Fit. Capitolo Inferenza sui parametri di una legge

Transcript

1 Capitolo 12 Fit La prima part di qusto capitolo consist in smpi di applicazion dll formul ottnut con il mtodo di minimi quadrati. Pr comodità l formul ncssari vngono riportat qui, anch s pr i dttagli dll drivazioni si rimanda altrov (ad smpio la VI part dll dispns di probabilità). Comunqu, al fin di non far risultar l argomnto scollato dalla trattazion prcdnt, nl primo paragrafo vin introdotto il problma dal punto di vista gnral. Succssivamnt vin proposto un mtodo grafico ch prmtt di ottnr gli stssi risultati di fit fatti automaticamnt mdiant l formul di cui sopra. Qusto mtodo vin illustrato mdiant un smpio numrico dttagliato. Un argomnto important è qullo di com valutar l incrtzz dovut ad rrori sistmatici ch possono avr inficiato i dati sui quali sono stati fatti i fit. Il problma può ssr trattato in modo formal automatico introducndo la matric di covarianza di punti ossrvati (una sprssion impropria pr dir ch la vrosimiglianza di dati ossrvati è data da una distribuzion normal multivariata ). Si è prfrito invc analizzar alcuni di rrori tipici ch si possono prsntar nll misur mostrar com sia possibil valutar l incrtzza associata ad ssi in un modo smplic sicuramnt molto più chiaro d istruttivo dlla scatola nra dll formul di minimi quadrati con matric di covarianza Infrnza sui paramtri di una lgg Supponiamo di avr misurato dll coppi di grandzz fisich, di avrn ossrvato l andamnto su un grafico, di avr ipotizzato il tipo di funzion matmatica ch lga asciss ordinat di volr dtrminar i paramtri dlla funzion. Considriamo il smplic caso di un andamnto linar: (12.1) ov con sono i valori vri dll grandzz. sono paramtri di valor ignoto, ovvro numri alatori rali (avrmmo dovuto usar l lttr maiuscol, ma, com già fatto prcdntmnt in altri casi prfriamo usar lo stsso simbolo con il qual tali grandzz vngono usualmnt indicat).

2 H 238 Fit Indichiamo con la coppia di valori ossrvabili, dati i paramtri, il valor vro (il valor vro è univocamnt dtrminato dalla (12.1)), la cui vrosimiglianza corrispondnt è data, assumndo un modllo normal pr gli rrori, da! " # $ & ')(+* % /1 ", -. ')* & ')( * % /9 8, -. : ';* =<(12.2) * La vrosimiglianza acquista una forma più smplic quando >@?. Infatti ciò significa ch è, dal punto di vista pratico, univocamnt dtrminata dal valor ossrvato: #. La vrosimiglianza si riduc 1 a! & ')( * % /9 8, -$. ')* < (12.3) S abbiamo tant coppi di valori misurati l condizioni sprimntali sono tali ch l possibili fluttuazioni dll ordinat intorno ai loro valori vri sono indipndnti, abbiamo! A " # (12.4) ov con sono stati indicati i vttori (n-tupl) contnnti i punti ossrvati. Applicando il torma di Bays ottniamo finalmnt CB A " # EDF < (12.5) EDF Assumndo una distribuzion inizial uniform una distribuzion final circa normal (bivariata), il problma si riconduc a calcolar il massimo dlla distribuzion final, ch coincid con il massimo dlla vrosimiglianza. Tal punto di massimo fornisc E G d E. In pratica si prfrisc massimizzar il logaritmo dlla vrosimiglianza quivalnt a minimizzar la quantità * com si può vrificar facilmnt. Il rsto si riduc ad un srcizio di analisi. Avndo ottnuto EGI J E I K, ov sono l funzioni ch lgano l migliori stim di paramtri ai dati sprimntali, si tratta di valutar * G, * L. Essi possono ssr calcolati dalla loro dfinizion applicata ad ottnuta dalla (12.5) dopo opportuna normalizzazion. L assunzion di approssimazion a normal bivariata di 1 S si prova a far i conti con l rgol dll matmatica lmntar si trovano risultati divrgnti. In raltà il limit va fatto intgrando la funzion pr tutti i valori di MON+P quindi far il limit pr Q N+PSRUT. Chi è familiar con lmnti di matmatica avanzata riconosc in tal oprazion l uso dllav di Dirac (vdi anch prossimo paragrafo). cg. D Agostini 2

