Capitolo 16 - Il rumore (parte I)

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1 Appunti i Teoria ei Senali Capitolo 6 - Il rumore (parte I) Introuzione... Strumenti statistici per l analisi el rumore... Il rapporto senale rumore...4 Il rumore termico...5 Moello circuitale i un resistore fisico...6 Il rumore bianco aitivo aussiano...7 Esempio sul rumore termico...7 Potenza isponibile e potenza i rumore isponibile...7 Applicazione: filtro RC passa-basso...9 Potenza i rumore e bana equivalente i rumore... Fattore i rumore... 4 Temperatura equivalente i rumore... 5 Attenuatore resistivo... 7 Fattore i rumore e temperatura equivalente i rumore nei sistemi a cascata9 Esempio... ITRODUZIOE In questo capitolo affrontiamo lo stuio el cosietto rumore elettronico, concentrano in particolare la nostra attenzione sul rumore nei sistemi i telecomunicazione. Diamo per prima cosa una efinizione el rumore elettronico : si efinisce rumore elettronico la fluttuazione casuale i correnti e/o i tensioni ai morsetti i un ispositivo o i un circuito. In pratica, se supponiamo i avere un circuito o un ispositivo che riceve in inresso un certo senale e ne fornisce un altro in uscita, il rumore rappresenta le variazioni sia sul senale i inresso sia sul senale in uscita rispetto ai valori che tali senali avrebbero teoricamente. Anche se sceneremo nei ettali più avanti, se supponiamo i voler enerare un senale i tensione costante pari a 6 volt, in linea i massima non avremo mai un valore esattamente pari a 6 volt, ma avremo un valore che oscilla attorno a questo valore meio. Le oscillazioni rispetto a tale valore meio nominale costituiscono appunto il rumore. ella efinizione ata prima, abbiamo parlato i fluttuazione casuale ella tensione o ella corrente. Che cosa si intene per casuale? Si intene il fatto per cui le cause fisiche che enerano questo rumore, pur esseno presenti, sfuono in parte al nostro controllo, ossia non sono a noi ben eterminabili. Perché esiste il rumore elettronico? Anche se lo veremo melio più avanti, possiamo ià accennare al seuente concetto: l esistenza el rumore elettronico è leata essenzialmente al fatto che la corrente elettrica non è una ranezza continua, ma è trasportata in quantità iscrete uuali alla carica ell elettrone; il rumore è allora associato proprio ai processi fonamentali i trasporto che avvenono all interno ei ispositivi che venono utilizzati per prourre e trattare i senali.

2 Appunti i Teoria ei Senali - Capitolo 6 (parte I) STRUMETI STATISTICI PER L AALISI DEL RUMORE Abbiamo prima posto l accento sul fatto che non siamo sempre in rao i iniviuare le cause fisiche el rumore, il quale non risulta perciò sempre qualcosa i eterministico. Questa casualità el rumore comporta che esso vena analizzato con metoi statistici anziché eterministici: etto in altre parole, il rumore va consierato e stuiato come un processo stocastico. Una prima caratteristica importante i questo processo stocastico è la stazionarietà : un processo stocastico si ice stazionario quano le sue caratteristiche statistiche si mantenono costanti nel tempo. Possiamo ritenere che il processo i rumore sia un processo stocastico stazionario: questa ipotesi è evientemente una approssimazione, che è per noi molto comoa ma che non sempre è verificata nella realtà. Cominciamo allora a veere i quali strumenti noi ci serviamo per l analisi statistica el processo i rumore. La prima cosa a ire è la seuente: solitamente, per inicare un processo stocastico, si usa la notazione X( t), la quale rappresenta in pratica una variabile aleatoria estratta al processo al enerico istante t. Il fatto che si ritena il processo i rumore stazionario ci ice che quella variabile aleatoria ha le stesse caratteristiche statistiche (vale a ire ensità i probabilità, meia, varianza e così via) quale che sia l istante t consierato. Inoltre, abbiamo etto che il rumore consiste nelle fluttuazioni casuali ella tensione o ella corrente: i conseuenza, con X(t) possiamo inicare sia la corrente i rumore, nel caso in cui analizziamo le correnti, sia la tensione i rumore, nel caso in cui analizziamo le tensioni. Uno ei parametri maiormente utilizzati per lo stuio i un processo stocastico è il valor meio, eneralmente inicato con E[ X( t) ] oppure anche con X( t) : tuttavia, nel caso el processo i rumore, questo parametro non ci è i molto aiuto in quanto si verifica che il valor meio el processo i rumore è nullo. Per ovviare a questo inconveniente si fa allora riferimento al cosietto valore quaratico meio, che noi inicheremo con X t E X ( t) ( ) oppure con [ ] Leato al valore quaratico meio c è un altro parametro, chiamato valore efficace el processo: esso è efinito alla relazione X eff X ( t) e bisona stare attenti a non confonerlo con il valore meio. Sia il valore quaratico meio sia il valore efficace el processo i rumore risultano iversi a zero (ovviamente, sono entrambe quantità positive). Circa il valore quaratico meio, citiamo subito un importante risultato el quale faremo uso in seuito: supponiamo i avere ue iversi processi stocastici X(t) e Y(t) e consieriamo la loro sovrapposizione, ossia il nuovo processo stocastico Z( t) X( t) + Y( t) Si può imostrare che il valore quaratico meio i Z(t) è ato alla seuente relazione: Z ( t) X ( t) + Y ( t) + ρx( t) Y( t) Autore: Sanro Petrizzelli

