Capitolo 3 - Il rumore

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1 Appunti i Misure Elettriche Capitolo 3 - Il rumore Introuzione... ichiami sul rumore elettronico... stazionarietà e eroicità el processo i rumore... Il rumore come senale...4 Strumenti per l analisi el rumore...5 Bana equivalente i rumore...6 Tensione e corrente equivalenti i rumore...8 Il rumore termico... 0 Il rumore bianco aitivo aussiano... Osservazione... Potenza isponibile e potenza i rumore isponibile... 3 Fattore i rumore e cifra i rumore... 5 apporto senale-rumore in inresso e in uscita... 6 Temperatura equivalente i rumore... 9 Fattore i rumore e temperatura equivalente i rumore nei sistemi in cascata umore ranulare... umore flicker... 3 umore burst... 4 umore quantico... 5 umore i crepitio... 5 umore i fase... 6 ITODUZIOE Uno eli scopi principali ella scienza elle misure è quello i riurre le cause i errore, in moo che l accuratezza e la precisione elle misure rientrino nei limiti prefissati. La più importante sorente i errore nella strumentazione elettronica è il rumore. Per rumore inteniamo, in enerale, un qualsiasi senale estraneo a quello i interesse ma con esso interferente. Il rumore è unque sempre un qualcosa i inesierato, in quanto si sovrappone al senale i interesse (cioè il senale a misurare), causano un incremento ello scostamento ella misura al valore atteso. In enerale, il rumore si presenta in moo aleatorio, per cui è causa i un errore accientale. Talvolta, però, esso può anche non essere una funzione casuale, come a esempio quano è ovuto a raiazioni emesse a altri sistemi oppure a accoppiamenti elettrici o manetici interni o esterni al sistema. In questi casi, però, è sensato parlare i interferenza più che i rumore. Possiamo perciò affermare che, mentre li effetti ell interferenza si valutano con metoi eterministici e eterminano errori sistematici, li effetti el rumore si valutano con metoi probabilistici e eterminano errori accientali. L analisi statistica i misure affette a rumore può permettere una riuzione ell influenza el rumore sulle misure stesse e quini un milioramento ella precisione. aturalmente, in qualsiasi processo i misura l influenza el rumore può essere rilevante o meno, a secona ella sua ampiezza rispetto a quella el senale i interesse. E questo un concetto enerale: il rumore iventa

2 Appunti i Misure Elettriche - Capitolo 3 importante solo quano la sua ampiezza è confrontabile con quella el senale i interesse. A tal fine, un inicatore importante ell influenza el rumore su un qualsiasi senale è il cosietto rapporto senale-rumore (che potremo inicare inifferentemente con S o S/). Quano si effettua una misura, bisona porre molta attenzione non solo alla riuzione ell S, ma anche al moo con cui si misura l S; ovviamente, questa attenzione è commisurata al livello i precisione che si esiera ottenere. ICHIAMI SUL UMOE ELETTOICO La efinizione i rumore ata nel pararafo preceente è i natura estremamente enerale. Esistono altre efinizioni, più specifiche (per quanto possibile). ell ambito ei ispositivi elettronici, a esempio, sussiste la seuente efinizione: si efinisce rumore elettronico la fluttuazione casuale i correnti e/o i tensioni ai morsetti i un ispositivo o i un circuito. In pratica, se supponiamo i avere un circuito o un ispositivo che riceve in inresso un certo senale e ne fornisce un altro in uscita, il rumore rappresenta le variazioni sia sul senale i inresso sia sul senale in uscita rispetto ai valori che tali senali avrebbero teoricamente. La efinizione fa riferimento a fluttuazione casuale ella tensione o ella corrente. Per casuale si intene il fatto per cui le cause fisiche che enerano questo rumore, pur esseno fisicamente presenti, sfuono in parte al nostro controllo, ossia non sono a noi ben eterminabili. L esistenza el rumore elettronico è leata essenzialmente al fatto che la corrente elettrica non è una ranezza continua, ma è trasportata in quantità iscrete uuali alla carica ell elettrone; il rumore è allora associato proprio ai processi fonamentali i trasporto che avvenono all interno ei ispositivi che venono utilizzati per prourre e trattare i senali. Lo stuio el rumore è molto importante, in quanto esso consente i iniviuare ue importanti caratteristiche relative al ispositivo o al circuito in esame: in primo luoo, esso consente i iniviuare il limite inferiore per l ampiezza el senale elettrico che può essere amplificato, al ispositivo o al circuito, senza che si verifichi un sinificativo eterioramento el senale in uscita; in secono luoo, lo stuio el rumore etermina anche un limite superiore per il uaano ottenibile a un amplificatore: infatti, è possibile, aumentano in moo iniscriminato il uaano, specialmente neli amplificatori realizzati usano più ispositivi in cascata, che li stai i uscita el circuito inizino, a un certo punto, a passare alla zona attiva alla zona i interizione o i saturazione, proprio a causa ell amplificazione el rumore proveniente ali stai preceenti, eterminano quini una inevitabile istorsione. STAZIOAIETÀ ED EGODICITÀ DEL POCESSO DI UMOE Il fatto i non essere in rao i iniviuare con precisione le cause fisiche el rumore comporta che il rumore stesso non risulti mai qualcosa i eterministico. Questa casualità el rumore Se pensiamo, a esempio, a un sistema i trasmissione, per esso non è importante il livello assoluto el senale e/o el rumore che arrivano al ricevitore: infatti, in assenza i qualunque isturbo, se li amplificatori fossero in rao i amplificare un senale senza sovrapporli el rumore, il senale ricevuto potrebbe anche raiunere valori estremamente piccoli, visto che basterebbe una successiva amplificazione per riportarlo a valori accettabili. ella realtà, invece, bisona fare sempre i conti con il rumore che immancabilmente si sovrappone al senale utile: questo rumore viene in parte captato irettamente all antenna ricevente e in parte enerato internamente ai ispositivi amplificatori. Autore: Sanro Petrizzelli

