Capitolo IV : Calcolo delle Probabilità

Transcript

1 Liceo Lugano, 0-0 3N (Luca Rovelli) Capitolo IV : Calcolo delle Probabilità Introduzione Il calcolo delle probabilità è una branca relativamente giovane della matematica, le cui motivazioni originarie vanno ricercate nel gioco d azzardo, e in particolare nella necessità di stimare le possibilità di vittoria nei giochi di dadi I primi timidi tentativi in questo senso si devono al monaco francescano Luca Pacioli (445-57), all eccentrico matematico e medico Girolamo Cardano (50-576) e a Galileo Galilei (564-64), ma la nascita ufficiale del calcolo delle probabilità viene solitamente fatta risalire ad uno scambio epistolare tra Blaise Pascal (63-66) e Pierre de Fermat (60-665) dedicato alla discussione del problema del gioco incompiuto (se una partita a dadi viene interrotta prima della sua conclusione, come va spartita la posta?), sottoposto nel 654 a Pascal da Antoine Gombaud, il Cavaliere de Méré, matematico dilettante e inveterato giocatore d azzardo Nei secoli successivi a questa prima trattazione molti importanti matematici si sono occupati di questioni probabilistiche Di particolare rilievo sono i lavori di Jakob Bernoulli ( ), che nell Ars conjectandi (pubblicata postuma nel 73) riassunse le conoscenze del tempo, e di Pierre-Simon Laplace (749-87), che nella sua Théorie analytique des probabilités, del 8, diede una prima sistemazione formale alla teoria Non vanno però dimenticati i contributi di altri Grandi le cui scoperte hanno fatto del calcolo delle probabilità uno dei capisaldi della matematica pura ed applicata, quali Edmund Halley (656-74), Abraham De Moivre ( ), Daniel Bernoulli (700-78) e il princeps mathematicorum Carl Friedrich Gauss (777-85) La ricerca di una definizione rigorosa del concetto di probabilità ha avuto un percorso lungo e travagliato: intuitivamente si tratta di una misura della chance di un dato evento di avverarsi, e quindi di un modo per quantificare l incertezza, ma questioni tecniche e filosofiche si sono costantemente frapposte a una sua sistemazione definitiva Solo negli anni 30 del XX secolo, grazie alle intuizioni del matematico sovietico Andrej Kolmogorov ( ), si giunse alla definizione assiomatica oggi universalmente accettata, che fa uso della moderna teoria degli insiemi Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 6 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

2 La nozione di probabilità Consideriamo i seguenti esempi introduttivi: ) Lanciando più volte una moneta, quanto spesso mi attendo l esito testa? Apparentemente, una volta su due ) Estraendo (e reinserendo) più volte una carta da un mazzo ben mischiato, quanto spesso posso attendermi che si tratti di una carta di picche? Apparentemente, una volta su quattro 3) Lanciando più volte un dado, quanto spesso mi attendo l esito cinque? Apparentemente, una volta su sei In ognuno dei tre casi, la chance dell evento considerato viene espressa da un numero compreso tra zero e uno (rispettivamente, e ) Tali numeri possono essere interpretati 4 6 in due maniere: da un lato vi è la consapevolezza che la moneta può cadere in due modi, che vi sono 40 modi per estrarre una carta da un mazzo (di cui 0 modi per estrarne una di picche) e che un dado può fermarsi in sei modi diversi Dall altro, si può ragionevolmente supporre che la ripetizione prolungata degli esperimenti considerati avrebbe prodotto frequenze paragonabili a questi valori Considerazioni di questo tipo hanno dato origine a differenti approcci al calcolo delle probabilità, e quindi a più definizioni del concetto di probabilità La loro descrizione richiede una formulazione (intuitiva, per ora) di due concetti-chiave: un esperimento casuale è un esperimento (come il lancio di un dado o di una moneta) il cui esito può essere considerato frutto del caso; un evento E è rappresentato da uno o più esiti possibili di un esperimento casuale (ad esempio, il lancio di un dado ha dato un esito dispari ) Prendiamo innanzitutto in considerazione la definizione data da Laplace nel già menzionato Théorie analytique des probabilités L approccio classico (o Laplaciano): se in un esperimento casuale un evento E può verificarsi in k modi diversi su n realizzazioni possibili, tutte ugualmente probabili, allora la probabilità di E è p(e) = k ( ) casi favorevoli n casi possibili Esempi: facendo riferimento agli esempi introduttivi, ) E: ottengo testa ; n =, k =, p(e) = = 0, 5 ; ) E: la carta estratta è di picche ; n = 40, k = 0, p(e) = 0 40 = 4 3) E: ottengo l esito 5 ; n = 6, k =, p(e) = 6 = 0, 6 = 0, 5 ; Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 63 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

3 Altri esempi: 4) Lanciando un dado, qual è la probabilità di ottenere un numero pari? Con E: l esito è pari, vale n = 6, k = 3 (gli esiti favorevoli sono, 4 e 6), quindi p(e) = 3 = = 0, 5 6 5) Qual è la probabilità di fare 6 al lotto? Con E: indovino i 6 numeri vale n = ( 45 combinazione vincente), quindi p(e) = 6 ) = , k = (c è una sola = 0, ) Qual è la probabilità di ottenere tre volte testa lanciando 3 monete? Con E: tre esiti testa vale n = 3 = 8, k = (c è un solo esito favorevole), quindi p(e) = 8 = 0, 5 7) Lanciando 0 monete, qual è la probabilità di ottenere esattamente 5 volte testa? Possiamo descrivere gli esiti utilizzando sequenze di 0 lettere T e C, ad esempio TTCCTTCCTC rappresenta una sequenza di lanci con l esito testa al o, o, 5 o, 6 o e 9 o lancio Qui vale n = 0 = 04, k = ( ) 0 5 = 5 (sono gli anagrammi di TTTTTCCCCC), e con E: 5 esiti testa vale p(e) = 5 04 = 0, 46 Osservazioni: (i) La definizione data di probabilità è insoddisfacente dal punto di vista matematico: supponendo che tutti gli esiti siano equiprobabili, essa fa riferimento a se stessa! (ii) Anche dal punto di vista applicativo la definizione è lacunosa: supponendo l equiprobabilità, essa è inutilizzabile ad esempio nel caso di un dado truccato (iii) Come mostrano gli ultimi 3 esempi, nell ambito della probabilità classica sono utili le tecniche del calcolo combinatorio Passiamo ad un altro approccio tradizionale alla probabilità, che non suppone più l equiprobabilità, descritto sistematicamente dal logico inglese John Venn (834-93) nel saggio The Logic of Chance: An Essay on the Foundations and Province of the Theory of Probability L approccio frequentista: la probabilità di un evento E è il valore a cui si avvicina il rapporto f ( frequenza relativa ) dove f rappresenta il numero di realizzazioni di n E in n ripetizioni dell esperimento casuale al crescere di n; con il linguaggio dei limiti (vedi programma di IV Liceo): f p(e) = lim n n Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 64 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

