Domenico Perrone UN INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA RIEMANNIANA

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3 Domenico Perrone UN INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA RIEMANNIANA

4 Copyright MMXI ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133/A B Roma (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: febbraio 2011

5 La matematica è generalmente considerata proprio agli antipodi della poesia. Eppure la matematica e la poesia sono nella più stretta parentela, perché entrambe sono il frutto dell immaginazione. La poesia è creazione, finzione: e la matematica è stata detta da un suo ammiratore la più sublime e la più meravigliosa delle finzioni. D. E. Smith Lamatematica pura è, a modo suo, la poesia delle idee logiche. A. Einstein

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7 Indice Prefazione 5 Introduzione (storica) 7 1 Varietà e applicazioni differenziabili Varietà differenziabili Applicazioni differenziabili Costruzione di applicazioni differenziabili Nozioni di base sulle varietà differenziabili Spazio tangente e campi di vettori TM come fibrato vettoriale Il differenziale di funzioni Curve differenziabili Immersioni e sottovarietà Tensori su una varietà differenziabile Differenziale esterno e derivata di Lie Gruppi di Lie Esempi di gruppi di Lie Relazioni tra un gruppo di Lie e la sua algebra di Lie Le costanti di struttura Esempi di algebre di Lie L applicazione esponenziale Gruppi di Lie unimodulari Varietà riemanniane Metriche riemanniane Immersioni isometriche e la sfera canonica Sommersioni riemanniane Lo spazio iperbolico e suoi modelli Metriche associate a una struttura simplettica

8 2 Indice 5 Struttura di spazio metrico e isometrie Distanza su una varietà riemanniana Isometrie di una varietà riemanniana Metriche invarianti a sinistra Isometrie dello spazio euclideo e della sfera canonica Isometrie dello spazio iperbolico Trasformazioni di Möbius e isometrie del piano iperbolico Rivestimenti riemanniani Connessioni lineari e connessione di Levi-Civita Connessioni lineari Il tensore di torsione e l operatore hessiano Derivata covariante e parallelismo Curve geodetiche La connessione di Levi-Civita Le equazioni di struttura di Cartan La connessione di Levi-Civita di sottovarietà riemanniane Tensori fondamentali su una distribuzione Derivata covariante di tensori Geodetiche su varietà riemanniane Esempi di curve geodetiche Esponenziale e geodetiche minimali Varietà riemanniane complete La curvatura riemanniana Uno sguardo alla curvatura gaussiana Il tensore di curvatura di Riemann La curvatura sezionale Il tensore di curvatura di sottovarietà riemanniane Spazi a curvatura sezionale costante La curvatura determina la metrica? Tensore di Ricci e curvatura scalare Varietà di Einstein Campi vettoriali di Killing e di Hopf Campi vettoriali di Killing Campi vettoriali di Killing su R n e S n La fibrazione di Hopf Le metriche di Berger sulla sfera S Campi vettoriali di Hopf Campi di vettori di volume minimo

9 Indice 3 10 Spazi simmetrici e spazi conformemente piatti Varietà riemanniane omogenee Varietà riemanniane simmetriche Varietà conformemente piatte Il Teorema di Gauss-Bonnet-Chern Problemi variazionali in geometria Una caratterizzazione variazionale delle metriche di Einstein Geodetiche come punti critici dell energia Applicazioni armoniche Il fibrato vettoriale f 1 TM Energia di un applicazione Applicazioni armoniche ed equazioni di Eulero-Lagrange Esempi di applicazioni armoniche Tensione di una composizione La 1 a formula variazionale Il rough laplaciano Sezioni armoniche La 2 a formula variazionale e stabilità Forma hessiana dell energia e l operatore di Jacobi Il Teorema di Xin Stabilità dell applicazione identità e il Teorema di Smith Stabilità di applicazioni olomorfe A Orientabilità e integrazione 385 A.1 Varietà orientabili A.2 Integrale di una n-forma B Divergenza e laplaciano 395 B.1 L operatore di Laplace Beltrami B.2 Codifferenziale e operatore di Hodge-de Rham C Geometria del fibrato tangente 407 C.1 Vettori orizzontali e verticali C.2 L applicazione di connessione e π C.3 La metrica di Sasaki e il fibrato sferico C.4 Metriche riemanniane g-naturali su TM e T 1 M D Decomposizione del tensore di curvatura 421 Bibliografia 425 Indice analitico 429