3 La principale sorente i errore: il rumore comporta che esso vena analizzato con metoi statistici anziché eterministici: etto in altre parole, il rumore va consierato e stuiato come un processo stocastico. I parametri fonamentali che analizzare un processo i rumore n(t) sono essenzialmente ue: la funzione ensità i probabilità elle ampiezze el rumore, che in enerale è una funzione ello spazio e el tempo; la ensità spettrale i potenza, che inicheremo con W(f). Come veremo, queste ue funzioni sono pienamente sufficienti per efinire il rumore. Con buona approssimazione, possiamo ritenere che il processo i rumore sia un processo stocastico stazionario, ossia tale che la sua meia e la sua varianza siano costanti nel tempo e che la sua funzione i autocorrelazione ipena solo all ampiezza τ ell intervallo i tempo su cui è calcolata. Si può esprimere questa efinizione in termini più formali. A tal fine, consieriamo osservazioni el rumore nell istante t ; la meia, la varianza e la funzione i autocorrelazione sono le seuenti: n( t ) lim n i (t) σ ( t ) lim [ n i (t) n(t) ] nn (t, t i i + τ) lim La efinizione i stazionarietà impone che le prime ue quantità siano inipenenti a t e che la funzione i autocorrelazione ipena solo a τ: n n σ nn ( t ) ( t ) σ ( τ) nn i n (t, t Il tutto è ovviamente conizionato matematicamente a avere un numero elevato i osservazioni. Oltre a essere stazionario, il processo i rumore si può anche ritenere eroico, il che sinifica, al punto i vista strettamente analitico, che le stesse quantità escritte prima abbiamo le seuenti espressioni: n lim n(t)t T σ nn lim T ( τ) lim [ n(t) n] T i (t )n + τ) t i (t n(t)n(t + τ)t icoriamo che un processo stocastico, per poter essere eroico, eve necessariamente essere stazionario. + τ) 3 Autore: Sanro Petrizzelli

4 Appunti i Misure Elettriche - Capitolo 3 L eroicità è una caratteristica importante, in quanto i processi eroici permettono la valutazione ei parametri caratteristici el fenomeno tramite meie temporali i un unica funzione osservata. In altre parole, se il processo è eroico, basta consierarne una sola realizzazione per ricavarne i principali parametri statistici. Le ultime relazioni riportate icono infatti proprio questo: il valore meio n, la varianza σ e la funzione i autocorrelazione nn (τ) possono essere calcolare sulla base i un unica osservazione n(t) el processo, purché tale osservazione vena protratta su un intervallo i ampiezza T sufficientemente rane. IL UMOE COME SEGALE Un senale aleatorio, come è appunto il rumore, può anche essere usato come senale i prova per analizzare le caratteristiche ella risposta ei sistemi lineari. Per esempio, consieriamo un rumore bianco, ossia un rumore che, come veremo più avanti, presenta una ensità spettrale i potenza W(f) costante su tutte le frequenze i interesse. Supponiamo i manare tale senale, che inichiamo con n(t), in inresso a un sistema lineare, la cui corrisponente risposta sia y(t). Possiamo calcolare la funzione i correlazione tra i ue senali n(t) e y(t): ny ( τ) lim T n(t)y(t + τ) t Si può imostrare analiticamente che questa funzione coincie con la risposta impulsiva h(τ) el sistema: h( τ) ny ( τ) lim n(t)y(t + τ) t T T icoriamo che la funzione i correlazione tra ue senali è una misura ella ipenenza i un senale all altro; essa vale evientemente o quano i ue senali sono inipenenti tra loro. Il vantaio i usare l ultima relazione per stimare la funzione h(τ) è quella per cui il rumore è un fenomeno reale. Un altra applicazione in cui è possibile sfruttare il rumore è quano tale rumore si somma a un senale perioico s(t), ano il senale complessivo x (t) n(t) + s(t) Se calcoliamo la funzione i autocorrelazione i tale senale, otteniamo xx lim ( τ) lim T T x(t)x(t + τ)t lim n(t)n(t + τ)t + lim T T [ n(t) + s(t) ][ n(t + τ) + s(t + τ) ] n(t)s(t + τ)t + lim T t s(t)n(t + τ)t + lim T s(t)s(t + τ)t Abbiamo ottenuto la somma i 4 termini. Il primo termine è la funzione i autocorrelazione el rumore, che è nulla ata la casualità el processo i rumore. L ultimo termine è invece la funzione i autocorrelazione el senale perioico (eterministico), che a priori non è nulla. Scriviamo quini che Autore: Sanro Petrizzelli 4

5 La principale sorente i errore: il rumore xx ( τ) lim T n(t)s(t + τ)t + lim T s(t)n(t + τ)t + Questa relazione ci ice che possiamo rilevare la presenza ella componente perioica el senale x(t) semplicemente verificano se xx (τ) è nulla oppure no. Se risulta xx (τ) 0 per almeno un valore i τ, possiamo concluere che x(t) comprene una componente perioica. icoriamo infatti che la funzione i autocorrelazione i un senale quantifica i quanto, in meia, siano correlati tra loro i valori el senale stesso in iversi istanti i tempo. ss ( τ) STUMETI PE L AALISI DEL UMOE Cominciamo aesso a veere quali strumenti possono essere utilizzati per l analisi statistica el processo i rumore. Intanto, per inicare un processo stocastico si usa solitamente la notazione x (t), la quale rappresenta in pratica una variabile aleatoria estratta al processo al enerico istante t. el caso el rumore, useremo la notazione n(t). Il fatto che si ritena il processo i rumore stazionario ci ice che quella variabile aleatoria ha le stesse caratteristiche statistiche (vale a ire ensità i probabilità, meia, varianza e così via) quale che sia l istante t consierato. Inoltre, abbiamo etto che il rumore consiste nelle fluttuazioni casuali ella tensione o ella corrente: i conseuenza, con n(t) possiamo teoricamente inicare sia la corrente i rumore, nel caso in cui analizziamo le correnti, sia la tensione i rumore, nel caso in cui analizziamo le tensioni. Uno ei parametri maiormente utilizzati per lo stuio i un processo stocastico è il cosietto valore quaratico meio, che inicheremo con (t) E n (t). Esseno il processo n oppure con [ ] stazionario, la ipenenza al tempo può essere eliminata, per cui scriveremo semplicemente n. Il valore quaratico meio è nient altro che una misura ella potenza (statistica) associata a un senale aleatorio. Leato al valore quaratico meio c è un altro parametro, chiamato valore efficace el processo e efinito alla relazione n eff (bisona stare attenti a non confonere il valore efficace con il valore meio). Sia il valore quaratico meio sia il valore efficace el processo i rumore risultano iversi a zero (ovviamente, sono entrambe quantità positive). Tutti questi parametri sono relativi al ominio el tempo. Tuttavia, spesso è utile effettuare la propria analisi anche nel ominio ella frequenza, al fine i airare le ifficoltà i calcolo presentate, a esempio, ali interali i convoluzione. Il parametro più utile, nel ominio ella frequenza, è senz altro la cosietta ensità spettrale i potenza: questa funzione, solitamente inicata con W(f), è una funzione ella frequenza efinita in moo tale che sia soisfatta la relazione n W(f ) f ossia in moo tale che l area a essa sottesa sia proprio pari al valore quaratico meio el processo stocastico consierato. n 5 Autore: Sanro Petrizzelli

