Prova Parziale 1 di Fisica 2C Data: 05/11/2004. Fisica 2C. 05 novembre 2004

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1 isica C 5 nvmbr Rispndr all dmand rislvr i prblmi in md chiar, saurint ma sinttic. Lggr attntamnt il tst assicurarsi di rispndr a tutt qull ch vin chist, inclus l vntuali rispst numrich. Chidr spigazin chiarimnti su qualunqu asptt dl tst dlla dmanda ch nn sia chiar. Dmand. Si cnsidri un mdll smplificat dlla cinmatica dl sistma Trra-Luna in cui la Luna dscriv un rbita circlar attrn alla Trra cn distanza tra il cntr dlla Trra qull dlla Luna pari a D =.8 5 km prid di rivluzin pari a T =7. girni. Si assuma ch l vlcità anglari di Trra Luna sian prpndiclari al pian dll rbita d ntrambi di vrs cncrd cn la vlcità anglar di rivluzin. Stimar, usand i dati riprtati stt, il mmnt anglar dl sistma Trra-Luna risptt al Cntr di Massa, prcisand, s è il cas, vntuali iptsi addizinali ch dvn ssr fatt pr il calcl. Massa: M T =6. kg M L =7. kg Raggi: R T = 678 km R L = 78 km Prid sidral di rtazin: T T =r56minuti T L = T Sia x T il cntr dlla Trra, x L il cntr dlla Luna, x CM il cntr di massa dl sistma Trra-Luna. Nl Sistma di rifrimnt dl cntr di massa si ha: L = I T ω T + I L ω L +(x T x CM ) P T +(x L x CM ) P L = I T ω T + I L ω L +(x T x CM ) P T (x L x CM ) P T = I T ω T + I L ω L +(x L x T ) P L = I T ω T + I L ω L +(x T x L ) P T. La part rbital può ssr ultrirmnt sviluppata prndnd cm rifrimnt la Luna (la Trra sarbb stat l stss). La cmpnnt z risulta: L z = I T ω T + I L ω L + x L x T P L = I T ω T + I L ω L + M L D V L = I T ω T + I L ω L + M L Dω x L x CM = I T ω T + I L ω L + D ω M T M L M T + M L 5 M T R T ω T + M L ω D =.5 kg m /s.. Una mnsla rizzntal, rigida d mgna, ha massa M = 5 kg lunghzza dlla part sprgnt dal mur pari a L = cm. Si assuma ch la lunghzza dlla part di mnsla incassata nl mur sia mlt minr dlla part sprgnt. Spra il su strm libr (E) è appggiat un ggtt di massa m = kg. Dtrminar la risultant il mmnt risultant risptt al Cntr di Massa dlla mnsla dl sistma di frz ch il mur srcita sulla mnsla in cndizini di quilibri static.

2 = (M + m) g =68.6 N Γ CM = m (x E x CM ) g Γ CM =. kg m /s.. Una sbarra cilindrica cn szin circlar ha lunghzza L =. m raggi dlla szin R =5cm. È cmpsta di du parti mgn, di lunghzza L =.8 ml =.6 m fatt di du matriali cn mdul di Yung Y = N/m Y = N/m. I du strmi dlla sbarra vngn sttpsti ad una frza di cmprssin = 5 N, unifrmmnt distribuita sui du strmi dlla sbarra. Dtrminar la variazin di lunghzza dlla sbarra. L = L + L = L Y S + L Y S =. m (.). Ddurr l sprssin dlla ptnza sviluppata da un gnric sistma di frz strn su un crp rigid d nunciar la trza quazin cardinal dlla Dinamica pr un crp rigid. 5. Si cnsidri un scillatr armnic smrzat frzat, di quazin q +β q + ω q E cs [ωt] E >,β >. Scrivr l sprssin dlla ptnza mdia cduta dalla frza strna al sistma dp la fas transitria. Cm cambia la rispsta alla dmanda prcdnt nl cas in cui la frzant sia E cs [ωt φ]? 6. Rislvr l quazini di Eulr pr il mt libr di un crp rigid mgn la cui gmtria ha una simmtria di rtazin attrn ad un ass dscrivr il mt. Prblma Du barrtt idntich, rigid, sttili d mgn, di massa m =. kg lunghzza l = m sn vinclat al cntr cllgat a tr mll di cstant lastica k = N/m, cm mstrat in figura.. Dtrminar l frqunz i mdi nrmali dll piccl scillazini dll du barrtt in trmini dgli angli di spstamnt risptt all rizzntal: θ θ. θ θ. Si applica una frzant strna di mdul = cs [Ωt] cm mstrat in figura. Suppnnd ch l attrit sia trascurabil calclar il rapprt tra l ampizz di scillazin dll du barrtt, θ /θ, quand la fas transitria ètrminata.. Pr quali valri dlla pulsazin dlla frzant Ω il mdul di tal rapprt èinfrira.?