3 Concetti enerali sul rumore Questa relazione ice in pratica che il valore quaratico meio i Z(t) è ato alla somma ei valori quaratici mei i X e Y, più un terzo termine, il quale tiene conto ella correlazione esistente tra X(t) e Y(t): si efinisce infatti coefficiente i correlazione ρ i X(t) e Y(t) la quantità XY X * Y ρ Var( X) Var( Y) Se i ue processi sono tra loro incorrelati, ossia se ρ, abbiamo evientemente che Z ( t) X ( t) + Y ( t) e si ice che i ue processi si sommano in potenza. Viceversa, se esiste una correlazione, ossia se ρ non è nullo, allora vale la relazione enerale scritta prima. Se, per esempio, si consierano ue tensioni i rumore, in presenza i correlazione si ice che i ue contributi i rumore si sommano in tensione. Quanto etto aesso ci serve per il motivo seuente: le cause fisiche el rumore elettronico sono iverse e non è etto che si presentino sinolarmente; è possibile cioè che ue o più i esse siano presenti contemporaneamente e si sovrapponano. Allora, per analizzare il processo i rumore totale, per esempio nel caso i ue sorenti i rumore, noi obbiamo utilizzare proprio la formula Z ( t) X ( t) + Y ( t) + ρx( t) Y( t) Questa formula ci obblia a valutare il valore i ρ: questa valutazione, purtroppo, non è sempre aevole e questo è il motivo per cui spesso si suppone che le sorenti i rumore siano solo parzialmente correlate, anche nel caso in cui esse ipenano allo stesso fenomeno fisico. Quano, invece, si riesce a imostrare che esse sono inipenenti tra loro, ossia che non si influenzano a vicena, allora si può senz altro ritenere ρ. I parametri fino a ora introotti sono tutti relativi al ominio el tempo. Tuttavia, spesso è utile effettuare la propria analisi anche nel ominio ella frequenza, al fine i airare le ifficoltà i calcolo presentate, a esempio, ali interali i convoluzione: si pensi, a esempio, alla relazione che intercorre tra l inresso e l uscita i un sistema lineare tempo-invariante, ossia y( t) x( t) * h( t) ove x(t) è l inresso, y(t) la corrisponente uscita e h(t) la risposta impulsiva el sistema. Quella relazione implica evientemente il calcolo i un interale i convoluzione, che spesso risulta complicato. Viceversa, spostanoci nel ominio ella frequenza, quella relazione iventa semplicemente Y( f ) X( f ) H( f ) ossia si passa a un prootto i convoluzione a un prootto normale. 3 Autore: Sanro Petrizzelli

4 Appunti i Teoria ei Senali - Capitolo 6 (parte I) Il parametro più utile, nel ominio ella frequenza, è senz altro la cosietta ensità spettrale i potenza: questa funzione, solitamente inicata con S(f ), è una funzione ella frequenza f efinita in moo tale che sia soisfatta la relazione X ( t) S(f ) f ossia in moo tale che l area a essa sottesa, nell ambito elle frequenze positive, sia proprio pari al valore quaratico meio el processo stocastico consierato. Detto anche in altre parole, quella relazione ice che X ( t) è pari alla somma, esteso a tutto quanto lo spettro elle frequenze positive, ei contributi ella ensità spettrale alle iverse frequenze..b. Ricoriamo che la funzione S(f) è efinita anche come trasformata i Fourier ella funzione i autocorrelazione ella variabile X(t) La funzione S(f) risulta particolarmente importante in funzione el iscorso seuente: supponiamo che il nostro processo stocastico X(t) entri in inresso a un sistema lineare tempo-invariante, il quale prouce una certa uscita Y(t) che sarà anch essa un processo stocastico; se X ( t) è il valore quaratico meio el processo in inresso, è facile verificare che il valore quaratico meio el processo in uscita è Y ( t) H( f ) S(f ) f ove H(f) è la funzione i trasferimento el sistema stesso. IL RAPPORTO SEGALE RUMORE Una cosa importante circa il rumore è la seuente: il rumore ha una sua importanza non in senso assoluto, ma in rapporto al senale cui si sovrappone. E chiaro, infatti, che il rumore iventa importante quano la sua ampiezza è confrontabile con quella el senale, mentre è più o meno trascurabile quano l ampiezza el senale è più o meno maiore i quella el rumore. In questo senso, quini, noi siamo prevalentemente interessati non al rumore in se stesso, bensì al cosietto rapporto senale-rumore: in termini statistici, questo rapporto, solitamente inicato con la notazione S / (ove S sta per sinal e per noise ossia appunto rumore ), corrispone al rapporto tra la potenza statistica el senale e la potenza statistica el rumore..b. Ricoriamo che per potenza statistica i un senale aleatorio X(t), inicata eneralmente con [ t ] E X ( ),si intene proprio il suo valore quaratico meio Autore: Sanro Petrizzelli 4