6 Appunti i Misure Elettriche - Capitolo 3 La funzione W(f) fornisce la istribuzione ella potenza meia i rumore in funzione ella frequenza e si misura in W/Hz. Il prootto W(f)f è, per efinizione, la potenza meia che il processo i rumore issipa in una resistenza i Ω nella bana i frequenza (f,f+f). Una importante proprietà ella funzione W(f) è la sua relazione con la funzione i autocorrelazione el processo i rumore, i cui è la trasformata i Fourier: W(f ) j τ τ π f nn ( )e τ Consierano che nn (t) è una funzione pari, si può anche scrivere che W(f ) 4 0 nn ( τ)e jπfτ τ Ovviamente, vale anche la trasformazione inversa; in particolare, sfruttano proprio la parità i nn (τ), si trova che la trasformazione inversa è nn ( τ) 0 W(f )cos(πfτ) f La funzione W(f) risulta particolarmente importante in funzione el iscorso seuente: supponiamo che il nostro processo stocastico n(t) entri in inresso a un sistema lineare tempoinvariante, il quale prouce una certa uscita y(t) che sarà anch essa un processo stocastico: n H(f) y Se n è il valore quaratico meio el processo in inresso, si può imostrare (e è un risultato molto noto) che il valore quaratico meio el processo in uscita è y H(f ) W(f ) f ove H(f) è la risposta in frequenza el sistema stesso (cioè la trasformata i Fourier ella risposta impulsiva) e la quantità W y (f ) H(f ) W(f ) è la ensità spettrale i potenza el senale in uscita. BADA EQUIVALETE DI UMOE Consieriamo un enerico sistema lineare tempo-invariante avente risposta in frequenza H(f). Supponiamo che l inresso el sistema sia rappresentato a un processo i rumore con ensità spettrale i potenza W n (f): Autore: Sanro Petrizzelli 6

7 La principale sorente i errore: il rumore ensità spettrale i potenza i rumore W n (f) H(f) ensità spettrale i potenza W y (f) Inicata con G y (f) la ensità spettrale i potenza ella tensione in uscita al sistema, abbiamo visto nel pararafo preceente che la ensità spettrale i potenza in uscita è W (f ) y H(f ) W(f ) per cui il valore quaratico meio el senale in uscita è ato a y H(f ) W(f ) f Mettiamoci in una conizione particolare, in cui la ensità spettrale el rumore in inresso è costante, su un certo valore α, per tutte le frequenze positive e è nulla altrove. Sostitueno nell interale, troviamo che y H(f ) W(f )f In base a questa formula, il calcolo ella potenza i rumore in uscita si può fare solo a patto i conoscere come è fatta la funzione i trasferimento el sistema (nelle frequenze positive) e a patto i poter calcolare quell interale. Spesso, la funzione i trasferimento ha una espressione complessa, per cui il calcolo i quell interale non è tanto aevole. Si preferisce allora utilizzare, come risultato i quell interale, un valore approssimato. Come si ricava questo valore approssimato? La funzione H( f) oe evientemente i ue proprietà: la prima è che è a valori non neativi; la secona è che è una funzione pari, il che sinifica che presenta, per così ire, ue parti perfettamente simmetriche rispetto alla frequenza nulla. Un esempio potrebbe essere la seuente funzione: H(f) α 0 H(f ) f B B Come inicato anche in questa fiura, è chiaro che la funzione H( f), sia nel campo elle frequenze neative sia in quello elle frequenze positive, sarà non nulla entro un certo intervallo i frequenza i ampiezza B mentre sarà nulla al i fuori i tale intervallo. Allora, calcolare l interale (monolatero) 0 H(f ) f 7 Autore: Sanro Petrizzelli

8 Appunti i Misure Elettriche - Capitolo 3 equivale a calcolare l area sottesa a una qualsiasi elle ue parti ella funzione H( f). Quest area non sarà superiore al rettanolo nel quale la curva è contenuta: H(f) B B L area i questo rettanolo è il prootto el valore massimo ella funzione H( f) per l ampiezza H(f ) B ell intervallo: posto allora ( ) MAX l approssimazione che si fa consiste nel porre (è il massimo uaano i potenza), 0 H (f ) f B per cui l espressione utilizzata per il valore quaratico i rumore (o potenza i rumore) in uscita risulta essere y α All ampiezza B si à il nome i bana equivalente i rumore el sistema consierato e è il valore usato sempre nei calcoli ella potenza i rumore. Appare ovvio, alla relazione ricavata, che il valore quaratico meio el rumore in uscita è tanto minore quanto minore è B, per cui è opportuno renere B il più piccola possibile, compatibilmente con il normale funzionamento richiesto al sistema nei confronti el senale. B TESIOE E COETE EQUIVALETI DI UMOE Abbiamo visto in preceenza che la meia, la varianza e la funzione i autocorrelazione i un processo eroico sono state efinite tramite un limite per, cioè per un tempo i osservazione infinito: n lim n(t)t T σ nn lim T ( τ) lim [ n(t) n] T t n(t)n(t + τ)t Autore: Sanro Petrizzelli 8

