ROBERTO VACCA - BRUNO ARTUSO - CLAUDIA BEZZI. Aritmetica 1

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1 ROBERTO ACCA - BRUNO ARTUSO - CLAUDIA BEZZI Aritmetica

2 ISBN Edizione Direzione Editoriale: Roberto Invernici Coordinamento Editoriale: Progetti di Editoria s.r.l. Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scalvini Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atlas otocomposizione, impaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Copertina: avassori & avassori Illustrazioni: Bruno Dolif Stampa: L.E.G.O. S.p.A. - icenza Con la collaborazione della Redazione e dei Consulenti dell'i.i.e.a. L'editore si impegna a mantenere invariato il contenuto di questo volume, secondo le norme vigenti. Si ringraziano le prof.sse Barbara anzani ed Elisabetta Zampiceni per la collaborazione editoriale. Il materiale illustrativo proviene dall'archivio iconografico Atlas. L'editore eá a disposizione degli aventi diritto non potuti reperire. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del % di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall'art. 68, commi 4 e, della legge aprile 94 n. 6. Le riproduzioni effettuate per finalitaá di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 08, Milano 0, segreteria@aidro.org e sito web Il peso di questo volume rientra nei limiti suggeriti dall'associazione Italiana Editori. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 4 Bergamo - ia Crescenzi, 88 - Tel. (0) ax (0)

3 PREAZIONE inalitaá Questo corso di matematica nasce da una pluriennale esperienza nella scuola, sia sotto il profilo dell'insegnamento che sotto quello della ricerca e dell'aggiornamento. Esso accoglie tutte le esigenze didattiche ed editoriali che il nuovo scenario della Scuola Italiana esige dall'insegnamento della matematica che ha assunto oggi ampie finalitaá educative e costituisce un momento importante nella formazione di ogni ragazzo. La scuola dell'autonomia e la didattica specifica della disciplina, infatti, valorizzano sempre di piuá il ruolo culturale e formativo della matematica, ponendola al centro del curriculum dello studente. In tale contesto, secondo le indicazioni ministeriali e le attese generali, un corso di matematica deve avere alcune caratteristiche indispensabili: l stimolare la comprensione e per questo deve essere scritto in un linguaggio chiaro, semplice, accattivante e soprattutto comprensibile per uno studente di etaá intorno agli - 4 anni; l far capire percheâ gli strumenti della matematica sono indispensabili nell'affrontare e risolvere problemi; l essere ricco di esempi, dai piuá semplici che servono per imparare ad usare formule o comprendere concetti, a quelli piuá complessi nei quali le formule e i concetti "si applicano"; l proporre un abbondante repertorio di esercizi, opportunamente graduati e non banali, che stimolino il ragionamento e la riflessione; l utilizzare gli strumenti che la tecnologia informatica mette a disposizione della didattica; l mettere in grado lo studente di autovalutare la propria preparazione, di capire gli errori che commette, in modo da renderlo consapevole delle proprie abilitaá e competenze. Struttura Il corso "a scuola di matematica" eá un progetto didattico che favorisce le esigenze legate alla programmazione personale del Docente e tiene conto del problema del peso e del tetto di spesa, secondo le norme vigenti. Per questo si compone di due volumi di Aritmetica, tre di Geometria e uno di Algebra. Ogni volume si articola in capitoli. In ognuno di essi sono espressamente dichiarati i Prerequisiti necessari per affrontare consapevolmente e con successo gli argomenti contenuti e gli Obiettivi che si vogliono raggiungere, suddivisi in Conoscenze e AbilitaÁ. Ogni capitolo si apre con la rubrica Perche studiare... che, attraverso aneddoti e informazioni tratti dalla realtaá di tutti i giorni, ha lo scopo di trovare un collegamento tra i contenuti del capitolo e l'esperienza personale degli alunni. Contenuti e impostazione didattica Nella trattazione teorica si evidenzia la presenza di numerosi Esempi svolti ed Esercizi di verifica che, inseriti al termine di ogni paragrafo, sono volutamente di facile comprensione e soluzione. Il Docente puoá presentarli agli alunni subito dopo la spiegazione per l'accertamento delle conoscenze man mano acquisite. Ogni capitolo eá corredato da un vastissimo repertorio di esercizi, suddivisi in relazione alla scansione dei paragrafi della teoria e, per ciascun paragrafo, in due ulteriori categorie: l l Esercizi di Comprensione della teoria, spesso in forma di test a risposta multipla, di domande a risposta chiusa o di frasi di completamento: servono per verificare le conoscenze teoriche senza le quali non eá possibile applicare i concetti studiati. Esercizi di Applicazione, inseriti dopo quelli di comprensione, sotto forma di esercizi e problemi da svolgere: mirano a sviluppare le capacitaá logico-deduttive, ad acquisire nuove abilitaá di calcolo e ad applicare le procedure piuá adatte a risolvere un problema. Sono esercizi che normalmente vengono svolti a casa come studio individuale.

4 4 Tutti gli esercizi sono stati suddivisi in tre livelli di difficoltaá (ben riconoscibili dalla grafica) e comunque graduati all'interno di ciascun livello. Allo scopo di facilitare il processo di apprendimento nel testo sono presenti numerosi Esercizi guida, che permettono agli alunni di acquisire le principali tecniche risolutive e sono finalizzati alla comprensione e alla risoluzione delle diverse problematiche presenti. Ogni capitolo si conclude con la proposta di una serie di: l Esercizi di Autovalutazione suddivisi in due livelli: erifica delle conoscenze e erifica delle abilitaá. Tali esercizi possono essere utilizzati dallo studente per testare il proprio livello di apprendimento e diventano un valido strumento per la preparazione della prova di verifica. l AttivitaÁ di Recupero, sono esercizi che servono per puntualizzare e chiarire le nozioni minime di base che devono essere possedute da tutti gli alunni, anche quelli che presentano maggiori difficoltaá nell'apprendimento dei contenuti. A conclusione dell'attivitaá di recupero eá poi presente una scheda di alutazione del recupero per l'accertamento delle conoscenze e delle abilitaá. l AttivitaÁ di Consolidamento, sono esercizi volti a consolidare le conoscenze in precedenza acquisite e, suddivisi per livello di difficoltaá, rappresentano un utile banco di prova per verificare la propria preparazione. l AttivitaÁ di Potenziamento, sono esercizi destinati agli studenti piuá capaci che vogliono mettersi alla prova con esercizi piuá complessi e con proposte piuá creative. l Gare di matematica, sono esercizi assegnati nelle varie competizioni nazionali ed internazionali di matematica e, suddivisi in relazione alle scansioni dei contenuti dei testi, rappresentano un valido strumento per la valorizzazione delle eccellenze. Ogni volume si chiude con la presenza di un Archivio delle attivitaá che indica il percorso effettuato da ogni alunno nell'ambito di ogni capitolo. La raccolta dei risultati eá suddivisa per aree: esercizi, valutazione, individualizzazione e obiettivi. PuoÁ essere compilata direttamente dallo studente con la supervisione del Docente e puoá risultare un utile strumento di comunicazione con le famiglie. A completamento dei volumi di ogni anno eá disponibile on line, sul sito della casa editrice, un abbondante repertorio di esercizi che ripercorre i contenuti essenziali dei capitoli di ogni volume dell'opera. Ogni blocco eá strutturato secondo esercizi di conoscenza e di abilitaá (livello base, livello medio, livello avanzato). Informatica per la Matematica Alla luce delle moderne tecniche d'insegnamento un corso di matematica non puoá fare a meno della presenza parallela, teorica ed applicativa dell'informatica. In ogni volume, infatti, eá presente una rubrica di informatica che tratta in modo completo ed articolato alcuni software didattici, quali Cabri GeÁomeÂtre II Plus ed Excel, che applicati ai capitoli di geometria ed aritmetica, portano progressivamente gli alunni ad integrare e completare i processi di apprendimento. All'interno delle esercitazioni con Excel eá inoltre prevista una parte dedicata al linguaggio di programmazione isual Basic che consente di creare semplici procedure software ed algoritmi di calcolo, dalla fase di scrittura del testo sorgente (editing) fino all'esecuzione del programma. GLI AUTORI I testi dei Giochi Matematici che compaiono alla fine di ogni capitolo sotto la rubrica "Gare di Matematica" sono stati gentilmente forniti dal Centro Pristem-Eleusi dell'universitaá Bocconi di Milano e si riferiscono alle competizioni matematiche organizzate dallo stesso Centro.