4 Se, ad esempio, lanciando 000 volte un certo dado l esito 6 si è verificato 43 volte, per E: l esito è pari a 6 si può ragionevolmente supporre che valga p(e) = 43 = 0, (il dado è probabilmente truccato!) Osservazione: anche questo secondo approccio appare insoddisfacente In particolare, esso presuppone la ripetibilità di un esperimento, spesso non plausibile Nel corso del XX secolo, in particolare grazie al matematico italiano Bruno de Finetti ( ), si è fatta strada una nuova visione del concetto di probabilità, che viene interpretata come una misura del grado di fiducia e che quindi dipende esclusivamente da una valutazione soggettiva L approccio soggettivo: la probabilità di un evento E è il valore p(e) che l individuo che procede alla valutazione è disposto a pagare per ricevere una vincita unitaria nel caso si verifichi E ad un ipotetico banco, il quale è a sua volta disposto ad accettare la scommessa Ad esempio: valuto che p(e) = 0, 5 per l evento E : esito pari nel lancio di un dado se sono disposto a scommettere 50 franchi sulla sua realizzazione a fronte di una posta pari a 00 franchi Osservazione: per tutti e tre gli approcci menzionati è possibile identificare delle proprietà di fondo in comune In particolare: (i) la probabilità p(e) di un evento E è un numero compreso tra zero e uno; (ii) la probabilità di un evento certo è pari a uno; (iii) dati due eventi E e E tra loro incompatibili (cioè tali che il realizzarsi di uno dei due escluda il realizzarsi dell altro), la probabilità che si realizzi E oppure E (cioè almeno uno dei due) è pari alla somma p(e ) + p(e ) Sono proprio queste osservazioni ad aver ispirato ad Andrej Kolmogorov il suo approccio assiomatico, a cui è dedicato il prossimo paragrafo Egli identificò nella teoria degli insiemi il linguaggio adatto a descrivere gli eventi, i loro connettivi logici ( e, oppure ) e la negazione ( non ) 3 Spazi di probabilità Gli approcci descritti nel paragrafo precedente sono per la loro stessa natura filosoficamente inconciliabili Per ovviare a questo vero e proprio impasse, nel 933 il matematico russo Andrej Nikolaevič Kolmogorov propose una definizione assiomatica, basata non sul modo in cui p(e) dev essere definita ma solo sulle proprietà che la funzione p() deve possedere Alla base di tale approccio vi è la nozione di spazio campionario, dalla quale prende avvio la nostra discussione il più celebre trattato di De Finetti, Teoria della probabilità (970) si apre con l espressione provocatoria la probabilità non esiste! detto anche insieme universo Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 65 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

5 Definizione : uno spazio campionario Ω è un insieme i cui elementi rappresentano tutte le possibili realizzazioni di un esperimento casuale Un sottoinsieme E Ω è detto evento Un elemento e Ω è detto esito Esempi: ) Per l esperimento casuale lancio di un dado, possiamo scegliere Ω = {,, 3, 4, 5, 6} Allora all evento E: l esito è dispari corrisponde E = {, 3, 5} ) Per l esperimento casuale lancio di tre monete, possiamo scegliere Ω = {CCC, CCT, CT C, CT T, T CC, T CT, T T C, T T T } All evento E: ottengo almeno due croci corrisponde E = {CCC, CCT, CT C, T CC} 3) (Un esempio di probabilità geometrica) Considera un bersaglio quadrato Q, all interno del quale è inscritto un cerchio C Immaginando di colpire sempre il quadrato, per l esperimento casuale tiro al bersaglio posso porre Ω = Q (identificare cioè lo spazio campionario con il quadrato stesso); in questo caso, all evento colpisco il cerchio corrisponde il cerchio C! C Q Definizione : sia Ω uno spazio campionario (i) Se l esperimento casuale ha prodotto un esito corrispondente a e e vale e E, diremo che l evento E si è verificato (ii) Un evento {e} contenente un solo esito è detto elementare (iii) Ω (visto come sottoinsieme di Ω stesso) è l evento certo (si verifica di sicuro), mentre è l evento impossibile (non si verifica mai) (iv) Sia E = Ω \ E; allora E è l evento complementare ad E (E si verifica se E non si verifica) (v) Due eventi E e E sono detti incompatibili se E E = (sono cioè insiemi disgiunti) Esempi: ) Sia nuovamente Ω = {,, 3, 4, 5, 6} (v sopra) E: l esito è 4, cioè E = {4}, è elementare; sia E: l esito è almeno 3, cioè E = {3, 4, 5, 6}; allora vale E = {, }, cioè E: l esito è inferiore a 3 ; gli eventi E : l esito è al massimo e E : l esito è superiore a 4, cioè E = {, } e E = {5, 6}, sono incompatibili Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 66 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

6 ) Sia Ω = {CCC, CCT, CT C, CT T, T CC, T CT, T T C, T T T } (v sopra) sia E: esattamente due teste, cioè E = {CT T, T CT, T T C}; allora E = {CCC, CCT, CT C, T CC, T T T }; gli eventi E ; almeno due teste e E : esattamente tre croci, cioè E = {CT T, T CT, T T C, T T T } e E = {CCC} sono incompatibili; gli eventi E ; almeno due teste e E : almeno una croce, cioè E = {CT T, T CT, T T C, T T T } e E = {CCC, CCT, CT C, CT T, T CC, T CT, T T C} sono compatibili; difatti vale E E = {CT T, T CT, T T C} Osservazioni: siano Ω uno spazio campionario e A, B Ω due eventi (i) L unione A B rappresenta l evento che si verifica se si verifica A oppure 3 B A B Ω Esempio: consideriamo, come nella pagina precedente, Ω = {,, 3, 4, 5, 6} (lo spazio campionario associato al lancio di un dado) Siano A: l esito è dispari e B: l esito è un numero primo, cioè A = {, 3, 5} e B = {, 3, 5} Allora per l evento A B: l esito è dispari oppure primo vale A B = {,, 3, 5} (ii) L intersezione A B rappresenta l evento che si verifica se si verificano entrambi gli eventi A e B A B Ω Esempio: consideriamo nuovamente Ω = {,, 3, 4, 5, 6}, A: l esito è pari e B: l esito è un numero primo Allora per l evento A B: l esito è pari e primo vale A B = {} Le considerazioni che concludono il paragrafo, di natura molto formale, vengono inserite per completezza Dal momento che saremo principalmente interessati ad esperimenti casuali con un numero finito di esiti, e quindi a spazi campionari finiti, esse potrebbero essere per il momento tralasciate 3 in modo non esclusivo: A e B possono anche verificarsi entrambi! Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 67 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