9 La principale sorente i errore: il rumore on poteno estenere la nostra osservazione a un tempo infinito, ovremo necessariamente conurre elle stime, faceno riferimento a tempi i osservazione finiti, e ovremo perciò saper valutare li errori conseuenti. Consieriamo a esempio il valor meio n : stimano questa quantità tramite un tempo i osservazione finito, otterremo una stima che ifferirà al valore atteso, per cui avremo un errore; questo può essere visto a sua volta come una variabile aleatoria e posseerà perciò una propria funzione i istribuzione; la conoscenza i questa funzione i istribuzione consente i preveere la probabilità ampiezza ell errore ella stima o, alternativamente, consente i valutare quanto eve essere luno il perioo T i osservazione per riurre l errore a un livello accettabile. Un caso che si presenta frequentemente è quello in cui la istribuzione eli errori commessi nella valutazione el valor meio el processo i rumore è i tipo aussiano; in questo caso, possiamo allora sfruttare tutto quello che sappiamo circa la istribuzione aussiana. Per esempio, ricorano che l intervallo i confienza [µ-σ,µ+σ] a un livello i confienza el 68%, potremo ire che il 68% elle misure ha un errore inferiore a eviazione stanar; oppure, ricorano che l intervallo i confienza [µ-σ,µ+σ] a un livello i confienza el 95%, potremo ire che il 95% elle misure ha un errore inferiore a eviazioni stanar e così via. Il rumore è una ranezza aleatoria, ma i suoi effetti sulla strumentazione elettronica vanno necessariamente comparati come quelli erivati a senali in enere eterministici. Allo scopo i quantificare li effetti el rumore, si introucono allora le seuenti ue ranezze caratteristiche: tensione (equivalente) i rumore i uno strumento: questa quantità, inicata con V n, è efinita come il valore efficace ella tensione i rumore ai morsetti i uscita, riportata all inresso, in uno strumento, consierato non rumoroso, che abbia i morsetti in cortocircuito. Veiamo i spieare questa efinizione, ossia sostanzialmente veiamo come si misura V n : chiueno in cortocircuito i morsetti i inresso ello strumento (in moo che non ci sia alcun inresso i senale), si misura il valore efficace V y ella tensione reistrata in uscita (che sarà una tensione i rumore proprio perché non ci sono altri senali in ioco); successivamente, si calcola la tensione V n, a porre in inresso allo strumento supposto aesso non rumoroso, per avere in uscita proprio V y. Talvolta, in uscita allo strumento si pone un filtro passa-bana con caratteristiche note, in moo a efinire in moo univoco la bana i frequenza alla quale ci si sta rifereno. Capita inoltre che la tensione i rumore i uno strumento non sia costante per tutte le frequenze, ma abbia una certa variabilità (eneralmente, è maiore alle frequenze più basse): per questo motivo, spesso i costruttori forniscono proprio l anamento i questa tensione in funzione ella frequenza. La V n si misura in nv / Hz per una specifica frequenza oppure anche in V con riferimento a una specifica bana i frequenza; corrente (equivalente) i rumore i uno strumento: questa quantità, inicata con I n, è efinita come il valore efficace ella corrente che circola all interno ello strumento quano questo abbia i morsetti i inresso aperti. La misura i questa quantità si basa sulla misura ella V n escritta poco fa: per prima cosa, si chiuono i morsetti i inresso ello strumento su una resistenza o su un conensatore X C, in moo che la corrente i rumore ia luoo a una tensione i rumore V y ata a i n oppure X C I n ; si va quini a misurare la tensione i rumore in uscita e la si riporta all inresso (si calcola cioè la tensione che, posta in inresso allo strumento, supposto non più rumoroso) ia in uscita proprio V y ), otteneno una certa V x ; questa tensione, tramite i valori i o X C, fornisce la corrente I n. Bisona consierare che, se si usa una resistenza in inresso, questa prouce i suo un rumore (veremo che si tratta i rumore termico), per cui la tensione V x riportata in inresso ovrà prima essere epurata i tale tensione e poi potrà essere usata per il calcolo i I n. Anche nel caso ella misura i I n è possibile preisporre un filtro passa-bana in uscita, in moo a riferirsi a una specifica bana. Inoltre, anche In possiee una certa variabilità con la frequenza (per i transistor a effetto i campo essa aumenta all aumentare ella frequenza, mentre invece per li 9 Autore: Sanro Petrizzelli

10 Appunti i Misure Elettriche - Capitolo 3 amplificatori operazionali e i transistor bipolari essa è più rilevante alle basse frequenze). La I n si misura in na / Hz per una specifica frequenza oppure anche in A con riferimento a una specifica bana i frequenza. IL UMOE TEMICO Il tipo i rumore sicuramente prevalente nei ispositivi elettronici è il cosietto rumore termico : se preniamo un resistore fisico enerico, mantenuto isolato a qualsiasi circuito (posto cioè in conizioni i circuito aperto), e collehiamo i suoi morsetti a quelli i un oscilloscopio molto sensibile, osserviamo elle leere fluttuazioni i tensione, che costituiscono appunto il rumore termico. Da un punto i vista fisico, la causa el rumore termico è il continuo e isorinato moto i aitazione termica eli elettroni nel resistore. Lo stuio i questo rumore ha portato a concluere che si tratti i un processo stocastico avente istribuzione normale (o aussiana) elle ampiezze e valore meio nullo (come etto ià in preceenza). Inoltre, inicata con la resistenza el resistore, con T la temperatura alla quale esso si trova e con k la costante i Boltzmann (.38*0-3 Joule/ Kelvin), la ensità spettrale (monolatera) i potenza i tensione i rumore (misurata in V /Hz) risulta avere espressione W (f ) 4kT Le principali caratteristiche i questa funzione sono la iretta proporzionalità con e con T e l inipenenza alla frequenza (a cui iscene l espressione rumore bianco). E bene però precisare che questa espressione vale riorosamente per frequenze inferiori a 0 (Hz): consierano che tali frequenze sono quelle in uso nell elettronica e nei normali sistemi i comunicazioni, essa va più che bene 3 ; se invece si sale con la frequenza, allora l espressione iventa più complicata e precisamente la seuente: W(f ) 4kT In pratica, alle alte frequenze bisona consierare quel termine frazionario, che invece a frequenze inferiori a 0 Hz risulta essere approssimativamente pari a (basta sviluppare in serie il termine esponenziale, arrestanosi al secono termine). Per risalire, alla ensità spettrale i potenza i tensione i rumore, al valore quaratico meio ella tensione i rumore, obbiamo interare la ensità spettrale i potenza su tutte le frequenze positive. Anziché, però, effettuare l interazione tra 0 e, ci limitiamo a un enerico intervallo monolatero i frequenza [ 0, + B], che supponiamo sia quello nel quale il resistore eve lavorare (oppure quello entro il quale viene effettuata la misura): il risultato ella interazione è allora e hf kt hf kt Il rumore termico è anche noto come rumore i yquist o anche rumore i Johnson. 3 Le frequenze consierato coprono in pratica il campo elle raioone attualmente utilizzate; al i sopra i tali frequenze intervenono fenomeni quantistici che fanno ecrescere il rumore enerato. Autore: Sanro Petrizzelli 0

11 La principale sorente i errore: il rumore v B W(f )f 4ktf 0 B 0 4kTB Questa relazione inica, come è abbastanza raionevole aspettarsi, che il rumore termico è irettamente proporzionale alla temperatura. Esso quini tene a 0V per T che tene a 0( K). Ovviamente, faceno la raice quarata i v si ottiene il valore efficace ella tensione i rumore termico: veff v 4kTB Veiamo allora come è possibile tenere conto ella presenza el rumore termico nel moello circuitale i un resistore: se non consieriamo il rumore, ossia consieriamo il resistore ieale, sappiamo bene che il moello circuitale è semplicemente ossia un elemento banalmente caratterizzato alla equazione i funzione VI. Viceversa, al fine i tenere conto el rumore, basta aiunere un eneratore i tensione i valore quaratico meio pari a v 4kTB, ove B è sempre la bana monolatera el sistema i misura: il moello circuitale iventa perciò il seuente: v 4kTB Facciamo osservare che, nel eneratore i tensione, non sono stati inicati né il valore istantaneo né le polarità: ciò eriva proprio al fatto che non possiamo preveere né l una né l altra cosa, per cui possiamo solo consierare il valore quaratico meio i quella tensione. el fare i calcoli, obbiamo ovviamente consierare, come tensione i rumore, la quantità v eff v. Quello è unque il moello i un resistore reale e è evientemente il moello i Thevenin. e esiste anche un altro, etto moello i orton, il quale tiene conto, anziché ella tensione i rumore, ella corrente i rumore, il cui valore quaratico meio risulta essere 4kTB i 4kTBG e eriva alla funzione ensità spettrale i potenza ella corrente i rumore Il moello è il seuente: 4kT W I (f ). Autore: Sanro Petrizzelli

