V BE = gm Z RLC V f C 1 + C 2

61 2.3. Mixer 57 Il guadagno per piccolo segnale risulta essere: T ps = V out V f = gm Z RLC C 1 C 1 + C 2 e il guadagno di ampio segnale è lo stesso, a patto di sostituire la transconduttanza gm con Gm(ω): T as = V out V f = Gm(x) Z RLC (jω) C 1 C 1 + C 2 Applicando le condizioni di Barkhausen a T as : Gm(x) Z C 1 RLC(jω) C 1 + C 2 = 1 C 1 Gm(x) Z RLC (jω) = 0 C 1 + C 2. La fase è pari a 0 se: Z RLC (jω) = jω = 0 = ω 0 = 1 LC in quanto gli altri due fattori sono numeri reali;. per quanto riguarda il modulo, affinchè sia pari a 1, è necessario determinare per quale valore del parametro x l ampiezza diventa 1. L oscillatore è stabile se la fase non varia al variare del modulo; questa condizione si realizza per Q elevati. 2.3 Mixer Per realizzare un prodotto fra due segnali sinusodali è necessario usare un mixer o moltiplicatore: V x (t) V out (t) V y (t) Esprimendo gli ingressi come:. V x (t) = V xp cos(ω 1 t);. V y (t) = V yp cos(ω 2 t); Si ha: V out (t) = κ m V xp V yp cos(ω 1 t) cos(ω 2 t) dove κ m rappresenta una costante moltiplicativa del mixer. Graficamente sull asse ω si avranno due componenti:

62 58 CAPITOLO 2. Applicazioni di transistori bipolari V (ω 1 ω 2) (ω 1 + ω 2) ω A causa delle non linearità possono essere presenti anche altre componenti non desiderate; la prestazione di un moltiplicatore si definisce con la banda a ( 3dB) per segnale debole: l ampiezza del segnale di ingresso, infatti, deve essere piccola (a volte è confrontabile con la tensione termica pari a 26 mv) altrimenti le componenti spurie causerebbero troppi fastidi. A seconda di quali tensioni di ingresso accettano si definiscono:. mixer a 1 quadrante, se sia V x (t) che V y (t) sono positive;. mixer a 2 quadrante, se una tra V x (t) e V y (t) è negativa e l altra positiva;. mixer a 4 quadrante, se sia V x (t) che V y (t) possono essere positive o negative Mixer a Transconduttanza V CC R C V out V x I E V y R E

63 2.3. Mixer 59 Il contributo della tensione V x all uscita è: V out Vx = V CC R C gm V x dove gm = i cq V T. Poichè i cq è fissata dalla corrente I E : L espressione della corrente I E è: Quindi: La tensione di uscita perciò è: gm = I E V T I E = V y V BE R E gm = V y V BE R E 1 V T V out = V CC R C R E Vx V T (V y V BE ) La costante κ m vale: κ m = R C R E 1 V T Nota La tensione di uscita è proporzionale alle due tensioni di ingresso, ma è presente un errore dato dal prodotto di (V BE V x ). Questo tipo di mixer lavora bene in zona lineare, ossia: V x, V y < V T La dinamica delle tensioni di uscita è molto piccola; questo mixer è un mixer ad 1 quadrante Mixer a Stadio differenziale Per ovviare al problema fondamentale dei mixer a transconduttanza si introducono i mixer a stadio differenziale; a differenza della tipologia introdotta in precedenza, questo tipo di moltiplicatori è a 2 quadranti. Lo schema circuitale è il seguente: V T è la tensione termica