Dipartimento di Ingegneria Anno Accademico 2017/18 Registro lezioni del docente FOSCHI DAMIANO

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1 Dipartimento di Ingegneria Anno Accademico 2017/18 Registro lezioni del docente FOSCHI DAMIANO Attività didattica ANALISI MATEMATICA I.A [64396] - INGEGNERIA ELETTRONICA E INFORMATICA [1328] Classe L-8 Periodo di svolgimento: Primo semestre (primi anni) Docente titolare del corso: FOSCHI DAMIANO matr Altri docenti del corso: BIASI MARTA matr Riepilogo registro docente: FOSCHI DAMIANO matr Docente interno - Professori Associati Stato registro docente: Bozza Ore inserite: 60 ore Ore previste dall'offerta didattica: 60 ore Gruppi di studenti con i quali è stata svolta l'attività - ore per gruppo - prevista per tutti gli studenti (senza gruppi associati) - 60 ore Ore inserite per tipologia di attività 60 ore lezione : - prevista per tutti gli studenti (senza gruppi associati) - 60 ore Firma del docente: Data: VISTO: IL DIRETTORE DI DIPARTIMENTO Pagina 1 di 10

2 Dettaglio delle attività svolte: ANALISI MATEMATICA I.A [64396] - INGEGNERIA ELETTRONICA E INFORMATICA [1328] Classe L-8 19/09/ lezione - Numeri Naturali. Principio di Induzione. Assiomi di Campo Ordinato. Numeri Naturali. Funzione "Successivo". Principio di Induzione. Operazioni con i numeri naturali. n<2^n. Somma dei primi n numeri naturali dispari. Assiomi di Campo numerico ordinato. Proprietà algebriche di somma, prodotto e della relazione d'ordine. Regole di semplificazione. Leggi dell'annullamento del prodotto. 20/09/ lezione - Sommatorie. Progressioni. Definizione ed esempi di sommatorie. Proprietà di linearità. Manipolazione degli indici. Progressioni aritmetiche. Formula per il termine generale. Somma dei primi n numeri naturali. Somma di n termini di una progressione aritmetica. Progressioni geometriche. Formula per il termine generale. Somma di n termini di una progressione geometrica. Somme telescopiche. Somme di Mengoli. Somma dei quadrati dei primi n numeri naturali. 26/09/ lezione - Numeri reali. Allineamenti decimali. Proprietà di completezza. Estremo superiore. La radice quadrata di 2 non è un numero razionale. Approssimazioni decimali per difetto e per eccesso della radice quadrata di 2. Numeri reali come punti della retta euclidea, oppure come allineamenti decimali. I numeri razionali coincidono con gli allineamenti decimali periodici. O.9periodico = 1. Principio di completezza di R (esistenza dell'elemento separatore). L'insieme dei numeri razionali non è completo. Retta reale estesa. Simboli di +infinito e -infinito. Intervalli di R. Maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore di un insieme. Insiemi (superiormente/inferiormente) limitati. Principio di completezza di R (esistenza dell'estremo superiore). Pagina 2 di 10

3 27/09/ lezione - Estremo superiore, esempi ed esercizi. Coefficienti binomiali e potenza del binomio. Numero di Nepero. Caratterizzazione dell'estremo superiore. Insieme dei maggioranti di un sottoinsieme di R. Esercizi sulla determinazione degli estremi inferiori e superiori di alcuni insiemi. Fattoriale di un numero naturale. Permutazioni, disposizioni, combinazioni. Potenze di un binomio, coefficienti binomiali, formula di Newton, triangolo di Tartaglia. Numeri dell'usuraio, (1 + 1/n)^n, sono tutti maggiorati da 3. Numero di Nepero = sup (1 + 1/n)^n. Disuguaglianza di Bernoulli. 03/10/ lezione - Radici ennesime, potenze ad esponente reale, logaritmi, media aritmetica e media geometrica Teorema dell'esistenza delle radici ennesime in campo reale (con dimostrazione). Definizione di potenze con esponente, intero, razionale e irrazionale. Legge esponenziale e proprietà di monotonia degli esponenziali. Definizione e proprietà dei logaritmi. Teorema: la media geometrica di n numeri positivi non tutti coincidenti è sempre minore della loro media aritmetica. 04/10/ lezione - Funzioni, concetti di base. Definizione di funzione, dominio, codominio, immagine, controimmagine, grafico. Funzione iniettiva, suriettiva, biettiva. Restrizioni e prolungamenti. Dominio naturale di una funzione numerica. Funzioni composte, dominio naturale della funzione composta. Funzione identità. Funzioni invertibili e funzioni inverse. Invertibilità delle funzioni iniettive. Grafico della funzione inversa. Pagina 3 di 10