5 Concetti enerali sul rumore IL RUMORE TERMICO L unico tipo i rumore che consiereremo a qui in avanti è il cosietto rumore termico: se preniamo un resistore fisico enerico, mantenuto isolato a qualsiasi circuito (posto cioè in conizioni i circuito aperto), e collehiamo i suoi morsetti a quelli i un oscilloscopio molto sensibile, osserviamo elle leere fluttuazioni i tensione, che costituiscono appunto il rumore termico. Da un punto i vista fisico, la causa el rumore termico è il continuo e isorinato moto i aitazione termica eli elettroni nel resistore. Lo stuio i questo rumore ha portato alle seuenti conclusioni matematiche: in primo luoo, inicata con R la resistenza el resistore, con T la temperatura alla quale esso si trova, con h la costante i Planck e con k la costante i Boltzmann, la funzione ensità spettrale i potenza i tensione i rumore risulta avere espressione G V ( f ) Rh f e h f kt f in secono luoo, mentre quella espressione è valia quale che sia la frequenza i funzionamento el ispositivo, è possibile fare qualche semplificazione nel caso in cui tale frequenza sia relativamente bassa : infatti, si verifica che, per frequenze inferiori a (Hz), il termine esponenziale che compare al enominatore risulta molto elevato, per cui è prevalente rispetto al valore -; inoltre, sviluppanolo in serie e faceno le opportune semplificazioni, si trova che la funzione G V (f) assume l espressione G f ktr V ( ) Dato che frequenze inferiori a (Hz) sono le frequenze tipicamente utilizzate nell elettronica, noi utilizzeremo nel seuito sempre quest ultima relazione..b. Quella espressione i G V (f) è ottenuta consierano sia le frequenze neative sia le frequenze positive. Tuttavia, ato che le frequenze i interesse sono solo quelle positive, spesso si usa la relazione G f ktr V ( ) 4 che è relativa solo a tali frequenze. Per risalire, alla ensità spettrale i potenza i tensione i rumore, al valore quaratico meio ella tensione i rumore, obbiamo applicare la ià citata relazione + X (t) S(f ) f Anziché, però, effettuare l interazione tra e, ci limitiamo a un enerico intervallo i frequenza [ B, + B] che supponiamo sia quello nel quale il resistore eve lavorare: il risultato ella interazione è allora v ( t) 4kTRB 5 Autore: Sanro Petrizzelli

6 Appunti i Teoria ei Senali - Capitolo 6 (parte I) Questa relazione inica, come è abbastanza raionevole aspettarsi, che il rumore termico è irettamente proporzionale alla temperatura. Esso quini tene a (volt) per T che tene a ( K). Moello circuitale i un resistore fisico Detto questo, veiamo allora come è possibile tenere conto ella presenza el rumore termico nel moello circuitale i un resistore: sia perciò resistore fisico, i resistenza R, affetto a rumore il resistore fisico el quale noi voliamo trovare il moello circuitale. Se non consieriamo il rumore (per cui consieriamo un resistore non rumoroso), sappiamo bene che il moello circuitale è semplicemente R ossia un elemento caratterizzato alla equazione i funzione VRI. Viceversa, al fine i tenere conto el rumore, obbiamo aiunere una tensione i valore quaratico meio pari a v ( t) 4kTR f : il moello circuitale iventa perciò il seuente: R v ( t) 4kTR f Facciamo osservare che, nel eneratore i tensione che abbiamo inserito, non sono stati inicati né il valore istantaneo né le polarità: ciò eriva proprio al fatto che non possiamo preveere né l una né l altra cosa, per cui possiamo solo consierare il valore quaratico meio i quella tensione. el fare i calcoli, obbiamo ovviamente consierare, come tensione i rumore, la quantità v eff v ( t). Quello è unque il moello i un resistore reale e è evientemente il moello i Thevenin. e esiste anche un altro, etto moello i orton, il quale tiene conto, anziché ella tensione i rumore, ella corrente i rumore, il cui valore quaratico meio risulta essere i ( t) 4 ktb R e eriva alla funzione ensità spettrale i potenza ella corrente i rumore G ( kt I f ) R Autore: Sanro Petrizzelli 6

7 Concetti enerali sul rumore Il moello è il seuente: R i ( t) 4 kt f R Il rumore bianco aitivo aussiano Abbiamo prima trovato che la ensità spettrale i potenza el rumore termico è G ( V f ) ktr e abbiamo sottolineato come si tratti i una funzione costante al variare ella frequenza f. In termini i armoniche, ciò sinifica che tutte le armoniche alle iverse frequenze hanno la stessa ampiezza. Un rumore così fatto prene il nome i rumore bianco, in contrapposizione al rumore colorato, per il quale la S(f) è variabile con f. Un altra cosa che è stata verificata è che questo rumore termico ha una istribuzione i probabilità i tipo aussiano e è questo il motivo per cui si parla i rumore bianco aitivo aussiano o, più brevemente, AWG. Il termine aitivo inica che questo tipo i rumore si somma semplicemente al senale utile, come veremo melio in seuito. Esempio sul rumore termico Al fine i avere una iea i quanto possa valere la tensione i rumore termico, consieriamo il seuente esempio numerico: supponiamo i avere un resistore fisico i resistenza R Ω, che lavora alla temperatura i 3 K entro una bana i frequenza i khz: il valore efficace ella tensione i rumore risulta essere v eff v ( t) 4kTRB ktrb 3( µ V) POTEZA DISPOIBILE E POTEZA DI RUMORE DISPOIBILE Supponiamo i avere un certo sistema elettronico (sia esso un ispositivo o un semplice circuito) in rao i trasferire potenza al carico colleato ai suoi morsetti: si efinisce potenza isponibile la massima potenza che il sistema può trasferire al carico. Dall elettrotecnica, ci ricoriamo un fonamentale teorema circa la potenza trasferibile a un sistema a un carico: si tratta el cosietto teorema el massimo trasferimento i potenza, secono il quale un sistema è in rao i trasferire su un carico, rappresentato a una certa impeenza &z L, la massima potenza possibile solo quano ( z) z& & * L ove &z è l impeenza i uscita el sistema stesso, ossia l impeenza vista al carico. Veiamo come ci può essere i aiuto questo nei iscorsi che stiamo faceno. 7 Autore: Sanro Petrizzelli