7 Come abbiamo visto, per formalizzare il concetto di evento nel linguaggio della moderna teoria delle probabilità si fa uso dei sottoinsiemi di uno spazio campionario Ω Spesso, però, non è conveniente (o addirittura non è possibile) prendere in considerazione tutti i sottoinsiemi dello spazio campionario 4, e ci si limita ad una famiglia più ristretta Per far funzionare i meccanismi dell assiomatica di Kolmogorov occorre però che tale famiglia possegga delle proprietà minime, che per i matematici contraddistinguono le cosiddette σ-algebre ( sigma-algebre ): Definizione 3: sia Ω un insieme Una famiglia (o classe) Σ di sottoinsiemi di Ω è una σ-algebra se vale (σ ) Ω Σ (l insieme Ω fa parte di Σ); (σ ) se A Σ, allora A Σ (con A, anche il suo complemento fa parte di Ω); (σ 3 ) se A, A, A 3, Σ, allora A A A 3 Σ (l unione di una famiglia enumerabile di sottoinsiemi in Σ fa parte di Σ) Osservazioni: (i) Da (σ ) e (σ ) segue immediatamente che Ω, dal momento che = Ω e Ω Σ (ii) Da (σ 3 ) segue in particolare che con A Σ e B Σ vale anche A B Σ (e quindi che l unione di una famiglia finita di sottoinsiemi in Σ fa parte di Σ) (iii) Da (σ ) e (ii) segue che l intersezione di due elementi di Σ è anch essa in Σ (e quindi che ciò vale anche per intersezioni finite); per verificarlo, basta utilizzare la relazione di de Morgan A B = A B Esempi: ) Per uno spazio campionario finito Ω, è sempre possibile lavorare con l intera famiglia dei sottoinsiemi di Ω In questo caso, come abbiamo mostrato nell Cap III, vale 5 Σ = Ω (cioè, se Ω contiene n elementi allora include n sottoinsiemi) ) Consideriamo nuovamente l esperimento casuale lancio di un dado ; se sono interessato unicamente alla parità/disparità del risultato, all interno di Ω = {,, 3, 4, 5, 6} posso limitarmi a scegliere la σ-algebra Σ = {, P, D, Ω}, con P = {, 4, 6} e D = {, 3, 5} Σ deve contenere e Ω per soddisfare la Def 3 3) Per l esperimento tiro al bersaglio (es 3), pag 66) è sufficiente la σ-algebra Σ = {, C, Q \ C, Q} 4 in particolare, nel caso della probabilità geometrica (come nell esempio del bersaglio) la famiglia di tutti i sottoinsiemi risulta troppo vasta 5 ricorda: M indica il numero di elementi (cioè la cosiddetta cardinalità) di un insieme finito M Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 68 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

8 4) Consideriamo il seguente esperimento casuale: spezzo in due parti uno spago lungo metro Se sono interessato ad esempio alla lunghezza del frammento sinistro, è naturale scegliere Ω = [0, ] Inoltre, se voglio considerare soltanto eventi quali E: il frammento sinistro è lungo tra 30 e 40 centimetri non utilizzerò quale Σ l intera famiglia dei sottoinsiemi di Ω, ma soltanto la più piccola σ-algebra contenente gli intervalli chiusi di [0, ] In questo caso, sarà naturale associare all evento E menzionato l intervallo E = [0, 3; 0, 4] Passiamo ora alla definizione rigorosa di spazio di probabilità, data da Kolmogorov nel 933 Essa sintetizza, essenzialmente, le proprietà che accomunano gli approcci classico, frequentista e soggettivo Definizione 4: uno spazio di probabilità è costituito da una terna (Ω, Σ, p), dove Ω è un insieme, lo spazio campionario; Σ è una σ-algebra di Ω, la classe degli eventi misurabili; p è una funzione Σ R (cioè una legge che assegna univocamente un numero reale ad ogni evento misurabile), la misura di probabilità tale che (p ) p(e) 0 per ogni E Σ (cioè: ogni evento misurabile ha probabilità positiva); (p ) p(ω) = (cioè: l evento certo ha probabilità ); (p 3 ) se E, E, E 3, sono eventi incompatibili a due a due, allora p(e E E 3 ) = p(e ) + p(e ) + p(e 3 ) + (cioè: le probabilità di eventi incompatibili si sommano) Osservazione: gli assiomi della Def 4 non danno alcuna indicazione sul modo in cui la funzione p debba essere costruita, e non hanno a priori alcuna attinenza con la realtà fisica di un esperimento casuale Essi stabiliscono soltanto quali sono le regole che p deve soddisfare Il grosso vantaggio di un approccio assiomatico è dato dal fatto che ogni affermazione dimostrata a partire dagli assiomi è valida ogni qual volta essi sono soddisfatti Ciò permette di costruire una teoria matematica coerente Esempi: ) Consideriamo l esperimento lancio di un dado equo In entrambi gli approcci tradizionali sembra sensato assegnare ad ogni evento elementare la stessa probabilità; con Ω = {,, 3, 4, 5, 6} porremo quindi p({}) = p({}) = p({3}) = p({4}) = p({5}) = p({6}) = 6 Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 69 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

9 Per l evento E: l esito è pari varrà quindi p(e) = P ({, 4, 6}) = p ({} {4} {6}) = p({}) + p({4}) + p({6}) = = ) Consideriamo la seguente variante dell es ): il dado è truccato in modo tale che l esito 6 esca con frequenza tripla rispetto a tutti gli altri Sarà quindi sensato assegnare ad esso una probabilità tripla rispetto alle probabilità dei restanti esiti Sia quindi x la probabilità degli eventi,, 3, 4 e 5 (e quindi 3x la probabilità di 6 ): dovrà valere = p(s) = p({,, 3, 4, 5, 6}) = p ({} {} {3} {4} {5} {6}) = p({}) + p({}) + p({3}) + p({4}) + p({5}) + p({6}) = x + x + x + x + x + 3x = 8x, cioè 8x =, x = Sarà quindi sensato porre 8 p({}) = p({}) = p({3}) = p({4}) = p({5}) = 8 Per l evento E: l esito è pari varrà quindi stavolta e p({6}) = 3 8 p(e) = P ({, 4, 6}) = p ({} {4} {6}) = p({}) + p({4}) + p({6}) = = 5 8 3) Consideriamo l esperimento spago lunga metro che si spezza (v sopra) Supponendo che possa spezzarsi in un punto qualsiasi, sarà sensato scegliere la probabilità che il tratto sinistro sia lungo non meno di a metri e non più di b metri in maniera proporzionale alla lunghezza dell intervallo stesso Porremo quindi p ([a, b]) = b a Per l evento E: il tratto sinistro misura meno di 0 cm oppure più di 70 cm varrà quindi p(e) = p ([0; 0, ] [0, 7; ]) = p ([0; 0, ])+p ([0, 7; ]) = (0, 0)+( 0, 7) = 0, +0, 3 = 0, 4 4) Per l esperimento bersaglio quadrato (vedi pag 66) sarà sensato scegliere la probabilità di un evento in modo proporzionale alla superficie che lo rappresenta Indicando con r il raggio del cerchio, dovrà quindi valere p(c) = r π (r) = π 4 = 0, 785 Per la σ-algebra Σ = {, C, Q \ C, Q} (cfr pag 68) sceglieremo quindi C Q p( ) = 0, p(c) = π 4 = 0, 785, p(q \ C) = π 4 = 0, 5 e p(q) = Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 70 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