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11 Prefazione La geometria riemanniana, attualmente, costituisce un campo di ricerca particolarmente attivo dell area matematica. Tuttavia, in un ordinario testo avanzato di geometria riemanniana, gli argomenti e soprattutto le dimostrazioni dei principali risultati sono presentate, a volte, in un modo abbastanza ermetico tale da scoraggiare uno studente alle sue prime esperienze con questo mondo così affascinante ma nello stesso tempo tutt altro che semplice. Lo scopo principale di questo volume, che non ha la pretesa di costituire un testo completo di geometria riemanniana, è quello di introdurre lo studente a concetti e metodi della geometria riemanniana in modo graduale, presentandone gli argomenti e le dimostrazioni in modo elementare e comprensibile, evidenziando anche legami e analogie fra argomenti apparentemente distanti tra loro, in modo da stimolare la curiosità del lettore per possibili sviluppi e approfondimenti. Inoltre, particolare attenzione è stata rivolta alla scelta degli esempi e degli esercizi. Il volume, nato da una esperienza didattica pluriennale dell autore nel corso di Laurea in Matematica dell Università del Salento, e il cui contenuto è sostanzialmente assente dalla letteratura specialistica in lingua italiana, offre un introduzione moderna e attuale alla geometria riemanniana, particolarmente adatta per gli studenti di matematica e fisica dei corsi di Laurea Magistrale e di Dottorato. Inoltre, può costituire un volume preliminare o di accompagnamento ai testi avanzati di geometria riemanniana oggi disponibili (in lingua inglese). Lo studio degli argomenti trattati richiede una buona conoscenza dell algebra lineare, della geometria differenziale di curve e superfici, dell analisi reale a più variabili, e delle nozioni di base in topologia e teoria dei gruppi. Il libro si può dividere in due parti. La prima parte, che comprende i primi otto capitoli, si può usare per un corso di geometria differenziale della Laurea Magistrale. In questi capitoli, il cui contenuto si evince chiaramente dall indice, si introducono e si studiano concetti di base di geometria riemanniana. La seconda parte, che comprende gli ultimi quattro capitoli, è più adatta per un corso di Dottorato. Nel Capitolo IX si studiano i campi vettoriali di Killing su una varietà riemanniana (la cui esistenza è intimamente legata alla curvatura della varietà), e in particolare quelli di Hopf sulla sfera unitaria di dimensione dispari. Tali campi sono i più importanti campi vettoriali in geometria riemanniana, ad 5

12 6 Prefazione esempio, essi giocano un ruolo fondamentale in geometria sasakiana e nello studio dell armonicità e della minimalità dei campi vettoriali. Nel Capitolo X è data una breve presentazione di due importanti classi di varietà riemanniane: le varietà simmetriche e le varietà conformemente piatte. Inoltre, si discute il Teorema di Gauss-Bonnet-Chern per varietà riemanniane compatte orientabili nelle dimensioni 2, 4 e 6. Nel Capitolo XI si esaminano alcuni problemi variazionali naturali in geometria, come ad esempio le metriche di Einstein come punti critici del funzionale definito dall integrale della curvatura scalare e le curve geodetiche come punti critici del funzionale energia. Nell ultimo capitolo si vede che lo studio delle curve geodetiche con l uso di un principio variazionale è un caso particolare di uno studio molto più generale, ovvero quello delle applicazioni armoniche. Tali applicazioni, di cui si studiano vari aspetti geometrici, si presentano quindi come soluzioni di un problema variazionale e appaiono in modo naturale in varie questioni di geometria riemanniana. Attualmente, le applicazioni armoniche costituiscono uno dei più importanti settori di ricerca della geometria riemanniana. Infine, nelle Appendici sono brevemente discussi i seguenti temi: orientabilità e integrazione, l operatore di Laplace su una varietà riemanniana, geometria del fibrato tangente e decomposizione del tensore di curvatura. Come ulteriore lettura e approfondimento sulla maggior parte degli argomenti trattati in questo volume, si raccomandano in particolare i testi di W.M. Boothby [4], M.P. Do Carmo [10], S. Kobayashi - K. Nomizu [20] vol.i, J.M. Lee [24] e H. Urakawa [48]. Lecce, Dicembre 2010 Domenico Perrone