8 Appunti i Teoria ei Senali - Capitolo 6 (parte I) Come circuito monoporta consieriamo il moello circuitale prima ricavato per un resistore i resistenza R affetto a rumore termico: R v ( t) 4kTR f E chiaro che la presenza i quel eneratore i tensione (che poi è la tensione i rumore) conferisce a questo circuito la capacità i trasferire una certa potenza all eventuale carico connesso ai morsetti. Se questo carico consiste in una certa impeenza &z L, il teorema prima enunciato ci ice che il massimo trasferimento i potenza si ha quano tale carico è pari al complesso coniuato ell impeenza el circuito i alimentazione: tale impeenza è reale e pari a R, per cui il massimo trasferimento i potenza si avrà su un carico pari a sua volta a R. R v ( t) 4kTR f R Quini, in questo circuito, la potenza trasferita sul carico è pari esattamente a quella che abbiamo efinito potenza isponibile (che, ovviamente, in questo caso è una potenza isponibile i rumore). Voliamo allora valutare quest ultima: ovviamente, ato che non conosciamo il valore preciso ella tensione el eneratore, ma solo il suo valore quaratico meio, ciò che possiamo calcolare è il valore meio ella potenza isponibile, efinito, in questo caso, a P ( t ) L Ri ( t ) Dobbiamo unque calcolare i ( t). Applicano la lee i Kirchoff elle tensioni a l equazione i v( t) funzionamento el resistore, troviamo che i( t), a cui si ricava che R i ( t) v 4R ( t) e quini anche che v t P ( L t ) ( ) 4R Autore: Sanro Petrizzelli 8

9 Concetti enerali sul rumore Sapeno aesso che v ( t) 4kTRB, ove ricoriamo che B è l intervallo i frequenza nel quale lavora il circuito, possiamo concluere che PL ( t) ktb Abbiamo unque trovato, con questo iscorso, che il valor meio ella potenza i rumore isponibile enerata a un resistore è PL ( t) ktb. La cosa interessante che si nota è che questo valore meio non ipene alla resistenza R, ma ipene SOLO alla temperatura e alla bana i lavoro. Da questo valore meio possiamo ricavare la cosietta ensità spettrale i potenza isponibile, che nel seuito inicheremo con G a (f): si trova evientemente che G ( kt a f ) Questo è un risultato molto importante che sarà ripreso in tutti i iscorsi che faremo nel seuito. Applicazione: filtro RC passa-basso Consieriamo il seuente circuito RC: R C Facciamo l ipotesi che il resistore R sia un resistore reale, perciò affetto a rumore, mentre il conensatore sia ieale, ossia non affetto i rumore. Voliamo conoscere l uscita el sistema, che inichiamo con y(t), in termini i potenza i rumore. La prima cosa che risulta eviente è che l uscita y(t), in questo circuito, è presente proprio perché è presente un inresso: tale inresso è appunto il rumore termico enerato al resistore reale. Al fine i visualizzare questo inresso, possiamo sostituire il resistore meiante il suo moello circuitale contenente il eneratore i rumore: R C G V (f) 9 Autore: Sanro Petrizzelli

10 Appunti i Teoria ei Senali - Capitolo 6 (parte I) ove naturalmente G f ktr V ( ). Al fine i visualizzare ancora melio l inresso e l uscita el circuito, possiamo riisenare quest ultimo nel moo seuente: + i(t) R + x(t) - C y(t) - L inresso è unque costituito a una tensione i rumore x(t) avente, come etto in preceenza, valore meio nullo, valore quaratico meio pari a x ( t) 4kTRB e ensità spettrale i potenza G V ( f) ktr. Voliamo ricavare la ensità spettrale i potenza G Y (t) ella tensione in uscita e quini il valore quaratico i tale tensione. La prima cosa che ci viene in mente è che quel sistema, che è un normale filtro passa-basso (ossia una ispositivo che lascia passare solo le componenti i bassa frequenza el senale in inresso), è un sistema lineare tempo-invariante: per sistemi lineari tempo-invarianti, sappiamo che la ensità spettrale i potenza el senale in uscita è leata a quella el senale in inresso alla relazione G ( f) G ( f) H( f) Y ove H(f) è chiaramente la funzione i trasferimento el sistema stesso. Il nostro obbiettivo è unque quello i conoscere tale funzione i trasferimento: il calcolo è stato ià fatto in preceenza e ha fornito come risultato la funzione Y( f) H( f) X( f) + jπrcf Calcolano il moulo quaro i questa funzione, si ottiene H( f) + π V ( RCf) per cui la ensità spettrale i potenza ella tensione in uscita è G ( ktr Y f ) + ( πrcf) Infine, a partire a G Y (f), siamo in rao i calcolarci quanto vale il valore quaratico meio ella tensione in uscita; basta ricorarsi i ue importanti risultati: in primo luoo, la funzione G Y (f) è per efinizione la trasformata i Fourier ella funzione i R ( τ) Y y ( t ) y ( y + τ) ; autocorrelazione i y(t), efinita alla relazione [ ] Autore: Sanro Petrizzelli

