MATLAB-SIMULINK. Risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali in ambiente Matlab-Simulink. Ing. Alessandro Pisano

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1 MALAB-SIMULINK Rsoluzone d equazon dfferenzal alle dervae parzal n ambene Malab-Smulnk Ing. Alessandro Psano psano@dee.unca.

2 Ssem ermc spazalmene dsrbu Barra meallca flforme d lungezza L = 5 cm L Varable d neresse: la emperaura, Ipoes : barra unforme, ermcamene solaa, n assenza d sorgen d calore Equazone del calore monodmensonale,, C p k k, Alessandro Psano - psano@dee.unca.

3 ,, C p k k, è la densà [kg /m ] C è la capaca ermca a pressone cosane per una d massa [J/kg K] p k è la conduvà ermca [J/s m K ; W / mk ] Valor per l ferro puro (rf. Scaum rasmssone del calore, abella B- pag. 6) k C p 7856 kg/m è l coeffcene d dffusone [m /s] c 45 J/kgK k 6 W/mK (a C) p.8 5 m / s (a C),, PDE

4 4 Anals n regme sazonaro, Sano no e manenu cosan valor d emperaura agl esrem L L La soluzone è calcolable n forma cusa, ma sceglamo d rsolvere l equazone numercamene percé queso modo d ragonare d consenrà d rsolvere agevolmene ance problem dsrbu n regme ransoro, ce vedremo n seguo. Soluzone n forma cusa L L L / NODI SOLUZIONE L

5 5 Defnamo l veore ce conene le emperaure ncogne ne nod soluzone. 4,.,, L Approssmamo l equazone n un norno de nod soluzone, e meamo a ssema 4 4 L

6 6 Isolamo alla snsra dell uguale le emperaure ncogne, ordnandole 4 L 4 A b A b A 4 Ssema d equazon lnear L b

7 emperaura [ C] 7 =; %emperaura nel puno = L=5; %emperaura nel puno =L L=.5; %Lungezza della sbarra N=4; %numero d nod d dscrezzazone =L/(N+); A=[- ; - ; - ; -]; b=[-;;;-l]; dsp('l veore ncogno è:') =nv(a)*b %=A\b %snass alernava dsp('veore compleo:') _o=[ ' L]' Ascssa lungo la sbarra [m] =::L; _eorca=+(l-)/l* plo(,_o,'*',,_eorca,'r'),grd label('ascssa lungo la sbarra [m]') ylabel('emperaura [ C]')

8 Modfcare l codce per ncludere un numero arbraro N d nod soluzone. 8

9 emperaura [ C] 9 =; %emperaura nel puno = L=5; %emperaura nel puno =L L=.5; %Lungezza della sbarra N=; %numero d nod d dscrezzazone =L/(N+); A=zeros(N,N); for =:N, A(,)=-; end for j=:n-, A(j,j+)=; A(j+,j)=; end Ascssa lungo la sbarra [m] b=zeros(n,); b()=-; b(n)=-l; dsp('l veore ncogno è:') =nv(a)*b %ISRUZIONE ALERNAIVA =A\b; dsp('veore compleo:') _o=[ ' L]' =::L; _eorca=+(l-)/l* plo(,_o,'*',,_eorca,'r'),grd label('ascssa lungo la sbarra [m]') ylabel('emperaura [ C]')

10 La soluzone n regme permanene è ancora calcolable n forma cusa E noo e prefssao l valore d emperaura all esremo snsro, menre la emperaura all esremo desro non è mposa. Ora sudamo un problema dfferene Pocé la sbarra è ermcamene solaa s avrà ce l flusso ermco ne bordo desro è par a zero L Soluzone n forma cusa L

11 4 4 Modfcare l codce Malab A b A b

12 4 4 Ora analzzamo l caso n cu ance la emperaura all esremo snsro non è mposa. Il ssema lneare non puo essere rsolo numercamene perce ammee nfne soluzon. cos Soluzone n forma cusa Seguendo l medesmo ragonameno adoao n precedenza s oene l ssema: A b A b

13 Cosa succede se le due emperaure agl esrem, ancorcé mpose dall eserno, sano varabl nel empo?. L anals n regme sazonaro perde d sgnfcao! L equazone del calore deve ora essere consderaa nella sua nerezza.,, Il ragonameno svolo n precedenza va opporunamene modfcao. La dscrezzazone del domno è sempre valda. L / 5 4 L

14 4 Defnamo l veore ce conene le emperaure ncogne ne nod soluzone, ce a dfferenza dal caso sazonaro non sono pù delle cosan, ma sono delle funzon del empo.,,, 4 L Condzon al conorno NOE,,, L, L Quesa pologa d condzon al conorno sono dee d DIRICHLE.,,, 4, L 5

15 5,,,, 4, 4, 4 L, 4,,, Le dervae seconde vengono approssmae medane dfferenze fne, n manera analoga a quano fao n precedenza ma convolgendo funzon del empo anzcè cosan

16 6,,,, 4 Sosuendo le approssmazon alle dfferenze fne s oene un ssema d equazon dfferenzal ordnare (ODE), d ordne par al numero d nod soluzon (4 nel caso n esame) L