13 Introduzione (storica) Storicamente, la geometria riemanniana rappresenta lo sviluppo naturale della geometria differenziale delle superfici dello spazio euclideo R 3. Il passo cruciale di questo sviluppo è il famoso articolo Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas (1827) del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss ( ), professore all Università di Gottinga oltre che direttore dell osservatorio astronomico della stessa città. Per i suoi contemporanei, Gauss era il princeps mathematicorum. Le sue ricerche, di fondamentale importanza, spaziarono in diversi campi della matematica: aritmetica, algebra, astronomia, analisi, fisica matematica e geometria differenziale. Gauss, a partire dalle equazioni parametriche di una superficie regolare: x = x(u,v),y = y(u,v),z = (u,v), definì la cosiddetta prima forma fondamentale della superficie (come una generalizzazione del concetto di distanza tra due punti infinitamente vicini) mediante la formula ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = Edu 2 + 2Fdudv + Gdv 2, dove E = g 0 (φ u,φ u ), F = g 0 (φ u,φ v ), G = g 0 (φ v,φ v ), g 0 denota il prodotto scalare euclideo, e φ u, φ v sono i vettori tangenti alle linee coordinate v =cost. e u =cost. rispettivamente. Quindi, dimostrò il teorema egregium : la curvatura gaussiana è un invariante intrinseco della superficie. Più precisamente, Gauss determinò la curvatura del generico punto della superficie mediante le quantità E, F, G che definiscono la prima forma fondamentale. Un altro aspetto particolarmente interessante evidenziato da Gauss è che se T è un triangolo geodetico su una superficie di curvatura gaussiana K = k 0 (costante), allora k 0 area(t) = Â + B + Ĉ π, dove Â, B,Ĉ denotano gli angoli interni (misurati in radianti) del triangolo T. D altronde, uno dei problemi fondamentali, al tempo di Gauss, era la cosiddetta questione delle parallele, iniziata al tempo di Euclide e conclusasi solo con l avvento delle geometrie non euclidee. Si trattava di decidere se il quinto postulato di Euclide fosse indipendente dagli altri quattro postulati. Ben presto, si stabilì che il quinto postulato è equivalente al fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180 gradi (una dimostrazione accurata fu data dal gesuita G. Saccheri ( )). La scoperta di Gauss faceva intravedere l esistenza di geometrie diverse da quella euclidea e quindi di una geometria sulle superfici senza riferimento allo spazio am- 7

14 8 Introduzione biente. Dunque, Gauss percepì molto chiaramente le profonde implicazioni della sua scoperta. Tuttavia, egli non aveva strumenti matematici validi per sviluppare le sue idee (non c era ancora l idea di varietà differenziabile) e preferì non discutere questo argomento apertamente. In effetti, la comparsa di una geometria non euclidea è dovuta indipendentemente a N. I. Lobacevskij (1829) e J. Bolyai (1831). Le idee di Gauss furono raccolte dal matematico tedesco Bernhard Riemann ( ). Nella sua lezione di abilitazione per conseguire la libera docenza, tenuta nel giugno del 1854 (e pubblicata postuma nel 1868), sviluppando i principi contenuti nell articolo di Gauss, Riemann introdusse concetti di straordinaria importanza per la geometria differenziale. Sebbene anche lui non avesse una adeguata definizione di varietà, usando un linguaggio intuitivo e senza dimostrazioni rigorose, Riemann introdusse ciò che oggi noi chiamiamo varietà differenziabile n-dimensionale come uno spazio costituito da regioni i cui punti sono rappresentati da n coordinate. Quindi introdusse una metrica, ossia una regola per misurare la lunghezza di curve della varietà e la distanza tra due punti della stessa varietà. Nel caso di varietà di dimensione n > 2, Riemann generalizzò l idea di curvatura gaussiana in questo modo: se p è un punto di M e P un piano (una sezione) dello spazio tangente T p M, la curvatura sezionale riemanniana K(p,P) è la curvatura gaussiana in p di una varietà bi-dimensionale S, formata dalle geodetiche di M uscenti da p e tangenti al piano P. Egli non indica un metodo per calcolare la curvatura sezionale in funzione dei coefficienti della metrica, tale metodo fu dato nel 1869 da E.B. Christoffel ( ). Anche se nella sua tesi di abilitazione Riemann non menzionò esplicitamente la geometria non euclidea, il suo lavoro costituì la base su cui quest ultima avrebbe fatto il proprio ingresso nella matematica ufficiale: la geometria euclidea non gode di particolari privilegi divini. L opera di Riemann, infatti, tracciò un quadro concettuale in cui la geometria non euclidea sembrava altrettanto naturale di quella euclidea, ed entrambe apparivano come casi particolari di una geometria molto più ampia: la geometria riemanniana. Il lavoro di Riemann influenzò radicalmente il modo in cui la geometria e la topologia si sarebbero sviluppate. Per mancanza di adeguati strumenti matematici, la geometria riemanniana si sviluppò molto lentamente (il concetto di varietà differenziabile, necessario per formalizzare tale teoria, è apparso esplicitamente solo nel 1913 in un lavoro di H. Weyl). La questione fondamentale che motivò Riemann, implicita nello sviluppo delle geometrie non euclidee, è il legame tra fisica e geometria. Egli introdusse le varietá anche come un modello matematico per esplorare differenti regioni di spazio. Un contributo fondamentale per lo sviluppo della geometria riemanniana fu dato dai matematici italiani. Mainardi ( ) nel 1856 e Codazzi ( ) nel 1858 dimostrarono delle formule relative alla geometria differenziale delle superfici. Tali formule, che coinvolgono la derivata della seconda forma fondamentale, sono state generalizzate nella teoria delle sottovarietà riemanniane, e sono oggi note col nome di equazioni di Codazzi-