3 G. _ 12.2 Com tnr conto anch di possibili incrtzz sull 239 smplifica * i calcoli, in quanto i paramtri possono ssr ricavati dirttamnt dalla forma dlla distribuzion snza sguir gli intgrali ncssari pr valutar G * L (vdi, ad smpio, proprità dlla distribuzion normal multivariata nlla part III dll dispns di probabilità). Il modo più smplic pr calcolar qusti conti è qullo di usar un ragionamnto di invrsion di probabilità dl tipo can-cacciator, ch funziona ni limiti ch abbiamo più volt indicato (vdi paragrafo 9.6): i possibili valori ossrvati di+ possono vrificarsi intorno ai valori vri 8 scondo gaussian: #Y[Z 89 * 8]\ i possibili valori di saranno, pr l ipotsi fatt sull assnza di rror su di ssi, in corrispondnza di loro valori vri: ^ : $\ indichiamo con i possibili valori ch si possono ottnr, quando sono calcolati sull possibili ossrvazioni utilizzando l funzioni ` _ J ottnut con il mtodo dscritto sopra; sono variabili casuali dipndnti dall variabili casuali (più l costanti * ) quindi è possibil calcolarn, mdiant l usuali formul di propagazion, varianz cofficint di corrlazion, ch indichiamo con a _ *, _ L b ; passando da c _ b_d a c fd mdiant il solito ragionamnto can-cacciator, abbiamo, finalmnt (smpr assumndo ch l ipotsi di normalità sia soddisfatta): Y Z _ * 9 Y Z _8 * _9 _ L!g L h < 12.2 Com tnr conto anch di possibili incrtzz sulli Pr affrontar il problma dal punto di vista piu gnral possibil, si noti com la (12.2) prmtt di far una infrnza su tutt l grandzz incrt (in numro di j ', con j pari al numro di punti sprimntali), ovvro: CB A k ] EDF < CB l mn Assumndo una distribuzion uniform EDF, abbiamo ch c D Agostini 2

4 G. 24 * Fit 1. s h>? allora l gaussian ch dscrivono la probabilità di p ^ quindi intorno a divntano dll o CB A & ';(q* % * 8#, -$. 2. Il caso gnral di sr / ')* < t? può ssr trattato sattamnt nllo stsso modo, con la complicazion ch l intgral è un po più complicato. Il risultato è ub A & ';(v * 8 4% 4 * 4, -. /k ' * [ 4 * 4 6 ch si riconduc al caso prcdnt quando * w>?. Essnzialmnt ssa dic ch si sostituiscono all * 8 dll dviazioni standard ffttiv ottntu sommando in quadratura qull dll qull dll, opportunamnt propagat mdiant la drivata x+zyfx+, ch nl caso linar è sattamnt. Ovviamnt, in qusto caso la soluzion divnta più complicata, ma il problma può ssr affrontato pr itrazion, calcolando snza tnr conto dll * poi insrndo nll formul l dviazioni standard ffttiv calcolat con qusto valor di. La convrgnza è, in gnr talmnt rapida, ch, s i punti sono già stati graficati, nmmno val la pna di far troppi conti: basta valutar a occhio dal grafico usar qusto valor nl calcolo dll dviazioni standard ffttiv Formul di minimi quadrati Riportiamo dirttamnt i risultati ch si ottngono applicando i ragionamnti dscritti nl paragrafo prcdnt { nota costant Indichiamo con j numro di punti * sprimntali\ dviazion standard dll \ mdia aritmtica di valori dll asciss\ idm pr valori dll 4 ordinat\ idm pr i quadrati\ idm pr i Var"C 4 4 \ prodotti\ Cov O` < Si noti com la Var non sia lgata agli rrori dll (nulli), ma alla distribuzion di punti sprimntali proittata sull ass dll asciss. Con qusto c D Agostini 2