10 4 Spazi campionari finiti In questo paragrafo prenderemo in considerazione solo spazi campionari finiti In altre parole, ci occuperemo soltanto di esperimenti casuali con un numero finito di esiti possibili In questo caso la definizione di spazio di probabilità assume una forma più semplice: Definizione 4 : uno spazio di probabilità finito è costituito da uno spazio campionario finito Ω e da una funzione p (la misura di probabilità) che associa ad ogni evento E Ω un numero reale p(e) in modo tale che valga quanto segue: (p ) p(e) 0 per ogni E Ω; (p ) p(ω) = ; (p 3) se E ed E sono eventi incompatibili, allora p(e E ) = p(e ) + p(e ) In altre parole: scegliamo quale σ-algebra Σ la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω e la cosiddetta σ-additività (p 3 ) (che contempla unioni infinite di eventi) è sostituita dalla semplice additività (p 3) (che considera solo unioni finite) La realizzazione pratica di una misura di probabilità su uno spazio finito è molto semplice: è sufficiente suddividere equamente la probabilità totale tra gli eventi elementari Teorema : sia Ω = {e, e, e 3,, e n } uno spazio campionario finito, e siano p, p,, p n numeri reali nell intervallo [0, ] tali che valga Allora la legge p + p + + p n = p({e k, e k,, e km }) = p k + p k + + p km definisce una misura di probabilità su Ω, con p({e }) = p, p({e }) = p,, p({e n }) = p n In altre parole: otteniamo una misura di probabilità su Ω semplicemente assegnando ad ogni evento elementare una probabilità in modo tale che il totale sia pari ad Esempi: ) Una ruota della fortuna consiste di 5 settori circolari, ciascuno di angolo al centro pari a 7, ai quali vengono associati premi da 0, 5, 0, 50 e 00 franchi Qual è la probabilità di vincere almeno 50 franchi? Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 7 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

11 Potremmo procedere geometricamente come visto nel paragrafo precedente, considerando lo spazio campionario (infinito!) di tutti i punti sulla superficie della ruota Oppure, tenendo conto del fatto che siamo interessati a cinque soli esiti, potremmo piuttosto lavorare con lo spazio campionario finito Ω = {0, 5, 0, 50, 00} Dal momento che ogni settore ha la stessa ampiezza, assegneremo ad ogni evento elementare la stessa probabilità x; chiaramente, deve valere p({0})+p({5})+p({0})+p({50})+p({00}) = 5x = x = 5 = 0, e quindi p({0}) = p({5}) = p({0}) = p({50}) = p({00}) = 5 Per l evento E: vinco almeno 50 franchi vale quindi p(e) = p({50, 00}) = p({50}) + p({00}) = = 5 = 0, 4 Nota che, data l equiprobabilità, avremmo potuto procedere con la definizione Laplaciana: p(e) = k n = 5 ) Supponiamo ora che i settori della ruota corrispondenti ai premi di 00, 50, 0, 5 e 0 franchi abbiano ampiezze di 4, 48, 7, 96, 0 Qual è, ora, la probabilità di vincere almeno 50 franchi? Le ampiezze dei settori sono multiple di 4 ; con x = p({00}) sarà quindi sensato porre p({0}) + p({5}) + p({0}) + p({50}) + p({00}) = 5x + 4x + 3x + x + x = e quindi 5x = x = 5 p({00}) = 5, p({50}) = 5, p({0}) = 3 5 = 5, p({5}) = 4 5, p({0}) = 5 5 = 3 Per l evento E: vinco almeno 50 franchi vale quindi p(e) = p({50, 00}) = p({50}) + p({00}) = = 3 5 = 5 = 0, Nota che, dal momento che non vi è più equiprobabilità, la definizione classica non può essere applicata (con 5 settori; lo si potrebbe però fare dividendo la ruota in 5 parti uguali) Per altri esempi analoghi si vedano le pagine 69 e 70 (esempi ) e )) Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 7 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

12 Osservazione: se, come nel primo esempio, lo spazio campionario Ω = {e, e,, e n } è equiprobabile, dobbiamo porre p(e i ) = per ogni i Per un evento E contenente k n elementi vale quindi p(e) = n + n + + = k ( ) casi favorevoli } {{ n} n casi possibili k volte Per spazi equiprobabili finiti, la definizione assiomatica ci riconduce quindi forzatamente alla definizione Laplaciana! 5 Teoremi sulla probabilità Ricaviamo ora dagli assiomi di Kolmogorov alcune utili conseguenze Teorema : sia Ω uno spazio campionario, e E Ω (i) (probabilità dell evento impossibile) p( ) = 0 ; (ii) (probabilità dell evento complementare) p(e) = p(e) Dimostrazione: (i) Dato che Ω = Ω e Ω = 0, (cioè: Ω è l unione disgiunta di Ω e ) per (p 3 ) deve valere = p(ω) = p(ω ) = p(ω) + p( ) = + p( ) = + p( ) e quindi p( ) = 0 (ii) Dato che Ω = E E e E E = 0, (cioè: Ω è l unione disgiunta di E e E) per (p 3 ) deve valere = p(ω) = p(e E) = p(e) + p(e) E Ω E e quindi p(e) = p(e) Esempi ) Considera l esperimento casuale lancio di due dadi (equi), e l evento E: la somma dei punti è superiore a 0 Allora potremmo scrivere E = {5 + 6, 6 + 5, 6 + 6}, e quindi p(e) = 3 6 = ; per l evento E: la somma dei punti è al massimo 0 varrà quindi p(e) = p(e) = = Come già mostra il precedente esempio, la relazione tra p(e) e p(e) può rivelarsi molto utile nei casi in cui la probabilità dell evento complementare è più semplice da calcolare Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 73 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

13 ) Lanciando 6 monete, qual è la probabilità di ottenere almeno volte testa? Sia E l evento almeno due volte testa, e siano E, E 3, gli eventi esattamente due volte testa, esattamente tre volte testa e così via Allora vale E = E E 3 E 4 E 5 E 6 (unione disgiunta), e quindi, ragionando direttamente, ( 6 ( 6 ( 6 ( 6 ( 6 ) 3) 4) 5) 6) p(e) = p(e ) + p(e 3 ) + p(e 4 ) + p(e 5 ) + p(e 6 ) = = = Ragionando invece sul fatto che vale E: nessuna oppure una testa, avremmo potuto calcolare innanzitutto la probabilità dell evento complementare E = E 0 E : ( 6 ( 6 p(e) = p(e 0 ) + p(e ) = 0) ) + 6 = = 7 64 e quindi p(e) = 7 64 = ) Un celebre esempio in cui conviene ricorrere alla probabilità dell evento complementare è il cosiddetto paradosso dei compleanni: in un gruppo di persone, qual è la probabilità che almeno due festeggino il compleanno lo stesso giorno? Sia n 365 il numero di persone prese in considerazione 6 Per risolvere il problema, trascuriamo gli anni bisestili e supponiamo che un compleanno possa cadere con la stessa probabilità in un qualsiasi giorno Sia E l evento almeno due compleanni coincidono ; grazie alla definizione Laplaciana, per l evento E: tutti gli n compleanni cadono in giorni diversi vale p(e) = D365 n D 365 n = (365 n + ) 365 n (si tratta di distribuire n oggetti diversi su 365 posti) Quindi, la probabilità cercata è pari a p(e) = p(e) = D365 n D 365 n = 365n (365 n + ) 365 n Per n = 0 vale p(e) = 0, 4; in una classe di 0 allievi è quindi abbastanza probabile che (almeno) due compleanni coincidano Inoltre, per n = vale p(e) = 0, 476 e per n = 3 vale p(e) = 0, 507: a partire da 3 persone, è più probabile che due compleanni coincidano piuttosto che tutte le date siano differenti! Il grafico a destra mostra la probabilità di p(e) in funzione di n (con n 00); la sua crescita repentina è evidente 6 6 con n > 365 due compleanni coinciderebbero di sicuro, in virtù del principio dei cassetti: se k + oggetti sono riposti in k cassetti, un cassetto conterrà più di un oggetto Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 74 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

