2. Applichiamo il primo principio al sistema considerato, nella forma in cui figura il lavoro eseguito dal sistema: E Q L

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1 apitolo Soluzioni. pplichiamo il primo principio al sistema considerato, nella orma in cui igura il lavoro eseguito dal sistema: Q L dai dati del problema risulta 800J 0J 0J quindi l energia erna aumenta. L 0 J e Q 800J. Sostituendo:. pplichiamo il primo principio al sistema considerato, nella orma in cui igura il lavoro eseguito dal sistema: Q L dai dati del problema risulta Q 700J e 0J. Sostituendo: 0J 700J L L 700J 0J 80J. pplichiamo il primo principio al sistema considerato, nella orma in cui igura il lavoro eseguito dall ambiente esterno sul sistema: Q L dai dati del problema risulta 80J ed L 0J e. Sostituendo: 80J Q 0J Q 80J 0J 60J quindi il calore, negativo, è uscente dal sistema.. pplichiamo il primo principio al sistema considerato, nella orma in cui igura il lavoro eseguito dal sistema: Q L dai dati del problema risulta 00J 00J 600J Q 00 J e L 00J. Sostituendo: 6. onsideriamo il sistema ormato dal solo blocco, il primo principio si scrive: L Q esprimiamo il valore del calore in joule, negativo in quanto ceduto dal sistema: Q 0.0 cal (0.0.86) J 67 J e potendo trascurare le dilatazioni la variazione di energia erna si scrive: mc dalla tabella leggiamo per l ottone c 8J /kg K, sostituendo si ha:

2 00 67 mc 00 J 67 J J.7 K.08 F.0 7. onsideriamo il sistema ormato dal solo blocco, il primo principio si scrive ponendo nulle sia la variazione di energia potenziale gravitazionale (la quota non cambia) sia quella di energia erna (la temperatura non cambia): K U L Q sul blocco compiono lavoro dall esterno la orza F e l attrito, mentre esso cede energia Q per calore. ( m v 0) F s cos.0 L Q attrito bbiamo che il lavoro dell attrito è resistente, cioè negativo, L 70.0J : attrito ( )J ( cos.0 )J 70.0 J Q Q.6 J v 8. onsideriamo il sistema ormato dal solo blocco, il primo principio si scrive ponendo nulle sia la variazione di energia potenziale gravitazionale (la quota non cambia) sia il traserimento per calore: d K U L Q sul blocco compie lavoro dall esterno solo l attrito, mentre possiamo scrivere la variazione di energia erna come (0 m v ) mc Lattrito mc : Sostituendo i valori (in tabella leggiamo per il legno c 76J /kgk ): L ( )J 70.0 J attrito 9. Innalzare la temperatura di una massa di acqua trascurando la dispersione di calore e la dilatazione termica signiica aumentare la sua energia erna di: mc ( )J.7 0 J Indicato con t il tempo di unzionamento del motore, abbiamo che esso eroga energia t, da cui risulta:.7 0 J t.7 0 J t 8. s 00 W m v m h 0. er il sistema composto dal blocco, dalla lastra inclinata e dal pianeta erra, il primo principio si scrive tenendo conto che la variazione di energia potenziale gravitazionale e la variazione di energia cinetica riguardano la sola parte mobile, cioè il blocchetto, mentre la variazione di energia erna riguarda blocco e lastra insieme. È inoltre nullo, in base al testo, il calore scambiato con l ambiente, e nessuna orza compie lavoro dall esterno sul sistema stesso (l attrito è tutto erno): K U L Q grav Sostituendo: (0 m v ) ( m gh 0) 0 m v m gh ( )J 6. J e potendo trascurare le dilatazioni la variazione di energia erna si scrive: ( m m ) c dalla tabella leggiamo per il rame c 86J /kg K, sostituendo si ha:

3 6. ( m m ) c 6. J J.86 0 ( ) 86 K. er ar salire la temperatura dell incudine e del martello di.00, trascurando il lavoro di dilatazione termica, è necessario incrementarne l energia erna di: mc [(.0.00) 8.0]J.8 0 J dove 8 J /kgk è il calore speciico del erro in tabella. pplicando il primo principio della termodinamica si ottiene il calore ceduto all ambiente: Q L.80 J Q 000 J Q (.00.8) 0 J 0 J. pplichiamo il primo principio nella orma estesa, comprendente anche le variazioni di energia sulla scala degli oggetti. Risultano nulli sia il lavoro esterno, in quanto le orze di attrito che agiscono sui dischi renanti sono erne, sia lo scambio di calore, sia la variazione di energia potenziale gravitazionale (dato che tutto si svolge in piano): K U L Q K M v 0 ( 00.0 )J.0 J Nell ipotesi che tutta la variazione di energia erna si ritrovi in un aumento di temperatura:.0 mc J 6.0 mc 00 La temperatura inale risulta allora t La variazione di energia erna riguarda la sola miscela di acqua e ghiaccio e può essere calcolata applicando solo ad essa il primo principio, e ricordando che per ondere una massa m di ghiaccio occorre un energia lavoro non a dierenza: ( )J.68 0 J Q L ml ml, ornita per calore o per onsideriamo ora il sistema ormato dal dispositivo e dal pianeta erra. Dal primo principio della termodinamica nella orma estesa, comprendente anche le variazioni di energia sulla scala degli oggetti, abbiamo nulli sia il lavoro scambiato con l esterno sia il calore: K U L Q ( M v 0) (0 Mgh) 0 Sostituendo:.68 0 v gh m/s.0 m/s M 0.0. La variazione di energia erna riguarda la sola acqua e può essere calcolata applicando ad essa il primo principio. er innalzare di la temperatura di una massa d acqua occorre un energia mc, ornita per calore o per lavoro non a dierenza: Q L mc mc ( ) onsideriamo ora il sistema ormato dal dispositivo di Joule e dal pianeta erra. Dal primo principio della termodinamica nella orma estesa, comprendente anche le

4 variazioni di energia sulla scala degli oggetti, abbiamo nulli sia il lavoro scambiato con l esterno sia il calore: K U L Q moltiplicando per 00 le variazioni di energia potenziale e cinetica che si hanno in una sola corsa delle due masse, abbiamo: 00 [( M v 0) (0 Mgh)] 0 sostituendo: 00 M( gh v ) 00.0 ( ) J. 0 J uguagliano all espressione in unzione della temperatura, trasormata in kelvin: (7 ) K 98K mc( ) ( 98 K). 0 J mc( ).0086 ( 98 K).0 J.0 98K K 00K pplichiamo il primo principio nella orma estesa, comprendente anche le variazioni di energia sulla scala degli oggetti. Risultano nulli sia il lavoro esterno, in quanto le orze di attrito ra proiettile e legno sono erne, sia lo scambio di calore, sia la variaizione di energia potenziale gravitazionale (dato che tutto si svolge a quota costante): K U L Q K (0 m v ) ( )J 0 J Nell ipotesi che tutta la variazione di energia erna si ritrovi in un aumento di temperatura del sistema, questa ( mc Mc ) piombo legno Leggendo in tabella i valori dei calori speciici: 0 J. K mc Mc piombo legno La temperatura inale risulta allora 00 K. K 0 K 7. alcoliamo le moli di gas presente: 000 nr 000 J n mol 0.mol R Da queste abbiamo il numero di molecole N, che permette di ricavare la velocità quadratica media e la massa: N mv nn mv nn 000 v m/s 0 m/s nn m M Nm nn m ( ) kg.9 g 7. Dopo aver trasormato la temperatura in kelvin, calcoliamo i volumi inziale e inale usando l equazione di stato: nr (7 00) m 0.08 m.000 nr.008. (7 00) m m.000

