III. TRIGONOMETRIA PIANA

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1 LGORITMI E STRUTTURE DI DTI.. 6/7 itolo 3 Tigonometi in 8 III. TRIGONOMETRI IN Tigonometi oggi Di ini di studio, sottutto nell univesità, l tigonometi è sit d molto temo. M quest disilin, un delle iù ntihe dell mtemti, è no oggi un delle iù imotnti. Mente lmeno gli elementi dell tigonometi in vengono insegnti nelle suole, l tigonometi sfei è omi onosiut ohissimo nhe t i mtemtii di ofessione. Eue le lizioni sono tntissime: nuti, togfi, geodesi e geoinfomti, stonomi, istllogfi, lssifizione dei movimenti nello szio, inemti e quindi ooti e ostuzione di mhine, gfi l loltoe. olemi di geodesi in ssumimo di onosee l distnz t i unti e e, medinte un teodolite, di essee in gdo di misue gli ngoli,, e. Voemmo onosee l distnz t i unti e, i quli eò non ossimo edee diettmente, d esemio ehé d essi i se un fiume he non iusimo d ttvese o ehé si tovno in mezzo un lude. Se le distnze sono molto gndi (mggioi di 5 km), dovemo elli ll tigonometi sfei, e distnze suffiientemente iole invee ossimo utilizze l teni vist so he i emette di lole,, e, d ui l distnz t e si ottiene ome = ( ) + ( ) onsideimo di nuovo un tingolo γ Si dto, ome nell figu, un tingolo on se di lunghezz not e in ui nhe gli ngoli e sino noti e tli he <, < 9. Voglimo lole ed. Stvolt ssumimo di tovi nel unto e di vole detemine l oiezione di sull ett t i unti e he i sono visiili, mente un ostolo visivo i imedise di detemine in modo iù dietto. Mindo d e d misuimo le distnze e e l ngolo γ, d ui on il teoem del oseno lolimo im e oi tn e. D = tovimo filmente. tn + tn e le noste iotesi tn e tn sono numei en definiti e > (f. g. ). Inolte imo tn = tn = Queste equzioni ossono essee isitte ome sistem linee di due equzioni in due inognite: tn = tn + = tn Il deteminnte tn tn di questo sistem è ugule tn + tn e quindi >. ossimo eiò lie l egol di me e ottenimo tn tn = = tn + tn tn + tn mente e ossimo, se lolimo im, use diettmente l elzione = tn. Eseizio. endendo il entimeto ome unità di misu e on l uso di un goniometo veifie le fomule on le distnze nell figu. on questo metodo ossimo isolvee due omiti elementi m fequenti di geodesi in. Gfi l loltoe e geometi L geometi viene utilizzt in molti mi dell tenologi moden: nell tomogfi omuteizzt, nell inifizione di edifii, nell ezione di nimzioni e film e uliità, nell nlisi dei movimenti di oot e stelliti. L gfi l loltoe e le disiline ffini ome l geometi omutzionle e l elozione delle immgini si sno sull mtemti. È imotnte see gli lgoitmi dll loo elizzzione medinte un linguggio di ogmmzione. È imotnte see l esentzione mtemti delle figue nello szio dlle immgini he eimo sullo shemo di un loltoe. Il mtemtio è molto vvntggito in questo. Già semlii nozioni di tigonometi e di geometi (tslzioni, otzioni, iflessioni, oodinte ientihe, i vi tii di oiezioni) e lge linee ossono endee fili o immedite ostuzioni e fomule di tsfomzione (e quindi gli lgoitmi he d esse deivno) he senz questi stumenti mtemtii isulteeeo diffioltose o non veeeo nemmeno soete. L geometi oiettiv, entemente un vehi teoi sttt e filosofi, divent di soes un teni molto utile e tsfome omiti di oiezione in semlii loli on oodinte omogenee. I onetti dell nlisi e dell geometi diffeenzile otno ll intoduzione e llo studio delle uve e suefiie di ézie, lgmente utilizzte nei ogmmi di disegno l loltoe (D, omute ided design). Molte figue ossono essee desitte medinte equzioni lgeihe; e quest gione l geometi lgei ssume notevole imotnz nell gfi l loltoe moden. uve e suefiie ossono essee dte in fome meti oue medinte un sistem di equzioni; le si di Göne fonisono uno stumento e sse d un esentzione ll lt. L toologi genele, un disilin t l geometi, l nlisi e l lge, è l se dell mofologi mtemti, mente l toologi lgei e l geometi lgei ele ossiedono lizioni ntuli in ooti. 3