14 Proseguiamo con un risultato di natura tecnica: Lemma 3: sia Ω uno spazio campionario, e A, B S Allora vale p(a \ B) = p(a) p(a B) Dimostrazione: dal momento che A = ( A \ B ) ( A B ) (unione disgiunta), vale p(a) = p ( A \ B ) + p ( A B ) A B Ω e la tesi segue immediatamente Occupiamoci ora, dati due eventi A e B, della probabilità che si avveri A oppure B (cioè che almeno uno dei due eventi si verifichi) A B Ω L intuizione ci fa supporre che la somma p(a) + p(b) contenga due volte la probabilità dell intersezione A B (cioè che si avverino entrambi gli eventi A e B) Ciò ci conduce naturalmente al seguente risultato (di cui diamo comunque una dimostrazione formale): Teorema 4: siano A e B due eventi di uno spazio campionario Ω Allora vale p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) Dimostrazione: dato che A B = (A \ B) B e (A \ B) B =, da(p 3 ) ricaviamo, con l ausilio del Lemma 3, p(a B) = p(a \ B) + p(b) = p(a) p(a B) + p(b) Esempio: estraggo una carta da un mazzo di 5; siano A: la carta è di picche e B: la carta è una figura Calcola la probabilità di C: la carta è di picche oppure una figura Qui vale chiaramente p(a) = 3 = e p(b) = = 3 ; per l evento A B: la carta è una figura di picche vale inoltre p(a B) = 3, e infine 5 p(c) = p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = = In effetti, (= 3 + 3) carte del mazzo sono figure oppure carte di picche = 5 = 6 Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 75 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

15 6 Probabilità condizionata e indipendenza Esempi introduttivi ) Lancio un dado (equo) Sapendo che l esito è pari, con quale probabilità esso sarà un numero primo? La risposta è immediata: il fatto che l esito sia pari riduce, per così dire, lo spazio campionario da {,, 3, 4, 5, 6} a {, 4, 6} Tra gli eventi elementari rimasti, l unico a rappresentare un numero primo è {} Quindi, p = 3 ) Il paradosso del secondo figlio 7 : ho due figli, e almeno uno di essi è maschio; con che probabilità lo sono entrambi? Di primo acchito, potrebbe sembrare che l informazione fornita non cambi la probabilità in questione Consideriamo invece i sessi dei due figli in ordine di nascita: a priori, essi danno luogo allo spazio campionario {,,, }, e l informazione riduce tale spazio a {,, } La probabilità cercata è quindi pari a 3 Più in generale, siano A e B due eventi di uno spazio campionario Ω Supponiamo di voler determinare la probabilità di B sapendo che A si è verificato, indicata con p(b A) (leggi B dato A ) Come sopra, ragionando sul fatto che la condizione A si è verificato attribuisce ad A il ruolo di nuovo spazio campionario, possiamo motivare la seguente B A B A Ω Definizione 5: sia Ω uno spazio campionario, e A, B Ω Allora la probabilità condizionata di B dato A è pari a p(b A) = p(a B) p(a) Altri esempi ) Come cambia la probabilità del precedente es se il dado è truccato in modo tale che le facce, e 3 compaiano con frequenza doppia? Occorre innanzitutto definire una nuova misura di probabilità su Ω = {,, 3, 4, 5, 6}; se x = p({4}) ( = p({5}) = p({6}) ) deve valere p({})+p({})+p({3})+p({4})+p({5})+p({6}) = x+x+x+x+x+x = x = 9, quindi p({}) = 9, p({}) = 9, p({3}) = 9, p({4}) = 9, p({5}) = 9, p({6}) = 9 7 proposto nel 959 dal matematico statunitense Martin Gardner (94-00) nella rubrica di giochi matematici di Scientific American (l edizione americana di Le Scienze) Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 76 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

16 Con A: l esito è pari e B: l esito è primo calcoliamo quindi p(b A) = p(a B) p(a) = p({}) p({}) + p({4}) + p({6}) = = ) Da un urna contenente 0 sferette rosse e 5 verdi vengono effettuate estrazioni (senza reimmissione) Sapendo che la prima estratta è rossa, con quale probabilità la seconda sarà verde? Con A: la prima estratta è rossa e B: la seconda estratta è verde vale e p(a) = 3 p(b A) =, p(a B) = 0 5 D 5 p(a B) p(a) = 5 3 = 50 0 = 5 = 5 3 = 5 4 Potremmo (giustamente) obiettare che tale risultato è ovvio, e non richiede certamente le operazioni aritmetiche effettuate: togliendo una sferetta rossa dall urna, abbiamo ridotto a 4 il numero di sferette, di cui 5 verdi! In effetti, molto spesso è il calcolo di p(a B) a risultare più problematico, e quindi la legge della probabilità condizionata si rivela utile per quest ultimo: Teorema 5 (Teorema del prodotto, o della probabilità composta): sia Ω uno spazio campionario, e A, B Ω Allora vale p(a B) = p(a) p(b A) Esempio: una confezione di lampadine ne contiene 4 difettose Con quale probabilità due lampadine estratte a caso (senza reimmissione) saranno entrambe utilizzabili? Con A: la prima è utilizzabile e B: la seconda è utilizzabile vale A B: entrambe sono utilizzabili Calcoliamo quindi p(a B) = p(a) p(b A) = 8 7 = 4 33, dove p(b A) = 7 la prima lo è rappresenta la probabilità che la seconda sia utilizzabile sapendo che Naturalmente il teorema del prodotto è generalizzabile all intersezione di più eventi: ad esempio p(a B C) = p ( (A B) C ) = p(a B) p(c A B) = p(a) p(b A) p(c A B) cioè p(a B C) = p(a) p(b A) p(c A B) Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 77 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