5 j v _ * 12.3 Formul di minimi quadrati 241 formalismo abbiamo quindi: } Cov ~ (12.6) * G Var ƒ ~ % & * (12.7) j _ } (12.8) * 4 * G Var2 4 Var & (12.9) j;ˆ L 4 ŠŒ sgno % Var Ž8 Ž < (12.1) Si noti la dipndnza dll incrtzz dalla dviazion standard ch dscriv la distribuzion dgli rrori sull+, dal numro di punti sprimntali (il solito % y & j ), dal braccio di lva di punti sprimntali (quantificato da Var" ), pr quanto riguarda l intrctta, dalla distanza dl baricntro di punti dall ass. Il cofficint di corrlazion è pari a zro quando la coordinata dl baricntro di punti sprimntali è pari a, mntr aumnta in modulo quando i punti sono molto distanti. Il suo sgno è ugual a qullo dlla coordinata dl baricntro. Si faccia inoltr a non confondr qusto il corrlazion fra con qullo fra, ovvrol O. Si noti, inoltr, com l quazion 12.8 indica ch il baricntro di punti dbba appartnr alla rtta ottnuta dal fit. Qusto rapprsnta un modo rapido pr vrificar ch non ci siano rrori di calcolo { 8 ignot suppost costanti * Tutt l formul prcdnti valgono ancora. La sola diffrnza consist nl fatto ch va valutato dagli scarti fra l asciss di punti sprimntali qull dlla rtta ch mglio approssima i punti, ovvro qulla in corrispondnza di EG E. Si è già fatto cnno a qusto mtodo nl paragrafo In analogia con la dviazion standard, si calcola la radic quadrata dlla mdia di quadrati dgli scarti fra l funzioni calcolat in. Inoltr, com spigato nl paragrafo 1.5.1, il problma divnta complicato quando il numro di punti sprimntali è piccolo. Con i dovuti cavat sprssi in tal paragrafo, il modo usual ' ch va nlla dirzion giusta di trattar il problma è di, anziché pr j, la somma di quadrati di rsidui. Quindi la dividr pr j formula pratica è cg. D Agostini 2 * ' _ 4 < (12.11)

6 j G. 242 Fit { 8 divrs not a priori Quando l dviazioni standard ch dscrivono i possibili rrori sull ordinat sono not, ma divrs fra loro valgono ancora l formul (12.6)-(12.1), con l sgunti variazioni: tutt l mdi (, 4, ) sono calcolat com mdi psat con psi pari gli invrsi dll varianz dll : * % \ * la combinazion 4 yfj ch compar nl calcolo dll dviazioni standard di paramtri è sostituita dall invrso dlla somma di psi: * 4 > % < 12.4 Esmpi di applicazion dll formul di fit Incrtzz ignot prsuppost uguali Qusto è sicuramnt il caso più intrssant pr l applicazioni di laboratorio. Infatti non smpr è possibil valutar l dviazioni standard associat agli rrori casuali riptndo molt volt l misur a parità di condizioni. Inoltr anch riptndo l misur si potrbb non tnr conto di possibili fluttuazioni ch dipndono dal valor dl misurando (vdi discussion sugli rrori sistmatici, paragrafo 12.7, primo punto). Com smpio numrico, considriamo i dati dll allungamnto dlla molla in funzion dlla massa applicata (vdi tablla 2.5). Si noti l assnza, a qusto livllo, di incrtzz associat all misur. Infatti ogni stima sarbb arbitraria, com discusso lungamnt ni capitoli prcdnti. I valori sono stati riportati con tutt l cifr ch si riuscivano ad apprzzar sugli strumnti. Si noti com gli studnti abbiano dciso, nonostant l raccomandazioni contrari, ch, dat l condizioni di lavoro, foss difficil ffttuar lttur al di sotto dl millimtro. Vdrmo nl sguito s, con il snno dl poi, avrbbro dovuto sforzarsi un po quali sono l consgunz sul risultato. Riportiamo nlla tablla % ' <% i dttagli di calcoli. I simboli Ž, Ž, :, Ž stanno pr l sommatori di intrss. Si noti com il numro di cifr dlla tablla non è lgato all rgol sull cifr significativ, scondo l c D Agostini 2

7 ' 12.4 Esmpi di applicazion dll formul di fit 243 Sri 1 Sri 2 Sri 3 Mdia Ž (kg) Ž (kg4 ) (mm) Ž (kg mm) (kg) (kg4 ) (mm) (kg mm) Var Cov ~ (mm/kg) (mm) * (mm) * * G (mm/kg) (mm) L Tablla 12.1: Dttagli dl fit di dati dll allungamnto dlla molla. raccomandazioni ch durant i conti è mglio portarsi ditro molt cifr (vdi ad smpio nota al paragrafo 5.14). I risultati finali si danno invc scondo l rgol. Ad smpio, pr la 1.a sri: 'F'n <%š % < mm/kg (12.12) wœ ' <ž? <ž mm (12.13) L? œe < Ÿ < (12.14) Si noti inoltr com il cofficint di corrlazion non sia un optional, ma faccia part intgrant dl risultato (vdi anch 12.5 discussion nl paragrafo 12.8, in particolar punti 8 1). La quarta colonna dlla tablla è ottnuta utilizzando gli allungamnti mdi. Si noti com l informazion sui paramtri ch si ottin mdiando l tr sri di misur è approssimativamnt ugual (sia com valor ch com dviazion standard) a qulla combinando dirttamnt'f i tr risultati. Ad mm/kg, contro smpio 'F'F' la mdia di tr valori di 'F'F' è pari a <ž '? < F? < Ÿ < mm/kg ottnuto dagli allungamnti mdi. cg. D Agostini 2