4 10/10/ lezione - Funzioni a valori reali. Funzioni numeriche a valori reali. Funzioni (superiormente/inferiormente) limitate. Estremo superiore/inferiore di una funzione. Massimo/minimo di una funzione. Punti di massimo/minimo, valori massimo/ minimo. Somma, prodotto, quoziente e potenza di due funzioni. Massimo e minimo di due funzioni. Funzioni a valori reali di una variabile reale. Corda tra due punti del grafico. Pendenza, o rapporto incrementale, tra due punti del grafico. Funzioni monotone, sono quelle in cui la endenza n on cambia mai segno. Funzioni strettamente crescenti, strettamente decrescenti, non decrescenti, non crescenti. Le funzioni strettamente monotone sono iniettive e dunque invertibili. Formula per la pendenza di funzioni composte. La composizione di due funzioni monotone è ancora una funzione monotona. Funzioni convesse e funzioni concave. Proprietà di monotonia dei rapporti incrementali per funzioni convesse e concave. Domini simmetrici rispetto all'origine, funzioni pari e dispari. Decomposizione di una funzione come somma di una funzione pari e una funzione dispari. Funzioni numeriche elementari. Funzione identità y=x. Funzione valore assoluto: y= x =max{x,-x}. Disuguaglianza triangolare. Funzione parte positiva: y = (x)_+=max{x,0}. Funzione parte negativa: y = (x)_-=max{0,-x}. (x)_+ + (x)_- = x, (x)_+ - (x)_- = x. 11/10/ lezione - Funzioni numeriche elementari Funzioni potenza ad esponente intero e loro inverse. Funzioni potenza ad esponente reale e loro inverse. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Esercizio su disequazioni esponenziali. Definizione delle funzioni trigonometriche e loro proprietà principali. Formule di addizione per coseno e seno. Grafico delle funzioni coseno e arcocoseno. (Il caso di seno e arcoseno lasciato per esercizio) Grafico delle funzioni tangente e arcotangente. Pagina 4 di 10

5 17/10/ lezione - Funzioni iperboliche e loro inverse. Manipolazioni di grafici tramite trasformazioni elementari Definizione delle funzioni iperboliche. Formule e grafici del coseno iperbolico e della sua inversa settore coseno iperbolico (in classe). Formule e grafici del seno iperbolico e della sua inversa settore seno iperbolico (per esercizio a casa). Formule e grafici della tangente iperbolica (in classe) e della sua inversa settore tangente iperbolica (esercizio per casa). Grafici di alcune funzioni speciali: funzione gradino di Heaviside, funzione segno, funzione parte intera, funzione mantissa. Manipolazione di grafici tramite trasformazioni elementari. Traslazioni, omotetie, inversioni, valore assoluto applicate rispetto alla variabile indipendente, oppure rispetto alla variabile dipendente. Esercizi su manipolazione di grafici. 18/10/ lezione - Proprietà metriche e topologiche di R^n Lo spazio vettoriale R^n. Prodotto scalare di due vettori di R^n e sue proprietà. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma euclidea di u vettore di R^n. Disuguaglianza triangolare. Distanza euclidea tra due punti di R^n. Palla aperta di centro p in R^n e raggio r>0. Inclusione e intersezione tra palle di R^n. Elementi di topologia: punti interni, punti esterni, punti di frontiera, punti aderenti; intorni di un punto; apertura, chiusura, frontiera di un insieme; insieme aperto, insieme chiuso. Punti isolati e punti di accumulazione. Se p è di accumulazione per E significa che posso avvicinarmi quanto voglio a p muovendomi dentro ad E senza toccare p. Proprietà valide localmente. Proprietà valide definitivamente. Pagina 5 di 10

