Acusto-optics effetto acusto-ottico compressioni e rarefazioni

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1 Acusto-optics L indice di rifrazione di un materiale può essere alterato dal suono. Questo principio si dice effetto acusto-ottico ed esistono diversi dispositivi come modulatori, switches, filtri, deflettori, ecc. che si basano su questo effetto. Il suono produce onde all interno del materiale dove si propaga con velocità caratteristica e induce delle compressioni e rarefazioni (espansioni). Nelle zone dove il materiale è compresso la densità è più alta e anche l indice di rifrazione è maggiore. Esempi sono gomme poliuretaniche, resine epossidiche, materiali plastici (policarbonato, CR 39 e plexiglas).

2 Schema di rarefazioni e compressioni in un gas In un solido il suono coinvolge vibrazioni delle molecole attorno alla loro posizione di equilibrio, per cui viene modificata la polarizzabilità ottica e l indice di rifrazione. Quindi un onda sonora provoca una modulazione dinamica dell indice di rifrazione. Poiché le frequenze del suono sono molto minori di quelle ottiche, la perturbazione dell indice di rifrazione è lenta rispetto ad un periodo ottico. Quindi si può trattare la propagazione ottica come completamente separata dal ciclo sonoro (approccio adiabatico). La luce vede la perturbazione sonora come statica e quindi il mezzo è inomogeneo (e periodico).

3 Quando un fascio luminoso colpisce un mezzo in cui si propaga un onda sonora si avrà una riflessione parziale dovuta a piani paralleli che hanno indici di rifrazioni diversi creati dall onda sonora. Se il periodo è (lunghezza d onda dell onda sonora) e la luce di lunghezza d onda incide sul materiale con angolo si ha la condizione di Bragg per interferenza costruttiva: Questo effetto è noto come diffrazione, riflessione o scattering di Bragg e il mezzo si dice Bragg reflector o deflector o anche cella di Bragg.

4 Interazione di luce e suono Consideriamo un onda acustica piana che viaggia nella direzione x con velocità v s, frequenza f e lunghezza d onda = v s /f. Lo stress in funzione di x e t sarà: con S 0 ampiezza iniziale, = 2 f frequenza angolare e q = 2 / numero d onda. L intensità (W/m 2 ) è: con densità di massa del materiale Il valore dell indice di rifrazione del materiale in assenza di onde sonore èn. Lo strain dell onda sonora provoca una perturbazione proporzionale all indice di rifrazione in modo simile a quello che avviene per effetto Pockels: con costante photoelastica (o strain-optic coefficient). Il segno meno indica che uno strain positivo (dilatazione) porta ad una riduzione dell indice di rifrazione.

5 Quindi il mezzo avrà un indice di rifrazione inomogeneo che varia nel tempo e che ha la forma: con ampiezza Usando la relazione dell intensità dell onda acustica I s si trova che la variazione di indice di rifrazione è proporzionale alla radice quadrata dell intensità: con Parametro che indica l efficacia del suono nel modificare l indice di rifrazione del materiale. M è una figura di merito. Consideriamo ora un onda ottica piana che viaggia nel mezzo con frequenza, frequenza angolare = 2, lunghezza d onda 0 = c 0 / nel vuoto e = 0 /n nel materiale non perturbato dall onda acustica e vettore d onda k = n /c 0 che giace nel piano x-z e determina un angolo con l asse z.

6 Usando approccio adiabatico (f << di circa 5 ordini di grandezza) si può considerare che l indice di rifrazione ha andamento sinusoidale statico (congelato): con fase fissata. Per trovare l ampiezza dell onda riflessa si divide il mezzo in strati planari ortogonali rispetto ad x e quindi l onda incidente è riflessa parzialmente da ogni strato a causa della variazione di indice. Si assume che la riflessione sia molto bassa così che il fascio sia per lo più trasmesso agli strati successivi. Si considera la riflettività incrementale dello strato in x: Integrando su tutta la lunghezza L si ottiene:

7 Ampiezza complessa totale della riflettività: Il fattore di fase È dovuto alla doppia distanza xsin che il fascio compie nella riflessione (phase shift: 2kxsin ). Usando le equazioni di Fresnel si può scrivere l ampiezza complessa incrementale della riflettività in funzione del cambio di indice di rifrazione incrementale tra due strati successivi. Alla fine si ottengono due riflessioni per le seguenti condizioni: che sono dette upshifted and downshifted reflections. Da ciò si riesce a determinare l angolo di Bragg: con poiché e Si ottiene: L angolo di Bragg è quello per cui le riflessioni incrementali da piani separati da una lunghezza d onda acustica hanno uno shift di fase di 2 così che interferiscano costruttivamente.