5 . Gli insiemi. Il concetto di insieme 0. La rappresentazione di un insieme. Il concetto di sottoinsieme 4. Intersezione e unione di insiemi 4. L'intersezione 4. L'unione 6. Numeri naturali e decimali. Il sistema di numerazione decimale 0. alore assoluto e valore relativo delle cifre. La scrittura polinomiale di un numero. L'insieme dei numeri naturali. Il confronto di numeri naturali. La rappresentazione grafica dei numeri naturali. I numeri decimali 4. La rappresentazione grafica dei numeri decimali. Il confronto di numeri decimali 6. La scrittura polinomiale dei numeri decimali 7 ë Matematica e storia Antichi sistemi di numerazione 7 6. Il calcolo rapido La divisione 4 7. Lo zero e l'uno nelle divisioni Le divisioni per 0; 00; Le proprietaá della divisione Le espressioni numeriche I problemi matematici. Che cosa eá un problema matematico 4. La comprensione del testo 4. La definizione dei dati e delle incognite 4. La scelta del metodo di risoluzione. Il metodo delle operazioni aritmetiche. Il metodo grafico 7. Dalle potenze ai numeri binari. La potenza di un numero 6. Le espressioni con le potenze 6. Le proprietaá delle potenze Le potenze con 0 e 66. La notazione scientifica L'ordine di grandezza La numerazione binaria Dalla base alla base Dalla base 0 alla base 7 8. Le quattro operazioni nel sistema binario 7 ë Matematica e informatica Perche nei computer si usano i numeri in base 7. Le operazioni con i numeri. L'addizione. L'addizione in colonna. Le proprietaá dell'addizione. Il calcolo rapido 4. La sottrazione. La sottrazione in colonna 6 ë Approfondimenti I numeri relativi 6 4. La proprietaá della sottrazione 8. La moltiplicazione 8. La moltiplicazione in colonna 40 ë Matematica e storia I calcoli nella storia 40. La moltiplicazione per 0; 00; 000 e per 0,; 0,0; 0, Le proprietaá della moltiplicazione 4 6. La divisibilitaá. I multipli di un numero 78. I divisori di un numero 78. I criteri di divisibilitaá Numeri primi e numeri composti 8 ë Approfondimenti La ricerca del numero primo piuá grande 84. La scomposizione in fattori primi 8 6. Il criterio generale di divisibilitaá L'insieme dei divisori di un numero Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) Il calcolo del M.C.D. mediante la scomposizione in fattori primi 90 ë Approfondimenti Il M.C.D. con il metodo delle divisioni successive 9 9. Il minimo comune multiplo (m.c.m.) 9

6 6 9. Il calcolo del m.c.m. mediante la scomposizione in fattori primi 9 ë Approfondimenti Il m.c.m. con il metodo delle divisioni successive I problemi e il calcolo di M.C.D. e m.c.m I numeri razionali. Il concetto di frazione 98. L'unitaÁ frazionaria 98. La frazione come operatore 98. La classificazione delle frazioni 00 ë Approfondimenti La rappresentazione di frazioni sulla semiretta orientata 0. I problemi con le frazioni 0 4. Le frazioni equivalenti 06. La semplificazione di una frazione La trasformazione di una frazione in un'altra equivalente di denominatore dato 0 6. La trasformazione di piuá frazioni allo stesso minimo comune denominatore (m.c.d.) 0 7. Il confronto di frazioni 8. L'addizione di frazioni 8. I numeri misti 9. La sottrazione di frazioni 6 9. La frazione complementare 7 0. Le espressioni con addizioni e sottrazioni 7. Altri problemi con le frazioni 8. La moltiplicazione di frazioni 0. Le frazioni reciproche. La divisione di frazioni 4. La potenza di una frazione 4. Le proprietaá delle potenze. Le espressioni con le frazioni 4 8. La rappresentazione dei dati. Gli ideogrammi 8 ë Approfondimenti Gli ideogrammi quantitativi 8. Gli istogrammi 0. Gli istogrammi a base orizzontale. Gli areogrammi 4. I diagrammi cartesiani 4. La scelta dell'unitaá di misura 4 ë Approfondimenti Gli errori nella lettura dei grafici. Gli insiemi Esercizi 6 erifica delle conoscenze 47 erifica delle abilitaá 48 AttivitaÁ di recupero 49 Scheda di valutazione del recupero AttivitaÁ di consolidamento AttivitaÁ di potenziamento Gare di matematica 6. Numeri naturali e decimali Esercizi 7 erifica delle conoscenze 7 erifica delle abilitaá 7 AttivitaÁ di recupero 74 Scheda di valutazione del recupero 77 AttivitaÁ di consolidamento 78 AttivitaÁ di potenziamento 80 Gare di matematica 8. Le operazioni con i numeri Esercizi 8 erifica delle conoscenze 7 erifica delle abilitaá 8 AttivitaÁ di recupero 9 Scheda di valutazione del recupero AttivitaÁ di consolidamento 4 AttivitaÁ di potenziamento 6 Gare di matematica 8 4. I problemi matematici Esercizi 0 erifica delle conoscenze 9 erifica delle abilitaá 40 AttivitaÁ di recupero 4 Scheda di valutazione del recupero 44 AttivitaÁ di consolidamento 4 AttivitaÁ di potenziamento 47 Gare di matematica 49