3 . Equazini dl mt: dv I=ml / quindi I d θ dt = k l θ k l (θ + θ ) I d θ dt = k l (θ + θ ) k l θ d θ dt = k m θ k m (θ + θ ) d θ dt = k m (θ + θ ) k m θ Ridfinisc l variabili cm x =(θ + θ )/ x =(θ θ )/ (dacuiθ = x + x, θ = x x )l quazini divntan: d x dt = 9 k m x = ωx d x dt = k m x = ω x cn sluzini x = A cs[ω t + φ ]x = B cs[ω t + φ ]dvω = k/m ω = k/m. Quindi l sluzini gnrali pr θ θ sarann: θ = A cs[ω t + φ ]+Bcs[ω t + φ ] θ = A cs[ω t + φ ] B cs[ω t + φ ] quindi il md nrmal cn pulsazin ω (crrispndnt a B =)haθ /θ = mntr il md nrmal cn pulsazin ω (crrispndnt a A =)haθ /θ = (tutt ciò siptvagiàddurr dalla scrittura di x x ).. Aggiung la frzant, l quazini divntan: ch nll variabili nrmali risulta: I d θ dt = k l θ k l (θ + θ )+ l cs(ωt) I d θ dt = k l (θ + θ ) k l θ d x dt = ω x + f cs(ωt) d x dt = ωx + f cs(ωt) dv f /=( l/)/(ml /) = /ml. Snnsiè vist al punt ch l variabili x x disaccppian l quazini si pssn trvar l sluzini sstitund θ = θ cs[ωt] θ = θ cs[ωt]; l sfasamnt è null prché si suppn l attrit trascurabil. L sluzini stazinari nll crdinat nrmali sarann: quindi x = f ω cs(ωt) x Ω = f ω θ =...(ω + ω Ω )/(...) θ =...(ω ω)/(...) cs(ωt) Ω θ θ =(ω ω )/(ω + ω Ω )

4 . Piché ω =ω θ θ = Ω ω = Ω ω θ θ <. La funzin (θ /θ )[Ω] è dcrscnt nll intrvall [, ω ]variada / a ; nll intrvall [ ω, ) è ancra dcrscnt varia da + a. La disquazin è quindi sddisfatta s Ω > Ω.. Ω. ω = Ω. = ω = k/m =6 k/m = 68 rad/s Si nti ch la divrgnza dl rapprt tra l ampizz è dvuta all apprssimazin fatta nl trascurar l attrit. In gnral il rapprt csì calclatnnè crrtt s nn è valida la disguaglianza (Ω ω, ) Ω Γ, ciè pr valri di Ω vicini (quant vicini dipnd dal trmin di attrit Γ, ) all frqunz naturali (ω, ). La nstra dduzin èsalvapichèω. = ω =ω. Prblma Si cnsidri un sistma cmpst di barrtt sttili cmplanari avnti massa m = kg lunghzza l =.5 m dispst cm in figura. L tr barrtt giaccin sul pian individuat dai vrsri d. ω Argmntar, sulla bas dll simmtri, ch la trna,, individua gli assi principali di inrzia pr P dl sistma calclar la matric di inrzia rlativa a tal trna. A P 6 6 C Dtrminar il lavr ncssari pr mttr in rtazin il sistma attrn all ass dfinit dlla barrtta AP cn vlcità anglar cstant di mdul ω. Si assuma ch il sistma sia vinclat in P in md da ptr rutar attrn all ass dfinit dlla barrtta AP ma nn pssa scrrr lung qust ass. B Ad un crt istant il vincl vin cmpltamnt rimss. Dtrminar la vlcità dl cntr di massa prima dp la rimzin dl vincl.

5 P φ d θ G. I mtd di sluzin sfruttand il trma di H.S. Cn rifrimnt alla figura dl tst, la trna,, èprincipal di inrzia vist ch: i) è ass di simmtria; ii) è nrmal al pian dv giac il sistma; iii) èprpndiclar ad assi principali quindi ss stss èprincipal. Gli lmnti dlla matric d inrzia dlla barrtta dlla figura accant risptt alla trna,, cn vrtic nl cntr di massa dlla barrtta valgn: I G =m l I G = m l I G =m l l/ l/ r dr = ml r cs θdr= ml cs θ I G = IG IG ml sin θ l/ r sin θ cs θdr= ml sin θ cs θ I G = I G = Risptt ad un gnric sistma di assi cn rigin traslata da G a P (si vda figura accant) d indicand cn d la distanza tra G P, G P = d cs φ d sin φ, si ha (trma di H.S.): I p = ml cs θ sin θ cs θ sin θ cs θ sin θ + md sin φ sin φ cs φ sin φ cs φ cs φ Pr l tr barrtt abbiam quindi: barrtta PC: θ =, φ = quindi sin θ = /, cs θ = /, sin φ =/, cs φ = /, d = l/ IPC P = ml + ml barrtta PB: θ = 8, φ =9 quindi sin θ =,csθ =, sin φ =,csφ =,d = l/ IPB P = ml + ml barrtta PA: θ =, φ = 5 quindi sin θ = /, cs θ = /, sin φ =/, cs φ = /, d = l/ IPA P = ml + ml Sfruttand la prprità additiva: si arriva al risultat final: I P = IPC P + IP PB + IP PA I P = ml 5

6 E II mtd di sluzin sfruttand la prprità additiva Cnsidriam il sistma nlla figura accant ntiam ch pr la matric d inrzia crcata, I ij,siha: P 6 D I ij = IAD BE C ij = (IAD ij + I BE ij + I C ij ) dv P è adss cntr di massa dl sistma AD-BE-C. Si ha quindi ch: I AD = I C = (m)(l) = 6 ml A 6 6 C I BE = (m)(l) = ml I AD = I C = (m)(l) = ml B I BE = Quindi I = ( 6 ml + ml + ) 6 ml = ml I = ( ml ++ ) ml = ml I = I + I = ml. Cn rifrimnt alla figura dl tst: Il lavr ncssari è quindi: ω = ω + ω L = I ω + I ω + I ω = ω ml. Quand il sistma è ancra vinclat, ss cmpi un mt di pura rtazin prtant: V G = ω R G dv R G individua il cntr di massa dl sistma dalla trna slidal,, nlla figura dl tst. Dalla figura si ha ch R G = l quindi V G = ω R G = ω ω l = ω l 6. Tal vlcità cincid cn qulla a sguit dlla rimzin dl vincl. Ciò in cnsgunza dlla cnsrvazin dl mmnt anglar dll nrgia cintica dl sistma. 6