6 24/10/ lezione - Definizione di limite Definizione di limite tramite intorni. Definizione di limite con epsilon e delta. Verifica di un limite tramite definizione. Intorni di infinito. Limiti per x che tende a infinito. Limiti con valore infinito. Limiti destri, sinistri, da sopra e da sotto. Limite della restrizione. Gli intorni separano punti distinti. Unicità del limite. Successioni e limite di una successione. 25/10/ lezione - Definizione di continuità in un punto. Proprietà di confronto per i limiti. Limiti di funzioni monotone. Cosa succede se nella definizione di limite si include anche la valutazione della funzione nel punto in cui si fa il limite? Definizione di funzione continua in un punto del suo dominio. Una funzione è sempre continua nei punti isolati del suo dominio. In un punto di accumulazione del dominio una funzione è continua se e solo se il valore della funzione coincide con il valore del limite. Confronto tra funzioni a valori reali e loro limiti: se f(x) <= g(x) definitivamente allora lim f <= lim g; se lim f < lim g allora f(x) < g(x) definitivamente. Teorema del confronto a sandwich: f <= g <= h definitivamente e lim f = lim h = l implica che lim g = l. Limiti di funzioni monotone: i limiti destri o sinistri di funzioni monotone esistono sempre e coincidono con sup o inf dei valori a destra o sinistra. La successione (1 + 1/n)^n è strettamente crescente e il suo limite coincide con il numero di Nepero e. 07/11/ lezione - Infinitesimi, relazioni asintotiche. Proprietà algebriche dei limiti. Definizione di infinitesimi e infiniti. Definizione di equivalenza asintotica e relazione di o-piccolo di Landau. Infinitesimi e infiniti di ordine n. Gerarchia tra infinitesimi e infiniti. Proprietà algebriche degli infinitesimi. Proprietà algebriche dei limiti finiti. Forme determinate e forme indeterminate nel calcolo dei limiti. Pagina 6 di 10

7 08/11/ lezione - Limiti di funzioni composte. Continuità delle funzioni elementari. Limiti di funzioni razionali per x che tende a infinito. Limiti di funzioni composte: controesempio patologico. Condizioni sufficienti per far funzionare bene i limiti di funzioni composte. La composizione di funzioni continue è ancora una funzione continua. Metodo di sostituzione nel calcolo dei limiti. Limite di sqrt[n](b) = 1. Continuità delle funzioni esponenziali, logaritmiche e di tipo potenza. Continuità delle funzioni trigonometriche. Limiti notevoli delle funzioni trigonometriche. 14/11/ lezione - Limiti notevoli. Confronti tra potenze, esponenziali e logaritmi. Limiti notevoli associati al numero e. Limiti notevoli di logaritmi, esponenziali e potenze. Comportamento asintotico delle funzioni elementari. Esercizi sui limiti notevoli. Equivalenze asintotiche si comportano bene con prodotti e rapporti. Equivalenze asintotiche possono avere dei problemi con somme quando si cancellano i termini principali. Limite di n/4^n = 0. Limiti di confronto tra potenze ed esponenziali (a lezione) e tra logaritmi e potenze (esercizio per casa). 15/11/ lezione - Punti di discontinuità. Teorema di Weierstrass. Teorema dello zero. Esercizi di calcolo di limiti. Classificazione dei punti di discontinuità: discontinuità eliminabili, discontinuità di tipo salto, discontinuità di seconda specie. Successioni e sottosuccessioni. Insiemi sequenzialmente compatti. Caratterizzazione dei compatti di R^n: un sottoinsieme di R^n è compatto se solo se è chiuso e limitato. Teorema di Weierstrass: una funzione continua a valori reali e definita su un compatto ammette massimo e minimo. Teorema dello zero: una funzione continua a valori reali definita su un intervallo se assume valori di segno discorde allora si annulla in almeno un punto. Pagina 7 di 10