7 7. Dalle potenze ai numeri binari Esercizi erifica delle conoscenze 70 erifica delle abilitaá 7 AttivitaÁ di recupero 7 Scheda di valutazione del recupero 76 AttivitaÁ di consolidamento 77 AttivitaÁ di potenziamento 79 Gare di matematica La divisibilitaá Esercizi 8 erifica delle conoscenze 99 erifica delle abilitaá 00 AttivitaÁ di recupero 0 Scheda di valutazione del recupero 0 AttivitaÁ di consolidamento 06 AttivitaÁ di potenziamento 08 Gare di matematica 0 7. I numeri razionali Esercizi erifica delle conoscenze erifica delle abilitaá 6 AttivitaÁ di recupero 7 Scheda di valutazione del recupero 64 AttivitaÁ di consolidamento 6 AttivitaÁ di potenziamento 67 Gare di matematica La rappresentazione dei dati. I grafici con Excel. Il programma Excel 89. La funzione Somma e la copia delle formule 90. Grafici statistici: l'areogramma 9 4. Grafici statistici: il diagramma cartesiano 97. Grafici statistici: l'istogramma 98 Esercizi 400 ë Prove Invalsi 40 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 406 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 407 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 408 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 40 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 6 4 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 7 4 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 8 4 ë Soluzioni schede di verifica 44 ë Soluzioni schede di valutazione del recupero 46 ë Soluzioni gare di matematica 47 ë Soluzioni prove Invalsi 49 ë Tavole numeriche 40 Esercizi 7 erifica delle conoscenze 80 erifica delle abilitaá 8 AttivitaÁ di recupero 8 Scheda di valutazione del recupero 8 AttivitaÁ di consolidamento 86 AttivitaÁ di potenziamento 87

8 Osserva la realtaá che ti circonda. Essa eá costituita da una grande quantitaá di "cose": persone, automobili, strade, case, libri, animali, quaderni, vestiti, biciclette, semafori, giornali e cosõá via. Si tratta di oggetti la cui natura eá disparata e che elencati cosõá alla rinfusa generano un certo senso di confusione. EÁ possibile peroá "mettere ordine" nella realtaá, dividendo tutto cioá che ci circonda in raggruppamenti. Per farlo abbiamo bisogno di un criterio che ci permetta di formare i gruppi. acciamo un esempio e scegliamo un primo criterio molto generale: distinguiamo gli oggetti inanimati dagli esseri animati. Se consideriamo cioá che possiamo osservare in una affollata via del centro, otterremo un raggruppamento che include automobili, biciclette, semafori, edicole, case, etc., e un altro che include animali domestici, piante, cespugli, fiori, etc. Potremo poi scegliere di suddividere ulteriormente gli es-

9 7 Leggere e comprendere un testo 7 Conoscere i concetti base sulle figure geometriche e i numeri CONOSCENZE 7 Il concetto di insieme matematico 7 La rappresentazione di un insieme 7 Il concetto di sottoinsieme 7 Le operazioni con gli insiemi ABILITAÁ 7 Costruire e rappresentare insiemi 7 Definire e rappresentare un sottoinsieme 7 Operare con gli insiemi seri animati distinguendo animali e vegetali. Si formano cosõá nuovi raggruppamenti; potremmo continuare ancora. Quello che abbiamo fatto eá una cosa molto semplice e molto importante: classificare. Il modo con cui siamo arrivati a queste conclusioni eá frutto del "buon senso" e della nostra esperienza. Classificare significa pertanto dividere in classi, cioeá raggruppamenti di elementi che hanno in comune certe caratteristiche prefissate. L'atto di classificare eá alla base della matematica, percheâ permette di individuare delle "quantitaá ". Dalle quantitaá eá poi possibile passare ai numeri e quindi giungere a contare. Iniziamo dunque a studiare gli strumenti che ci consentono di eseguire con precisione ed efficacia l'attivitaá di classificare: gli insiemi.

10 0 Il concetto di insieme esercizi pag. 6 In matematica con la parola insieme si intende un raggruppamento, una collezione, una raccolta di oggetti di una qualsiasi natura che siano individuabili in modo certo. Gli oggetti possono essere sia concreti (come una collezione di francobolli, un gruppo di alberi, una squadra di calcio...) sia astratti (come i numeri, i colori, le figure geometriche...). Gli oggetti che formano un certo insieme si chiamano elementi di quell'insieme. Dal punto di vista matematico possiamo dire che: Definizione. Per insieme si intende un raggruppamento di elementi che possono essere definiti con assoluta certezza. Per chiarire meglio la definizione di insieme matematico consideriamo i seguenti esempi. n Le cittaá «Bari, Brindisi, oggia, Lecce, Taranto» rappresentano un insieme, poicheâ gli elementi dell'insieme sono specificati in modo preciso e sono elencati uno per uno. n «I calciatori della Roma» rappresentano un insieme poicheâ eá chiaramente definita la "proprietaá" che consente di stabilire, senza possibilitaá di equivoci, se un elemento appartiene all'insieme. Nel nostro caso la "proprietaá" eá che tutti i calciatori appartengono alla medesima squadra. n «Le cittaá piuá belle d'italia» non rappresentano un insieme matematico, poicheâ non eá possibile stabilire con certezza, e in modo universalmente chiaro, quali elementi appartengono all'insieme in quanto i giudizi sulla bellezza variano da persona a persona. Gli insiemi vengono indicati con una lettera maiuscola dell'alfabeto: A B C D ::::: Gli elementi che appartengono ad un insieme vengono indicati con le lettere minuscole: a b c d ::::: Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si usa il simbolo, si scrive a A e si legge «l'elemento a appartiene all'insieme A». Quando si vuole indicare che un elemento non appartiene ad un insieme si utilizza lo stesso simbolo barrato: 6, si scrive b 6 A e si legge «l'elemento b non appartiene all'insieme A». Se consideriamo, ad esempio, l'insieme A delle vocali possiamo scrivere a A, u A ma m 6 A, r 6 A In ogni caso, qualsiasi sia l'insieme cui si fa riferimento, eá vera, per ciascun elemento x, una sola delle seguenti scritture x A oppure x 6 A In base al numero di elementi che appartengono ad un insieme possiamo dire che: I simboli delle relazioni tra elementi e insiemi: appartiene a 6 non appartiene a Definizione. Un insieme si dice finito quando eá costituito da un numero limitato di elementi. Per esempio, «l'insieme dei componenti della tua famiglia», «l'insieme delle cittaá capoluogo di regione» oppure «l'insieme delle persone presenti sull'elenco telefonico della tua cittaá» sono insiemi finiti. Definizione. Un insieme si dice infinito quando eá costituito da un numero illimitato di elementi.