11 Concetti enerali sul rumore in secono luoo, è eviente che [ ] [ ] E y ( t) E y( t) y( t) R Y ( τ ) Di conseuenza, obbiamo eterminare l antitrasformata i G Y (f) e poi calcolarla per τ. Si trova allora che la funzione i autocorrelazione i y(t), ossia appunto l antitrasformata ella funzione G Y (f), è Calcolanola per τ, otteniamo che R Y ( τ) kt C e τ RC [ ] E y ( t) R ( τ ) Y kt C Abbiamo unque trovato il seuente risultato: ato un filtro RC passa-basso, la tensione i rumore a esso introotta a causa ella presenza el resistore reale (e in presenza i un conensatore supposto reale) ha valore quaratico meio pari a kt/c. E interessante notare come questa tensione i rumore non ipena a R, mentre ipene a C e ancora una volta, in moo irettamente proporzionale, alla temperatura i lavoro. Tanto per avere una iea quantitativa, supponiamo che il filtro lavori alla temperatura T9 K e utilizzano una capacità C.µF: in tal moo, il valore quaratico meio ella tensione i rumore E y ( t) 4 * 4 e a esso corrispone un valore efficace y * 7 ( volt). risulta essere i [ ] Questi valori ci aiutano a ribaire un concetto importante ià espresso in preceenza: il valore efficace ella tensione i rumore risulta evientemente piuttosto basso, per cui si è portati a ritenerlo trascurabile; questo è lecito solo quano il valore ella tensione el senale effettivamente applicato al filtro (o al enerico ispositivo) è molto maiore (almeno ue orini i ranezza) rispetto a esso; al contrario, ci sono elle applicazioni in cui il senale applicato e il rumore risultano el tutto confrontabili e è in questi casi che il rumore iventa importante e va perciò stuiato. eff POTEZA DI RUMORE E BADA EQUIVALETE DI RUMORE Consieriamo un enerico sistema avente funzione i trasferimento H(f). In accoro a quanto abbiamo visto nell esempio preceente, in assenza i un senale applicato in inresso al sistema, possiamo consierare come inresso proprio la tensione i rumore termico introotta ali elementi resistivi presenti nel sistema. ensità spettrale i potenza isponibile i rumore G a (f) H(f) ensità spettrale i potenza in uscita G Y (f) Supponiamo anche che il sistema sia tale che la potenza i rumore trasferita sia quella massima possibile: si tratta perciò i quella che abbiamo efinito potenza isponibile i rumore. Inicata Autore: Sanro Petrizzelli

12 Appunti i Teoria ei Senali - Capitolo 6 (parte I) sempre con G a (f) la ensità spettrale i potenza isponibile i rumore, possiamo unque scrivere, etta G Y (f) la ensità spettrale i potenza ella tensione in uscita al sistema, che G ( f) G ( f ) H( f ) Y Si efinisce allora potenza i rumore in uscita, inicata eneralmente con, la seuente quantità: + G ( f) f G ( f ) H( f ) f Y el caso in cui la tensione i rumore termico, consierata come inresso al circuito, sia quella enerata a un unico resistore, abbiamo in preceenza trovato che G ( kt a f ) : sostitueno nell espressione i, abbiamo perciò che + a + kt H( f) f In base a questa formula, il calcolo ella potenza i rumore (nell ipotesi che tale rumore provena a un solo resistore) si può fare solo a patto i conoscere come è fatta la funzione i trasferimento el sistema e a patto i poter calcolare quell interale. Spesso, la funzione i trasferimento ha una espressione complessa, per cui il calcolo i quell interale non è tanto aevole. Si preferisce allora utilizzare, come risultato i quell interale, un valore approssimato. Come si ricava questo valore approssimato? La funzione H( f) oe evientemente i ue proprietà: la prima è che è a valori non neativi; la secona è che è una funzione pari, il che sinifica che presenta, per così ire, ue parti perfettamente simmetriche rispetto all oriine elle frequenze. Un esempio potrebbe essere la seuente funzione: H(f) a B B Come inicato anche in questa fiura, è chiaro che la funzione H( f), sia nel campo elle frequenze neative sia in quello elle frequenze positive, sarà non nulla entro un certo intervallo i frequenza i ampiezza B mentre sarà nulla al i fuori i tale intervallo. Allora, calcolare l interale + H( f) f Autore: Sanro Petrizzelli

13 Concetti enerali sul rumore equivale a calcolare l area sottesa alle ue parti ella funzione H( f) : esseno tali parti uuali, ossia esseno la funzione pari, possiamo subito scrivere che per cui la potenza i rumore risulta essere + + H( f ) f H( f ) f + kt H( f) f L interale che rimane è unque l area sottesa a una elle ue parti ella funzione H( f) ; sicuramente, quest area non sarà superiore al rettanolo nel quale la curva è contenuta: H(f) B B L area i questo rettanolo è il prootto el valore massimo ella funzione H( f) per l ampiezza B ell intervallo: posto allora ( H f ) l approssimazione che si fa consiste nel porre ( ) (etto uaano i potenza el sistema), MAX H( f) f B per cui l espressione utilizzata per la potenza i rumore risulta essere + ktb All ampiezza B si à il nome i bana equivalente i rumore e è il valore usato sempre nei calcoli ella potenza i rumore. 3 Autore: Sanro Petrizzelli