15 Introduzione 9 Mainardi. Eugenio Beltrami ( ) fu il fondatore di quella scuola di geometria differenziale che vedrà tra i suoi più illustri esponenti L. Bianchi, G. Ricci-Curbastro e T. Levi-Civita. Beltrami, le cui ricerche furono ispirate dai lavori di Gauss, pubblicò nel 1868 il saggio di interpretazione della geometria non euclidea che diede all autore grande notorietà e reputazione. Beltrami fu il primo a notare che la geometria iperbolica era una geometria a curvatura costante negativa, ben noto è il primo modello di geometria iperbolica da lui realizzato: la pseudosfera di Beltrami. Si tratta di una superficie (non completa) generata dalla rotazione di una trattrice intorno al proprio asintoto. Luigi Cremona ( ), il principale geometra italiano dell epoca, non mostrò grande interesse nel leggere la bozza del lavoro di Beltrami, e ciò indusse Beltrami a riporre l articolo nel cassetto. Per fortuna, Beltrami lesse la tesi di abilitazione di Riemann e si rese conto che il suo articolo era particolarmente significativo. Qualche anno dopo, l articolo di Beltrami avrebbe esercitato una decisiva influenza su H. Poincaré, il quale scoprì poi altri modelli di geometria iperbolica. Luigi Bianchi ( ), allievo di E. Betti e U. Dini, deve la sua notorietà soprattutto ai suoi trattati, in particolare le sue lezioni di geometria differenziale del 1894 sono apparse in più edizioni. Ben note sono le celebri identità che oggi portano il suo nome (cfr. [46] per una presentazione storica delle identità di Bianchi). A Gregorio Ricci-Curbastro ( ), le cui prime ricerche furono ispirate dai lavori di Beltrami, si deve l introduzione del calcolo differenziale assoluto che, già completamente elaborato nel 1895, fu apprezzato solo dopo la pubblicazione dell articolo, scritto insieme al suo allievo Tullio Levi-Civita ( ), Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (Math. Ann. 1900). Una straordinaria applicazione del metodo di calcolo introdotto da Ricci-Curbastro (ed esposto nel suddetto articolo) si ebbe, pochi anni dopo, nella teoria della relatività generale (Einstein pubblicò il suo articolo I fondamenti della teoria della relatività generale all inizio del 1916). L applicazione delle idee di Riemann alla teoria della relatività generale di Einstein diede un forte impulso allo sviluppo della geometria riemanniana. Con Levi-Civita, il calcolo differenziale assoluto di Ricci-Curbastro, rapidamente integratosi con il calcolo tensoriale, si dimostrò di fondamentale importanza per lo sviluppo della geometria riemanniana. La nozione di parallelismo, introdotta da Levi-Civita nel suo articolo Nozione di parallelismo in una varietà qualunque (Rend. Circ. Mat. di Palermo, 42, 1917, ), diede un significato geometrico all operazione di derivazione covariante. Si noti che il parallelismo permette di introdurre il concetto di curva geodetica dal punto di vista affine. Il parallelismo di Levi-Civita, inoltre, stimolò anche le ricerche di Élie Cartan, che nel 1923 generalizzò tale nozione sviluppando la teoria degli spazi a connessione affine, proiettiva e conforme, e nel 1926 il concetto di gruppo di olonomia. Nel 1927, É. Cartan pubblicò un testo sulle varietà riemanniane: Lecons sur la gèometrie des espaces de Riemann (ristampato in seconda edizione nel 1946). Fino al 1960, il testo di Cartan rimase l unico testo pubblicato di geometria riemanniana.