TEORIA PERTURBATIVA DELL EVOLUZIONE TEMPORALE (TEORIA DELLE PERTURBAZIONI DIPENDENTE DAL TEMPO) U(t) = V (t)w (t)

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Guglielmo Simone
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1 3/3 TEORIA PERTURBATIVA DELL EVOLUZIONE TEMPORALE bozza 6/7 TEORIA PERTURBATIVA DELL EVOLUZIONE TEMPORALE TEORIA DELLE PERTURBAZIONI DIPENDENTE DAL TEMPO Calcolo approssimato dell operatore di evoluzione temporale Ĥt = Ĥ + Ĥt Cerchiamo uno sviluppo di Ut in potenze di Ĥ Ut = V tw t Nella descrizione di interazione iħ d dt V = ĤV V = V t = exp i ħ Ĥ t iħ d dt W = ĤIW W = Ĥ I t = V + tĥtv t dove ĤIt dipende dal tempo anche se Ĥ è indipendente dal tempo. Sviluppo di Dyson di W t W t = T exp i ħ = i ħ dt Ĥ I t dt Ĥ I t + i dt ħ dt T Ĥ I t ĤIt +... Al primo ordine in Ĥ W t = i ħ dt Ĥ I t Ut = V t i ħ V t dt V + t Ĥt V t Nella rappresentazione di Ĥ Ĥ u n = En u n En = ħ ωn u n Ut u n = exp i ωn t δ nn i ħ exp i ω n t dt exp i ω n t u n Ĥt u n exp i ωn t Per n = n u n Ut u n = exp i ωn t i ħ Per n n dt u n Ĥt u n u n Ut u n = i ħ exp i ω n t dt u n Ĥt u n exp i ω n ωn t

2 3/3 TEORIA PERTURBATIVA DELL EVOLUZIONE TEMPORALE bozza 6/7 Probabilità di transizione e di non transizione Lo stato al tempo t = sia uno degli stati imperturbati diciamo u i. Lo stato al tempo t si può scrivere Ut u i = n u n Ut u i u n La probabilità che la determinazione al tempo t dello stato imperturbato dia il risultato u n è P i n = u n Ut u i. Per n = f i P i f t è detta probabilità di transizione dallo stato u i allo stato u f. Per n = i P i i t = P i t è detta probabilità di non transizione o di sopravvivenza dello stato u i. L uso dell espressione approssimata dà evidentemente la probabilità di transizione P i f t al o ordine in H. L uso dell espressione approssimata dà che è un risultato ovviamente insensato P i t = + [ ħ dt u i Ĥt u i ] e che usando per P i f t l espressione al o ordine non rispetta la regola di somma P i t + i f P i f t =. Il motivo di questa contraddizione sta nel fatto che u i Ut u i contiene un termine di ordine per cui per ottenere P i t al o ordine occorrerebbe portare il calcolo di u i Ut u i al o ordine. Anziché fare questo conviene usare la regola di somma che fornisce correttamente P i t al o ordine P i t = i f P i f t.

3 3/3 TEORIA PERTURBATIVA DELL EVOLUZIONE TEMPORALE bozza 6/7 3 Transizioni indotte da una perturbazione indipendente dal tempo Se Ĥ non dipende dal tempo la diventa 3 [ exp i ω n ω n t ] u n Ut u n = ħ exp i ω n t Ĥ n n ω n ωn = i ħ exp i ω n t exp i ω n ωn t Ĥ n n ω n ωn sin ω n ωn t avendo posto n Ĥ n = u n Ĥ u n. Dalla 3 si ottiene la probabilità di transizione al o ordine in H che si può anche scrivere dove P i f t = 4 f ħ Ĥ i ωf sin ω ω i f ωi t P i f t = π ħ f Ĥ i δs /tω f ω i t δ S a x = a π x sin x/a a δx. Nota Nell ambito dell approssimazione perturbativa adottata e trascurando la dipendenza da t di δ S /t la probabilità di transizione P i f t è proporzionale a t ovvero la probabilità di transizione per unità di tempo P i f t è costante.

4 3/3 TEORIA PERTURBATIVA DELL EVOLUZIONE TEMPORALE bozza 6/7 4 Transizioni indotte da una perturbazione sinusoidale Perturbazione sinusoidale Ĥ t = T + exp iωt + T expiωt ω > T = T + +. Inserendo questa nell espressione e ponendo ω f ω i = ω fi si ha u f Ut u i = i ħ exp i ω f t f T + i dt exp i ω fi ω t i ħ exp i ω f t f T i dt exp i ω fi + ω t = [ ħ exp i ω f t f T + i ω fi ω exp i ω fi ω t ] ħ exp i ω f t f T i ω fi + ω [ exp i ω fi + ω t ] = i ħ exp i ω f t exp i ω fi ω t T f + i ω fi ω ω sin fi ω t i ħ exp i ω f t exp i ω fi + ω t f T i ω fi + ω sin ω fi + ω t Poiché π x sinx/a = δ S ax a δx per t sufficientemente grande solo uno dei due termini può essere apprezzabilmente diverso da ; precisamente si ha fattori di fase ħ f T + i ω fi ω ω sin fi ω t u f Ut u i fattori di fase ħ f T i ω fi + ω ω sin fi + ω t per ω ω fi > per ω ω fi >.

5 3/3 TEORIA PERTURBATIVA DELL EVOLUZIONE TEMPORALE bozza 6/7 5 Pertanto la probabilità di transizione è P i f t = 4 f ħ T ± i ω fi ω sin ω fi ω t. dove vale il segno superiore per ω f > ω i cioè E f > E i il segno inferiore per ω f < ω i cioè E f < E i assorbimento emissione indotta. Definendo di nuovo possiamo scrivere δ S a x = a π x sin x/a a δx P i f t = π ħ f T ± i δs /tω fi ω t. Nota Nell ambito dell approssimazione perturbativa adottata e trascurando la dipendenza da t di δ S /t la probabilità di transizione P i f t è proporzionale a t ovvero la probabilità di transizione per unità di tempo P i f t è costante. Nuova notazione La notazione risulta più semplice usando gli indici l lower u upper anziché gli indici i iniziale f finale. Allora i = l f = u ω f ω i = ω u ω l > per l assorbimento i = u f = l ω f ω i = ω u ω l > per l emissione. Inoltre Pertanto avendo posto ω ul = ω u ω l = E u E l /ħ. l T u = u l T u u = u u T + u l = u T + l. P l u t = P u l t = π ħ u T + l δs /tω ul ω t In termini delle frequenze νul = ω ul /π = E u El /h ν = ω/π risulta P l u t = P u l t = u ħ T + δs l /πtν ul ν t.

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