5 alcoliamo il lavoro durante la trasormazione, L nr ln ( ln )J.89 0 J 0.08 alcoliamo la variazione di energia erna. rattandosi di un gas peretto, l energia erna dipende solo dalla temperatura, e poiché la temperatura non cambia durante un isoterma, abbiamo 0J, come si veriica acilmente tentando di calcola- re con la ormula ad esempio per il gas monoatomico : in nr nr 0. in pplicando il primo principio si trova subito il calore scambiato dal gas: Q L 0 Q L.89 0 J. alcoliamo il volume iniziale e quello inale usando l equazione di stato: nr m 0.66 m.000 nr m 0.8 m.000 alcoliamo il lavoro del gas durante la trasormazione: L ( ).000 ( )J.98 0 J alcoliamo la variazione di energia erna con la ormula per un G monoatomico: nr nr nr( ) (00 00)J J d applicando il primo principio calcoliamo il calore scambiato: Q L 0 Q L ( ) 0 J.6 0 J. Il lavoro svolto dal gas è nullo essendo nulla la variazione di volume. La variazione di energia erna per un gas biatomico si scrive: [ ( ) 0.0] atm 00 atm (00 00)J J pplicando il primo principio abbiamo il calore scambiato: Q L Q J. a) Il lavoro viene svolto solo nei due tratti isotermi, positivo nell espansione, negativo nella compressione D. rasormando in kelvin le temperature date si ha: D L L L nr ln nr ln D R 7 ln 9 ln atm 9.0 atm 99 J Nel tratto si ha chiaramente Nk 0 essendo 0. b) pplicando il primo principio al tratto otteniamo: Q L 0 un calore positivo, quindi entrante. c) Dobbiamo applicare la relazione 8.00 Q L nr ln.00 J.00 D Nk nr nr

6 R R.0 J d) La massima pressione si ha in. Dall equazione di stato: nr atm. atm.00. Il lavoro svolto lungo è l area del rettangolo compreso ra il segmento e l asse delle ascisse: L ( ).00 (6.0.0) J J Il lavoro svolto lungo il camino è dato dall area sotto alla spezzata, evidenziata. Questa si ottiene sottraendo l area del triangolo al lavoro L già trovato. nche se il non è noto il volume, l area del triangolo determinata perché sono date la sua base e la sua altezza. Risulta: è comunque L L ( )( ) [8.0 0 (.0 0 )(.0)]J J er trovare Q applichiamo il primo principio alla trasormazione : Q L. ssendo l energia erna una unzione di stato, si può calcolare anche al termine del percorso, che ha in comune con gli stati iniziale e inale. bbiamo: Q L ( )J J da cui inine: Q L ( )J J 6. La conoscenza del coeiciente angolare m / della retta permette di ricavare la pressione inale: m.0 atm er la variazione di energia erna si ha: atm J L area sottesa dal segmento ornisce il lavoro eseguito dal gas. rattandola come un trapezio di basi e ed altezza si ha: L ( )( ).0 atm atm 6.00 J mentre dal primo principio si ha il calore scambiato: Q L.80 J 6.00 J. 0 J 7. Il lavoro eseguito durante l ero ciclo è nullo per la simmetria del percorso. Durante le due isocore e D non viene compiuto lavoro, mentre il lavoro positivo svolto nel tratto di espansione, è uguale e contrario al lavoro subito, negativo, nella contrazione D. Risulta quindi: ( ciclo) Q ciclo L Q ciclo ciclo ssendo in qualunque ciclo 0 ne segue anche Q 0. ( ) ciclo ciclo er il calcolo di usiamo l equazione di stato dei gas peretti: D D D K 609 K D nr 0.08 Il punto ha volume e pressione ermedi: 6

7 D atm.00 atm er cui dall equazione di stato:.00.0 K 06 K nr Raddoppio della lunghezza del cilindro signiica raddoppio del volume occupato, visto che la supericie di base non cambia. Osserviamo che, se indichiamo lo stato iniziale con, e, quello inale sarà , e 0. Dalla ormula per l energia erna di un gas peretto mono-atomico si vede che il contenuto energetico non è cambiato: d il risultato è analogo se si tratta di gas bi-atomico o poli-atomico. Dall equazione di stato si ricava inoltre che la temperatura inale è uguale a quella iniziale: nr nr Dal primo principio otteniamo che il calore scambiato è pari al lavoro compiuto Q L 0 Q L ( ) Q nr ( 8. 0)J. 0 J calore positivo quindi assorbito dal gas. 9. Dall equazione di stato ricaviamo: K 6K nr nr nr nr a 9.0 a.000 Il gas riceve calore nei tratti - e - e cede calore lungo -. ssendo poliatomico, da cui: Q L ( ) ( ) (9..00) J.8 0 J Q L nr ln( / ) nr ln( / ) ln(7.00/.00)j.7 0 J Q L ( ) ( ) ( ).000 ( ) 0 J J omplessivamente: Q Q Q ( ) 0 J. 0 J 0. L aria nello pneumatico ha pressioni iniziale e inali pari a:.80 atm.00 atm.80 atm.8 0 a.0 atm.00 atm.0 atm.0 0 a e subisce una trasormazione isocora irreversibile, nel senso che volumi inziale e inale sono uguali entrambi a m ma le deormazioni nel tragitto hanno compiuto lavoro sia direttamente sia creando moti convettivi all erno. In ogni caso vale il primo principio della termodinamica, con L eseguito da uori sul gas: 7