11 Per esempio, «i punti di una retta», «i numeri naturali» oppure «i numeri pari» sono insiemi infiniti. PuoÁ anche accadere che un insieme non contenga alcun elemento. In questo caso: Definizione. Se un insieme eá privo di elementi si dice vuoto e si indica con uno dei seguenti simboli: oppure f g Per esempio, «l'insieme degli uomini alti piuá di dieci metri» eá un insieme vuoto in quanto non esiste alcun uomo alto piuá di dieci metri. Diciamo infine che: Definizione. Due insiemi sono uguali se sono formati dagli stessi elementi. Sono per esempio uguali l'insieme A formato dalle vocali della parola matite e l'insieme B costituito dalle vocali della parola alice percheâ entrambi sono formati dagli elementi a, e, i. Indica quali dei seguenti raggruppamenti rappresentano un insieme dal punto di vista matematico: a. le cittaá capoluogo di provincia del Lazio; b. l'insieme degli alunni piuá alti della tua classe; c. l'insieme delle consonanti del tuo cognome; d. l'insieme degli oggetti contenuti nel tuo astuccio; e. l'insieme degli alunni della tua classe che abitano nella stessa via; f. l'insieme dei numeri dispari. Elenca gli elementi dei seguenti insiemi: a. i numeri pari maggiori di 6 e minori di 0; b. gli alunni della tua classe il cui nome inizia per consonante; c. i libri di testo in uso nella tua classe. Scrivi mediante la simbologia corretta le seguenti relazioni: a. eá un elemento dell'insieme A; b. non eá un elemento dell'insieme B; c. A eá un insieme vuoto. Stabilisci quali dei seguenti insiemi sono finiti, quali sono vuoti e quali sono infiniti: a. «l'insieme degli alunni della tua scuola»; b. «l'insieme dei numeri naturali»; c. «l'insieme dei monti piuá alti di 0000 metri»; d. «l'insieme dei corpi celesti dell'universo»; e. «l'insieme dei calciatori di serie A»; f. «l'insieme dei punti di una retta»; g. «l'insieme delle cittaá italiane»; h. «l'insieme degli abitanti del tuo comune». La rappresentazione di un insieme esercizi pag. 8 Abbiamo detto che per individuare un insieme eá necessario definire in modo preciso quali siano i suoi elementi; questo puoá essere fatto in modi diversi. La rappresentazione per elencazione Per rappresentare un insieme per elencazione si deve scrivere la lettera maiu-

12 scola con la quale si vuole indicare l'insieme, seguita dal segno di uguale e da una parentesi graffa; all'interno di questa vengono scritti tutti gli elementi dell'insieme, separati uno dall'altro da un punto e virgola (o da una virgola). Generalmente la rappresentazione per elencazione si utilizza quando l'insieme da descrivere eá formato da un numero limitato di elementi. Ad esempio: l l'insieme A dei punti cardinali si indica con A ˆfnord; sud; ovest; estg. l l'insieme B formato dalle lettere della parola matematica si indica con B ˆfm; a; t; e; i; cg. Osserva che le lettere m, a, t pur essendo ripetute piuá volte nella parola devono essere scritte una sola volta. La rappresentazione per caratteristica Per rappresentare un insieme in forma caratteristica si deve scrivere all'interno di una parentesi graffa il nome generico di un elemento dell'insieme (una lettera minuscola dell'alfabeto) seguito da una barra verticale e dalla "proprietaá" che caratterizza gli elementi dell'insieme. Generalmente la rappresentazione per caratteristica si utilizza quando l'insieme da descrivere eá formato da un numero elevato di elementi, per i quali eá peroá possibile definire una proprietaá che li caratterizzi. Ad esempio: La barra j tra le due x si legge «tale che». l l l'insieme A delle lettere della parola condizionatore si indica con: A ˆfx j x eá una lettera della parola condizionatoreg e si legge «l'insieme A eá formato dagli elementi x tali che ogni x eá una lettera della parola condizionatore». l'insieme B dei numeri 0,,,, 4 si indica con: B ˆfx j x eá un numero naturale minore di g e si legge «l'insieme B formato dagli elementi x tali che ogni x eá un numero naturale minore di». Impareremo a conoscere i simboli di maggiore e di minore nel prossimo capitolo (pagina ) La rappresentazione grafica Per rappresentare un insieme in forma grafica si utilizzano i diagrammi di Eulero-enn. Essi sono formati da una linea chiusa all'interno della quale si indicano gli elementi dell'insieme con un puntino seguito dal nome. Generalmente i diagrammi di Eulero-enn si utilizzano per ragioni di semplicitaá e di chiarezza visiva. Ad esempio: l nella figura a eá rappresentato l'insieme A delle lettere che compogono la parola telefono. Come abbiamo giaá detto, anche nella rappresentazione con i diagrammi di Eulero-enn, non si ripetono gli elementi doppi; l nella figura b eá rappresentato l'insieme B dei numeri naturali compresi tra e7. igura a. b. Rappresentiamo i seguenti insiemi nei tre modi possibili. igura a a. L'insieme A dei numeri naturali minori di 6. Per elencazione: A ˆ f0; ; ; ; 4; g Per caratteristica: A ˆ fx j x e un numero naturale minore di 6 g Mediante diagramma di Eulero-enn:vedi la figura a.

13 b. L'insieme B delle consonanti della parola mangiare. Per elencazione: B ˆ fm; n; g; rg Per caratteristica: B ˆ fx j x e consonante della parola mangiareg Mediante diagramma di Eulero-enn:vedi la figura b. c. L'insieme P dei numeri pari. P eá un insieme infinito e quindi la rappresentazione piuá idonea eá mediante proprietaá caratteristica: P ˆ fx j x e un numero parig Tuttavia sono possibili anche le altre due modalitaá di rappresentazione: l per elencazione: P ˆ f0,, 4, 6, 8, 0,, ::::: g l mediante diagramma di Eulero-enn:vedi la figura c. igura b. c. Nelle ultime due rappresentazioni i puntini di sospensione indicano che l'elenco continua all'infinito. Rappresenta per caratteristica i seguenti insiemi definiti per elencazione: a. A ˆfa; r; i; t; m; e; cg A ˆf::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::g; b. B ˆf; ; ; 7; 9; ; ; ; 7; 9g B ˆf::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::g; c. C ˆfBari; Brindisi; Bologna; Bolzano; Biella;...g C ˆf::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::g. EÁ possibile rappresentare per caratteristica i seguenti insiemi definiti con un diagramma di Eulero-enn? a. b. c. Stabilisci se i seguenti insiemi A e A 0 sono uguali: a. A ˆf; 4; 6; 8; 0g A 0 ˆfx j x eá un numero pari minore di 4g; b. A ˆfpollice; indice; medio; anulare; mignolog A 0 ˆfx j x eá un dito della manog; c. A ˆfl; i; b; r; og A 0 ˆfx j x eá una consonante della parola librog. Il concetto di sottoinsieme esercizi pag. 4 Consideriamo l'insieme degli alunni della tua classe, che indichiamo con A ˆ fx j x eá un alunno della tua classeg; se di questo insieme consideriamo solo gli elementi che hanno la caratteristica di portare gli occhiali, avremo il nuovo insieme B ˆ fx j x eá un alunno della tua classe e porta gli occhialig.