12 Appunti i Misure Elettriche - Capitolo 3 4kTB i Il rumore bianco aitivo aussiano Abbiamo prima trovato che la ensità spettrale i potenza el rumore termico è W (f ) 4kT e abbiamo sottolineato come si tratti i una funzione costante al variare ella frequenza f. In termini i armoniche, ciò sinifica che tutte le armoniche alle iverse frequenze hanno la stessa ampiezza. Un rumore così fatto prene il nome i rumore bianco, in contrapposizione al rumore colorato, per il quale la S(f) è variabile con f. Un altra cosa che è stata verificata, come etto, è che questo rumore termico ha una istribuzione i probabilità elle ampiezze i tipo aussiano e è questo il motivo per cui si parla i rumore bianco aitivo aussiano o, più brevemente, AWG. Il termine aitivo, come veremo in seuito, inica che questo tipo i rumore si somma semplicemente al senale utile. Osservazione In enere, la tensione equivalente i rumore termico è molto bassa, ell orine ei µv, ma essa può comunque are problemi, specialmente quano aisce all inresso i un amplificatore con un uaano molto elevato: in questi casi, infatti, proprio l elevato uaano può are in uscita tensioni ell orine i frazioni i Volt, anche in assenza i ulteriori senali applicati all amplificatore. Facciamo allora un esempio pratico, consierano un amplificatore con uaano i tensione pari a 0 6 e una bana equivalente i rumore i 0 khz. Supponiamo l amplificatore otato i una resistenza interna i kω, la quale quini prouce una tensione i rumore termico. Il valore quaratico meio ella tensione i uscita è y H(f ) W(f )f 4kT 0 H(f ) f 4kT B Il corrisponente valore efficace, che quini rappresenta la tensione equivalente i rumore in uscita all amplificatore, è unque v out y 4kT B 4kTB Il termine non è altro che il uaano i tensione. Assumeno che la temperatura sia T300K, quella relazione à una tensione i uscita i circa 0.V. Se questo amplificatore è all interno i uno strumento, questo valore così alto i tensione equivalente i rumore può chiaramente limitare in moo pesante la risoluzione ello strumento stesso. Per minimizzare la tensione equivalente i rumore termico, che è sempre presente in qualsiasi ispositivo in cui vi sia materiale conuttore, è necessario riurre quanto più possibile la resistenza Autore: Sanro Petrizzelli

13 La principale sorente i errore: il rumore interna ell amplificatore e limitare l ampiezza ella bana equivalente i rumore, compatibilmente con le esienze leate al senale a amplificare. A esempio, quano il senale a amplificare è a bana stretta, conviene sceliere un amplificatore accorato sulla frequenza centrale i quella stessa bana, in moo a amplificare solo le componenti i rumore contenute in quella bana e non quelle situate all esterno. POTEZA DISPOIBILE E POTEZA DI UMOE DISPOIBILE Supponiamo i avere un certo sistema elettronico (sia esso un ispositivo o un semplice circuito) in rao i trasferire potenza al carico colleato ai suoi morsetti: si efinisce potenza isponibile la massima potenza che il sistema può trasferire al carico. Dall elettrotecnica ci ricoriamo un fonamentale teorema circa la potenza trasferibile a un sistema a un carico: si tratta el cosietto teorema el massimo trasferimento i potenza, secono il quale un sistema è in rao i trasferire su un carico, rappresentato a una certa impeenza &z L, la massima potenza possibile solo quano ( z) z& & * L ove &z è l impeenza i uscita el sistema stesso, ossia l impeenza vista al carico. Veiamo come ci può essere i aiuto questo nei iscorsi che stiamo faceno. Come circuito monoporta consieriamo il moello circuitale prima ricavato per un resistore i resistenza affetto a rumore termico: v 4kTB E chiaro che la presenza i quel eneratore i tensione (che poi è la tensione i rumore) conferisce a questo circuito la capacità i trasferire una certa potenza all eventuale carico connesso ai morsetti. Se questo carico consiste in una certa impeenza &z L, il teorema prima enunciato ci ice che il massimo trasferimento i potenza si ha quano tale carico è pari al complesso coniuato ell impeenza el circuito i alimentazione: tale impeenza è reale e pari a, per cui il massimo trasferimento i potenza si avrà su un carico pari a sua volta a : v ( t) 4kT f Quini, in questo circuito la potenza trasferita sul carico è pari esattamente a quella che abbiamo efinito potenza isponibile (che, ovviamente, in questo caso è una potenza isponibile i rumore). Voliamo allora valutare quest ultima: ovviamente, ato che non conosciamo il valore preciso ella tensione el eneratore, 3 Autore: Sanro Petrizzelli

14 Appunti i Misure Elettriche - Capitolo 3 ma solo il suo valore quaratico meio, ciò che possiamo calcolare è il valore meio ella potenza isponibile, efinito, in questo caso, a P ( t ) L i ( t ) Dobbiamo unque calcolare i ( t). Applicano la lee i Kirchoff elle tensioni a l equazione i v( t) funzionamento el resistore, troviamo che i( t), a cui si ricava che i ( t) v 4 ( t) e quini anche che v t P ( L t ) ( ) 4 Sapeno aesso che v ( t) 4kTB, ove ricoriamo che B è la bana i frequenza nel quale lavora il circuito, possiamo concluere che P ( L t ) ktb Abbiamo unque trovato, con questo iscorso, che il valor meio ella potenza i rumore isponibile enerata a un resistore è P ( L t ) ktb. La cosa interessante è che questo valore meio non ipene alla resistenza, ma ipene SOLO alla temperatura e alla bana i lavoro. Da questo valore meio, possiamo ricavare la cosietta ensità spettrale i potenza isponibile, che i inica i solito con G a (f): restrineno l analisi solo alle frequenze positive 4 (che sono quelle fisiche) si trova che G a (f ) Questa quantità si misura in W/Hz e è spesso espressa in B. In tutti i iscorsi in cui è coinvolto il rumore, si fa sempre l ipotesi che all inresso all uscita ei ispositivi vena trasferita la massima potenza i rumore, per cui si fa implicitamente riferimento sempre alla potenza isponibile. kt 4 el seuito, a meno i specifico avviso, li spettri (cioè le trasformate i Fourier) e le ensità spettrali (i potenza o i eneria) si inteneranno sempre unilateri, ossia efiniti solo per le frequenze positive. Spettri e ensità bilatere verranno invece usati in quei casi in cui essi concorrono a semplificare i calcoli. Autore: Sanro Petrizzelli 4