8 G. 244 Fit Figura 12.1: Esmpi di fit nl caso di rrori normali, ma con dviazioni standard divrs da punto a punto. I dati sprimntali sono simulati lungo una rtta di paramtri ; [ w ; ª « Incrtzz not divrs fra loro Facciamo anch un smpio di un fit con incrtzz sull ordinat not a priori divrs una dall altra. Dati risultati sono riportati in tablla La figura 12.1 mostra i punti dlla tablla 12.2, con l rispttiv barr di incrtzza, la rtta ottnuta dal fit (lina continua) Rtt di calibrazion d strapolazion Molto spsso, una volta sguito un fit su di punti sprimntali, si è intrssati al valor vro di ch corrispond ad un dato valor di. Chiaramnt la sua miglior stima è data dalla rtta ch driva dal fit, in quanto 2 [ [ E )C EG $ E 2 [ < (12.15) L incrtzza su è ottnuta dalla propagazion dll incrtzz, tndndo conto (di fondamntal importanza!) dl trmin di corrlazion: * 4 u x x 4 * 4 G # x x 4 * 4 ' x x x x L * G * * 4 j 4 * 4 Var j (12.16) c D Agostini 2

9 œ < œ 12.5 Rtt di calibrazion d strapolazion 245 * ²± Ž Ž Ž Var" Cov ~ ' œf³ '?? <žÿ %? Ÿ$<? < <? L? œ <žÿ Tablla 12.2: Dati sprimntali simulati lungo una rtta avnt paramtri [ «) µ w. cg. D Agostini 2

10 246 Fit ov * 4 yfj va sostituito nl modo indicato nl paragrafo prcdnt s l incrtzz sono divrs. L drivat vanno calcolat, com solito in corrispondnza di. I conti vngono lasciati pr srcizio. Si noti l andamnto di * ) in funzion di. Essa è minima in corrispondnza di punti sprimntali, in quanto tutt l informazioni contribuiscono a costringr (probabilisticamnt) il valor di in un piccolo intrvallo intorno alla rtta. A mano a a mano ch ci allontana dai punti misurati la qualità dll informazion su si dtriora, com indicato molto chiaramnt dalla formula Qusto è mostrato in modo loqunt nlla figura 12.1, ov l du curv trattggiat indicano la banda di ƒ% * ) intorno alla rtta qull puntinat la banda di di ')* (chiaramnt l scal di di coincidono). Infin, la figura 12.2 mostra infin la qualità dlla dtrminazion di paramtri dlla dtrminazion di da a sconda di dviazion standard, numro tipo di configurazion di punti sprimntali Analisi grafica Vdiamo quali sono i passi ncssari pr un analisi grafica ch, condotta a trmin fino in fondo, produc risultati quantitativi in accordo con qulli ottnibili mdiant fit con i minimi quadrati. In molt sprinz, comunqu, non è ncssario procdr ad un analisi così accurata com qulla proposta ci si può frmar al primo passo Stima di paramtri Si traccia la rtta stimata ad occhio, crcando di passar in mzzo a tutti i punti. Qusta rtta praticamnt coincid con qulla ch si ottin con i minimi quadrati. Si ricavano quindi dal grafico du punti ch giacciono sulla rtta, ch siano bn distanziati bn lggibili. Da qusti si ricavano (l intrctta si ottin in gnr più aglvomnt in modo dirtto, com è bn noto). Pr quanto riguarda l cifr con cui rilggr i valori si noti com i punti dlla rtta sono più stabili di qulli dll singol misur quindi possono ssr riltti anch con una cifra in più. Si ottngono quindi con il numro di cifr ch sguono dall solit rgoltt sull cifr significativ Stima dll incrtzza sui paramtri riptndo l misur Il modo più smplic, ch pr l prim sprinz è indubbiamnt istruttivo, è qullo di riptr più volt la misura studiar l fluttuazioni di risultati. Si tnga conto ch, non facndo calcoli di rrori massimi né propagazioni vari, è molto facil riptr più volt l misur in alcun or. cg. D Agostini 2