14 4 EÁ evidente che tutti gli elementi dell'insieme B (nessuno escluso) sono anche elementi dell'insieme A. Si dice allora che l'insieme B eá contenuto nell'insieme A. Possiamo dunque affermare che: Definizione. Un insieme B si dice sottoinsieme proprio di un insieme A se ogni elemento di B appartiene ad A ma c'eá almeno un elemento di A che non appartiene a B. Per indicare che l'insieme B eá un sottoinsieme di A si scrive B A. Il simbolo eá detto di inclusione e significa "eáincluso" o"eácontenuto". Il simbolo 6 eá detto di non inclusione e significa "non eáincluso"o"non eácontenuto". Allo stesso modo, per indicare che l'insieme A include l'insieme B si usa la scrittura: A B e si legge «l'insieme A include l'insieme B». Il simbolo significa quindi "include" o"contiene" e il simbolo 6 "non include" o"non contiene". Nella figura troviamo la rappresentazione grafica degli insiemi considerati nell'esempio iniziale. Oltre ai sottoinsiemi propri eá possibile considerare anche due particolari sottoinsiemi di A:l'insieme vuoto e lo stesso insieme A di partenza. Questi due ultimi sottoinsiemi vengono definiti impropri. Si puoá quindi scrivere: A e A A. Se vogliamo indicare uno qualsiasi dei sottoinsiemi B di A (proprio o improprio) useremo il simbolo (contenuto o uguale) e scriveremo B A. Invece, se vogliamo indicare un qualsiasi sottoinsieme proprio di A useremo il simbolo (contenuto) e scriveremo B A. Attenzione a non confondere il simbolo di inclusione con il simbolo di appartenenza. Il primo si riferisce a sottoinsiemi, il secondo agli elementi di un insieme. I principali simboli delle relazioni tra insiemi: eá incluso 6 non eá incluso include 6 non include eá contenuto o uguale igura Consideriamo gli insiemi A ˆft; e; g; o; l; ag e B ˆfl; e; g; ag. Dalla rappresentazione degli insiemi con i diagrammi di Eulero- enn (figura 4) notiamo che tutti gli elementi dell'insieme B appartengono all'insieme A ma non eá vero il viceversa; possiamo quindi dire che B eá un sottoinsieme proprio di A e scriveremo B A. Consideriamo gli insiemi A ˆfx j x eá un numero pari compreso fra e 9g e B ˆfx j x eá un numero naturale compreso fra 0 e 0g. Poiche l'insieme A eá incluso nell'insieme B (figura ) possiamo affermare che A eá un sottoinsieme proprio di B e scrivere A B. igura 4 igura Un insieme A eá sottoinsieme proprio di B se: a. alcuni elementi di B appartengono ad A; b. tutti gli elementi di A appartengono a B ma non viceversa; c. non tutti gli elementi di B appartengono ad A; d. non tutti gli elementi di A appartengono a B.

15 Un insieme A eá sottoinsieme improprio di B se: a. qualche elemento di A appartiene a B; b. tutti gli elementi di A appartengono a B; c. l'insieme A eá vuoto; d. l'insieme B eá vuoto. Scrivi la simbologia relativa a ciascuna delle seguenti affermazioni: a. l'insieme A eá un sottoinsieme di B:... b. l'insieme A include l'insieme B:... c. l'insieme A non eá contenuto nell'insieme B:... d. l'insieme B non include l'insieme A:... Traduci in simboli matematici le seguenti frasi: a. l'insieme B eá un sottoinsieme proprio di A:... b. l'insieme A eá un sottoinsieme improprio di A:... c. l'insieme eá un sottoinsieme improprio di A:... 4 Intersezione e unione di insiemi esercizi pag. 4 Iniziamo questo paragrafo con una precisazione che formalizza un concetto che dovresti giaá conoscere:quello di operazione. Definizione. Si dice operazione binaria una generica legge che associa a due elementi generici a e b un terzo elemento c detto risultato dell'operazione. I termini a e b sono detti operandi o termini o fattori dell'operazione. In pratica le addizioni, le moltiplicazioni, le sottrazioni e le divisioni che giaá conosci e sai utilizzare sono operazioni binarie tra numeri. L'addizione di e 4, ad esempio, associa a questi due numeri in ingresso il numero 9 che eá il risultato dell'operazione. Definiamo ora alcune operazioni che si possono svolgere con gli insiemi. 4. L'intersezione I simboli delle operazioni tra insiemi: \ intersezione [ unione igura 6 Siano dati i due insiemi A ˆf; 0; ; 0g e B ˆf8; 0; 0g. Se ora consideriamo tutti gli elementi che appartengono contemporaneamente sia all'insieme A sia all'insieme B (cioeá gli elementi 0 e 0) riusciamo a costruire un nuovo insieme C ˆf0; 0g che eá detto intersezione degli insiemi A e B (figura 6). PiuÁ in generale possiamo affermare che: Definizione. Dati due insiemi A e B si dice intersezione di tali insiemi, l'insieme C formato dagli elementi che appartengono contemporaneamente ad A e B. In simboli si scrive: C ˆ A \ B Se due insiemi A e B non hanno alcun elemento in comune la loro intersezione eá l'insieme vuoto e si dice che A e B sono disgiunti. Disgiunto: staccato, separato; detto di due insiemi che non hanno elementi comuni. In simboli diremo che due insiemi sono disgiunti se A \ B ˆ. Siano dati gli insiemi A ˆfx j x eá una lettera della parola "mesi"g e B ˆfx j x eá una lettera della parola "vasi"g. Come si puoá facilmente osservare dalla rappresentazione con il diagramma di Eulero-enn (figura 7), la loro intersezione eá l'insieme C ˆfx j x eá una lettera della parola "si"g. igura 7

16 6 Siano dati gli insiemi A ˆft; e; s; o; r; ig e B ˆfo; r; ig. La loro intersezione coincide con l'insieme B ˆfo; r; ig. Come si puoá facilmente osservare dalla rappresentazione con il diagramma di Eulero-enn in questo caso A \ B ˆ B (figura 8). Se ne deduce allora che B A. igura 8 Siano dati gli insiemi A ˆfc; a; r; eg e B ˆfc; e; r; ag. Come possiamo osservare dalla figura 9, la loro intersezione eá A \ B ˆ A ma anche A \ B ˆ B; i due insiemi infatti sono formati dagli stessi elementi e quindi A \ B ˆ A ˆ B. igura 9 Siano dati gli insiemi A ˆfa; b; c; d; eg e B ˆff ; g; h; i; lg. Dalla rappresentazione con il diagramma di Eulero-enn (figura 0) possiamo notare che i due insiemi non hanno elementi in comune e sono pertanto disgiunti. La loro intersezione eá A \ B ˆ. igura 0 4. L'unione Esaminiamo nuovamente i due insiemi A e B del paragrafo precedente A ˆf; 0; ; 0g e B ˆf8; 0; 0g Se ora consideriamo tutti gli elementi che appartengono indifferentemente ad uno dei due insiemi (cioeá gli elementi, 8, 0,, 0) riusciamo a costruire un nuovo insieme C ˆf; 8; 0; ; 0g che eá detto unione degli insiemi A e B (figura ). PiuÁ in generale possiamo affermare che: igura Definizione. Dati due insiemi A e B si dice unione di tali insiemi quel nuovo insieme C formato dagli elementi che appartengono ad A oab, presi una sola volta, quando esistono elementi comuni. In simboli si scrive: C ˆ A [ B Siano dati gli insiemi A ˆf; ; ; 4; ; 6; 7g e B ˆf; 6; 7; 8; 9; 0g. Come si puoá facilmente osservare dalla rappresentazione grafica (figura ), la loro unione eá A [ B ˆ C ˆf; ; ; 4; ; 6; 7; 8; 9; 0g. Osserviamo che gli elementi, 6 e 7 che sono comuni ai due insiemi, vengono scritti una sola volta. igura