15 La principale sorente i errore: il rumore FATTOE DI UMOE E CIFA DI UMOE Consieriamo un circuito biporta che rappresentiamo meiante un oppio-bipolo: BLACK BOX Supponiamo che questo circuito sia rumoroso, ossia che esso introuca, quano riceve un senale in inresso, un rumore (che può essere tensione i rumore termico o corrente i rumore termico) ovuto alla natura fisica eli elementi a cui è costituito. Supponiamo che il circuito in esame vena alimentato a un eneratore che applica una certa tensione ai morsetti i inresso: questo eneratore presenta una propria resistenza e questo implica che esso eneri, oltre al senale utile, anche un certo rumore termico, ossia una tensione i rumore che si sovrappone a quella costituita al senale utile. Dato che voliamo stuiare il comportamento el circuito al punto i vista el rumore, supponiamo che l inresso al circuito non sia il senale utile sommato al rumore, ma sia solo il rumore: tensione i rumore Sistema rumoroso potenza isponibile (i rumore) in uscita Così come in inresso, in uscita avremo una certa tensione (che sarà evientemente tensione i rumore): aveno supposto il circuito rumoroso, ci aspettiamo in uscita un contributo ovuto al rumore in inresso, più un contributo ovuto al rumore introotto al circuito stesso. Veiamo allora i quantificare, a livello analitico, tutte queste consierazioni. Inichiamo con U la potenza i rumore (isponibile) in uscita, ossia la potenza i rumore in uscita al circuito 5. Questa potenza i uscita, come etto, sarà la somma el contributo ovuto al rumore in inresso, che inichiamo enericamente con I, e el contributo intrinsecamente introotto al sistema, che inichiamo con : quini U I + Si efinisce allora fattore i rumore il termine U F + I I ossia il rapporto tra la potenza isponibile totale i rumore in uscita e la frazione i tale potenza ovuta solo all inresso i rumore (e inipenente al rumore introotto al sistema). 5 Usiamo l aettivo isponibile in quanto abbiamo supposto verificata la conizione i aattamento 5 Autore: Sanro Petrizzelli

16 Appunti i Misure Elettriche - Capitolo 3 Da questa relazione risulta eviente che U F I ossia che la potenza (isponibile) i rumore in uscita è pari alla potenza (isponibile) i rumore in inresso moltiplicata per il fattore i rumore: a parità i uaano e i rumore in inresso, sarà miliore, perciò, tra ue sistemi, quello che presenta il fattore i rumore più basso. Il valore minimo i F è ovviamente e si ottiene per ispositivi non rumorosi, che cioè non enerano alcun rumore al loro interno. ella pratica, la conizione F non è mai ottenibile, ma è ciò a cui bisona tenere. Possiamo anche quantificare melio il termine I : infatti, aveno etto che esso corrispone al contributo proveniente alla potenza i rumore in inresso, possiamo scrivere che kt B I Veiamo come si iustifica questa relazione: intanto, il prootto kt è la ensità i potenza isponibile i rumore eroata al eneratore in inresso; B è la bana equivalente i rumore efinita nel pararafo preceente; è il uaano i potenza el circuito. Allora, se in inresso abbiamo una potenza i rumore ktb, questa potenza, entrano nel circuito, viene a esso amplificata secono un uaano (in quanto il circuito non può istinuere un senale utile al rumore, per cui effettua su entrambi la stessa azione), per cui in uscita essa iventa kt B. Sulla base i ciò, aveno etto che F +, possiamo scrivere che I F + kt B I Da questa relazione si euce che il fattore i rumore è funzione ella temperatura, per cui assume in teoria un valore iverso per oni valore i T. ella pratica, allora, si prene come valore i F per un ispositivo (o circuito) il valore misurato alla temperatura T93 K. icoriamo che il fattore i rumore, esseno un rapporto tra potenze (e quini una quantità aimensionale), è spesso espresso in B e, in questo caso, prene il nome i cifra i rumore (simbolo: F): + F 0lo 0 F 0lo0 kt B APPOTO SEGALE-UMOE I IGESSO ED I USCITA U Abbiamo prima efinito il fattore i rumore i un circuito secono la relazione F, ossia I quini come rapporto tra la potenza totale i rumore in uscita e la quota parte, i tale potenza, ovuta solo al rumore in inresso al circuito. E possibile quantificare anche in altro moo la rumorosità el circuito o ispositivo in esame, faceno riferimento questa volta el rapporto senale-rumore. Autore: Sanro Petrizzelli 6

17 La principale sorente i errore: il rumore Precisamente, ato un enerico biporta, inichiamo con inresso e con S il rapporto senale-rumore in uscita: OUT S il rapporto senale-rumore in I S I S OUT Una misura quantitativa ella rumorosità introotta al sistema è ata al rapporto tra il rapporto S/ in inresso e il rapporto S/ in uscita. Veiamo allora i quantificare melio questo parametro. Supponiamo che il senale in inresso al sistema sia la somma i un senale utile s i (t) e i un rumore aitivo n i (t): x(t) s (t) n (t) i + Analoamente, in uscita otterremo un senale y(t) che sarà ancora la somma i un senale utile e i un rumore, entrambi ovuti alle operazioni che il sistema ha compiuto sui senali in inresso: y(t) s u (t) + n i u (t) Inichiamo aesso con P Si e P i le potenze ei senali in inresso e, analoamente, con P Su e P u le potenze ei senali in uscita. Il rapporto S/ in inresso è allora P P, mentre quello in uscita è P Su P u, per cui possiamo scrivere che S S I OUT P P P P Il sistema, nel ricevere il senale x(t) i inresso, compie sostanzialmente ue operazioni: effettua le proprie operazioni sul senale i inresso e, al senale così ottenuto, aiune un rumore enerato al suo interno, ano oriine al senale i uscita y(t). Questo sinifica che esiste un preciso leame tra la potenza i senale utile in inresso e in uscita, rappresentato banalmente al uaano i potenza el sistema: inicato con tale uaano, possiamo perciò scrivere che Si i Su u Si i S S I OUT P P P P Si i Su u PSi Pi P P u Si Pi P u Pu P ni E ovvio che il iscorso el uaano i potenza è leato solo al senale utile, in quanto per il rumore bisona anche consierare il contributo i rumore enerato internamente al sistema. 7 Autore: Sanro Petrizzelli