14 Appunti i Teoria ei Senali - Capitolo 6 (parte I) FATTORE DI RUMORE Consieriamo un circuito biporta enerico: BLACK BOX Supponiamo che questo circuito sia rumoroso, ossia che esso introuca, quano riceve un senale in inresso a trattare in moo opportuno, un rumore (che può essere tensione i rumore termico o corrente i rumore termico) ovuto alla natura fisica eli elementi a cui è costituito. Supponiamo inoltre che questo circuito sia inserito in una rete aattata, ossia imensionata in moo tale che si abbia in oni caso il massimo trasferimento i potenza tra i vari ispositivi connessi: ciò sinifica che in inresso il circuito riceve la massima potenza possibile e in uscita eroa la massima potenza possibile. Supponiamo ancora che il circuito vena alimentato a un eneratore che applica una certa tensione ai morsetti i inresso: questo eneratore presenta una propria resistenza e questo implica che esso eneri, oltre al senale utile, anche un certo rumore termico, ossia una tensione i rumore che si sovrappone a quella costituita al senale utile. Dato che noi voliamo stuiare il comportamento el circuito al punto i vista el rumore, supponiamo che l inresso al circuito non sia il senale utile sommato al rumore, ma sia solo il rumore. In uscita avremo unque una certa tensione che sarà evientemente tensione i rumore: tuttavia, aveno supposto il circuito rumoroso, ci aspettiamo in uscita un contributo ovuto al rumore in inresso e poi un contributo ovuto al rumore introotto al circuito stesso. Veiamo allora i quantificare, a livello analitico, tutte queste consierazioni. Inichiamo con U la potenza isponibile in uscita: si tratta evientemente ella potenza totale i rumore in uscita al circuito, ove usiamo anche l aettivo isponibile in quanto abbiamo supposto verificata la conizione i aattamento. Questa potenza i uscita, come etto, sarà la somma el contributo ovuto al rumore in inresso, che inichiamo enericamente con I, e el contributo ovuto alle caratteristiche el sistema, che inichiamo con : quini U I + Si efinisce allora fattore i rumore il termine F U + I I ossia il rapporto tra la potenza isponibile totale i rumore in uscita e la potenza i rumore in uscita ovuta solo all inresso (inipenente quini al rumore introotto al sistema). Possiamo quantificare melio il termine I : infatti, aveno etto che esso corrispone al contributo proveniente alla potenza i rumore enerata alla resistenza el eneratore che alimenta il circuito, possiamo scrivere che kt B I Autore: Sanro Petrizzelli 4

15 Concetti enerali sul rumore Veiamo come si iustifica questa relazione: intanto, il prootto kt è la ensità spettrale i potenza isponibile i rumore eroata al eneratore; B è la bana equivalente i rumore efinita nel pararafo preceente; è il uaano i potenza el circuito. Allora, se in inresso abbiamo una potenza i rumore ktb, questa potenza, entrano nel circuito, viene a esso amplificata secono un uaano, per cui in uscita essa iventa I kt B. Sulla base i ciò, possiamo scrivere che U kt B + e quini anche che F + kt B Da questa relazione risulta eviente che U F I ossia che la potenza isponibile i rumore in uscita è pari alla potenza isponibile i rumore in inresso moltiplicata per il uaano el sistema e per il fattore i rumore: a parità i uaano, sarà miliore, perciò, tra ue sistemi, quello che presenta il fattore i rumore più piccolo (ovviamente non inferiore a ). Sempre alla relazione F + kt B si euce che il fattore i rumore è funzione ella temperatura, per cui assume in teoria un valore iverso per oni valore i T. ella pratica, allora, si prene come valore i F per un ispositivo (o circuito) il valore misurato alla temperatura T9 K. TEMPERATURA EQUIVALETE DI RUMORE Consieriamo nuovamente il nostro oppio bipolo: supporre REALE tale bipolo equivale a ritenere che esso eneri el rumore che si sovrappone all eventuale rumore che arriva in inresso; supporlo invece IDEALE equivale a ritenere che esso non introuca alcun rumore. Supponiamo che il oppio bipolo REALE sia alimentato a un eneratore reale, il quale quini prouce un certo rumore termico in conseuenza ella sua resistenza interna: fissata la temperatura T i funzionamento el eneratore e quella i funzionamento el bipolo, otteniamo unque un certo rumore in uscita al bipolo, ovuto sia al rumore in inresso sia al rumore introotto al bipolo stesso. Se aumentiamo la temperatura i funzionamento el eneratore, aumentiamo anche il rumore in inresso e quini quello in uscita. Ci chieiamo allora i quanto obbiamo aumentare la temperatura T i funzionamento el eneratore per ottenere in uscita al bipolo, supposto questa volta IDEALE, per avere lo stesso rumore che, a temperatura T, si ha col bipolo REALE. 5 Autore: Sanro Petrizzelli