2 LGORITMI E STRUTTURE DI DTI.. 6/7 itolo 3 Tigonometi in 9 Il tingolo In quest figu i segmenti e sono lleli. Nell geometi elemente si dimost he le oozioni del tingolo iù iolo sono uguli lle oozioni del tingolo gnde. io signifi he, se denot l lunghezz del segmento, llo = = Se il vloe omune di queste te fzioni viene denotto on λ, imo quindi = λ = λ = λ Un elzione nlog vle nhe e le ltezze: = λ Dti te unti,, denotimo on (, ) l ngolo t i segmenti e : Evidentemente < < 8. on e γ indihimo gli lti due ngoli ome nell figu; sesso seve solo l gndezz ssolut degli ngoli, llo si lsino vi le unte di fei. Nell im figu il tingolo iolo e il tingolo gnde hnno gli stessi ngoli, ioè (, ) = (, ) (, ) = (, ) (, ) = (, ) Si uò dimoste ed è hio intuitivmente he, dti due tingoli on gli stessi ngoli, essi ossono essee sovosti in mnie tle he si otteng un figu simile ll nost. Ogni tingolo uò essee onsideto (tlvolt nhe in iù modi - qundo?) ome unione di due tingoli ettngoli. Le fomule e i tingoli ettngoli sono tiolmente semlii; onviene quindi studie setmente i tingoli e. γ Il tingolo ettngolo Il tingolo si ettngolo, d esemio (, ) = 9. Il lto iù lungo è quello oosto ll ngolo etto, ioè, e si him iotenus, i due lti lti sono iù evi e sono detti teti. L somm dei te ngoli,, γ di un tingolo è seme ugule 8 : + + γ = 8 iò imli he un tingolo uò vee l mssimo un ngolo etto (se e ne fosseo due, il tezo dovee essee zeo e non vemmo iù un tingolo). Teoem 9. (teoem di itgo). Dto un tingolo ettngolo e osto :=, := e := ome nell figu, si h + = Il teoem di itgo (dimostto gin ) imli he l iotenus è vemente iù lung di isuno dei due teti (ehé, > ). L elzione = + uò essee nhe ust e il lolo di uno dei lti di un tingolo ettngolo dgli lti due: Tile itgoee = + = = Un til itgoe è un til (,, ) di numei ntuli ositivi tli he + =. L til itgoe si him imitiv, se, e sono eltivmente imi t di loo. Dimo un tvol delle ime tile itgoee imitive in odine esente di Gli i ossedevno già nel 97 tvole simili. ome imo già ossevto, e n > non esistono invee soluzioni dell equzione n + n = n on,, intei >. L dimostzione di questo teoem (detto ultimo teoem di Femt) è stt molto diffiile; ndew Wiles h utilizzto stumenti molto vnzti dell geometi lgei. iee de Femt (i ) sostenne di onosee un dimostzione, m non è mi stt tovt e si duit molto he si esistit. Le funzioni tigonometihe onsideimo l seguente figu, in ui,, sono ome im i lti del tingolo ettngolo iù gnde e, e sono i lti del tingolo iù iolo, he è no ettngolo. Le oozioni nell figu diendono solo dll ngolo, si h ioè = = e d iò nhe = = = Questi oti sono eiò funzioni dell ngolo he vengono dette funzioni tigonometihe e denotte ome segue: sin :=... seno di os :=... oseno di tn :=... tngente di ot :=... otngente di Dlle definizioni seguono le elzioni = sin = tn = os = ot = sin = os Eseizio 9.. lole sin 45, os 45, tn 45, ot 45. Eseizio 9.3. I vloi delle funzioni tigonometihe si tovno in telle oue ossono essee lolti on l loltie tsile oue on un semlie istuzione in qusi tutti i linguggi di ogmmzione. Rive in uno di questi modi i neessi vloi e lole l distnz d e l ltezz nell seguente figu: d m