18 Appunti i Misure Elettriche - Capitolo 3 Osservano l espressione ricavata, notiamo che si tratta semplicemente el fattore i rumore consierato nel pararafo preceente, per cui concluiamo che S S I F OUT Pu P ni In efinitiva, quini, l espressione el fattore i rumore può essere ricavata sia faceno un iscorso relativo solo al rumore, nel suo passaio all inresso all uscita el sistema, sia anche confrontano il rapporto S/ in inresso con quello in uscita. Pu Con riferimento all espressione F appena trovata, possiamo fare una ulteriore Pni consierazione. Infatti, ricoriamoci che la potenza i un processo aleatorio come il rumore coincie con il valore quaratico meio el processo stesso e noi sappiamo che tale valore quaratico meio è ricavabile interano la ensità spettrale i potenza: scriviamo perciò che Pu F P ni W u W (f )f i (f )f Mettiamoci nel caso particolare in cui il rumore all inresso sia bianco su una certa bana B e nullo altrove. Abbiamo che F W u W i (f )f (f )f Usano nuovamente il concetto i bana equivalente i rumore, possiamo are una stima peiorativa ella potenza i rumore in inresso, approssimano quell interale con α B, per cui concluiamo che F W u α Wu (f )f α B α B α B (f )f B B B Abbiamo cioè trovato che il fattore i rumore el nostro sistema è interpretabile come il rapporto tra la bana equivalente i rumore el sistema stesso e la bana el rumore in inresso. Questo risultato conferma ancora una volta la necessità i renere B la più piccola possibile. Autore: Sanro Petrizzelli 8

19 La principale sorente i errore: il rumore TEMPEATUA EQUIVALETE DI UMOE Supponiamo i avere un enerico sistema in inresso al quale iuna un senale con sovrapposto el rumore, che supponiamo sempre essere un rumore aussiano bianco. Tale rumore (che, per esempio, può essere il rumore prootto alla resistenza interna i un eneratore che alimenta il sistema) si può evienziare meiante un eneratore equivalente i rumore, la cui ensità spettrale i potenza isponibile sarà kt (ove il peice sta per eneratore ): senale utile con sovrapposto rumore aussiano bianco Sistema rumoroso y(t) Il sistema che riceve tale senale affetto a rumore è un sistema reale e quini, come tale, rumoroso: esso aiune cioè ell altro rumore a quello ià presente (basti pensare a un amplificatore che, esseno realizzato meiante ispositivi attivi, comprene svariate cause i rumore). Al fine i incluere questo nuovo contributo i rumore nel nostro moello, così come fatto nel caso el sinolo resistore rumoroso, è molto comoo rappresentare il sistema come ieale (cioè non rumoroso) e consierare un ulteriore inresso i rumore, opportunamente quantificato: s(t) s(t) Sistema y(t) Sistema y(t) + rumoroso non rumoroso rumore equivalente Con s(t) si è inicato il senale, affetto a rumore, in inresso al sistema rumoroso: la corrisponente uscita y(t) è la stessa che si ottiene allo stesso sistema, ritenuto però non rumoroso, quano l inresso è rappresentato alla somma i s(t) e i un rumore equivalente. Dobbiamo allora capire come quantificare questo rumore equivalente: si usa allora il concetto i temperatura equivalente i rumore el sistema consierato. Supponiamo che il rumore in inresso al sistema reale sia prootto a un eneratore a temperatura T O (per esempio a un resistore reale a tale temperatura); sia y(t) l uscita corrisponente; se aesso supponiamo il sistema ieale, ci chieiamo i quanto obbiamo aumentare la temperatura T O i funzionamento el eneratore per ottenere a tale sistema la stessa uscita y(t) i prima. La schematizzazione è cioè la seuente: eneratore i rumore a temperatura T O Sistema rumoroso y(t) eneratore i rumore a temperatura T eq +T O Sistema non rumoroso y(t) 9 Autore: Sanro Petrizzelli

20 Appunti i Misure Elettriche - Capitolo 3 Il suetto aumento i temperatura è la temperatura equivalente i rumore. Questo moo i proceere è utile per la eterminazione i T eq sulla base elle formule esaminate nei pararafi preceenti: infatti, abbiamo trovato nel pararafo preceente che la potenza isponibile i rumore in uscita è ata a kt B + U 0 ove il primo termine rappresenta il contributo ovuto al eneratore in inresso, che funziona alla temperatura T 0, mentre il secono termine rappresenta il contributo el rumore interno al sistema. ell ipotesi che il sistema sia ieale, per cui 0, e che il eneratore in inresso vena portato alla temperatura i lavoro T 0 +T eq, il contributo ovuto al rumore in inresso iventa k (T ) e quini la potenza isponibile i rumore in uscita risulta essere proprio k(t U 0 eq ) B 0 eq B Uualiano le ue espressioni ottenute per u, si ottiene facilmente che T eq k B Quini, la temperatura equivalente i rumore è un parametro che ci consente i simulare il comportamento el sistema, al punto i vista el rumore, assumeno il sistema stesso ieale e faceno risalire il rumore enerato interamente a quello che arriva in inresso. Detto anche in altre parole, il sistema iventa ieale e tutte le cause i rumore venono poste a monte i esso. E facile trovare il leame esistente tra la temperatura i rumore appena efinita e il fattore i rumore, che ricoriamo avere, per una temperatura i funzionamento TT 0, l espressione F + kt B Confrontano questa relazione con l espressione i T eq, si euce che 0 F + T T eq 0 C è una fonamentale ifferenza tra il moello che noi otteniamo usano la temperatura equivalente i rumore e quello che otteniamo usano il fattore i rumore: la temperatura equivalente i rumore esprime infatti il rumore introotto al sistema meiante un termine aitivo, mentre invece, come visto in preceenza, il fattore i rumore rappresenta tale rumore con un fattore moltiplicativo che, applicato alla ensità spettrale el rumore realmente presente in inresso, fornisce la ensità spettrale el rumore a consierare in inresso. Autore: Sanro Petrizzelli 0

