Il Teorema di Commandino

Transcript

1 Il Teorema di Commandino Flaviano Battelli Dipartimento di Scienze Matematiche Università Politecnica delle Marche Ancona Siano v,..., v n n vettori indipendenti (ossia una base) di R n. Si dice simplesso di vertici v,..., v n (o ipertetraedro) il sottinsieme T {v R n v x v +...+x n v n, con x i per ogni i,..., n e x +...+x n }. Chiamiamo faccia dell ipertetraedro l ipertetraedro in dimensione n : T i {v R n v x v +... x n v n, con, x x n, x i } {v R n v x v x i v i + x i+ v i x n v n, con x j, x +... ˆx i +... x n } (qui e nel seguito ˆx i significa che la variabile x i è omessa). Diciamo mediana dell ipertetraedro ogni segmento di retta che congiunge un vertice v i o O (,..., ) con il baricentro della faccia opposta. Si ha il seguente Teorema (di Commandino). Il baricentro dell ipertetraedro appartiene alle mediane e le divide in parti che stanno fra loro nel rapporto : n. Alla dimostrazione premettiamo due risultati. Lemma. Siano L : R n R n un applicazione lineare invertibile e V R n un insieme misurabile di misura positiva. Sia b R n un vettore e Φ(x) Lx + b. Indichiamo con G V e G Φ(V ) i baricentri di V a Φ(V ) rispettivamente. Allora si ha G Φ(V ) Φ(G V ).

2 Dimostrazione. Indichiamo con x i la i esima componente di G L(V ) e con x i quella di G V. Si ha, grazie alla formula di integrazione per sostituzione: Φ(V ) x i u idu du n Φ(V du [Lv + b] V i detl dv dv n ) du n V detl dv [Lv] V idv dv n dv n V dv + b i dv n essendo [Lv] i la i esima componente di Lv. Scrivendo [Lv] i a i v +... a in v n otteniamo: x i n j a ij V v jdv dv n V dv dv n + b i n a ij x j + b i [Φ(G V )] i j ossia G Φ(V ) Φ(G V ). Q.E.D. Corollario. Siano V R n un insieme misurabile di misura positiva e ϕ : R n R n una funzione come nel Lemma tale che ϕ(v ) V. Indicando con G V si ha ϕ(g V ) G V. Dimostrazione. Dal Lemma precedente si ottiene: G V G ϕ(v ) ϕ(g V ). il baricentro di V Q.E.D. Torniamo ora all oggetto di questa nota. Il simplesso n dimensionale è l ipertetraedro i cui vertici sono in vettori della base canonica, ossia: S n {x (x,..., x n ) x i per ogni i,..., n e x x n }. Proviamo che ) Vol(S n ) n!. ) Indicando con G il baricentro di S n si ha G ( n+,... n+).

3 3 3) La mediana della i esima faccia (ossia la retta che congiunge il vertice V i al baricentro della i esima faccia opposta a V i ) ha equazione x i nx j, j i se V i O mentre la mediana della faccia opposta al vertice O: {x (x,..., x n ) x i per ogni i,..., n e x x n } ha equazione: x x... x n. 4) G appartiene a tutte le mediane del simplesso e le divide in parti che stanno fra loro come e n (versione preliminare del Teorema di Commandino). Cominciamo col provare ) procedendo per induzione. Si ha: S [, ] e S è il triangolo rettangolo T di vertici (, ), (, ) e (, ). Quindi V (S ) misura([, ]) e V (S ) area(t ). In generale avremo, dalle formule di riduzione: [ ] V (S n ) dx dx n dx dxi ˆ dx n dx i () S n es n dove ˆ dx i significa che dx i è omesso e S n {(x,... ˆx i... x n ) x i e x +... ˆx i... + x n x i }. Per j i poniamo ξ j x j. x i Dalla formula di integrazione per sostituzione e per l ipotesi di induzione si ottiene: es n dx ˆ dxi dx n e sostituendo nella () V (S n ) ( x i ) n dξ dξ ˆ i dξ n ( x i) n S n (n )! ( x i ) n (n )! dx ( x i) n x n! x. Procedendo come sopra si ha: [ ] x i dx dx n x i dx dxi ˆ dx n dx i S n [ S e n ] ( x i ) n dx i ( x i ) n dx i (n )! (n )! n!. ( x i ) n x i dx i [ (n )! n ] n + (n + )!

4 4 quindi: x G i n! (n + )! n Si ha V i e i (,...,,,,..., ) dove si trova nella i esima posizione. La faccia opposta a V i è S (i) n {(x,... ˆx i... x n ) x i e x +... ˆx i... + x n } (intersezione di S n con l iperpiano x i ). Dalla parte precedente il baricentro di S n, (i) visto come punto di R n è G (i) ( e j n n,... n,, n,..., ) n j i dove si trova nella i esima posizione. La retta per V i e G (i) ha quindi equazione: x j n x i, j i, ossia nx j x i per ogni j i. Consideriamo adesso il baricentro della faccia opposta a O: S n {x (x,..., x n ) x i per ogni i,..., n e x x n } ove si considera S n contenuto nell iperpiano affine V {x (x,..., x n ) x +...+x n }. Dato che S n è invariante sotto ogni permutazione degli indici,..., n (ossia se σ : {,..., n} {,..., n} è una biiezione si ha S n {x (x,..., x n ) x σ(i) per ogni i,..., n e x σ() x σ(n) }) il baricentro di S n appartiene alla retta x x... x n (si applichi il Corollario alla trasformazione invertibile ϕ(x,..., x n ) (x σ(),..., x σ(n) )) e quindi: dove e (,..., ) R n. G () n e L applicazione del Corollario è impropria in quanto S n ha misura n dimensionale nulla. Tuttavia questa sembra essere una giustificazione semplice del fatto che G () ne. Una dimostrazione corretta di questa eguaglianza presuppone il concetto di integrale su una sottovarietà di R n, argomento sul quale, per brevità, preferiamo soprassedere.

5 n 4. Dato che si vede subito che G appartiene a tutte le mediane del n+ n+ simplesso. Inoltre, dai punti precedenti, otteniamo: V i G (n ) (n + ) + ( ) (n + ) (n ) + n (n + ) 5 e GG (i) (n ) ( n ) + n + (n + ) n + n n(n + ) e quindi V i G ngg (i). Inoltre GG n ( n ) n + n(n + ) e OG n (n + ) ngg. Possiamo ora dare la seguente Dimostrazione del Teorema di Commandino. Sia L : R n R n l applicazione lineare definita da Le i v i. Dato che {v,..., v n } formano una base L è invertibile e si ha T n L(S n ). Dal Lemma otteniamo subito (scriviamo T ed S in luogo di T n ed S n ): G T L(G S ) () ed anche (applicando il Lemma alla restrizione di L agli iperspazi contenenti le facce di S) G T i L(G S i ) (3) Dato che L è lineare dalle (), (3) segue subito che le mediane di T sono le immagini delle mediane di S. Dalla () segue anche che G T appartiene alle mediane di T. Consideriamo i vettori V i G T e G T G T i. Dato che G T appartiene al segmento V i G T i essi sono proporzionali ossia esiste λ R tale che V i G T λg T G T i, ossia, in virtù della linearità di L: L(V s i G S λg S G S i )

6 6 (qui Vi s e S i sono l iesimo vertice e la i-esima faccia del simplesso S n ). Dato che L è invertibile avremo: V s i G S λg S G S i e quindi λ ±n per quanto dimostrato nel punto 4). Pertanto: V S i G S n G S G S i. Ciò conclude la dimostrazione del teorema. Q.E.D.