3 LGORITMI E STRUTTURE DI DTI.. 6/7 itolo 3 Tigonometi in L dimostzione indin In un fonte indin del dodiesimo seolo si tov il seguente disegno, on un sol ol in snsito: gud! ngoli sul ehio Siome le lunghezze ssolute non sono imotnti, ossimo ssumee he l iotenus del tingolo ettngolo onsideto si di lunghezz e studie le funzioni tigonometihe sull ionfeenz di ggio. Questo i emette inolte di estendee l definizione delle funzioni tigonometihe vloi iti di, non neessimente sottoosti, ome fino, ll ondizione < < 9. Definimo im sin e os e ogni on 36 ome nelle seguenti figue: os sin = < < 9 = 9 - D esso si dedue immeditmente il teoem di itgo: Il nosto tingolo ettngolo i i lti,, on < <. llo l e del qudto gnde è ugule quell del qudto iolo iù qutto volte l e del tingolo, quindi ioè = ( ) + 4 = + + = + sin os = sin = 9 < < 8 os os < sin > os os > sin > = 8 sin os = sin = sin 8 os = sin = < < 7 os os < sin < Eseizio: Disegne l figu nel so he = e onvinesi he l dimostzione imne no vlid. = 7 7 < < 36 Il tingolo isolteo onsideimo desso un tingolo isolteo di lto. In esso nhe gli ngoli devono essee tutti uguli, quindi, dovendo essee l somm degli ngoli 8, ogni ngolo è ugule 6. os = sin = os > sin < os sin Definimo oi ogni volt 3 tn := sin os ot := os sin 6 Dll figu ottenimo q 3 h = 4 = h sin 6 = os 3 = 3 sin 3 = os 6 = tn 6 = h = 3 tn 3 3 = = h 3 qundo os is. sin. Si vede suito he quest definizione oinide on quell dt g. 9, qundo < < 9. Quindi tn = qundo entmi i vloi sono definiti. ot Se è infine un numeo ele qulsisi (non neessimente omeso t e 36 ), esiste seme un numeo inteo n tle he = n 36 + on < 36 e ossimo definie os := os, sin := sin, tn := tn, ot := ot. In mtemti si identifi l ngolo on l lunghezz dell o desitto sull ionfeenz t i unti E e dell figu lto, ggiungendo eò multili del eimeto dell ionfeenz se l ngolo è immginto ottenuto doo essee gito iù volte ttono l ento. Se il ento del ehio è l oigine (, ) del ino, ossimo ssumee he E = (, ). Siome il eimeto dell ionfeenz di ggio è π, si h 36 = π. È hio he un ngolo di g è ugule g 36 π, in lte ole g = πg 36, e vieves = e ogni R. 36 π Inftti = 36 π E

4 LGORITMI E STRUTTURE DI DTI.. 6/7 itolo 3 Tigonometi in Il teoem del oseno Dto un tingolo on i vetii,, onimo no :=, := e :=. Denotimo inolte on l lunghezz dell oiezione di su misundo tie d. In modo nlogo sono definite le gndezze, e. Se l ngolo è ottuso, sà negtivo. Sono ossiili qutto situzioni: In questo so =. Si ossevi he qui è l lunghezz di tutto il segmento. Teoem.. In tutti i si, quindi in ogni tingolo, vle l elzione = + e simmeti vle nhe Il gfio dell funzione seno = + Dimostzione. Qundo =, l fomul divent = e segue diettmente dl teoem di itgo. Nei imnenti te si lolimo l ltezz del tingolo on il teoem di itgo in due modi. Nell seond figu imo ioè = ( ) = + e ui = + Similmente nell tez figu = ( ) l stess equzione di im. Nell qut figu infine imo ( ) = ( ) he è no l stess equzione. Teoem. (teoem di itgo inveso). Un tingolo è ettngolo on l iotenus se e solo se = + Dimostzione. Dll figu in lto dest g. 9 si vede he il tingolo è ettngolo on iotenus se e solo se = (oue, equivlentemente, = ). L enunito segue dl teoem eedente. Teoem.3 (teoem del oseno). = + os Dimostzione. = os in tutti e qutto i si del eedente teoem (f. le definizioni degli ngoli sul ehio gin ). Fendo eoee l sse ele e iotndo sin ome odint, ottenimo il gfio dell funzione seno. sin π π L eiodiità di seno e oseno os( + 36 ) = os sin( + 36 ) = sin e ogni numeo ele, ome segue dlle definizioni dte gin. Invee di 36 ossimo nhe sivee π, quindi os( + π) = os