Capacità termica e calore specifico

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Ruggero Danieli
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1 Calori specifici

2 Capacità termica e calore specifico - Il calore si trasferisce da un corpo ad un altro fintanto che i corpi sono a temperature differenti. Potremo scrivere quindi: Q = C ΔT = C (T f T i ) - Naturalmente questo trasferimento di calore dipenderà da quanta massa è coinvolta. - La costante C che compare nella relazione è detta capacità termica ed è l inerzia termica di un corpo al variare della temperatura. - Più grande è la massa di un corpo più grande è la sua inezia termica - Pertanto risulta conveniente definire un calore specifico come la capacità termica per unità di massa, che tiene conto solo della diversa natura del materiale e non dalla massa coinvolta nel processo Q = c s m (T f T i ) Sostanza stato J/(kg K) Acqua Ghiaccio Alluminio Acciaio Diamante Grafite Rame Oro Aria (secca) Ossigeno Silice (fusa) Silice Etanolo PolisKrene liquida solido Solido solido Solido gassoso Liquido solido

3 Calore specifico: gas monoatomici Supponiamo di avere n moli di gas confinato in un cilindro e il suo stato sia descrino dal punto p. Dando calore al sistema, bloccato a volume costante, aumenterà la pressione e la temperatura. Per il I Principio deve essere: ΔE int = Q w dove Q = n c v ΔT e w = 0 (c v è il calore specifico a volume costante) Quindi per un processo isocoro ΔE int = n c v ΔT ed il calore specifico a volume costante è: c v = ΔE int /nδt. Per un gas perfe9o, c è solo energia cine?ca, quindi ΔE int = (3/2)nR ΔT e quindi avremo 3 2nRΔT c v = = R = 12,5 [ J mol K ] nδt 2 La E int si potrà anche esprimere come E int = n c v T

4 Transformazioni e calori specifici Per un gas ideale la variazione di E int non dipende dalla trasformazione termodinamica subita, ma solo dall en?tà della variazione di temperatura subita P isobara isocora adiabatica T + ΔT T ΔE int = ncδt alida per qualunque trasformazione di un gas perfetto

Calore specifico a pressione costante Supponiamo ora di fornire calore al solito sistema, mantenendo costante la pressione e lasciando variare il volume: Q = n c p ΔT.

5 Calore specifico a pressione costante Supponiamo ora di fornire calore al solito sistema, mantenendo costante la pressione e lasciando variare il volume: Q = n c p ΔT. c p sarà > di c v poiché il calore Q dovrà inalzare la temperatura e compiere lavoro esterno. Ricordiamo che ΔE int = Q w potremo riscriverla come: n c v ΔT = n c p ΔT p Δ n c v ΔT = n c p ΔT (n R ΔT)* Dividendo tutto per nδt c v = c p R c p = c v + R * Differenziale dell equazione di stato dei gas perfetti pδ = nrδt

6 Calore specifico molare molecola esempio c v [J/(mol K)] monoatomica biatomica poliatomica Ideale He Ar Ideale N 2 O 2 Ideale NH 4 CO 2 3/2 R = 12,5 12,5 12,6 5/2 R = 20,8 20,7 20,8 3R = 24,9 29,0 29,7 Per tutti i gas che possono essere assimilati a gar perfetti il calore specifico dovrebbero valere 3/2R, ma per i gas biatomici o poliatomici i c v sono diversi. Teorema dell equipartizione dell energia: Sono i gradi di libertà posseduti dalle molecole a definire in quanti modi si possa immagazzinare energia. Per ogni grado di libertà posseduto, una molecola può assorbire ½ kt di energia c v = (f/2) R = 4,16 f [J/(mol K)]

7 Gradi di libertà, c v e c p Si deve a J.C. Maxwell la soluzione del problema relativo alla deviazione dei c v in relazione dei valori previsti.

8 Lavoro di un gas perfeno Una curva isoterma, nel piano - p, è rappresentata da una iperbole. InfaN essa è il risultato di p = nrt (p = nrt/). Se T è costante p = cost Il lavoro svolto dal gas durante una espansione isoterma è: w = w = i f nrt pd i f = d i f nrt d = nrt[ln ] per una i f mole f = nrt ln Ricordiamo che il Lavoro, w, per una trasformazione isocora è nullo, per una trasformazione isobara è w = p ( f i ) e per una isoterma è w = nrt ln( f / i ). i

9 Processi adiabakci U?lizzando l equazione di stato dei gas ideali p = nrt e risolvendo rispe9o alla pressione p avremo: nrt γ = cost Se nr viene incluso nella costante avremo: T γ - 1 = cost T i γ - 1 i = T f γ - 1 f Se durante un processo Q = 0 il processo è adiaba?co ed il lavoro è w = pd = - de int Tale situazione si verifica, sia se il processo è rapidissimo, sia se avviene lentamente in un sistema ben isolato. La conclusione sarà p γ = cost dove γ è il rapporto c p /c v Scorrendo l adiaba?ca si a9raversano molte isoterme. Il processo è completamente descri9o da p i i γ = p f f γ

10 Dimostrazione di γ l Supponiamo di eseguire una lenta espansione, quindi Q = 0. l Quindi il primo principio diventa de int = - pd e ricordando (de int = nc v dt) avremo: nc v dt = - pd ndt = - (pd)/c v l differenziando l equazione di stato dei gas perfe\ (p = nrt): ( c c ) pd + dp = nrdt l sosktuendo R con c p c v (vedi poi) e ndt con - (pd)/c : p dp cp d pd + dp = pd = ( γ 1)pd + = 0 c p c Ma il rapporto dei calori specifici è γ e integrando o9eniamo: ln p + γln = cost ovvero ln p γ = cost

11 Relazione fra C e C p In una trasformazione a volume costante il primo principio porta a dire che dq = du + pd e dovendo essere d = 0 ne segue che dq = nc v dt o anche nc v dt = du Per una trasformazione a pressione costante dovrà essere nc p dt = du + pd. Essendo du v = du p risulterà nc v dt = nc p dt p d o meglio n (C p C v ) dt = pd Per l equazione di stato dei Gas Perfetti p = nrt e pd = nrdt quindi n (C p C v ) dt = nrdt ovvero C p C = R

12 Espansione libera L espansione libera è un processo adiabatico in cui il Lavoro è nullo. C è equilibrio solo allo stato iniziale e allo stato finale dell espansione. Le temperature iniziale e finale sono eguali T i = T f e per un gas ideale anche p i = p f Riassumendo: per un gas ideale le trasformazioni più interessanti sono riportate nel grafico:

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