Simulazione Stocastica

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Marino Sacco
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1 Simulazione Stocastica Si considerano qui alcuni metodi di simulazione di fenomeni stocastici. Il metodo Monte Carlo in particolare èutilizzato per stimare l incertezza di un sistema complesso, quando ènota la sua dinamica. Il metodo Bootstrap invece èuna tecnica di simulazione condizionata che prevede l uso di osservazioni reale come base delle simulazioni. Entrambi trovano utilizzo, fra l altro, nell analisi di sensitività. Simulazione Stocastica 1

2 Metodo Monte Carlo ModStoc. aa0304 In numerosi problemi si dispone di un vettore stocastico, y con distribuzione Fy, in cui la funzione di ripartizione F ènota, edi un funzione complessa z zy nota solo per via numerica ocomputabile ma non (facilmente) conoscibile per via analitica (es: computer models). Simulazione Stocastica 2

3 Obiettivo Interessa la distribuzione di z, diciamo Gz. In linea di principio nel calcolo delle probabilità questo problema èrisolto con formule del tipo Gt Pzx t Py z 1 t Fz 1 x, se la funzione z ècomplessa èquesto approccio diventa impercorribile. L idea èallora quella di simulare un grande numero m di volte diciamo m 1000, il vettore dei dati y i eripetere il calcolo della corrispondente z i zy i, i 1,...,m. Si può, poi, studiare la distribuzione (media, variabilità etc.) di questo grande campione z 1,...,z m. Simulazione Stocastica 3

4 Si può quindi stimare la funzione di ripartizione G con la distribuzione empirica delle z con I Ĝt m 1 i1 funzione indicatrice m Iz i t la funzione di densità g (istogramma, Kernell smoothing, etc.) La media La varianza ecosì via. Ez z m 1 m i1 Varz s 2 z 1 m 1 m i1 z i z i z 2 ModStoc. aa0304 Simulazione Stocastica 4

5 Metodo MC in Statistica In particolare interessa ora il caso in cui z y zy èuno stimatore di cui non si conosce la distribuzione. Consideriamo il caso di con prefissato ediciamo y con distribuzione Fy; y j y j1,...,y jn il campione n dim simulato tramite un generatore di numeri casuali indipendenti con distribuzione Fy;. Indichiamo con la stima basata su y j. j yj Simulazione Stocastica 5

6 Ripetendo le simulazioni per j 1,...,m ed ordinando irisultati in senso crescente si ottengono le stime: 1... m. Da queste si può approssimare l incognita distribuzione di usando l istogramma delle stime Monte Carlo (otecniche più sofisticate tipo Kernel-smoothing) esi può approssimare media evarianza di con e m E 1 m j1 Var s 2 m 1 m j1 j j 2. Simulazione Stocastica 6

7 Esercizi su MC con Matlab 1. Analisi Montecarlo del CLTsulla media a. Varianza finita b. Varianza infinita. 2. Distribuzione MC del coeff. di correlazione per piccoli campioni gaussiani. Simulazione Stocastica 7

8 Il Metodo Bootstrap ModStoc. aa0304 Spesso la distribuzione di y non ènota oprefissare può essere limitativo. In questi casi una strada percorribile per capire la variabilità delle stime consiste nel costruire delle simulazioni basate sulla distribuzione empirica del particolare vettore osservata qui supposto per semplicità iid. y y 1,...,y n Il Bootstrap Parametrico Quando la distribuzione delle componenti di y, Fy j 0 ènota nella forma ma 0 èignoto, si può stimare sui dati osservati eapplicare poi il metodo Monte Carlo a. Simulazione Stocastica 8

9 Il Bootstrap Nonparametrico Se F non ènota, l idea èallora quella di stimarla tramite la funzione di ripartizione empirica del campione: F x Iy t x n eapplicare poi il metodo Monte Carlo atale distribuzione. Simulazione Stocastica 9

10 In pratica ciascun elemento del campione simulato y j,diciamo y jt t 1,...,n, ModStoc. aa0304 viene estratto acaso (con rimessa) dal campione originario esi ottiene generando un numero casuale equidistribuito sugli interi da 1 ad n. Indicato con r t tale numero casuale, si pone y jt y rt t 1,...n. Si ha così una stima j. Iterando m volte come nel metodo MC si arriva ad una valutazione dell errore di stima. Simulazione Stocastica 10

11 Uso del Bootstrap Un semplice intervallo di confidenza bootstrap alivello 1 approssimato per si può basare sui percentili di j edavrà la forma: 2 m 1 m 2 dove x èla parte intera di x. Simulazione Stocastica 11

12 Un miglioramento dell approssimazione si ottiene studentizzando le stime bootstrap. Se s 2 èuna stima della varianza di, si costruiscono le replicazioni bootstrap studentizzate t j j s j che vengono poi ordinate t 1... t m el intervallo di confidenza bootstrap studentizzato èdato da t s t s. 2 m 1 m 2 Simulazione Stocastica 12

13 Esempi ed Esercizi con Matlab 1. scelta valori iniziali in NLS 2. Esempio microdurezze. Simulazione Stocastica 13

14 Analisi di Sensitività Si vedano ifile SA_EoE.pdf esa_biofiltro.pdf Simulazione Stocastica 14

15 Bibliografia Approfondimenti metodologici: 1. Monte Carlo ebootstrap 2. Davison A.C., HinkleyD.V Bootstrap methods and their application. Cambridge UniversityPress. 3. Hjorth U Computer Intensive Statistical Methods: Validation, Model Selection and Bootstrap. Chapman &Hall 4. RipleyB.D Stochastic Simulation. Wiley. Simulazione Stocastica 15

16 Sensitivity Analysis ModStoc. aa Fassò A., Perri P.F SensitivityAnalysis for Environmental Models. In Abdel H. El-Shaarawi and Walter W. Piegorsch (eds) Encyclopedia of Environmetrics, Volume 4, pp , Wiley. 6. Saltelli, A., Chan, K., Scott, M Sensitivity Analysis, Wiley, New York. Simulazione Stocastica 16

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