sin( + π) = sin e ogni numeo ele. Le funzioni sin e os sono quindi funzioni eiodihe on eiodo π. lte oietà di seno e oseno os( ) = os sin( ) = sin e ogni numeo ele, ome si vede di disegni gin. Il oseno è quindi un funzione i, il seno un funzione disi. Teoem.4 (teoem di ddizione). sin( + ) = sin os + sin os os( + ) = os os sin sin Dimostzione. osi di nlisi. Eseizio.5. Dimoste le fomule sin( + π/) = os os( + π/) = sin sin(π/ ) = os os(π/ ) = sin sin(π ) = sin os(π ) = os Teoem.6. sin + os =. Dimostzione. iò segue diettmente dlle definizioni geometihe. Mente queste oietà lgeihe delle funzioni tigonometihe imngono vlide nhe e un gomento omlesso, iò non è iù veo e le disuguglinze sin e os. Inftti, se dll nlisi omless ntiiimo le fomule os z = eiz + e iz sin z = eiz e iz vlide e ogni numeo omlesso z, vedimo he d esemio os i = e + e, quindi e ele e tendente d infinito (in questo so e tende ) os i si omot ome e e tende quindi fotemente d infinito. i π π π 3π 4π 5π 6π sin, os e tn Queste funzioni, definite sinist, sono deteminte dlle seguenti elzioni: ome si vede dll figu e ome sà dimostto igoosmente nel oso di nlisi, l funzione seno è iniettiv sull intevllo hiuso [ π, π ] e ssume su questo intevllo tutti i vloi ossiili e il seno, ioè tutti i vloi t - e. ossimo quindi definie un funzione iiettiv sin : [ π, π ] [, ]. L inves di quest funzione viene denott on sin. In modo nlogo si definisono l inves os dell funzione iiettiv os : [, π] [, ] e l inves tn dell funzione iiettiv tn : ( π, π ) (, ). sin = sin = e e π π os = os = e e π tn = tn = e < < e π π

5 LGORITMI E STRUTTURE DI DTI.. 6/7 itolo 3 Tigonometi in L e di un tingolo onsideimo un tingolo ome nell figu: osihé 6 e = s (s ) (s ) (s ) e quindi e = s(s )(s )(s ) Esemio.. Misundo on l ig (in mm) i lti del tingolo h ome mostno le illustzioni gin, l ltezz h è seme ugule d h = sin, nhe qundo non è omeso t e 9. D lt te l e del tingolo è ugule h/, osihé ottenimo l fomul fondmentle e l e di un tingolo: imo = 3, = 37, = 57, s = 6, e ui e = = l e è quindi on uon ossimzione ugule 4.98 m. e = sin oosizione.. on le stesse notzioni l e di un tingolo uò essee lolt nhe on le fomule e = 4 ( + + ) ( ) = s(s )(s )(s ) dove imo osto s := + +. L seond fomul è sesso itt ome fomul di Eone. Dimostzione. Dll fomul fondmentle imo im 4 e = sin = ( os ) () e il teoem del oseno = + os osihé os = + quindi 4 e = 4 ( + ) d ui e os = ( + ) 6 e = 4 ( + ) 4 = = + + ( ) imo osì ottenuto l im fomul. () ossimo eò nhe sivee, usndo iù volte l fomul = ( + )( ), 4 ( + ) = ( + + )( + ) = (( + ) )( ( ) ) = ( + + )( + )( + )( + ) oodinte oli nel ino Si = (, ) un unto del ino ele. e i Si vede he, se (, ), llo = os = sin dove = +, mente l ngolo è univomente deteminto se hiedimo < π. Nel so = (, ) l esentzione (*) imne vlid on = e qulsisi, l iiettività dell (*) viene quindi meno nel unto = (, ). Sivimo desso e i := (os, sin ) ome imo già ftto nel disegno; llo l elzione (*) uò nhe essee sitt nell fom = e i Questo odotto di on e i uò essee inteetto ome odotto dello sle ele on il vettoe e i di R ed è llo stesso temo il odotto dei numei omlessi ed e i ome si dimost nei osi di nlisi. oodinte ilindihe nello szio Dll figu si vede he un unto = (,, z) dello szio uò essee esentto nell fom = os = sin z = z z (*) osihé 6 e = ( + + )( + )( + )( + ) osto, ome nell enunito, + + = s, imo eò + = s = (s ) e nello stesso modo + = (s ) e + = (s ) e i L esentzione è univo e quei unti e ui (, ) (, ), quindi e tutti i unti he non si tovno sull sse z.