8 Q L er un gas biatomico abbiamo (/ ) da cui: L ( ) [8.00 (.0.8) 0 ]J.0 0 J. Una trasormazione irreversibile non è rappresentabile sul piano - se non per gli stati iniziale e inale. Il lavoro sarà calcolabile grazie alla pressione dall esterno. Risulta quindi L e. Durante la trasormazione, date le turbolenze, non esiste un valore di pressione erna, tuttavia negli stati di equilibrio iniziale e inale la pressione erna si sarà stabilizzata attorno al valore esterno quindi possiamo applicare l equazione dei gas peretti: nr nr e i i e e i Sottraendo membro a membro: nr nr e i e i e i i ricordando che è pure nr si trova: e i i nr i nr 00 K 600K Il lavoro compiuto sarà: i i L nr ( )J.7 0 J e e i e i i la variazione di energia erna: nr ( )J.6 0 J da cui si ricava subito il calore scambiato dal gas: Q L Q L (.6.7) 0 J 6. 0 J calore positivo in quanto ricevuto dal gas.. Il sistema segue una trasormazione reversibile, quindi è sempre in equilibrio durante il processo, il quale consiste di una espansione isoterma. Il pistone non varia la propria energia cinetica essendo ermo in equilibrio sia all inizio che alla ine, quindi deve essere nullo il lavoro complessivamente svolto su di esso. alcoliamo il lavoro complessivo sul pistone esplicitando i segni negativi dei lavori resistenti, quelli cioè in cui le orze contrastano lo spostamento del punto di applicazione dovuto al movimento del pistone: L L L L 0 L L L L gas ilo peso atm ilo peso atm gas er il lavoro del gas si può ar uso della ormula per l isoterma reversibile: L nr ln( / ) ( ln ) J.8 0 J gas i Indicando con m la massa del pistone, con la sua supericie e con h lo spostamento verticale, il lavoro della orza peso e quello della orza dovuta alla pressione atmoserica si scrivono complessivamente: L L mgh h mg h peso atm atm atm enendo conto che il pistone è inizialmente in equilibrio, la orza risultante esercitata su di esso deve essere nulla: mg 0 mg gas atm gas atm da cui, essendo in poiché il volume raddoppia: L L h nr ( )J.990 J peso atm gas gas gas in Facendo la dierenza si ottiene il lavoro della tensione del ilo: L L L (.99.8) 0 J 6. 0 J peso atm gas 8

9 . In una trasormazione irreversibile, non rappresentabile sul piano -, non è lecito usare l equazione dell isoterma reversibile, ma il lavoro sarà calcolabile grazie alla conoscenza della pressione dall esterno. La pressione è dovuta solo al peso della massa sul pistone quindi sempre uguale a mg/ durante la trasormazione. Risulta: mg L e i er trovare osserviamo che sebbene durante la trasormazione, date le turbolenze, non esista un valore di pressione erna, negli stati di equilibrio iniziale e i inale la pressione erna si sarà stabilizzata attorno al valore esterno quindi possiamo applicare l equazione dei gas peretti: nr nr i i i Riguardo alle pressioni iniziale e inale, si ha: mg mg i i i da cui si ricava. Il lavoro compiuto vale dunque: i i mg mg L e i h mgh.0 kg 9.8 m/s 0.00 m 98.J i llo stesso risultato si perviene applicando il teorema dell energia cinetica ed osservando che il lavoro sul pistone deve essere uguale e contrario a quello mgh svolto dalla gravità, visto che il corpo non varia la sua energia cinetica nel processo, essendo ermo all inizio ed alla ine. 6. Si tratta di una trasormazione a volume costante, che a salire la temperatura del gas di K (le dierenze di temperatura sono uguali in kelvin o in gradi centigradi). L espressione del calore speciico a volume costante per un gas monoatomico c (/ ) R permette di calcolare il calore Q da ornire ed eguagliarlo a.0 J : Q nc n R.0J.0 J.0 n mol 0. mol (/ ) R (/ ) Si tratta di una trasormazione a volume costante.0.00 m, che a salire la temperatura del gas di: K. L espressione del calore speciico a volume costante per un gas poliatomico c R permette di calcolare il calore Q da ornire al gas per ottenere questo salto di temperatura: Q nc n R d esso dobbiamo aggiungere il calore Q assorbito dal recipiente di capacità termi- ca per produrre in esso il medesimo salto Q : La somma Q Q deve essere uguale ai 0 J orniti dalla resistenza elettrica: Q Q nr 0 J 0 J n mol 0.97 mol R R er la pressione iniziale e inale applichiamo l equazione di stato: 9