17 7 Siano dati gli insiemi A ˆfx j x eá una lettera della parola "amo"g e B ˆfx j x eá una lettera della parola "remo"g. La loro unione nella rappresentazione per elencazione eá A [ B ˆ C ˆfa, m, o, r, eg. Anche in questo caso osserviamo che i due elementi "o" e"m", che sono comuni ai due insiemi, vengono scritti una sola volta. Siano dati gli insiemi A ˆ fcane; gatto; lince; cavallo; tigreg e B ˆ forso; tigre; puma; cavallog. La loro unione eá A [ B ˆ C ˆfcane; gatto; lince; cavallo; tigre; orso; pumag. Anche in questo caso, gli elementi comuni ai due insiemi (cavallo e tigre) sono stati indicati una sola volta. Siano dati gli insiemi A ˆfa; b; c; d; e; f g e B ˆfg; h; i; l; m; ng. Dalla rappresentazione con il diagramma di Eulero-enn (figura ) si capisce che A e B sono disgiunti; la loro unione nella rappresentazione per elencazione eá l'insieme C ˆfa; b; c; d; e; f ; g; h; i; l; m; ng. igura Siano dati gli insiemi A ˆfl; i; b; r; og e B ˆfb; i; r; og. Dal diagramma di Eulero-enn (figura 4) si puoá osservare che, essendo B A, l'unione di A e B coincide con l'insieme A. In simboli A [ B ˆ A. igura 4 L'intersezione di due insiemi A e B eá l'insieme formato dagli elementi che appartengono: a. sia al primo sia al secondo insieme, ovvero dagli elementi comuni ai due insiemi; b. ad A oab ed anche dagli elementi comuni ad entrambi gli insiemi; c. ad A oab. L'unione di due insiemi A e B eá l'insieme formato dagli elementi che: a. appartengono o ad A oab; b. appartengono ad A o a B, quindi anche da quegli elementi che appartengono ad entrambi; c. appartengono contemporaneamente ai due insiemi A e B. Dati gli insiemi A ˆfa; n; g; e; l; og e B ˆfg; e; l; og, determina l'insieme intersezione e rappresentalo per elecanzione. Dati gli insiemi A ˆfc; a; m; i; n; og e B ˆfa; l; p; i; n; og, determina l'insieme unione e rappresentalo con un diagramma di Eulero-enn. Se l'insieme A eá un sottoinsieme proprio di B, quali delle seguenti scritture sono corrette? a. A [ B ˆ A; b. A \ B ˆ ; c. A [ B ˆ B; d. A \ B ˆ B; e. A \ B ˆ A; f. A [ B ˆ.

18 Intuitivamente, sappiamo tutti che cosa sono i numeri e cosa si intende quando diciamo che l'insieme dei numeri eá ordinato. Non c'eá bisogno di studiare per sapere che eá meglio avere E 000 piuttosto che E 000. I numeri sono un'entitaá astratta, non si legano cioeá a nessun oggetto particolare. Possiamo contare E 000 o 000 mele o 000 pecore: il numero eá sempre 000, percheâ la quantitaá di unitaá cui corrisponde eá sempre la stessa, ma cambia la natura delle unitaá. Il concetto di numero non ha quindi una definizione: eá un concetto intuitivo, primitivo. Questa astrattezza del numero eá un suo "punto di forza". Ancora oggi gli scienziati si chiedono quando l'uomo ha utilizzato per la prima volta i numeri per contare. La traccia piuá antica del concetto di numero e della sua rappresentazione simbolica risale a circa 0000 anni a.c. ed eá rappresentata da una doppia serie di tacche distribuite a gruppi di cinque su un osso di lupo, databile a quel periodo, ritrovato nella Repubblica Ceca.

19 7 Leggere e comprendere un testo 7 Possedere il concetto di quantitaá CONOSCENZE 7 I numeri naturali 7 I numeri decimali ABILITAÁ 7 Definire il valore relativo ed assoluto delle cifre di un numero 7 Confrontare due numeri 7 Scrivere la forma polinomiale di un numero ino a qualche tempo fa sembrava ovvio pensare che il concetto di numero fosse connaturato all'uomo. Nel 00 invece sulle rive del fiume Maici nella foresta amazzonica brasiliana si eá scoperta la tribuá dei Piraha. Questa popolazione ancor oggi non possiede tale concetto e riesce a contare fino a due. Quando raccolgono i frutti riescono a dire " frutto, frutti, molti frutti". Alcuni ricercatori hanno provato anche a vivere con i Piraha; i loro bambini giocavano insieme. La sorpresa eá stato accorgersi che la semplice conta di oggetti (che ciascuno di noi ha imparato a svolgere all'etaá di - anni) risulta culturalmente difficile, se non impossibile, per tutti gli abitanti di questa tribuá. Un altro ulteriore problema eá dato poi dal concetto di operazione che tratteremo dettagliatamente nel prossimo capitolo. Se, ad esempio, dobbiamo calcolare la somma delle mele contenute in due cesti, non eá necessario trasferirle tutte da un cesto all'altro o in un terzo recipiente. Possiamo utilizzare i numeri che corrispondono alla quantitaá di mele presenti in ciascun cesto e, per mezzo di una operazione numerica semplicissima (l'addizione), risolvere il problema. Iscrizione su osso datata 600 a.c. con numeri in cinese

20 0 Il sistema di numerazione decimale esercizi pag. 7 Iniziamo lo studio di questo capitolo precisando il significato dei termini che dovresti aver giaá studiato nella scuola primaria. Definizione. Un sistema di numerazione eá un insieme di simboli dotato di una o piuá regole con cui i simboli vengono raggruppati cosõáda poter rappresentare tutti i numeri. Il nostro sistema di numerazione viene detto decimale percheâ usiamo dieci simboli diversi per i primi dieci numeri e cominciamo a contare i numeri dallo zero. Le dieci cifre sono dunque: Per capire le regole del nostro sistema di numerazione costruiamo la seguente tabella che visualizza la procedura per mezzo della quale eá possibile determinare i numeri maggiori di 9: l dieci unitaá formano un elemento di ordine superiore, la decina (o unitaá del ordine); l l dieci decine formano un centinaio (o unitaá del ordine); dieci centinaia formano un migliaio (o unitaá del 4 ordine). In modo analogo, proseguendo con questo ragionamento otteniamo le unitaá del quinto, sesto... ordine. Centinaia di migliaia CLASSE MIGLIAIA Decine di migliaia CLASSE UNITA Á Migliaia Centinaia Decine UnitaÁ ORDINE I I III II I