8 La condizione di Bragg può essere scritta anche considerando i vettori d onda dell onda acustica e di quella ottica. Vettore d onda onda incidente Vettore d onda onda riflessa Vettore d onda onda acustica La condizione è equivalente alla relazione vettoriale:

9 La riflettività è il rapporto tra l intensità dell onda riflessa e di quella incidente. All angolo di Bragg si ha: ed usando l espressione della variazione di indice in funzione dell intensità dell onda acustica si ha: Da cui si vede che la riflettività è proporzionale all intensità dell onda acustica I s, al parametro del materiale e al quadrato della distanza obliqua di penetrazione L/sin. Sostituendo sin = /2 si ha: Da cui si vede che la riflettività è inversamente proporzionale a 04 che è tipica dei fenomeni di scattering.

10 L approssimazione che la riflessione da ciascun strato incrementale sia così piccola da lasciare l onda trasmessa della stessa intensità porterebbe ad un assurdo che la riflettività per intensità dell onda acustica alta sarebbe maggiore di uno. Per onde acustiche di alta intensità quella approssimazione non vale e quindi si ha un processo di saturazione così la riflettività non supera il valore unitario. L espressione corretta per la riflettività in assenza di approssimazione è data da: con espressione approssimata e espressione esatta

11 Downshifted Bragg diffrraction In questo caso la frequenza dell onda riflessa è: e i vettori d onda: For upshifted Bragg diffrraction: e

12 Diffrazione di Bragg di fasci Consideriamo un fascio di luce di larghezza D che interagisce con un onda acustica piana. L allargamento del fascio è: Nel cono ci sono molti vettori d onda k, ma solo per uno sarà verificata la condizione di Bragg e per questo ci sarà un vettore d onda riflesso k r.

13 Se anche il fascio dell onda acustica ha una larghezza D s e se la frequenza del fascio sonoro è abbastanza alta che la sua lunghezza d onda sia molto minore delle dimensioni del mezzo, allora la divergenza angolare del fascio sonoro sarà: Questo è equivalente a considerare molte onde piane con direzioni che stanno dentro l angolo di divergenza. Il fascio riflesso si trova come combinazione di coppie di onde acustiche e ottiche piane che soddisfano la condizione di Bragg. Ci saranno quindi diversi vettori k (2 / ) e diversi vettori q (2 / ) e solo le coppie che formano triangoli isosceli contribuiranno all onda riflessa.

14 Diffrazione da un fascio acustico sottile Un fascio acustico sottile sarà costituito da onde piane che viaggiano in molte direzioni e quindi può diffrangere luce a vari angoli che sono anche diversi dall angolo di Bragg corrispondente alla direzione principale. Se il fascio ottico è perpendicolare alla direzione principale del fascio acustico, la condizione di Bragg fornisce (k r fa un angolo ± ): per angoli piccoli Per cui il fascio incidente è deflesso nelle due direzioni. Positiva se onda acustica sale (upward), negativa se onda acustica scende (downward), entrambi se onda acustica è stazionaria.

15 Il mezzo agisce come un reticolo di diffrazione di periodo. Ci saranno quindi anche ordini di diffrazione superiori ad angoli ±2, ±3,. Il fotone incidente si combina con 2 fononi (quanti dell onda acustica) per formare un fotone dell onda riflessa del secondo ordine. La conservazione del momento richiede che k r = k ±2q. L interazione della luce con un fascio acustico sottile perpendicolare si dice Raman-Nath scattering.

16 Dispositivi acusto-ottici Poiché l intensità della luce riflessa in una cella di Bragg è proporzionale all intensità del suono (per I s piccole) si può usare una cella di Bragg con un trasduttore acustico comandato elettricamente per realizzare un modulatore lineare di luce. Il modulatore può essere anche usato come switch accendendo e spengendo l onda acustica.

17 Larghezza di banda di modulazione La bandwidth di un modulatore è la massima frequenza a cui può odulare efficientemente. Quando l ampiezza di un onda acustica di frequenza f 0 cambia in funzione del tempo a causa di una modulazione di ampiezza con un segnale di bandwidth B, l onda acustica non è più una funzione armonica di singola frequenza, ma avrà componenti dentro una banda f 0 ±Bcentrata attorno a f 0.