17 e, più in generale, per una famiglia A, A,, A n di eventi p(a A A 3 A n ) = p(a )p(a A )p(a 3 A A ) p(a n A A A n ) (la dimostrazione rigorosa di questa affermazione fa uso del principio di induzione, vedi Cap V) Esempio: nella situazione dell esempio precedente, qual è la probabilità di estrarre lampadine funzionanti seguite da due difettose? Con A : la I è OK, A : la II è OK, A 3 : la III è difettosa, A 4 : la IV è difettosa vale p(a A A 3 A 4 ) = p(a )p(a A )p(a 3 A A )p(a 4 A A A 3 ) = = = 0, 057 Consideriamo ora il caso in cui il verificarsi di un evento A non influenza il verificarsi di un ulteriore evento B Allora è chiaro che vale p(b A) = p(b) Ciò motiva la seguente Definizione 6: due eventi A e B sono detti stocasticamente indipendenti (o anche solo indipendenti) se vale p(a B) = p(a) p(b) Nota che la definizione, in linea con l approccio assiomatico, fa riferimento soltanto alle proprietà aritmetiche di p (e quindi non al modo in cui p viene definito concretamente); in realtà, per la sua applicazione noi dedurremo spesso l indipendenza dalla situazione concreta (dedurremo cioè l indipendenza stocastica da un indipendenza causale) Tipicamente, vi è indipendenza nel caso di estrazioni ripetute con reimmissione Esempio: consideriamo nuovamente la situazione iniziale dell esempio 3: un urna contiene 5 sferette di cui 0 sono rosse e 5 verdi a) Con che probabilità sferette estratte di seguito con reimmissione sono entrambe rosse? Se poniamo A: la prima è rossa e B: la seconda è rossa possiamo supporre che gli eventi A e B siano indipendenti, e pertanto p(a B) = p(a) p(b) = 3 3 = 9 b) Estraggo, con reimmissione, 5 sferette Con quale probabilità le prime 3 saranno verdi e le rimanenti due rosse? Anche in questo caso, l indipendenza dei 5 eventi la prima è verde, la seconda è verde e così via ci conduce, per l esito che potremmo indicare con V V V RR, a p({v V V RR}) = = ( 3 ) 3 ( 3 ) = 3 5 = 4 43 = 0, 06 Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 78 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

18 c) Estraggo, con reimmissione, 5 sferette Con quale probabilità esattamente di esse saranno verdi? L evento esattamente sono verdi si può realizzare in ( 5 ) modi (come gli anagrammi di VVRRR ); ognuno di essi ha la probabilità calcolata al punto b), e trattandosi di eventi incompatibili le singole probabilità vanno sommate Per l evento E: esattamente sono verdi vale quindi ( ) ( ) 3 5 p(e) = 3 ( 3 ) = = = 0, 6 Osservazione: possiamo procedere in modo analogo ogni qual volta vi è la ripetizione di un esperimento con due soli possibili esiti (fra loro complementari) in maniera tale che le prove ripetute diano luogo a eventi indipendenti Più tardi (IV), caratterizzeremo questo tipo di situazioni mediante la cosiddetta distribuzione binomiale d) Quante sferette devo estrarre, con reimmissione, affinché la probabilità che almeno una di esse sia verde superi il valore 0,99? Sia E n : in n estrazioni, almeno una sferetta è verde ; allora vale E n : in n estrazioni tutte le sferette sono rosse La probabilità di E n è molto più semplice da calcolare; in effetti vale ( ) n p(e n ) = p(e n ) = 3 e quindi p(e n ) 0, 99 ( ) n 0, 99 3 ( ) n 0, 0 3 n log 3 log 0, 0 n log log 3 =, 4 Occorrono quindi almeno estrazioni A volte, l indipendenza può essere abbinata con il Teorema 4 (pag 75) Esempio: un tiratore fa centro il 50% delle volte; un secondo tiratore fa centro il 40% delle volte Se sparano entrambi sul bersaglio, a) con quale probabilità entrambi faranno centro? Possiamo supporre che gli eventi A: il primo fa centro e B: il secondo fa centro siano indipendenti; allora la probabilità cercata è p(a B) = p(a) p(b) = 5 = 5 = 0, b) con quale probabilità almeno uno di loro farà centro? Si tratta della probabilità dell evento A B; con il Teorema 4 avremo p(a B) = p(a)+p(b) p(a B) = p(a)+p(b) p(a) p(b) = = + 5 = 7 0 = 0, 7 Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 79 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

19 7 Il teorema della probabilità totale Esempio: ho due monete La prima è equa, mentre la seconda è truccata in modo tale che l esito testa si verifichi con frequenza pari al 75% Scelgo a caso una moneta e la lancio Con quale probabilità l esito sarà croce? Sia A: scelgo la moneta equa, B: scelgo la moneta truccata, T : l esito è testa e C: l esito è croce Scrivendo C come unione disgiunta ricaviamo p(c) = p ( (C A) (C B) ) = p(c A) + p(c B) (ottengo croce se scelgo la prima moneta e ottengo croce oppure se scelgo la seconda e ottengo croce); grazie al Teorema 5 vale poi p(c A)+p(C B) = p(a) p(c A)+p(B) p(c B) = 4 + = = 3 = 0, Osservazione: gli eventi A e B rappresentano una partizione dello spazio campionario, sono cioè incompatibili e tali che Ω = A B Essi inducono quindi un unione disgiunta di ogni evento di Ω: Ω C A C B C = (C A) (C B) A B La situazione può essere efficacemente rappresentata con l ausilio di un diagramma ad albero; la scrittura al disopra dei rami delle corrispondenti probabilità facilita il calcolo di p(c): A B T C T C p(c) = 4 + = 3 8 L idea può essere facilmente generalizzata: se la collezione di eventi {A, A,, A n } rappresenta una partizione di uno spazio campionario, se vale cioè Ω = A A A n con A i A j = per i j allora ogni evento B Ω viene partizionato a sua volta: Ω A A A n B B = (B A ) (B A ) (B A n ) Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 80 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

20 Assieme all assioma (p 3 ) e al Teorema 5 si ricava immediatamente il Teorema 6 (teorema della probabilità totale): sia Ω uno spazio campionario, {A, A,, A n } una sua partizione e B Ω un evento Allora vale p(b) = p(b A ) + p(b A ) + + p(b A n ) = p(a ) p(b A ) + p(a ) p(b A ) + + p(a n ) p(b A n ) Esempio: un certo manufatto viene prodotto da 3 fabbriche; la prima delle tre garantisce il 50% della produzione, di cui il 93% di prima qualità; la seconda garantisce il 30% della produzione, di cui il 99% di prima qualità, la terza garantisce il 0% della produzione, di cui il 95% di prima qualità Con che probabilità un manufatto scelto a caso tra l intera produzione sarà di prima qualità? Definiamo innanzitutto i 3 eventi A : il pezzo proviene dalla I fabbrica, A : il pezzo proviene dalla II fabbrica, A 3 : il pezzo proviene dalla III fabbrica Allora vale p(a ) = =, p(a ) = = 3 0, p(a 3 ) = 0 00 = 5 Con B: il pezzo è di prima qualità sono altresì note le probabilità condizionate: p(b A ) = 93 00, p(b A ) = 99 00, p(b A 3 ) = = 9 0 Non ci resta che calcolare p(b) = p(a )p(b A ) + p(a )p(b A ) + p(a 3 )p(b A 3 ) = = 9 5 E direttamente con un diagramma ad albero: 3 0 = 0, 95 (= 95, %) 5 I fabbr II fabbr 93 III fabbr I qual no I qual no I qual no p( I qualità ) = = 9 5 = 0, 95 Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 8 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