17 7 4 L 4 4 Rsula convenene separare alla desra dell uguale le quanà ncogne dalle quanà noe () e L () N, u Bu A 4,,, A B

18 8 Ora sa l coeffcene d dffusone ce lo sep d dscrezzazone spazale nfluenzano esplcamene la soluzone. L anals n regme sazonaro prevedeva la scomparsa d al coeffcen dalle relazon rsoluve Devono essere noe le emperaure ne nod soluzone all sane nzale =, coè l veore cosane,,, 4 Va rmarcao ce rascorso un ransoro suffcenemene lungo profl d emperaura non dpendono pù dalle condzon nzal, e endono ad una soluzone d regme dnamco le cu caraersce sono ndpenden dalle condzon nzal

19 9 clear all clc L=.5; N=; ro=7856; Cp=45; k=6; alfa=k/(ro*cp); =L/(N+); A=zeros(N,N); for =:N, A(,)=-; end for j=:n-, A(j,j+)=; A(j+,j)=; end B=zeros(N,); B(,)=; B(N,)=; =lnspace(,l-,n); =:camp:fnale; numsample=leng(); n=*ones(,n); _soluz=zeros(numsample,n); _do=zeros(numsample,); _soluz(,:)=n; =+5*sn(.*)'; L=*ones(numsample,); for =:numsample- do=ac*_soluz(,:)'+bc*[();l()]; _soluz(+,:)=_soluz(,:)+camp*do'; end _e=lnspace(,l,n+); _soluz_e=[ _soluz L]; [X,Y] = mesgrd(_e,); Cond. al conorno Eulero esplco Ac=(alfa/^)*A; Bc=(alfa/^)*B; camp=.; fnale=; =mes(x,y,_soluz_e); le('dsrbuzone emperaura lungo la sbarra.'); label('coordnaa spazale [m] ','FonName','mes','FonSze',4); ylabel('empo [s]','fonname','mes','fonsze',4); zlabel('(,)','fonname','mes','fonsze',4); se(gca,'fonsze',4,'fonname','mes'); Grafca

20 Proflo spazoemporale della soluzone

21 clear all clc L=.5; N=5; ro=7856; Cp=45; k=6; alfa=k/(ro*cp); =L/(N+); A=zeros(N,N); for =:N, A(,)=-; end for j=:n-, A(j,j+)=; A(j+,j)=; end B=zeros(N,); B(,)=; B(N,)=; Ac=(alfa/^)*A; Bc=(alfa/^)*B; camp=.; fnale=; =lnspace(,l-,n); =:camp:fnale; numsample=leng(); n=*ones(,n); _soluz=zeros(numsample,n); _do=zeros(numsample,); _soluz(,:)=n; =+*sn(.*)'; L=*ones(numsample,); for =:numsample- do=ac*_soluz(,:)'+bc*[();l()]; _soluz(+,:)=_soluz(,:)+camp*do'; end _e=lnspace(,l,n+); _soluz_e=[ _soluz L]; [X,Y] = mesgrd(_e,); =mes(x,y,_soluz_e); le('dsrbuzone emperaura lungo la sbarra.'); label('coordnaa spazale [m] ','FonName','mes','FonSze',4); ylabel('empo [s]','fonname','mes','fonsze',4); zlabel('(,)','fonname','mes','fonsze',4); se(gca,'fonsze',4,'fonname','mes');

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23 Ora applcamo una condzone al conorno ce non fss l valore della emperaura nell esremo desro, ma mponga l solameno ermco dell esremo desro =L n analoga con quano fao nella anals a regme.,,, L, Quesa pologa d condzone al conorno vene dea d NEUMANN. L, L N S rcava l modello dscrezzao

24 4, u Bu A 4,,, A B u Bu A 4,,, A B

25 5 clear all clc L=.5; N=; ro=7856; Cp=45; k=6; alfa=k/(ro*cp); =L/(N+); A=zeros(N,N); for =:N, A(,)=-; end for j=:n-, A(j,j+)=; A(j+,j)=; end A(N,N)=-; B=zeros(N,); B(,)=; B(N,)=; Ac=(alfa/^)*A; Bc=(alfa/^)*B; camp=.; fnale=; =lnspace(,l-,n); =:camp:fnale; numsample=leng(); n=*ones(,n); _soluz=zeros(numsample,n); _do=zeros(numsample,); _soluz(,:)=n; =+5*sn(.*)'; L=*ones(numsample,); for =:numsample- do=ac*_soluz(,:)'+bc*[();l()]; _soluz(+,:)=_soluz(,:)+camp*do'; end _e=lnspace(,l,n+); _soluz_e=[ _soluz _soluz(:,end)]; [X,Y] = mesgrd(_e,); =mes(x,y,_soluz_e); le('dsrbuzone emperaura lungo la sbarra.'); label('coordnaa spazale [m] ','FonName','mes','FonSze',4); ylabel('empo [s]','fonname','mes','fonsze',4); zlabel('(,)','fonname','mes','fonsze',4); se(gca,'fonsze',4,'fonname','mes');

26 k=6 6

27 k=6 7

28 8 Ssema LI (Lnear me Invaran) MIMO (mul-npu-mul-oupu) A Bu A u Bu Uso d Mar Gan Inegraore saurao Alessandro Psano - psano@dee.unca.