16 Appunti i Teoria ei Senali - Capitolo 6 (parte I) Questo aumento i temperatura prene il nome i temperatura equivalente i rumore e può essere facilmente eterminata: infatti, noi abbiamo trovato nel pararafo preceente che la potenza isponibile i rumore in uscita è ata a kt B + U ove il primo termine rappresenta il contributo ovuto al eneratore in inresso, che funziona alla temperatura T, mentre il secono termine rappresenta il contributo el rumore interno al oppio bipolo. ell ipotesi che il bipolo sia ieale, per cui, e che il eneratore in inresso vena portato alla temperatura i lavoro T +T E, il contributo ovuto al rumore in inresso iventa k( T T ) B + E e quini la potenza isponibile i rumore in uscita risulta essere proprio k( T + T ) B U E Uualiano allora le ue espressioni ottenute, si ottiene facilmente che T E k B Quini, la temperatura equivalente i rumore è un parametro che ci consente i simulare il comportamento el circuito, al punto i vista el rumore, assumeno il circuito stesso ieale e faceno risalire il rumore interamente a quello che arriva in inresso. E facile trovare il leame esistente tra la temperatura i rumore appena efinita e il fattore i rumore, che ricoriamo avere, per una temperatura i funzionamento TT, l espressione F + kt B Confrontano questa relazione con l espressione i Te, si euce che F + T T E Temperatura i rumore e fattore i rumore sono unque ue moi iversi i interpretare lo stesso fenomeno, ossia il fatto che oni ispositivo reale introuce internamente un certo quantitativo i rumore, il quale si va a aiunere a quello proveniente all inresso: senale utile con sovrapposto rumore aussiano bianco Sistema rumoroso y(t) Sia il fattore i rumore sia la temperatura i rumore consentono i aottare un moello in cui il ispositivo è visto come ieale (non rumoroso) e tutto il rumore che troviamo in uscita proviene solo al rumore presente in inresso: Autore: Sanro Petrizzelli 6

17 Concetti enerali sul rumore s(t) s(t) Sistema y(t) Sistema y(t) + rumoroso non rumoroso rumore equivalente Questo rumore equivalente in inresso, quantificato in termini i ensità spettrale i potenza, è così valutato: usano il fattore i rumore, si pone FkT, ove kt è la ensità spettrale i potenza el rumore realmente presente in inresso al ispositivo; usano la temperatura equivalente i rumore, si pone invece k(t +T E ), ove kt è sempre la ensità spettrale i potenza el rumore realmente presente in inresso al ispositivo. Detto ancora in altre parole, l uso el fattore i rumore prevee i moificare la ensità spettrale i potenza el rumore in inresso iceno che essa vale FkT, mentre invece l uso ella temperatura i rumore prevee i moificare la ensità spettrale i potenza el rumore in inresso iceno che essa vale kt +kt E. In entrambi i casi, quini, il sistema viene ritenuto non rumoroso, ma il rumore realmente presente in inresso viene incrementato, usano un fattore moltiplicativo (F) oppure un fattore aitivo (kt E ). Questo incremento ci fa parlare non più i rumore realmente presente in inresso, ma i rumore equivalente in inresso (o anche i rumore riportato all inresso). ATTEUATORE RESISTIVO Consieriamo un circuito biporta enerico: senza preoccuparci i quale sia la reale isposizione eli elementi i questo circuito, facciamo come unica ipotesi quella per cui si tratta solamente i resistori: I U R /L Il fatto che il circuito presenti solo componenti passivi (quali appunti i resistori) implica necessariamente che esso non possa comportarsi a amplificatore, ma solo a attenuatore, nel senso che introuce sul senale in inresso una attenuazione secono un coefficiente che inichiamo con L (attenuazione in potenza). Possiamo allora esprimerci analiticamente iceno che il uaano i potenza el sistema è, con L> (per cui <) L Un circuito con queste caratteristiche prene il nome i attenuatore resistivo. oi voliamo stuiare questo circuito al punto i vista el rumore, per cui immainiamo i chiuere i morsetti i inresso su un resistore fisico i resistenza R : ciò sinifica che l inresso al circuito è costituito a una tensione i rumore termico i valore quaratico meio v ( t) 4ktR B. 7 Autore: Sanro Petrizzelli

18 Appunti i Teoria ei Senali - Capitolo 6 (parte I) In uscita al circuito, in moo analoo a quanto fatto in preceenza, avremo una potenza i rumore U ata a U I + ove I è il contributo erivante alla potenza i rumore in inresso, mentre è il contributo i rumore prootto al circuito a causa ei ispositivi fisici che lo componono. Per quanto riuara I possiamo scrivere, sempre in analoia a quanto fatto in preceenza, che ktb I ktb L La potenza i rumore in uscita è unque U ktb + L A questo punto, ato che abbiamo supposto valia la conizione i aattamento, è chiaro che il circuito fornisce in uscita la massima potenza i rumore, ossia quella che abbiamo chiamato potenza i rumore isponibile : supponiamo allora che sia ktb, per cui U ktb ktb L ell ipotesi che sia anche BB, possiamo unque scrivere che ktb ktb L ktb L L Aniamo aesso a calcolarci la temperatura equivalente i rumore el circuito e il fattore i rumore. Per la temperatura i rumore, l abbiamo efinita come T E k B per cui si trova facilmente che T E T ( L ) ota la temperatura i rumore, a essa ci ricaviamo il fattore i rumore utilizzano la relazione F + ove ricoriamo che T è la temperatura ambiente (a istinuere alla temperatura i lavoro T). T T E Autore: Sanro Petrizzelli 8