21 8 Il teorema di Bayes Ci occupiamo ora della cosiddetta probabilità delle cause, riutilizzando in parte gli esempi del paragrafo precedente Iniziamo con un semplice risultato, che mette in relazione la probabilità condizionata di A dato B con la probabilità condizionata di B dato A: Lemma 7 : siano A e B due eventi di uno spazio campionario Ω Allora vale p(a B) = p(a) p(b A) p(b) risp p(b A) = p(b) p(a B) p(a) Dimostrazione: segue da p(a B) = p(a) p(b A) = p(b) p(a B) Esempio: ho due monete La prima è equa, mentre la seconda è truccata in modo tale che l esito testa si verifichi con frequenza pari al 75% Scelgo a caso una moneta e la lancio Ottengo testa Con quale probabilità si trattava della moneta truccata? Sia A: scelgo la moneta equa, B: scelgo la moneta truccata, T : l esito è testa e C: l esito è croce Grazie al Lemma 7 possiamo ricondurre il calcolo di p(b T ) (cioè della probabilità che la moneta sia truccata sapendo che l esito è testa ) al calcolo di p(t B) (cioè della probabilità che l esito sia testa sapendo che la moneta è truccata): p(b T ) = p(b) p(t B) p(t ) È già noto che vale p(b) = e p(t B) = 3 ; per il calcolo di p(t ) sfruttiamo un diagramma ad albero (applichiamo cioè implicitamente il Teorema 4 6): A B T C T C p(t ) = = 5 8 (chiaro: si tratta dell evento complementare all evento C di pag 80!) Vale quindi p(b T ) = p(b) p(t B) p(t ) = 5 8 = = 5 Osservazione: dal momento che gli eventi A e B rappresentano una partizione dello spazio campionario, avremmo potuto tener conto direttamente della formula per la probabilità totale, e quindi calcolare p(b T ) = p(b) p(t B) p(a)p(t A) + p(b)p(t B) = (nota che il diagramma ad albero contiene tutte le informazioni necessarie!) = 5 Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 8 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

22 Ragionando in modo analogo con una partizione qualsiasi ricaviamo immediatamente il seguente risultato: Teorema 8 : sia {A,, A k } una partizione di uno spazio campionario Ω, e sia B Ω Allora vale, per k =,, n, p(a k B) = p(a k) p(b A k ) p(b) = p(a k ) p(b A k ) p(a )p(b A ) + p(a )p(b A ) + + p(a n )p(b A n ) Esempio: un certo manufatto viene prodotto da 3 fabbriche; la prima delle tre garantisce il 50% della produzione, di cui il 93% di prima qualità; la seconda garantisce il 30% della produzione, di cui il 99% di prima qualità, la terza garantisce il 0% della produzione, di cui il 95% di prima qualità Ho acquistato un manufatto scadente Con che probabilità esso proveniva dalla prima fabbrica? Siano nuovamente A : il pezzo proviene dalla I fabbrica, A : il pezzo proviene dalla II fabbrica, A 3 : il pezzo proviene dalla III fabbrica, e sia B: il pezzo è scadente La probabilità cercata è p(a B) Rappresentiamo la situazione con un diagramma ad albero: I fabbr 93 II fabbr 7 99 III fabbr I qual scad I qual scad I qual scad Calcoliamo p(a B) = = p(a ) p(b A ) p(a )p(b A ) + p(a )p(b A ) + p(a 3 )p(b A 3 ) = = = 0, 73 Un altro celebre esempio relativo all applicazione del teorema di Bayes è il paradosso delle tre scatole, proposto dal matematico francese Joseph Bertrand nel suo Calcul des probabilités (889): sono date tre scatole, ognuna delle quali contiene due monete La prima contiene due monete d oro, la seconda due d argento e la terza una moneta d oro e una d argento Scelgo a caso una scatola ed estraggo una moneta È d oro Con che probabilità lo sarà anche la seconda moneta della stessa scatola? Siano O: la moneta estratta è d oro, A: la moneta estratta è d argento, OO: ho scelto la prima scatola, AA: ho scelto la seconda e OA: ho scelto la terza La probabilità cercata è p(oo O), cioè la probabilità che la scatola scelta sia la prima sapendo che la moneta estratta è d oro Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 83 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

23 Rappresentiamo la situazione per mezzo di un diagramma ad albero: OO AA 0 0 OA O A O A O A e calcoliamo p(oo O) = p(oo) p(o OO) p(oo)p(o OO) + p(aa)p(o AA) + p(o)p(o OA) = = + = 3 La probabilità che anche la seconda moneta sia d oro è pari a 3 9 Variabili aleatorie discrete Spesso le caratteristiche degli esiti di un esperimento casuale vengono espresse per mezzo di valori numerici, ad esempio: ) il numero di esiti Testa nel lancio di n monete; ) la somma dei punteggi nel lancio di n dadi; 3) la percentuale di pezzi difettosi prodotti da una fabbrica in un determinato lasso di tempo Tali valori, associati ai rispettivi esiti, rappresentano funzioni aventi immagini nell insieme R dei numeri reali Definizione 7: sia Ω uno spazio campionario Una funzione X : Ω R è detta variabile aleatoria (o variabile casuale, o anche variabile stocastica) Se Ω è un insieme finito o enumerabile la variabile aleatoria si dice discreta Le variabili aleatorie vengono solitamente indicate da lettere maiuscole (X, Y, Z, W, ) Esempi ) Consideriamo il lancio di 3 monete; allora possiamo porre Ω = {T T T, T T C, T CT, T CC, CT T, CT C, CCT, CCC} Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 84 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

24 Sia X(e) := il numero di T nell esito e la variabile aleatoria che computa il numero di esiti Testa; vale X(T T T ) = 3 ; X(T T C) = X(T CT ) = X(CT T ) = ; X(T CC) = X(CT C) = X(CCT ) = ; X(CCC) = 0 ) Consideriamo il lancio di due dadi, e quindi Sia Ω = {ij i, j 6} = {,, 3,, 64, 65, 66} X(ij) := i + j la variabile aleatoria relativa alla somma dei due punteggi Allora essa assumerà valori nell insieme {,,,, }; in particolare, X() =, X() = X() = 3, X(3) = X() = X(3) = 4, X(4) = X(3) = X(3) = X(4) = 5, X(5) = X(4) = X(33) = X(4) = X(5) = 6, X(6) = X(5) = X(34) = X(43) = X(5) = X(6) = 7, X(6) = X(35) = X(44) = X(53) = X(6) = 8, X(36) = X(45) = X(54) = X(63) = 9, X(46) = X(55) = X(64) = 0, X(56) = X(65) =, X(66) = 3) Considera il seguente esperimento: lancio una moneta fino al primo esito Testa Ne risulta uno spazio campionario infinito (ma enumerabile): La variabile aleatoria Ω = {T, CT, CCT, CCCT, CCCCT, } X(C } {{ CT} ) := n n rappresenta il tempo d attesa, cioè il numero di lanci fino al primo esito T Vale X(T ) =, X(CT ) =, X(CCT ) = 3, X(CCCT ) = 4, Passiamo ora ad un altra nozione fondamentale Definizione 8: sia X : Ω R una variabile aleatoria (discreta) La funzione reale definita da f(x) := p(x = x) che associa ad x R la probabilità che X assuma il valore x è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria X Se f(x) è la distribuzione di X, si scrive anche X f(x) Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 85 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