18 Se sia l onda sonora che quella ottica sono onde piane, la componente del suono di frequenza f corrisponde all angolo di Bragg (che si assume essere piccolo): poichè = v s /f Quindi per un angolo di incidenza fissato un onda ottica monocromatica di lunghezza d onda interagisce con una sola componente armonica dell onda acustica (quella che soddisfa la condizione di Bragg). L onda riflessa è monocromatica con frequenza + f. Sebbene l onda acustica è modulata l onda ottica riflessa non lo sarà. Processo di riflessione è accompagnato da uno shift in frequenza pari alla frequenza del suono (Doppler shift)

19 Per ottenere modulazione con bandwidth B, ogni componente in frequenza dell onda acustica nella banda f 0 ± B deve interagire con l onda incidente. Supponiamo che il fascio di luce incidente abbia larghezza D e che la sua divergenza sia /D. Ogni componente in frequenza dell onda acustica interagisce con l onda ottica che soddisfa la relazione di Bragg. Quindi la banda di frequenza f 0 ± B è soddisfatta da un fascio ottico di divergenza angolare : Avendo scritto da considerazione trigonometriche Perciò la bandwidth del modulatore è: Con T tempo di transito del suono attraverso la larghezza del fascio di luce. Quindi per aumentare la bandwidth di un modulatore è necessario ridurre il diametro del fascio luminoso quanto più possibile così da ridurre la zona di interazione e quindi il tempo necessario all onda acustica per attraversarla.

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21 Scanners Le celle acusto-ottiche possono essere usate come scanner sfruttando la relazione tra angolo di deflessione e frequenza del suono: Avendo considerato piccolo così sin Per cui cambiando f cambia la deflessione. Poiché è sia angolo di incidenza che di riflessione per cambiare l angolo di riflessione si cambia simultaneamente sia l angolo di incidenza che la frequenza del suono. Il tilting dell onda sonora richiede un sistema sofisticato basato su un array di trasduttori acustici. L angolo di tilt deve essere sincronizzato con il modulatore di frequenza f.

22 Si può usare anche un fascio sonoro chehaunadivergenza angolare maggiore del range di direzioni che si vogliono scansionare ( s > ). Cambiando la frequenza del suono l angolo di Bragg cambia e la luce seleziona solo le componenti acustiche e ottiche che soddisfano la relazione di Bragg. Se la frequenza del suono è f la luce interagisce ad un angolo ed è deflessa ad un angolo: Variando la frequenza da f 0 a f 0 + B l angolo di deflessione si sposta di un angolo detto angolo di scansione

23 Numero di spot risolvibili Se il fascio ottico ha una larghezza angolare = /D e si assume che << s (con s = /D s ), anche il fascio deflesso ha larghezza. Il numero di spot risolvibili è: o Dove B è la bandwidth del modulatore usato e T = D/v s è il tempo di transito del fascio sonoro attraverso il fascio di luce. Quindi N alto se T alto al contrario dei modulatori acusto-ottici dove si desidera un basso T per avere un alta bandwidth.

24 La proporzionalità tra frequenza del suono e angolo di deflessione può essere usata per realizzare un analizzatore di spettro acustico. Un onda sonora avente diverse frequenze disperde la luce in direzioni diverse. Inoltre le intensità deflesse sono proporzionali alla potenza delle corrispondenti componenti in frequenza

25 Interconnessioni Una cella acusto-ottica può essere usata come uno switch ottico tra interconnessioni. Può cioè indirizzare informazioni portate da uno o più fasci ottici ad una o più posizioni. Se la frequenza dell onda sonora è una delle N frequenze f 1,f 2,f 3,.f N il fascio incidente può essere deflesso verso una delle N direzioni corrispondenti 1, 2, 3,.. N. Questo dispositivo indirizza un fascio ad ognuna delle N direzioni.

26 Se il fascio acustico contiene due o più frequenze (N) simultaneamente. Il fascio ottico sarà deflesso in 2 o più direzioni (N) simultaneamente. La luce è inviata in N punti con intensità che in ogni punto è proporzionale alla potenza corrispondente alla frequenza del suono di quella componente.

27 La condizione di Bragg (sin = /2 ) può essere usata per realizzare filtri acustoottici accordabili. Se e sono definiti, la riflessione si ha solo per =2 sin. Questa proprietà può essere usata per filtrare un onda ottica avente diverse frequenze. Il filtro può essere accordato variando o la frequenza f del suono. Le celle acusto-ottiche possono essere usate per realizzare isolatori ottici (valvole ottiche attraversabili da una sola parte che evitano la retroriflessione). In generale se la frequenza della luce di ingresso è quella della luce riflessa è r = ±. Poichè << normalmente si considerano uguali. Questi dispositivi si basano su questa considerazione. Per cui il fascio subendo due deflessioni ha frequenza diversa rispetto a quello di input di 2 volte la frequenza del suono e quindi il filtro la può bloccare.