21 Gli ordini si raggruppano a tre a tre a partire da destra in gruppi chiamati classi. La suddivisione in classi ci eá utile nella lettura di un numero. Pensiamo a come leggiamo il numero 640: raggruppiamo il numero in gruppi da a partire da destra verso sinistra (per separare le classi possiamo mettere un puntino o un piccolo spazio orizzontale) e leggiamo singolarmente questi gruppi specificandone la classe: milioni 64 mila e 0 unitaá. Riflettendo su alcune caratteristiche del nostro sistema di numerazione ci rendiamo conto che vengono utilizzati 0 simboli e che uno stesso simbolo esprime una quantitaá diversa in relazione alla sua posizione. Ad esempio, nel numero 4 il 4 occupa il posto delle unitaá; nel numero 4 il 4 occupa il posto delle decine ed esprime una quantitaá diversa rispetto al 4 del numero 4 (corrispondente infatti al numero 40). Osserviamo inoltre il ruolo decisivo del numero 0. Con l'introduzione del sistema posizionale questo simbolo consente di rappresentare l'assenza di unitaá. Infatti il numero espresso come 4 centinaia e unitaá non eá scritto come 4 ma come 40. Soprattutto in campo economico e finanziario, capita spesso di sentire parlare di numeri molto grandi con piuá di cifre. Come si legge per esempio il numero ? Dopo la classe dei miliardi (o bilioni) troviamo quella dei biliardi (o trilioni), pertanto il nostro numero si legge: cinquebiliardi ma spesso viene utilizzata la dicitura cinquemila miliardi. Definizione. Il nostro sistema di numerazione eá decimale (percheâ utilizza dieci simboli) e posizionale (in quanto il valore attribuito alle cifre che vengono usate per scrivere i numeri, dipende dalla posizione che esse occupano). Come possiamo facilmente intuire, quello in base dieci non eá l'unico sistema di numerazione possibile. Pensa ad esempio al termine «dozzina»: esso si riferisce a un sistema in base dodici in cui gli elementi sono raggruppati in gruppi di ; oppure al termine «paia» che si riferisce ad un sistema in cui i numeri sono raggruppati in gruppi di. Dire ad esempio che abbiamo due dozzine di uova o due paia di calzini significa considerare 4 uova o 4 calzini.. alore assoluto e valore relativo delle cifre Cerchiamo di definire meglio cosa intendiamo quando scriviamo un numero. Consideriamo, ad esempio, il numero 68 (figura ). n Il valore delle singole cifre eá uno, due, sei, otto e prende il nome di valore assoluto. n Il valore che le cifre assumono in base al sistema di numerazione decimale eá migliaio, centinaia, 6 decine, e 8 unitaá e prende il nome di valore relativo. igura. La scrittura polinomiale di un numero Consideriamo il numero ; il valore relativo delle sue cifre eá: Milioni 4 Centinaia di migliaia Decine di migliaia 7 Migliaia 8 Centinaia 9 Decine 0 UnitaÁ Abbiamo giaá detto che per leggere un numero bisogna scomporlo in gruppi di tre cifre (classi) a partire da destra verso sinistra mettendo un puntino oppure lasciando un breve spazio tra ogni gruppo di cifre; tale spazio prende il nome della classe relativa di sinistra. olendo dunque leggere il numero avremo: tremilioni quattrocentocinquantasettemila ottocentonovanta (UNITAÁ). Il nostro numero si puoá anche scrivere nel modo seguente: In questo volume l'operazione di moltiplicazione verraá indicata con un puntino. Scriveremo, ad esempio 4 e non 4

22 Milioni Centinaia di migliaia Decine di migliaia Questa scrittura prende il nome di scrittura polinomiale. Dobbiamo precisare che nella scrittura polinomiale di un numero eá indifferente considerare come primo addendo la cifra piuá a destra o quella delle unitaá. Migliaia Centinaia Decine UnitaÁ Scriviamo in forma polinomiale il numero 44. La scrittura polinomiale eá Scriviamo in forma polinomiale il numero 7 86 e verifichiamo l'esattezza della scrittura svolgendo le operazioni. La scrittura polinomiale eá Mettendo in colonna gli addendi otteniamo il calcolo scritto a lato ˆ 786 Qual eá l'unitaá del primo e del terzo ordine dei seguenti numeri? a. 678 ˆ) primo ordine ˆ ::::::::::; terzo ordine ˆ :::::::::: b ˆ) primo ordine ˆ ::::::::::; terzo ordine ˆ :::::::::: c. 900 ˆ) primo ordine ˆ ::::::::::; terzo ordine ˆ :::::::::: Il nostro sistema di numerazione eá detto: a. decimale percheâ...; b. posizionale percheâ... Definisci il valore relativo delle cifre dei seguenti numeri: a. 7; b. 49; c. 60; d. 980; e Scrivi i seguenti numeri in base alle cifre relative indicate: a. decine e 9 unitaá ˆ ::::::::::; b. 8 centinaia, decine e unitaá ˆ ::::::::::; c. 9 centinaia, 0 decine e 0 unitaá ˆ ::::::::::; d. 6 migliaia, 0 centinaia e 4 unitaá ˆ ::::::::::; e. decine di migliaia, 8 migliaia e 9 unitaá ˆ ::::::::::; f. centinaia di migliaia e centinaia ˆ :::::::::: Trasforma i seguenti numeri scritti in forma polinomiale nei corrispondenti numeri naturali. a ˆ ::::::::::; b ˆ :::::::::: ± a ˆ ::::::::::; b ˆ :::::::::: ² a ˆ ::::::::::; b ˆ :::::::::: L'insieme dei numeri naturali esercizi pag. 6 Consideriamo la successione dei numeri che abbiamo costruito nel precedente paragrafo: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9, 0,,...