25 Esempi (v sopra) ) Per il lancio di tre monete, se X rappresenta il numero di esiti Testa, vale f(0) = p(x = 0) = 8, f() = p(x = ) = 3 8, f() = p(x = ) = 3 8, f(3) = p(x = 3) = 8 La distribuzione può efficacemente essere rappresentata per mezzo dell istogramma a destra ) Sia X la somma dei punti nel lancio di tre dadi; tabelliamo i valori della sua distribuzione, e in seguito ne disegniamo l istogramma: x p(x = x) ) Sia X il numero di lanci necessari ad ottenere il primo esito Testa; otteniamo x ( p(x = x) e quindi p(x = x) = p({c } {{ CT} }) = x ) x Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 86 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

26 Osservazione: sia Ω uno spazio campionario e X una variabile aleatoria con insieme delle immagini Im(X) = {x, x, x 3, } Allora vale certamente (i) f(x i ) = p(x = x i ) 0 i (dal momento che rappresentano delle probabilità), (ii) f(x) = f(x ) + f(x ) + f(x 3 ) + = x Im(X) (dal momento che, complessivamente, gli eventi X = x i rappresentano la certezza) Tali proprietà vengono utilizzate per definire assiomaticamente il concetto di distribuzione discreta di probabilità Verifichiamo (ii) per gli esempi trattati sopra: ) p(x = x i ) = p(x = 0)+p(X = )+p(x = )+p(x = 3) = = ) 3) x Im(X) x Im(X) p(x = x i ) = p(x = ) + p(x = 3) + p(x = 4) + + p(x = ) = = x Im(X) p(x = x i ) = ; si tratta di una somma infinita, per il cui studio necessiteremo della nozione di limite (in particolare, interpreteremo somme infinite come limiti di somme finite) In questo caso, si tratta di una serie geometrica, cioè di una somma i cui termini successivi hanno tra loro un rapporto costante (, qui) Come vedremo, nel nostro caso ciò conduce a = Non è difficile convincersi di ciò suddividendo 4 8 un segmento di lunghezza unitaria: Valore atteso e varianza Definizione 9: sia X : Ω R una variabile aleatoria (discreta), con Im(X) = {x, x, x 3, } Il suo valore atteso (o speranza matematica) è il numero reale indicato con E[X] (o anche con µ X ) e definito da E[X] = i x i p(x = x i ) = x p(x = x ) + x p(x = x ) + x 3 p(x = x 3 ) + Se X f(x), possiamo anche scrivere E[X] = i x i f(x i ) Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 87 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

27 Esempi ) Sia Ω = {,, 3, 4, 5, 6} lo spazio campionario relativo all esperimento casuale lancio di un dado equo, e sia X la variabile aleatoria indicante il punteggio di un lancio Allora vale E[X] = 6 i p(x = i) = p(x = ) + p(x = ) p(x = 6) i= = = = 6 = 7 = 3, 5 ) Sia X il numero di esiti Testa nel lancio di tre monete (vedi pag 84); allora vale E[X] = 4 i p(x = i) = 0 p(x = 0) + p(x = ) + p(x = ) + 3 p(x = 3) i=0 = = = 8 8 = 3 =, 5 3) Sia X la somma dei punti nel lancio di due dadi (vedi pag 85); allora E[X] = i= i p(x = i) = p(x = ) + 3 p(x = 3) + + p(x = ) + p(x = ) = = 5 36 = 7 4) Sia X il numero di lanci di una moneta necessari per ottenere il primo esito Testa (vedi pag 85); allora il valore atteso è una somma infinita E[X] = i p(x = i) = i= i=0 i i = Il suo valore, cioè il valore cui si avvicina indefinitamente la successione delle somme finite +, + + 3, ecc è pari a Osservazione: proviamo a considerare il valore atteso dal punto di vista frequentista; sia Ω uno spazio campionario finito, e sia X una variabile aleatoria su Ω con Im(X) = {x, x,, x n } e siano p(x = x ) = f, p(x = x n ) = f,, p(x = x n ) = fn le probabilità stimate da n ripetizioni dell esperimento casuale Allora n vale Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 88 LiLu, 3N (Luca Rovelli)

28 E[X] = n x i p(x = i) = i= i= x i fi n = f x + f x + f n x n n Evidentemente, si tratta della media ponderata degli esiti nelle n ripetizioni dell esperimento Per tale motivo, il valore atteso E[X] viene a volte chiamato semplicemente media Più rigorosamente, dalla legge dei grandi numeri (vedi IV3) segue che il valore atteso può essere interpretato come il valore a cui si avvicina la media degli esiti se un esperimento casuale viene ripetuto n volte con n tendente a infinito In particolare, E[X] non è per forza un valore assumibile dalla variabile aleatoria X, come mostrano gli e- sempi precedenti (quindi, la denominazione valore atteso non si rivela particolarmente felice) Introduciamo ora una misura per la dispersione degli esiti in un esperimento casuale Definizione 0: sia X : Ω R una variabile aleatoria (discreta), con valore atteso E[X] = µ X (i) La variabile aleatoria (X µ X ) è detta scarto quadratico di X (ii) Il valore atteso di quest ultima è la varianza Var(X) = E [(X µ X ) ] (iii) La deviazione standard (o scarto tipo, o anche scarto quadratico medio) di X è il numero reale S(X) = Var(X) A volte, la deviazione standard viene indicata con σ X, e quindi la varianza con σ X Nota che σ X viene espressa con la stessa unità di misura di X, e ciò ne rende a volte preferibile l impiego Dalla definizione segue immediatamente il Lemma 9: sia X : Ω R una variabile aleatoria (discreta), con valore atteso E[X] = µ e Im(X) = {x, x, x 3, } Allora vale Var(X) = i (x i µ) p(x = x i ) = (x µ) p(x = x ) + (x µ) p(x = x ) + (x 3 µ) p(x = x 3 ) + Grazie al lemma (e agli esempi sottostanti) è possibile intuire perché lo scarto quadratico (X µ X ) è preferibile al semplice scarto X µ X : utilizzando quest ultimo la somma consisterebbe di addendi positivi e negativi che annullerebbero vicendevolmente i rispettivi contributi A tal proposito sarebbe possibile impiegare anche lo scarto assoluto X µ X, ma la problematicità della funzione x x ne rende sconsigliabile l utilizzo Calcolo delle probabilità, corso scientifico (V0) 89 LiLu, 3N (Luca Rovelli)