29 9 Un processo ermco D a paramer dsrbu Clndro cavo. Par grge n accao. Pare banca: volume con vapore ad ala emperaura. saore Pare nera: pccolo volume nerno r Coordnaa radale roore r ma Es. Sezone d una urbna a vapore Alessandro Psano - psano@dee.unca.

30 Es. Sezone d una urbna a vapore Alessandro Psano - psano@dee.unca.

31 Ipoes: smmera angolare della dsrbuzone d emperaura S desdera calcolare la dsrbuzone d emperaura nel roore (n uno de suo ragg) r, r r mn r ma Medane msure acquse n una urbna n eserczo, s suppone noa la emperaura nella pare banca (regone del vapore n ala emperaura) In una modellazone pù deaglaa, s porebbe essere neressa a valuare la dsrbuzone d emperaura nella superfce delle pale d roore, onde valuare gl sress ermc su maeral. Problema complesso (ance nella formulazone semplfcaa soo esame) perce l modello maemaco è una equazone alle dervae parzal (ssema a paramer dsrbu, ssema nfno-dmensonale) Alessandro Psano - psano@dee.unca.

32 Eq. d dffusone (Equazone del calore) monodmensonale n coord. clndrce, con unca varable spazale la coordnaa clndrca radale r K k C p è l coeffcene d dffusone [m /s] C è la capaca ermca a pressone cosane per una d massa [J/kg K] p k è la conduvà ermca [J/K s m] è la densà [g /m ]

33 r r ma r r mn,,,..., N r = r r mn r r N ma r, mn Alessandro Psano - psano@dee.unca.

34 4 Approssmazone delle dervae spazal medane dfferenze fne r r Ssema d ODE r r K r r K r K N...,,, Alessandro Psano - psano@dee.unca.

35 5 Ssema d ODE r r K r r K r r K N N N N N N N, u N N,...,,,, N Boundary condons Bu A Alessandro Psano - psano@dee.unca.

36 6 N N r r r r r r r K A Bu A r N K B N N,...,,,, Condzon nzal Alessandro Psano - psano@dee.unca.

37 7 Modello Smulnk FILES urbnavapore.mdl _cenroroore.ma _vapor.ma Esporazone da verso l Workspace Conenuo del Subsysem Modello ermco Roore Due dverse modalà d specfcare due segnal d npu. Lnee spesse ce rappresenano segnal muldmensonal Alessandro Psano - psano@dee.unca.

38 8 Paramerzzazone del modello Ulzzamo una mask Alessandro Psano - psano@dee.unca.

39 9 Cosruzone della mascera d paramerzzazone Alessandro Psano - psano@dee.unca.

40 4 Calcolo delle Marc A e B Alessandro Psano - psano@dee.unca.

41 4 Codce copable ed seguble Marc A e B (per n = 6) n=4; r_mn=.5; r_ma=.9; ro=79; C=.45; k=7; _n=8; =(r_ma-r_mn)/n; K=k/(ro*C*e)/^; A=zeros(n,n);B=zeros(n,); for =:n, A(,)=-(+/(r_mn+*)); end for j=:n-, A(j,j+)=+/(r_mn+j*); A(j+,j)=; end B(,)=;B(n,)=+/r_ma; A=K*A; B=K*B;

42 4 Documenaon - descrzone della MASK Alessandro Psano - psano@dee.unca.

43 4 Anals de rsula Imposamo prelmnarmene due valor cosan per le emperaure al conorno u, C N Profl emporal degl elemen del veore Usca del blocco Scope

44 44 Proflo d emperaura al nodo 4 Alessandro Psano - psano@dee.unca.

45 45 Con de profl dfferen per le boundary condons, l evoluzone del proflo d emperaura è dfferene. Ora processamo n Malab rsula della smulazone, creando de grafc D. r_mn=.5; r_ma=.9; n=4; [X,Y] = mesgrd(lnspace(r_mn,r_ma,n),ou); =mes(x,y,ro) le('dsrbuzone emperaura roore.') label('coordnaa radale r [m] ','FonName','mes','FonSze',4) ylabel('empo [s]','fonname','mes','fonsze',4) zlabel('(r,)','fonname','mes','fonsze',4) se(gca,'fonsze',4,'fonname','mes') Alessandro Psano - psano@dee.unca.

46 Inveramo la drezone dell asse de emp 46

47 47 Compleamo queso esempo mosrando l mpego, nella Mask, d varabl d confgurazone po popup o ceckbo e un loro possble mpego. S apporno le seguen modfce alla lsa de Parameers

48 S apporno le seguen modfce alle sruzon d Inalzaon 48

49 49 S apporno le seguen modfce allo scema Smulnk Ora s esegua l modello con dverse scele per le varabl pop up e ceckbo, e s analzzno rsula. FILES: urbnavapore.mdl _cenroroore.ma _vapor.ma Alessandro Psano - psano@dee.unca.