19 Concetti enerali sul rumore Abbiamo unque che F + T( L ) T Appare ovvio, unque, che nell ipotesi per cui la temperatura i lavoro sia proprio quella ambiente, ossia TT, il fattore i rumore risulta uuale al coefficiente i attenuazione (in potenza). FATTORE DI RUMORE E TEMPERATURA EQUIVALETE DI RUMORE EI SISTEMI A CASCATA Supponiamo i avere un certo numero i circuiti biporta (o ispositivi elettronici), ciascuno caratterizzato a un proprio fattore i rumore, a una propria temperatura i rumore e a un proprio uaano i potenza, colleati in cascata come nella fiura seuente: R F T E F T E F T E Supponiamo che questi sistemi siano tutti in conizione i aattamento, per cui ricevono e eroano la massima potenza possibile: sotto questa ipotesi, si può imostrare che il uaano i potenza el sistema complessivo è ato semplicemente al prootto ei sinoli uaani, ossia TOT Supponiamo aesso i chiuere i morsetti i inresso el primo ispositivo su un resistore fisico, il quale quini prouce, come inresso al sistema complessivo, una tensione i rumore i valore quaratico meio v ( t) 4ktR B. Voliamo conoscere il fattore i rumore e la temperatura equivalente i rumore el sistema complessivo. Così come abbiamo fatto nei pararafi preceenti, possiamo intanto scrivere che la potenza i rumore in uscita al sistema complessivo è k k ( ) U I ove il primo termine è ovuto al rumore in inresso, mentre il secono è ovuto al rumore introotto ai sinoli ispositivi. 9 Autore: Sanro Petrizzelli

20 Appunti i Teoria ei Senali - Capitolo 6 (parte I) Sempre in analoia a quanto fatto in preceenza, poiché il termine I è leato solo al rumore che entra in inresso al sistema complessivo e al uaano TOT el sistema stesso, possiamo scrivere che ( ) U kt BTOT ove abbiamo supposto i lavorare a temperatura ambiente TT e che la bana i interesse sia pari alla bana equivalente i rumore (BB ). Consieriamo aesso il termine, che rappresenta il contributo i potenza i rumore introotto al ispositivo numero : quano abbiamo efinito la temperatura equivalente i rumore per il enerico ispositivo o circuito, abbiamo trovato la relazione T E k B alla quale si ricava che T k B E Aiuneno un peice, abbiamo unque che T k B E e questo è il contributo i potenza fornito al primo ispositivo. Tuttavia, questa potenza entra in inresso ai ispositivi successivi e viene quini amplificata (o attenuata) secono i rispettivi uaani: obbiamo perciò scrivere più correttamente che il contributo el primo ispositivo alla potenza complessiva i uscita vale T k B... ( ) E ossia vale Quini T k B E TOT ( ) kt B + T k B U TOT E TOT... Il iscorso è analoo per il secono ispositivo: la potenza i rumore in uscita a tale ispositivo, ovuta al rumore introotto al ispositivo stesso, è TE k B ; questa potenza viene amplificata ai ispositivi successivi, per cui il contributo alla potenza complessiva è ossia è ( ) T k B... E 3 4 T k E TOT B Autore: Sanro Petrizzelli

21 Concetti enerali sul rumore Quini possiamo ulteriormente scrivere che kt B T k B T k TOT U TOT + E TOT + E B Il iscorso proseue ientico per li altri ispositivi: arrivati all ultimo, avremo evientemente un contributo TOT TE k B... per cui possiamo concluere che kt B T k B T k TOT U TOT + E TOT + E B T k B E A partire a questa relazione, aniamo a calcolarci il fattore i rumore, il quale, per efinizione, è U ato a F. Sostitueno le rispettive espressioni ei termini che compaiono a secono I membro, abbiamo quanto seue: F kt B T k B T k TOT TOT + E TOT + E B T k B kt B TOT E T T TOT E TOT + E TE TE TE TE 3 TE T T T T T... TOT Aesso, ricorano che la temperatura equivalente i rumore el enerico ispositivo è leata al TE fattore i rumore alla relazione F +, che può anche essere scritta nella forma T T T ( F ) E abbiamo che T F + ( F ) T ( F ) T ( F3 ) T ( F ) T T T T... e quini possiamo concluere che il fattore i rumore el sistema complessivo è il seuente: F F + F F F Autore: Sanro Petrizzelli

22 Appunti i Teoria ei Senali - Capitolo 6 (parte I) La cosa che emere eviente a questa formula è che F è particolarmente conizionato al primo ispositivo e molto meno a tutti li altri, per cui, oveno proettare un sistema in cui più ispositivi sono colleati in cascata, è consiliabile porre come primo ispositivo uno con caratteristiche particolarmente buone, poneno invece opo ispositivi con caratteristiche anche meno preiate. Ovviamente, questo iscorso è valio quano tutti i ispositivi presentano un uaano maiore i, ossia sono eli amplificatori: in questo caso, infatti, i enominatori elle varie frazioni vanno sempre cresceno e quini la rilevanza eli ultimi ispositivi iventa sempre minore. Al contrario, invece, se ci sono eli attenuatori, ossia ispositivi con uaano minore i, quel iscorso può anche non risultare più valio. A partire al fattore i rumore, usano ancora una volta la relazione TE T ( F ), è immeiato calcolarsi la temperatura equivalente i rumore el sistema complessivo: TE TE 3 TE T TE Esempio Supponiamo i avere un sistema costituito a un attenuatore e a un amplificatore colleati in cascata. I rispettivi parametri (fattore i rumore, temperatura i lavoro, temperatura equivalente i rumore, uaano i potenza e attenuazione) sono inicati nella fiura seuente: Attenuatore F T L Amplificatore F T E Calcoliamo il fattore i rumore complessivo: applicano la formula trovata prima, ci basta porre, per cui F F + F TOT F + L( F ) Se supponiamo, come inicato in fiura, che l attenuatore lavori a temperatura ambiente T, abbiamo in preceenza verificato che il suo fattore i rumore iventa pari al coefficiente i attenuazione L, per cui possiamo concluere che F F L TOT Autore: SADRO PETRIZZELLI sanry@iol.it sito personale: succursale: Autore: Sanro Petrizzelli