6 LGORITMI E STRUTTURE DI DTI.. 6/7 itolo 3 Tigonometi in 3 oodinte oli (o sfeihe) nello szio Un unto = (,, z) dello szio tidimensionle uò nhe essee esentto ome nell figu seguente: ϕ ρ z ρe i vendo ρ = os ϕ, si vede he on = os os ϕ = sin os ϕ z = sin ϕ < π π ϕ π Quest esentzione è quell he si us nelle oodinte geogfihe di un unto dell te o dell sfe eleste: = longitudine, ϕ = ltitudine. nhe in questo so l oisondenz non è iiettiv, ehé non solo e = (,, ) l esentzione è vlid e = e vloi iti di e ϕ, m nhe e ogni lto unto (,, ) dell sse z isogn oe ϕ = 9 e quindi os ϕ = e sin ϕ = se z > oue ϕ = 9 e quindi os ϕ = e sin ϕ = se z <, e llo ogni v ene. Quindi su tutt l sse z le oodinte oli non sono univomente deteminte. Sesso l osto di ϕ si us θ := 9 ϕ, quindi os ϕ = sin θ e sin ϕ = os θ Molte funzioni dell mtemti e dell fisi esentno simmetie. un funzione f = f(,, z) definit su R 3 (e semliità, m sesso isogneà studie ene il iù dtto dominio di definizione) ossimo ssoie l funzione g = g(,, ϕ) definit d g(,, ϕ) := f( os os ϕ, sin os ϕ, sin ϕ) he in so di simmetie uò vee un fom nliti molto iù semlie dell f. f(,, z) = + + z d esemio divent osì g(,, ϕ) =, un funzione di un sol viile notevolmente iù semlie. lte volte un funzione diende solo dll diezione e quindi non d ; in questo so g è un funzione di sole due viili e nhe quest è un imotnte semlifizione. Nello stesso modo si usno le oodinte ilindihe e le oodinte oli ine. Rotzioni nel ino onsideimo l lizione f d R in R he onsiste nel uote un unto v = (v, v ) e l ngolo fissto in senso ntioio. È hio he f (λv) = λf (v) e ogni λ R e dl disegno si vede he nhe f (v + w) = f (v) + f (w) e v, w R. Un otzione è quindi un lizione linee. w v v + w Si e, e l se noni di R. llo v = v e + v e, eiò f (v) = v f (e ) + v f (e ). «os M f (e ) = e f sin (e ) = f (e ) è il vettoe mgio di f (e )! Quindi f (v) = v os sin «Se e un mtie = «v + v definimo v =, v + dv vedimo he ossimo endee «os sin = sin os sin os «. ««sin v os v + v = sin os v sin + v os «d R Notimo nhe he le olonne di sono oio f (e ) e f (e ). Eseizi e gli sitti 4. e i(+) = e i e i e, R. 5. Dll figu si vede he l lunghezz dell od (ioè del segmento di ett) t e è ugule sin(/), mente l distnz (ioè l o) d sul ehio t e (nell iotesi < π) è ugule d. Il vettoe mgio e un vettoe z = (, ) del ino il vettoe z := (, ) he si ottiene d z e otzione di 9 in senso ntioio si him il vettoe mgio di z. Questo vettoe è molto imotnte: iià ontinumente non solo nell geometi elemente del ino, m nhe in molti ontesti dell geometi omless e dell meni! z z L funzione odle sin è oilmente l iù nti funzione tigonometi e venne tult già d Io d Niki nel seondo seolo im di isto (tvol delle ode). lole l diffeenz d, he oisonde ll eoe he si ommette usndo l osto di d e misue l distnz t i unti e sull sfe teeste, he ossiede un ggio medio di 637 km, e = km, km, 5 km, km, 5 km, km. ttenzione: Se sin = u, ome si lol? oso di lue in mtemti oso di lgoitmi e stuttue di dti Doente: Josef Eshgfälle