21 La principale sorente i errore: il rumore FATTOE DI UMOE E TEMPEATUA EQUIVALETE DI UMOE EI SISTEMI I CASCATA Supponiamo i avere un certo numero i sistemi, ciascuno caratterizzato a un proprio fattore i rumore, a una propria temperatura i rumore e a un proprio uaano i potenza (maiore o minore i a secona che si tratti i un amplificatore o i un attenuatore), colleati in cascata come nella fiura seuente: F T E F T E F T E Supponiamo che questi sistemi siano tutti in conizione i aattamento, per cui ricevono e eroano tutti la massima potenza possibile: sotto questa ipotesi, si può imostrare che il uaano i potenza el sistema complessivo è ato semplicemente al prootto ei sinoli uaani i potenza, ossia TOT k k Supponiamo aesso i chiuere l inresso el primo sistema su un resistore fisico, il quale quini prouce, come inresso al sistema complessivo, una tensione i rumore i valore quaratico meio v ( t) 4kt B. Voliamo conoscere il fattore i rumore e la temperatura equivalente i rumore el sistema complessivo. Si può imostrare che il fattore i rumore el sistema complessivo è il seuente: F F + F F F Da questa formula si euce che F è particolarmente conizionato al primo sistema e molto meno a tutti li altri, per cui, oveno proettare un sistema in cui più ispositivi sono colleati in cascata, è consiliabile porre, come primo ispositivo, uno con caratteristiche particolarmente buone nei riuari el rumore, poneno invece opo ispositivi con caratteristiche anche meno preiate. Ovviamente, questo iscorso è valio quano tutti i sistemi presentano un uaano maiore i, ossia sono eli amplificatori: in questo caso, infatti, i enominatori elle varie frazioni vanno sempre cresceno e quini la rilevanza eli ultimi ispositivi iventa sempre minore. Al contrario, invece, se ci sono eli attenuatori, ossia ispositivi con uaano minore i, quel iscorso può anche non risultare più valio. A partire al fattore i rumore, usano ancora una volta la relazione T (F ), è immeiato calcolarsi la temperatura equivalente i rumore el sistema complessivo: Teq 0 T eq T eq, T + eq, T + eq, T eq,... Autore: Sanro Petrizzelli

22 Appunti i Misure Elettriche - Capitolo 3 UMOE GAULAE A partire a questo pararafo, inteniamo passare in rassena altri tipi i rumore presenti nei sistemi elettronici. Al contrario el rumore termico, il quale si manifesta anche in assenza i corrente all interno el resistore, il cosietto rumore ranulare si manifesta solo in presenza i una corrente continua che attraversa il ispositivo consierato: questo accae perché questo tipo i rumore è strettamente leato alla natura iscreta ella carica elettrica e ai meccanismi con cui essa viene trasportata. Inoltre, mentre il rumore termico è caratteristico ei resistori, il rumore ranulare è tipico ei ioi, ei transistori bipolari e ei FET: in enerale, è tipico ei ispositivi che utilizzano elle iunzioni. Preniamo come esempio una iunzione p-n polarizzata irettamente: sappiamo che la corrente iretta che la attraversa, in queste conizioni, è ata alle lacune che provenono alla reione i tipo p e ali elettroni che provenono alla reione i tipo n: sia le lacune sia li elettroni possieono infatti l eneria necessaria per superare la barriera i potenziale presente alla iunzione. Il passaio i ciascun portatore attraverso la iunzione ipene al fatto che il portatore possiea una eneria sufficiente e una velocità iretta appunto verso la iunzione; l insieme ei meccanismi che consentono l attraversamento non è per noi noto, a cui ancora una volta la causalità i questo tipo i rumore. Sappiamo bene che l equazione corrente-tensione per una iunzione p-n è la seuente: qva kt I IS e Fissata la tensione continua i polarizzazione V A, noi abbiamo unque una corrente I costante nel tempo, per cui possiamo tracciare il seuente iaramma: I(t) Questo anamento è quello teorico in assenza i rumore. In presenza el rumore ranulare, invece, noi osserviamo elle fluttuazioni ella corrente attorno a quel valore meio (si tena presente che il valore meio ella corrente i rumore, come ella tensione i rumore, è sempre nullo, per cui valore meio ella corrente complessiva è quello ella corrente ieale): I EALE (t) t Autore: Sanro Petrizzelli

23 La principale sorente i errore: il rumore Inicata con I D la corrente ieale nel ioo, ossia quella prevista alla equazione prima riportata, e inicata con I quella misurata sperimentalmente, ossia quella influenzata al rumore ranulare, è stato stimato che il valore quaratico meio ella corrente i rumore è i D T T ( I I ) lim ( I I ) t qi f 0 D D ove ovviamente q è la carica ell elettrone mentre f è l intervallo i frequenza al quale lavora il ispositivo. E chiaro, a quella relazione, che la ensità spettrale i potenza ella corrente i rumore è S ( f ) qi I ossia abbiamo ancora una volta un rumore bianco. Facciamo infine osservare che la relazione i qi D f è valia solo fino a che la frequenza i lavoro è confrontabile con il fattore /τ, ove τ è il tempo i transito ei portatori attraverso la reione i carica spaziale (CS) ella iunzione. Dato che, nella maior parte ei ispositivi, questo tempo è molto piccolo, per cui la corrisponente frequenza è molto alta, quella relazione risulta molto accurata per frequenze che arrivano fino a qualche GHz. D UMOE FLICKE Il cosietto rumore flicker è un tipo i rumore che si trova in tutti i ispositivi attivi e anche in alcuni elementi iscreti passivi, quali vecchi resistori al carbonio. Le oriini i questo tipo i rumore non sono ben note: nei transistori bipolari e nei ioi a iunzione esso risulta causata principalmente alle cosiette trappole (che sappiamo essere centri i enerazione e ricombinazione i elettroni posti a metà tra la bana i valenza e quella i conuzione) associate a contaminazioni e ifetti reticolari presenti nella CS. L effetto i cattura e rilascio i portatori a parte i queste trappole non è a noi eterminabile, a cui ancora una volta la casualità i questo tipo i rumore. L unica cosa che possiamo ire è che l eneria el rumore flicker è concentrata per lo più alle basse frequenze, in quanto le costanti i tempo associate al fenomeno ella cattura e el rilascio ei portatori sono elevate. Di conseuenza, il fenomeno el rumore flicker iventa apprezzabile alle basse frequenze mentre iventa sempre più trascurabile man mano che si aumenta la frequenza stessa. Anche il rumore flicker, come il rumore ranulare, ha la caratteristica i manifestarsi solo in presenza i una corrente nel ispositivo: in particolare, il valore quaratico meio ella corrente i rumore flicker risulta ato alla relazione i k I f a b f In questa formula, I è la corrente continua che scorre nel ispositivo, f l intervallo i frequenza i lavoro, k è una costante caratteristica el ispositivo in esame, a e b sono ei parametri (il primo compreso in [ 0. 5, ], il secono pari circa a ) a eterminare sperimentalmente. Proprio il fatto per cui b è circa pari a etermina, per questo tipo i rumore, la enominazione i /f noise : infatti, è chiaro che, per b, i risulta ipenere proprio a /f. 3 Autore: Sanro Petrizzelli