10 nri (7.0 7) a.78 0 a 0.7 atm i.00 nr (8.0 7) a.90 a 0.87 atm Si tratta di una trasormazione a volume costante, che a salire la temperatura del gas di K. Due gas peretti miscelati sono ancora un gas peretto, quindi, dette n le moli del monoatomico ed n le moli del biatomico abbiamo che il calore complessivamente ricevuto si può scrivere: 00J Q Q n ( R ) n ( R ) ssendo n n si ottiene: n ( R) n ( R) 00J 00 n ( ) R 00 J n mol mol n n 0. mol 9. Il primo esperimento consiste nel sottoporre il gas una trasormazione a volume costante. L espressione del calore speciico a volume costante per un gas biatomico c (/ ) R permette di calcolare le moli di gas presenti: Q Q 00 n mol. mol c R Il secondo esperimento consiste nel sottoporre il gas una trasormazione a pressione costante, che, potendo trascurare la massa del pistone, è pari a quella atmoserica. L espressione del calore speciico a pressione costante per un gas biatomico c (7/ ) R permette di calcolare il nuovo incremento di temperatura: Q Q 00.7 nc 7 7 n R do- Se invece vogliamo che l incremento di temperatura sia ancora vremo ornire un energia: Q Q 00.7 nc n 7 R Q nc n R ( )J 60J. rasormiamo le temperature in kelvin ed i volumi in valori del SI: K K m.00 0 m alcoliamo il valore del volume inale applicando l equazione dell adiabatica reversibile nella orma 7 / / con 7/. essendo il gas biatomico: / / m m 60cm 90 er il calcolo del lavoro utilizziamo il primo principio lungo l adiabatica, che per un gas biatomico è: L Q nr( ) (90 0)J 6 J 0

11 . alcoliamo il valore della temperatura inale applicando l equazione dell adiabatica reversibile nella orma con / essendo il gas monoatomico: / / / / / / / / / / / / K K er il calcolo del lavoro utilizziamo il primo principio lungo l adiabatica, che per un gas monoatomico è: L Q nr( ) ( 700) J.9 0 J. alcoliamo il valore della pressione inale applicando l equazione dell adiabatica reversibile nella orma con / essendo il gas poliatomico: / / / / a La variazione di energia erna per un gas poliatomico è: ( ) 0 J.0 0 J a. er il calcolo di applichiamo il primo principio all isocòra ricordando che non viene compiuto alcun lavoro quando il volume rimane costante: Q L Q er un gas biatomico abbiamo: nr Q per poter trovare ci occorre il numero di moli, che si può ottenere applicando l equazione di stato in : nr n mol 0.90 mol R 8.0 Risolvendo rispetto a e sostituendo: Q 000 K 0 K K nr alcoliamo ora dall equazione di stato: nr nr er avere sruttiamo l equazione dell adiabatica reversibile, osservando che in questo caso: c R 7 c R er usiamo ancora l equazione di stato: nr nr a.00 a.000 Inserendo:

12 K 9 K nr Il lavoro complessivo L viene svolto solo durante l espansione adiabatica reversibile. er essa il primo principio ornisce: Q L L er un gas biatomico abbiamo: L nr ( 9)J J m