23 La sua caratteristica eá di essere infinita poicheâ non eá mai possibile raggiungere un ultimo numero. Se infatti pensiamo ad un numero molto grande eá sempre possibile trovare il numero seguente aggiungendo al numero stesso. Possiamo dire che abbiamo costruito l'insieme infinito dei numeri naturali generalmente indicato con la lettera N. Per come eá stato costruito possiamo anche dire che: Definizione. Dato un numero naturale il numero che si ottiene aggiungendo si chiama consecutivo o successivo. Definizione. Ogni numero naturale (escluso lo zero) ha sempre un numero naturale che lo precede. Tale numero prende il nome di antecedente o precedente.. Il confronto di numeri naturali Consideriamo due numeri naturali, per esempio e 47; come eá facile capire, i due numeri esprimono quantitaá diverse cioeá: 6ˆ 47 e si legge: «eá diverso da 47». Se vogliamo essere ancora piuá precisi, occorre stabilire quale dei due numeri eá maggiore (o minore) dell'altro. Per poterlo determinare basta guardare quale dei due numeri possiede una cifra piuá significativa: l il numero ha la cifra piuá significativa nel posto delle decine l il numero 47 ha la cifra piuá significativa nel posto delle centinaia Possiamo quindi concludere che eá minore di 47 e scrivere < 47 oppure, allo stesso modo, possiamo dire che 47 eá maggiore di e scrivere 47 >. Per confrontare due numeri con lo stesso numero di cifre (stesso ordine) dobbiamo considerare la prima cifra significativa diversa. Ad esempio, i due numeri e sono dello stesso ordine e presentano le prime due cifre significative uguali. Confrontando la cifra delle decine, poicheâ <, possiamo dire che < (oppure > ). In base a questo principio possiamo disporre i numeri naturali ordinatamente, partendo dal piuá piccolo (ordine crescente) oppure partendo dal piuá grande (ordine decrescente). Ad esempio, la successione: l eá disposta in ORDINE CRESCENTE l eá disposta in ORDINE DECRESCENTE Per quanto detto possiamo enunciare la seguente: ProprietaÁ. L'insieme dei numeri naturali eá un insieme infinito e ordinato.. La rappresentazione grafica dei numeri naturali L'insieme dei numeri naturali puoá essere rappresentato graficamente nel seguente modo.. Consideriamo una semiretta di origine O.. Stabiliamo come unitaá di misura un segmento u, scelto a piacere, e riportiamo sulla semiretta, a partire da O, tanti segmenti che per convenzione hanno un verso di percorrenza da sinistra verso destra, OA, AB, BC, CD... tutti con la stessa lunghezza di u (figura a di pagina seguente). In un qualsiasi numero la cifra piuá significativa eá sempre la prima da sinistra che sia diversa da zero. I principali simboli della matematica < minore > maggiore Oltre ai simboli < e >, esistono anche e, che significano «minore o uguale» e «maggiore o uguale». Se scriviamo n < avremo n! 4,,,, 0 Se scriviamo m 7 avremo m! 7, 8, 9, 0,... Per indicare che un numero a eá compreso fra altri due numeri si utilizza la scrittura...< a <... cosõá, ad esempio, possiamo dire che < 7 < 0 e leggere «7 eá compreso fra e 0».

24 4. acciamo corrispondere al punto O il numero 0, al punto A il numero, al punto B il numero e cosõá via per tutti i punti (figura b). igura a. b. Immagine: in matematica eá qualcosa a cui corrisponde direttamente qualcos'altro. Ad esempio il punto di una retta o di una semiretta a cui corrisponde un numero. I punti O, A, B, C, D,... sono denominati immagini, rispettivamente, dei numeri 0,,,, 4,... La rappresentazione dei numeri naturali ci permette di definire la seguente: ProprietaÁ. Ogni numero naturale eá minore di tutti i numeri naturali che lo seguono ed eá maggiore di tutti i numeri naturali che lo precedono. Completa il seguente esercizio inserendo in modo opportuno i simboli > (maggiore) o < (minore): a ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h ; i Scrivi due numeri naturali compresi tra le seguenti coppie di numeri: a. 0 <... <... < 0; b. 6 <... <... < 8; c. <... <... < 7; d. 0 <... <... < 00. Indica quale delle seguenti affermazioni eá sbagliata: a. ogni numero naturale eá maggiore di tutti i numeri naturali che lo seguono; b. ogni numero naturale eá maggiore di tutti i numeri naturali che lo precedono; c. ogni numero naturale eá minore di tutti i numeri naturali che lo seguono. I numeri decimali esercizi pag. 64 Nei precedenti paragrafi abbiamo studiato i numeri naturali e abbiamo visto come si costruiscono a partire dall'unitaá. Consideriamo ora una unitaá del primo ordine e dividiamola in 0 parti uguali. Abbiamo ottenuto i decimi. Analogamente se dividiamo questi ultimi in ulteriori dieci parti otteniamo i centesimi. Continuando con lo stesso procedimento otteniamo i millesimi, i decimillesimi... Pertanto: Definizione. Un decimo (0,), un centesimo (0,0), un millesimo (0,00), ecc. vengono definiti unitaá decimali, rispettivamente di primo, secondo, terzo ordine, ecc. In un numero decimale dobbiamo distinguere subito la parte intera e la parte decimale. Per rendere piuá facile la scrittura di un numero decimale, le unitaá

25 decimali si scrivono alla destra della parte intera separate da questa mediante una virgola. Ad esempio, nel numero decimale,4 si ha che: eá la parte intera 4 eá la parte decimale Il valore relativo delle cifre del numero,4 eá il seguente:, 4 due decine tre unitaá cinque decimi quattro centesimi Un numero decimale si legge partendo dalla parte intera cui fa seguito la parte decimale che prende il nome dall'unitaá decimale dell'ultima cifra: ventitre e cinquantaquattro centesimi. Per come sono stati costruiti i numeri decimali possiamo dare la seguente: Regola. Il valore di un numero decimale rimane invariato se alla destra della sua ultima cifra decimale si aggiunge un numero qualsiasi di zeri. Ad esempio:,4 ˆ,40 ˆ,400 ˆ,4000 ˆ ::::::::::::::::::::::::::::: L'osservazione precedente ci porta a dire che: Regola. Possiamo pareggiare il numero di cifre decimali di due numeri decimali inserendo, dopo l'ultima cifra decimale, degli zeri. Ad esempio: 4,87,0,67 # # # 4,87,00 0,670 Regola. Un numero naturale puoá essere considerato come un numero decimale con una parte decimale formata da zeri. Ad esempio: 76 ˆ 76,0 ˆ 76,00 ˆ 76,000 ˆ :::::::::::::::::::::::::::::: Queste considerazioni si rivelano particolarmente utili quando occorre eseguire operazioni in colonna. Ogni numero naturale eá anche un numero decimale (con la parte decimale uguale a zero) mentre un numero decimale non eá, in generale, un numero naturale.. La rappresentazione grafica dei numeri decimali CosõÁ come abbiamo fatto per i numeri naturali eá possibile rappresentare su una semiretta orientata anche i numeri decimali. Consideriamo il segmento unitario OA della semiretta r e dividiamolo in 0 parti uguali (per facilitare la comprensione nella figura abbiamo considerato il segmento unitario OA lungo 0 cm). Continuando a dividere lo stesso segmento unitario in cento, mille,... parti uguali, ciascuna parte risulta rispettivamente un centesimo, un millesimo... del segmento OA. igura CosõÁ, se vogliamo rappresentare il numero decimale,7 sulla semiretta orientata, dobbiamo inizialmente suddividere il numero nella sua parte intera () e nella sua parte decimale (7). Per stabilire il punto immagine di,7 dobbiamo spostarci sulla semiretta di (corrisponde a rappresentare la parte intera) e proce-