8 21/11/ lezione - Teorema dei valori intermedi. Retta tangente. Derivata in un punto. Calcolo di un valore approssimato di sqrt(2) tramite il metodo di bisezione. Teorema dei valori intermedi. L'immagine tramite una funzione continua di un intervallo è ancora un intervallo. Se una funzione è definita su un intervallo, è continua ed è invertibile allora è strettamente monotona e la sua inversa è continua. La retta tangente al grafico di una funzione y=f(x) nel punto (p, f(p)) è la retta che meglio approssima la funzione per x che tende p, nel senso che l'errore di approssimazione è un infinitesimo di ordine superiore a 1 (approssimazione del primo ordine). Il coefficiente della retta tangente coincide con il limite del rapporto incrementale. Equazione della retta tangente. Modi equivalenti di specificare che m = f'(p). Esempio: calcolo della derivata di y = x^2. 22/11/ lezione - Proprietà e regole di calcolo delle derivate. Derivabilità implica continuità. La derivazione è un'operazione lineare. Regola di Leibniz per la derivata del prodotto. Formula per la derivata di funzioni composte. Formula per la derivata di funzioni inverse. Derivate di potenze, esponenziali e logaritmi. Derivata delle funzioni trigonometriche e delle loro inverse. 28/11/ lezione - Punti di non derivabilità. Punti critici. Teorema di Lagrange. Studio della derivata prima. Esercizio sulla determinazione di rette tangenti. Derivate destre e sinistre. Punti a tangenti verticale, punti di cuspide, punti angolosi. Teorema di Fermat: se f è definita su un intervallo I, p punto di max/min locale, p interno ad I e f derivabile in p allora p è punto critico. Teorema di Rolle: se f è continua su [a,b] e derivabile su ]a,b[ con f(a)=f(b) allora esiste un punto critico in ]a, b[. Teorema di Lagrange: se f è continua su [a,b] e derivabile su ]a,b[ allora esiste un punto c in ]a,b[ in cui si ha f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a). Il segno della derivata prima determina le proprietà di monotonia di f. Problemi di ottimizzazione: il problema del bagnino. Pagina 8 di 10

9 29/11/ lezione - Problemi di ottimizzazione. Studio della derivata seconda. Funzioni convesse. Risoluzione del problema del bagnino. Derivata nulla su un intervallo implica funzione costante. Funzioni convesse ammettono sempre derivate destre e sinistre in ogni punto interno. Funzioni convesse sono continue nei punti interni. Una funzione derivabile è convessa se e solo se la derivata è non decrescente. Una funzione derivabile è convessa se e solo se il suo grafico sta sopra le sue rette tangenti. Una funzione due volte derivabile è convessa se e solo la sua derivata seconda è non negativa. Punti di flesso. 05/12/ lezione - Studio del grafico di una funzione. Regola di De L'Hopital Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Studio del grafico di (1 + 1/x)^x. Teorema di Cauchy. Limiti di forme indeterminate del tipo 0/0 nel caso di funzioni derivabili nel punto del limite. Regola di De L'Hopital (enunciato). Esempi e controesempi relativi alla regola di De L'Hopital. 06/12/ lezione - Approssimazione locale di ordine n. Studio di disequazioni tramite limiti e derivate. Dimostrazione della regola di De L'Hopital nel caso 0/0. Approssimazione locale di ordine n. Teorema di caratterizzazione dell'approssimazione locale per funzioni derivabili. Derivate di polinomi. Il Polinomio di McLaurin di ordine n è l'unico polinomio di grado minore o uguale ad n che approssima localmente una funzione all'ordine n per x->0. Approssimazione di Taylor: un polinomio T(x) approssima una funzione f(x) (derivabile n volte) all'ordine n per x->p se e solo T(x) è il polinomio di Taylor di f di ordine n relativo al punto p. Calcolo del polinomio di Taylor di funzioni elementari. Derivata del polinomio di Taylor coincide con polinomio di Taylor della derivata. Pagina 9 di 10

10 12/12/ lezione - Calcolo di limiti tramite approssimazioni di Taylor Resto dell'approssimazione di Taylor nella forma di Peano. Polinomio di Taylor di funzioni composte. Algebra e calcolo con termini di tipo o-piccolo. Limiti di forme indeterminate calcolate tramite approssimazioni di Taylor. Calcolo di valori di derivate in un punto conoscendo l'approssimazione di Taylor in quel punto. Teorema del resto nella forma di Lagrange. Stima del resto nella forma di Lagrange. 13/12/ lezione - Approssimazione di funzioni e stima dell'errore. Esercizi di calcolo di valori approssimati di alcune funzioni utilizzando l'approssimazione di Taylor: calcolo a mano del numero di Nepero "e", e della radice quadrata di 2, fino alla quarta cifra decimale, con stima dell'errore nella forma di Lagrange. Schemi numerici alle differenze finite per approssimare derivate. Metodo delle tangenti di Newton per l'approssimazione di zeri di una funzione con derivate prima e seconda che non cambiano segno. Stima a posteriori della rapidità di convergenza del metodo di Newton. Pagina 10 di 10